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2.3平面向量的基本定理及坐标表示

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P N 2.3平面向量的基本定理及坐标表示
1、已知向量(1,2),(2,3),(3,4)===a b c ，则用,a b 表示c 为( )
A ．=+c a b
B ．2=+c a b
C ．2=-+c a b
D ．2=-c a b
2、已知向量(1,2)=a ，(,1)x =b ，2=+u a b ，2=-v a b ，且u v ，则x =( ) A ．1- B ．1 C ．12- D ．12
3、若(1,3),(3,5)+=-=a b a b ，则=a ；=b .
4、已知在梯形ABCD 中，AB DC ，且A 、B 、D 三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、 (1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是 .
5、如图,在□OABP 中,过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ,若OM xOA =, (01)ON yOB x =<<.
(1)求()y f x =的解析式;
(2)令1()()
F x x f x =+，判断()F x 的单调性， 并给出你的证明.
参考答案
1.C 设u =λ+c a b ，则(3,4)(1,2)(2,3)(2,23)u u u =λ+=λ+λ+，
∴23234
u u λ+=⎧⎨λ+=⎩，解得12u λ=-⎧⎨=⎩，∴2=-+c a b . 2.D 可得(12,4)x =+u ，(2,3)x =-v ，由u v ，得(12)3(2)40x x +⨯--⨯=， 解得12
x =. 3.(2,4);(1,1)-- 由(1,3)(3,5)+=⎧⎨
-=⎩a b a b ，解得(2,4)(1,1)=⎧⎨=--⎩a b . 4.(1,3)(3,)+∞ 当ABCD 为平行四边形，则(2,0)(1,1)(3,1)AC AB AD =+=+=，故
满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)
(3,)+∞. 5.解:(1)OP AB OB OA ==-,则NM OM ON xOA yOB =-=-，
()MP OP OM OB OA xOA =-=--=(1)x OA OB -++
又//NM MP ,有x －y (1＋x )＝0,即()(01)1x f x x x =
<<+; (2)由(1)得11()1(01)x F x x x x x x
+=+=++<<，设1201x x <<<， 则12121211()()(1)(1)F x F x x x x x -=++-++=1212
11()()x x x x -+- =12121()(1)x x x x --=12
12121()x x x x x x --， 由1201x x <<<，得120x x -<，1210x x -<，120x x >，得12()()0F x F x ->， 即12()()F x F x >.
∴()F x 在(0,1)上为减函数.。

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精选-新人教版必修四高中数学2.3平面向量基本定理及坐标表示课件1

精选-新人教版必修四高中数学2.3平面向量基本定理及坐标表示课件1

1 e1
e
1
a
特别的
0 e e 1 1 2 2
e
2
2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 组基底. 特殊的基底；
e , e 叫做这一平面内 1 2
正交
所
那么当| |=| 与 垂直时，就可以 e 1 |=1e且 e1 e2 2 建立直角坐标系…
（一）平面向量坐标的概念 在直角坐标系内，我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相同的两个单 位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对任作一个向量 : a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o 记作 a ( x, y ) ⑴
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向 原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若 a b ， a ( x , y ), b ( x , y ), 1 1 2 2
则 ( x , y ) ( x , y ), 即 x x , y y . 1 1 2 2 1 2 1 2
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A (a,b)
O
a
x
平面向量基本定理
如果 e 是同一平面内的两 共 1,e 2 对实数 使得 a 1, 2 1e 1 2e 2
那么对于这一平面内任 意向量 a ,有
其中 e 叫做这一平面所有 的 1,e 2


结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量 与差.
平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示


3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
[熟记常用结论] 1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐 标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3. 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2 －y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx21＝yy12.( × ) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )
题组二 教材改编 2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x，6－y)， 即14＝＝65－－yx，， 解得yx＝＝51.，
边上一点，B→C＝3E→C，F 为 AE 的中点，则B→F＝( )
A.23A→B－13A→D C．－23A→B＋13A→D
B.13A→B－23A→D D．－13A→B＋23A→D
解析：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，
平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示


5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量基本定理及坐标运算

平面向量基本定理及坐标运算


答案
D
解析
→ ⊥AB →， →， → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点， 1 AB2所
在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设 B1(a,0)，B2(0，b)， O(x，y)， → ＝AB → ＋AB → ＝(a，b)，即 P(a，b)． 则AP 1 2 → |＝|OB → |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1. 由|OB 1 2 所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2，得(x－a) ＋(y－b) <4， 1 即 0≤1－x ＋1－y <4.
x2－x12＋y2－y12.
4．向量平行与垂直的条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
x1x2＋y1y2＝0 . a ± (3)a≠0，则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时，a⊥b⇔
→ ⊥AB → ，|OB → |＝|OB → |＝1，AP →＝ 5．(2013· 重庆)在平面上，AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1＋AB2.若|OP|<2，则|OA 5 A．(0， 2 ] 5 C．( 2 ， 2] 5 7 B．( 2 ， 2 ] 7 D．( 2 ， 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量，C 中 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α
内，D 中 λ1，λ2 是唯一的．
→ ＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对称中心为 O， 2．在▱ABCD 中，AD → 等于( 则CO ) 1 B．(－2，－5) 1 D．(2，5)
1 A．(－2，5) 1 C．(2，－5)