第9章中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形（第2课时）一、单选题（共6小题）1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB＝DC B．∠1＝∠2C．AB＝AD D．∠D＝∠B【答案】D【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC＝∠DCA，推出AB∥CD即可．【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB＝DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；B、根据∠1＝∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；C、根据AB＝AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠B＝∠D，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．故选：D．【知识点】等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定、平行线的判定与性质2.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（）A．60B．30C．20D．16【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．【知识点】平行四边形的性质3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．【知识点】平行四边形的性质、三角形三边关系4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝7，△DBC的周长比△ABC的周长（）A．短3B．短6C．长3D．长6【答案】C【分析】根据平行四边形的对边相等可以转化为求两条对角线的差即可得到正确的选项．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AC＝4，BD＝7，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BD+CD+BC﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝7﹣4＝3，∴△DBC的周长比△ABC的周长长3，故选：C．【知识点】平行四边形的性质5.如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84°B．96°C．98°D．106°【答案】B【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．【知识点】平行四边形的性质6.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④【答案】B【分析】由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCF，∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；根据现有条件无法证明S△CEF＝S△BCE，故错误④．故选：B．【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、平行四边形的性质二、填空题（共6小题）7.在▱ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝度．【答案】9【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝342°，∴∠A＝171°，∴∠B＝180°﹣171°＝9°，故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质8.如图，▱ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是．【答案】110°【分析】利用已知可先求出∠CBA＝110°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等，则∠D可求解．【解答】解：∵∠CBE＝70°，∴∠CBA＝110°，在平行四边形中，∴∠D＝∠CBA＝110°，故答案为：110°．【知识点】平行四边形的性质9.如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为cm2．【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∴2（AB+BC）＝18，∴6AB＝18，∴AB＝3，∴BC＝6，∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴AE＝，∴▱ABCD的面积为：BC•AE＝6×＝9（cm2）．故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质10.在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于．【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝＝＝2，如图1，∴AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4，如图2，AB＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝2，如图3，过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝2﹣x，∵∠A＝30°，BE＝x，在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴42＝（x）2+（2﹣x）2，∴x＝，x＝2（不合题意舍去），∴BE＝1，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝1×2＝2，如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝4，故答案为：2或4．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质11.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，EF＝，∵平行四边形ABCD的对边CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．【知识点】勾股定理、平行四边形的性质12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且AB＝PC，∠PBC＝2∠PCB，则∠A＝°．【答案】60【分析】作△PBC关于BC的对称图形△DBC，再根据角平分线定义可得BD∥AC，延长BD到点E，使BE ＝AC，可得四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，可得∠DCE＝∠CDE＝3α，进而证明△CDE是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，作△PBC关于BC的对称图形△DBC，∴∠DBC＝∠PBC，∠PCB＝∠DCB，CD＝CP，∵CP是∠ACB的平分线，∴∠BCA＝2∠PCB，∵∠PBC＝2∠PCB，∴∠DBC＝∠BCA，∴BD∥AC，延长BD到点E，使BE＝AC，∴四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，∴∠BCD＝∠ACP＝α，∴∠PBC＝∠DBC＝∠BCA＝2α，∴∠ACD＝3α，∠ABD＝6α，∵四边形ABEC是平行四边形，∴∠ACE＝∠ABE＝6α，∴∠DCE＝3α，∵∠CDE＝∠DBC+∠DCB＝3α，∴∠DCE＝∠CDE，∴CE＝ED，∵AB＝CE，AB＝PC，∴CE＝CP，∴CE＝ED，∵CD＝CP，∴CE＝ED＝CD，∴△CDE是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠A＝∠E＝60°．故答案为：60°．【知识点】轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质三、解答题（共6小题）13.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4．（1）求∠BAC的度数：（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）首先利用平行四边形的性质求得对角线的一半的长，然后利用勾股定理的逆定理判定直角即可；（2）利用底×高求得面积即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝6，BD＝10，∴AO＝3，BO＝5，∵AB＝4，∴AB2+AO2＝OB2，∴∠BAC＝90°；（2）▱ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24．【知识点】平行四边形的性质14.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，再根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，利用两直线平行，内错角相等可得∠MAO＝∠NCO，然后利用“角边角”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：平行四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴OM＝ON．【知识点】全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错角相等∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF；（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB＝∠CED，即可证出DE∥BF．【解答】（1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，∴∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）；∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，∴∠AFB＝∠CED，∴DE∥BF．【知识点】平行线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质16.如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．（1）求△ADO的周长；（2）求证：△ADO是直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线AC与BD相互平分，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AC＝26，BD＝10，∴OA＝13，OD＝5，∵AD＝12，∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；（2）由（1）知OA＝13，OD＝5，AD＝12，∵52+122＝132 ，∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，∴△AOD是直角三角形．【知识点】平行四边形的性质、勾股定理的逆定理17.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE．（2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF，∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质18.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）设AP与BC交于H，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直配电箱的性质即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质。
第九章中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转班级姓名组别评价一、学习目标阅读教材P56～P58内容问题1．旋转的概念如图，在平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC的位置，这样的图形运动称为图形的_______，旋转中心为_______，旋转的角度可用∠ACE或_______表示．图形的旋转不改变图形的_______、_______。
问题2．旋转的性质如图，(1)旋转前的△ABC与旋转后的△EFC_______；(2)对应点A和_______到旋转中心点C的距离相等，即AC_______，对应点_______和F到_______的距离相等，即_______FC；(3)线段AC旋转至线段_______形成旋转角∠ACE，线段_______旋转至线段FC形成旋转角∠_______，则有∠ACE＝_______．归纳：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离_______，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角_______．三、要点部分▲1、如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么?9.1图形的旋转学习目标了解理解掌握应用1．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。
√2．经历对生活中旋转现象的观察、分析的过程，探索旋转的基本性质。
√3．能画出简单图形关于给定旋转中心经过旋转后的图形。
√▲2、如图，在△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．AB、EF相交于点P，BC交EF、AF于点N、M．(1)试说明∠EAB＝∠FAC；(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换过程；(3)求∠AMB的度数．▲3、（1）画出将线段AB绕点O按顺时针方向旋转1000后的图形。
9.3 平行四边形一．选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°2．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．264．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm5．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH6．在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或57．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．148．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE9．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S310．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．11．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．612．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°13．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③14．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线二．填空题15．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．16．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．17．如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．18．如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC 的周长长cm．19．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．20．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．21．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．22．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．24．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．三．解答题25．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．27．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．28．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．30．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．答案与解析一．选择题1．（•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（•菏泽）在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．3．（•丽水）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．4．（•绵阳）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．5．（•湖北襄阳）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴BC=DH，故选D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、平行线的性质；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键关键．6．（•孝感）在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC 交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，∴AB=3；综上所述：AB的长为3或5．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．7．（•丹东）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．8．（•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．9．（•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，∴S2=S1﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．10．（•济南）如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．【解答】解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．【点评】此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．11．（•泰安）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．12．（•河北）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．13．（•绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．14．（•天门）在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．二．填空题15．（•河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．16．（•巴中）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是1＜a ＜7．【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．17．（•江西）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB 于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．【分析】由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了平行四边形的性质．利用平行四边形的对边相互平行推知DC∥AB是解题的关键．18．（•十堰）如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC 比△ABC的周长长4cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．19．（•无锡）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为5．【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x 轴于点E．则OB=．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE 的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=．由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（•宁夏）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于2．【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=BE是解决问题的关键．21．（•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D 落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．22．（•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为36°．【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．23．（•泉州）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=15；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．【分析】（1）若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，据此求出它的面积是多少即可．（2）连接EC，延长CD、BE交于点P，证△ABE≌△DPE可得S△ABE=S△DPE、BE=PE，由三角形中线性质可知S△BCE=S△PCE，最后结合S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE可得答案．【解答】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，故答案为：15．（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，∵E是AD中点，∴AE=DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵，∴△ABE≌△DPE（AAS），∴S△ABE =S△DPE，BE=PE，=S△PCE，∴S△BCE=S△ABE+S△CDE+S△BCE则S四边形ABCD=S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE=2××BC×EF=15，∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，故答案为：=．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质，通过构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键．24．（•常州）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1．【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=4，判断ab的最大值即可．【解答】解：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=22=4，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．三．解答题25．（•永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；【分析】（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．26．（•西宁）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27．（•巴中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∴∠E=∠DCE，∵AE+CD=AD，∴BE=BC，∴∠E=∠BCE，∴∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=BC是解决问题的关键．28．（•青岛）已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF 是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形BEDF是平行四边形是解决问题（2）的关键．29．（•本溪）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE=OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，∴▱ABCD的周长=2（BC+AB）=20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．30．（•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC 分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF。
