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安徽省2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

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安徽省2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1．已知z ＝2＋i1－2i ，则|z |＋z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．－i2．函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增3．用反证法证明命题：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数” 时，要做的假设是( ) A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数4．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y )dy5．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)6．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝( ) A ．n (b 1＋b n )2B ．(b 1＋b n )n2C ．n b 1b nD ．(b 1b n )n27．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种8．已知点A(1，2)在函数f (x )＝ax 3的图像上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝09．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )10．若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2, 2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－4，0]B ．(1，28]C ．[－4，0)∪(1，28]D ．[－4，0)∪(1，28)11．某班要从,,,,A B C D E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的,,A B C 三人都不连任原职务的方法种数为（ ） A ．30B ．32C ．36D ．4812．定义在(－1，1)上的函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－…－x2 0162 016，设F(x )＝f (x ＋4)，且F (x )的零点均在区间(a ，b )内，其中a ，b ∈Z ，a <b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简单结果填在题后的横线上） 13．设复数z ＝2－i1＋i，则z 的共轭复数为________．14．⎠⎛－11(x 2＋x ＋4－x 2)dx ＝________．15．已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，…，照此规律，总结出第n (n ∈N *)个不等式为________．16．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有_______（用数字作答）。

三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分10分）已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b . (1)求实数a ，b 的值；(2)若复数满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求|z |的最小值．18．（本题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.19．（本题满分12分）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n ＜2n成立的最小正整数n ，并给出证明．21．（本题满分12分）已知函数f (x )＝x －ln x －a ，g (x )＝x ＋1x－1(ln )a x +，a ∈R.(1)若f (x )≥0在定义域内恒成立，求a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最大值时，求函数g (x )的最小值；(3)证明不等式1*12ln()21n nnk n N +=>∈+∑．22．（本题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －ax ＋bx，对任意的x ∈(0，＋∞)，满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，其中a ，b 为常数.(1)若f (x )的图象在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值； (2)已知0＜a ＜1，求证：2()02af >；(3)当f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.安徽省2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案1、[答案] A[解析] 由于z ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝5i5＝i ，∴|z |＝1，∴|z |＋z ＝1＋i.2、答案 A解析 ∵f ′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0，2π)上递增． 3、答案：B解析：a ，b ，c 恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数．其否定有a ，b ，c 均为奇数或a ， 4、答案 B 5、[解析] f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.[答案] C 6、[答案] D[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，两式相乘得T 2n ＝(b 1b n )n，即T n ＝(b 1b n )n2.7、答案 D解析 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C 54＋C 44＋C 52C 42＝66种． 8、答案 D解析 由于点A(1，2)在函数f(x)＝ax 3的图像上，则a ＝2，即y ＝2x 3，所以y ′＝6x 2.若点A 为切点，则切线斜率为6，若点A 不是切点，设切点坐标为(m ，2m 3)，则切线的斜率为k ＝6m 2.由两点的斜率公式，得2m 3－2m －1＝6m 2(m ≠1)，即有2m 2－m －1＝0.解得m ＝1(舍去)或m ＝－12.综上，切线的斜率为k ＝6或k ＝6×14＝32，则过点A 的曲线C ：y ＝f(x)的切线方程为y －2＝6(x －1)或y －2＝32(x －1)，即6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0.故选D.9、答案 C解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.10、解析 f(x)＝2x 3－3x 2＋a ，则f ′(x)＝6x 2－6x ＝6x(x －1)，x ∈[－2，2]．令f ′(x)>0，得x ∈[－2，0)∪(1，2]；令f ′(x)<0，得x ∈(0，1)．∴y ＝f(x)在(0，1)上单调递减，在[－2，0)，(1，2]上单调递增．又f(－2)＝－28＋a ，f(0)＝a ，f(1)＝－1＋a ，f(2)＝4＋a.∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a<0≤4＋a ，即a ∈[－4，0)∪(1，28]． 11、【答案】B 【解析】分三类：①,,A B C三人都入选，则只有2种方法； ②若,,A B C三人只有两入选，则一共有2132318C C ⋅⋅=种； ③若,,A B C 三人只有一入选，则一共有1232412C C ⋅⋅=种；所以一共有2181232++=种方法，选B. 12、答案 A解析 f ′(x)＝1－x ＋x 2－…－x2 015＝1－x 2 0161＋x >0，因而f(x)在(－1，1)上单调递增，f(－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016<0，f(0)＝1>0，因而函数f(x)仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F(x)＝f(x ＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b －a 的最小值为1，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π，故选A. 13、[解析] z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i)(1＋i)2＝12＋32i. [答案] 12＋32i14、答案 23＋2π3＋ 3解析 ⎠⎛－11(x 2＋x ＋4－x 2)dx ＝2⎠⎛01(x 2＋4－x 2)dx ＝2(⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛14－x 2dx)＝2(13＋π×2212＋12×1×3)＝23＋2π3＋ 3. 15、[答案] 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) [解析] 由于1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，所以可以写为1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，照此规律，所以第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 16、答案 48解析 分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A 22A 42＝24种； (2)当红红之间无蓝时，则有C 21A 22C 21C 31＝24种．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．17、解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝s ＋t i(s ，t ∈R)，其对应点为Z (s ，t )， 由|z －3－3i|＝2|z |， 得(s －3)2＋(t ＋3)2＝4(s 2＋t 2)， 即(s ＋1)2＋(t －1)2＝8，∴点Z 的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示，当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值． ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.18、证明：(1)1a ＋1b ＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝2＋a b ＋ba≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． (2)证法一：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理1＋1b ＝2＋ab，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9. ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．证法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)，知1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.19、解析：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．20、解：(1)a 2＝a 21－2a 1＋2＝5，a 3＝a 22－2×2a 2＋2＝7，a 4＝a 23－2×3a 3＋2＝9.猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n (n ∈N *)，使得S n ＜2n成立的最小正整数n ＝6. 下证：当n ≥6(n ∈N *)时都有2n ＞n 2＋2n .①当n ＝6时，26＝64,62＋2×6＝48,64＞48，命题成立．②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k ＞k 2＋2k 成立，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k ＞2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k2＋2k ＞k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k ＋1)2＋2(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立； 由①②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *) 都有2n ＞n 2＋2n 成立．21、解析 (1)由题意知f(x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1－1x ＝x －1x，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f ′(x)单调递增， ∴f(x)min ＝f(1)＝1－a ，∴1－a ≥0，a ≤1，故a 的取值范围是(－∞，1]． (2)当a ＝1时，g(x)＝x ＋1x －(lnx)2，g(x)的定义域是(0，＋∞)．g ′(x)＝1－1x 2－2lnx ·1x ＝x 2－2xlnx －1x 2， 令h(x)＝x 2－2xlnx －1，h ′(x)＝2(x －lnx －1)，由(1)知，h ′(x)的最小值是h ′(1)＝0，∴h ′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0， ∴当x ∈(0，1)时，h ′(x)<0，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，g ′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min ＝g(1)＝2.(3)由(2)得，当x>1时，g(x)>g(1)，x ＋1x －(lnx)2>2，即(x －1x )>(lnx)2，开平方得x －1x >lnx.令x ＝2k＋22k ＋1>1(k ∈N *)，则2k＋22k＋1－2k ＋12k ＋2＝1（2k ＋1）（2k＋2）>ln 2k＋22k ＋1， ∴∑nk ＝1 1（2k ＋1）（2k ＋2）>ln 2＋22＋1＋ln 22＋222＋1＋…＋ln 2n＋22n ＋1＝ln[2（20＋1）2＋1·2（2＋1）22＋1·…·2（2n －1＋1）2n ＋1]＝ln 2n ＋12n ＋1.22、(1)若f (x )的图象在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值；(2)已知0＜a ＜1，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＞0； (3)当f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.(1)解 在f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝0中，取x ＝1，得f (1)＝0， 又f (1)＝ln 1－a ＋b ＝－a ＋b ＝0，所以b ＝a . 从而f (x )＝ln x －ax ＋a x ，f ′(x )＝1x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2，f ′(1)＝1－2a .又f ′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，所以1－2a ＝5，a ＝－2.(2)证明 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ln a 22－a 32＋2a ＝2ln a ＋2a －a 32－ln 2. 令g (x )＝2ln x ＋2x －x 32－ln 2，则g ′(x )＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2. 所以x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减， 故x ∈(0，1)时，g (x )＞g (1)＝2－12－ln 2＞1－ln e ＝0，所以0＜a ＜1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＞0. (3)解 f ′(x )＝1x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＝－ax 2＋x －a x2.①当a ≤0时，在(0，＋∞)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )至多只有一个零点，不合题意；②当a ≥12时，在(0，＋∞)上，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以f (x )至多只有一个零点，不合题意；③当0＜a ＜12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a22a ＜1，x 2＝1＋1－4a22a＞1.此时，f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增， 在(x 2，＋∞)上单调递减，所以f (x )至多有三个零点. 因为f (x )在(x 1，1)上单调递增，所以f (x 1)＜f (1)＝0.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＞0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，x 1，使得f (x 0)＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x0＝－f (x 0)＝0，f (1)＝0， 所以f (x )恰有三个不同的零点：x 0，1，1x 0.综上所述，当f (x )存在三个不同的零点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

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【数学】安徽省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)(word附答案解析版)

【数学】安徽省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)(word附答案解析版)

安徽省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部是（）A. B. C. D.2. 下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.3. 函数在点处的切线方程为，则等于（）A. -4B. -2C. 2D. 44. 由曲线，以及所围成的图形的面积等于（）A. 2B.C.D.5. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.6. 用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）A. B. C. D.7. 已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A. 4B. 5C.D.8. 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.9. 若，则（）A. B. C. D.10. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（）A. B. 8 C. D. 212. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13. 设复数，则的共轭复数为__________．14. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．15. 如图所示的数阵中，第15行第2个数字是__________．16. 以下判断正确的序号是__________．（1）集合为虚数单位，，则复数；（2）；（3）已知函数，对任意的恒成立，则的取值范围为；（4）设，定义为的导数，即若的内角满足，则．三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的极值.18. 由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明.19. （1）已知且，求证：中至少有一个小于2；（2）已知，求证：.20. 已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围.21. 已知函数.（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；（2）求证：当时，恒成立.22. 已知函数.（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若斜率为的直线与曲线交于两点，求证：.参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】复数的除法，相当于根式中的分母有理化，属于简单运算.2.【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：，不正确；，正确；,不正确；，不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.3.【答案】D【解析】本题解析!由导数的定义可得，应选答案C。

2017-2018年安徽省蚌埠二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018年安徽省蚌埠二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案


．
21． （12 分）已知关于 x 的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根 b． （1）求实数 a，b 的值． （2）若复数 z 满足| ﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的 最小值． 22． （12 分）已知函数 f（x）= x2，g（x）=elnx． （Ⅰ）设函数 F（x）=f（x）﹣g（x） ，求 F（x）的单调区间； （Ⅱ） 若存在常数 k， m， 使得 f （x） ≥kx+m，对 x∈R 恒成立， 且g （x） ≤kx+m， 对 x∈（0，+∞）恒成立，则称直线 y=kx+m 为函数 f（x）与 g（x）的“分界 线” ，试问：f（x）与 g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线” 的方程，若不存在，请说明理由．
2017-2018 学年安徽省蚌埠二中高二 （下） 期中数学试卷 （理科）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的. 1． （5 分）已知函数 f（x）=|x|，在 x=0 处函数极值的情况是（ A．没有极值 C．有极小值 2． （5 分）设 i 是虚数单位，复数 z= A．3﹣4i B．3+4i B．有极大值 D．极值情况不能确定 ，则 =（ C．﹣3﹣4i ） D．﹣3+4i ）
+
+
的最大值
16． （5 分）已知函数 f（x）=ex﹣x﹣1（x≥0） ，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若 f（a） =g（b） ，则 b 的最大值是 ．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17． （10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 已知 ，
2017-2018学年安徽省高二(下)联考数学试卷(理科)Word版含答案

2017-2018学年安徽省高二(下)联考数学试卷(理科)Word版含答案

2017-2018学年安徽省高二（下）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A={x|x（x﹣4）≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．（5分）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c4．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（）A．B．C．D．7．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm38．（5分）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n9．（5分）已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．B．1 C．2 D．4（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）10．A．4 B．8 C．12 D．1611．（5分）函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数为（）A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．以上都不对12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，2m），=（m+1，1），若•=0，则m= ．14．（5分）已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个交点，并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为．15．（5分）若实数a，b，c，d满足ab=3，c+3d=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．16．（5分）以下四个命题：①若函数y=e x﹣mx（m∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为﹣2或．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1=a n+b n（n=1，2，…），b1=2，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD 折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣ln（x+1）（a为常数）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（Ⅰ）求圆M的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年安徽省高二（下）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•南昌一模）若集合A={x|x（x﹣4）≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x（x﹣4）≤0}={x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）（2016秋•大庆月考）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2015秋•邯郸期末）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log2＜0，b=log=1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）（2016•南昌二模）已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．5．（5分）（2016•白银模拟）已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得 cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．（5分）（2008•四川）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（）A．B．C．D．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．7．（5分）（2016•湖南模拟）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．（2011•临沂二模）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，（5分）8．可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=n n，故选D．【点评】本题考查归纳推理，需要注意不等式左右两边的变化规律，并要结合基本不等式进行分析．9．（5分）（2016秋•梅州校级月考）已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y M+1=2，求得y M，可得点M到x轴的距离．【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义，∴y M+1=3，解得y M=2，∴点M到x轴的距离为2，故选：C，【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．10．（5分）（2016秋•大庆月考）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11．（5分）（2016秋•梅州校级月考）函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数为（）A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．以上都不对【分析】对a分类讨论，利用导数的几何意义，互为反函数的性质即可得出交点的个数．【解答】解：函数y=a x与y=log a x关于y=x对称，①指数函数y=a x的图象与直线y=x相切时，此时，f′（x）=，x=，f（x）=，由=1，解得a=．f（x）=a x与g（x）=log a x仅有一个交点．②，指数函数y=a x的图象与直线y=x无交点，因此函数y=a x的图象和函数 y=log a x图象无交点．③时，指数函数y=a x的图象与直线y=x有两个交点，因此函数y=a x的图象和函数 y=log a x图象有两个交点．综上：函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）的图象交点个数与a的取值有关系．故选：D．【点评】本题考查了导数的几何意义，互为反函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）（2016秋•大庆月考）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•梅州校级月考）设向量=（1，2m），=（m+1，1），若•=0，则m= ．【分析】直接由向量垂直的坐标运算得答案．【解答】解：向量=（1，2m），=（m+1，1），由•=0，得1×（m+1）+2m×1=0，即m=﹣．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标运算，是基础题．14．（5分）（2016春•高安市校级月考）已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个交点，并且A点到l1，l2的距离分别为1，2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l1交于点C，则△ABC的面积最小值为 2 ．【分析】过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC、AB、从而得到△ABC面积、利用正弦函数的有界性，可得△ABC面积有最小值．【解答】解：过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AF=1，AE=2，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB=，∴△ABC面积为S=AB•AC=，∵θ∈（0，）∴当且仅当θ=时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积有最小值2故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．15．（5分）（2016春•高安市校级月考）若实数a，b，c，d满足ab=3，c+3d=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．【分析】根据柯西不等式和基本不等式的性质即可求出．【解答】解：10[（a﹣c）2+（b﹣d）2]=[（12+32）[（a﹣c）2+（b﹣d）2]≥[1×（a﹣c）+3×（b﹣d）]2 （柯西不等式，3（a﹣c）=1•（b﹣d）时取“=“）=[（a+3b）﹣（c+3d）]2=a2+9b2+6ab≥2•a•3b+6ab （a=3b时取“=“）=12ab=36得（a﹣c）2+（b﹣d）2≥，当且a=3，b=1，c=，d=﹣或a=﹣3，b=﹣1，c=﹣，d=取“=”所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值是，故答案为：【点评】本题考查了柯西不等式和不等式的基本性质，属于中档题．16．（5分）（2016秋•梅州校级月考）以下四个命题：①若函数y=e x﹣mx（m∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为﹣2或．其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）．【分析】①根据函数极值和导数的关系进行判断；②直接写出特称命题的否定判断；③根据一元二次方程与椭圆和双曲线的离心率进行判断；④根据函数极值和导数的关系求出a，b的关系进行判断．【解答】解：①∵y=e x﹣mx，∴y'=e x﹣m．若y=e x﹣mx（x∈R）有大于零的极值点，则等价为y′=e x﹣m=0有大于0的实根，即m=e x有大于0的实根，∵x＞0，∴e x＞1．∴m＞1．故①正确；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故②正确；③方程2x2﹣5x+2=0的两根和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故④正确；④∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意．则=﹣=﹣，故④错误．∴正确的命题是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的极值和导数的关系，椭圆，双曲线和抛物线的定义和性质，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015•东城区模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1=a n+b n（n=1，2，…），b1=2，求数列{b n}的通项公式．【分析】（I）通过S n=2a n﹣1，推出a n=2a n﹣1，然后求解．（II）利用体积推出，利用累加求出通项公式．【解答】（共13分）解：（I）因为S n=2a n﹣1（n=1，2，…），则S n﹣1=2a n﹣1﹣1（n=2，3，…），所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，整理得a n=2a n﹣1，由S n=2a n﹣1，令n=1，得a1=2a1﹣1，解得a1=1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由b n+1=a n+b n（n=1，2，…），得，由累加得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=，当n=1时也满足，所以．（13分）【点评】本题考查数列求和，累加法的应用，考查计算能力．18．（12分）（2016春•高安市校级月考）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）至少有一件商品被小明抢拍成的对立事件为三件商品中没有一件被抢拍成功，由概率公式三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为，由；（2）由题意可知：ξ的取值为0，1，2，3，根据概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得数学期望．【解答】解：（1）三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为，∴三件商品中至少有一件被小明抢拍成功的概率为．（2）由题意可知：ξ=0，1，2，3，则，，，．0 2 3．【点评】本题考查离散型随机变量及分布列，考查随机变量的数学期望，考查对立事件的概率公式，属于中档题．19．（12分）（2016秋•梅州校级月考）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．【分析】（1）推导出ABCD为正方形，从而AD⊥底面PCD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．（2）点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，由V A﹣PEB=V D﹣PEB，利用等积法能求出三棱锥D﹣PEB 的体积．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE的长．【解答】证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，∴ABCD为正方形，∴AD⊥CD，又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD．解：（2）∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC．∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．由（1）知有AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，可得DE⊥底面PBC．∴DE=，PC=2，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC．∴S△PEB=S△PBC=×（）=，∴三棱锥D﹣PEB的体积V A﹣PEB=V D﹣PEB=×DE×S△PEB=．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），P（0，0，2），设E（0，b，c），，（λ＞0）即（0，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴b=2λ，c=2﹣2λ，∴E（0，2λ，2﹣2λ），=（0，2λ，2﹣2λ），=（2，2，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，），平面BDC的法向量=（0，0，1），∵二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，∴cos45°==，由λ＞0，解得=2﹣，∴E（0，4﹣2，2），∴CE的长|CE|==4﹣2．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2015•天水校级模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．【点评】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．考查分析问题解决问题到哪里．21．（12分）（2016秋•梅州校级月考）已知函数f（x）=ax2+2x﹣ln（x+1）（a为常数）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+2x﹣ln（x+1），∴f′（x）=﹣2x+2﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由f′（x）＞0得：﹣＜x＜，由f′（x）＜0，得：﹣1＜x＜﹣或x＞，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣，），单调减区间为（﹣1，），（，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤x恒成立，令g（x）=f（x）﹣x=ax2+x﹣ln（x+1），问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0，∵，当a=0时，，∴g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时g（x）无最大值，故a=0不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 当a＞0时，令g'（x）=0解得，，此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时无最大值，故a＞0不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 当a＜0时，令g'（x）=0解得，，当时，，而g（x）在[0，x2）上单调递增，在在[x2，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（x2）=，令，则，∴ϕ（x）在上单调递增，又，当e≈2.71时，e3≈19.9，∴ϕ（x）在小于或等于0不恒成立，即g（x）max≤0不恒成立，故不合题意．当时，，而此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（0）=0，符合题意．综上可知，实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•太原一模）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016春•重庆校级期中）已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（Ⅰ）求圆M的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）根据条件、极坐标与直角坐标的互化公式，把圆M的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再根据条件以及点到直线的距离公式、弦长公式，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8，化为直角坐标方程为x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，所以圆M的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数，化化为普通方程得：3x+4y﹣3a+4=0．因为直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心M（0，3）到直线l的距离d==，解得a=，或 a=．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•兰州模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或 x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5．…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版

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2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。