高考数学二轮复习第2讲函数、基本初等函数I的图象与性质PPT课件

第一部分 高考专题讲解
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专题一 集合、函数与导数
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第二讲 基本初等函数的图象与性质
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考情分析
• 函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考 查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等 几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等 式、方程、函数图象等知识交汇融合，以选择题或填 空题的形式进行考查．
a＋b 2
对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，函数f(x)的图象
关于直线x＝a对称；若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的
图象关于点a＋2 b，0中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a －x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
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• 7．对称性与周期性之间的关系
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若f(x＋a)＝
1 fx
(a≠0且f(x)≠0)，则f(x)是周期函数，
2a是它的一个周期；
若f(x＋a)＝
1＋fx 1－fx
(a≠0且f(x)≠1)，则f(x)是周期函
数，4a是它的一个周期．
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6．有关对称性的几个重要结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一
个x的值，
若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝
(2011·山西模拟)已知函数f(x)＝
1 x2
＋|x2－a|(常
数a∈R＋)．
(1)求函数f(x)的定义域，判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)若f(1)＝4，试研究函数f(x)在定义域内的单调性，并
利用单调性的定义给出证明．
[分析] 本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性．

上单调递减； ＋∞)上单调递减；
a>1 时，在 R 上 a>1 时，在(0，
单调递增 ＋∞)上单调递增
函数值 性质
0<a<1，
0<a<1，
当
x>0
时， 当 x>1 时，y<0；
0<y<1；
当 x<0 时，y>1 当 0<x<1 时，y>0
a>1，
a>1，
当 x>0 时，y>1；当 x>1 时，y>0；
(x≤0)， (x>0)， 若 f(－4)＝
f(0)，f(－2)＝－2，求关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数.
思维启迪 由两个已知条件求出 b，c，再利用函数图象
或解方程求解．
解 方法一 由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2， ∴b＝4，c＝2，
3．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整 体特性． 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问 题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种 途径．
4．函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分 运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、 用图三个基本问题．
5．函数图象的对称性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a －x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图 象关于点(a，b)成中心对称．

所以 f (3) 6.
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典例精析
变式训练
(2008·安徽卷)若函数 f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶
函数，且满足 f (x) g(x) ex ,则 (D )
A. f(2)<f(3)<g(0)
B. g(0)<f(3)<f(2)
解 C. f(2)<g(0)<f(3)
D. g(0)<f(2)<f(3)
是单调函数，则满足f(x)= f ( x 3) 的所有 x 之和为
(C)
x4
A. –3
B. 3
C. -8
D. 8
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典例精析
例1 . (2008·陕西卷) 定义在R上的函数 f(x)满足
f (x y) f (x) f (y) 2xy, (x, y R), f (1) 2, 则f(- 二 讲
函 数 的 性
质
与
应
用
知识梳理 高考速递 典例精析
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知识梳理
1.指数函数、对数函数是初等函数中比较重要 的两类函数，近年来高考命题主要考查指数函数、 对数函数的性质及图象的应用，或利用它们来研 究复合函数的单调性、奇偶性等；
2.抽象函数因为求解方法的多样性而呈现很强 的综合性，解题大致三个方面入手:①构造函数模 型，进行类比猜想、引路探索；②利用对应性质 等进行转化；③利用赋值、特殊化、数形结合等 方法解决问题.
即 log2 (1 x2 ) a log2 (1 x2 ) 0, 所以 a 1.
(2)由(1)知，
所以 f 1(x)
1 x
f
(x) 2x
log2 1
1

对数函数的图象都经过点(1,0)，且图象都在第一、四象限； 对数函数的图象都经过点 ，且图象都在第一、四象限； 轴为渐近线(当 对数函数都以y轴为渐近线 时 对数函数都以 轴为渐近线 当0<a<1时，图象向上无限接 近y轴；当a>1时，图象向下无限接近 轴)； 轴 时 图象向下无限接近y轴 ； 对于相同的a(a>0，且a≠1)，函数 ＝logax与y＝logx的图 对于相同的 ， ，函数y＝ 与 ＝ 的图 象关于x轴对称 轴对称． 象关于 轴对称．
x＋1(x>0)， ， ＋ (D)y＝ ＝ x＋4(x≤－1). ≤ ＋
(2)已知函数 ＝2x的反函数 －1(x)满足 －1(a)＋f－1(b)＝ 已知函数f(x)＝ 的反函数f 满足f 已知函数 满足 ＋ ＝
1 1 4，则 ＋ 的最小值为 的最小值为( ， a b
(A)1． ．
)
分析】利用奇函数的定义求出解析式， 【分析】利用奇函数的定义求出解析式，再用单调性的定 义证明，然后利用性质求解不等式． 义证明，然后利用性质求解不等式． 解析】 【解析】 (1)a＝1，b＝0． ＝ ， ＝ ． (2)设－1<x1<x2<1, 设 x1 x2 ( x1 − x2 ) ( 1 − x1 x2 ) − = 则f(x1)－f(x2)＝ － ＝ 2 2 1 + x1 1 + x2 1 + x12 1 + x2 2 因为|x 因为 1|<1，|x2|<1，所以 1x2|<1，得1－x1x2>0． ， ，所以|x ， － ． 又x1－x2<0，可得 1)<f(x2)， ，可得f(x ， 即函数f(x)在区间 －1,1)上是增函数． 在区间(－ 上是增函数． 即函数 在区间 上是增函数 (3)由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<f(－t)， 由 － ＋ 得 － － ， 1 所以－ － － ， 所以－1<t－1<－t<1，得0<t< ． 2 点评】此题主要考查函数奇偶性问题， 【点评】此题主要考查函数奇偶性问题，可通过赋予恰当 的数值，经过运算与推理，最后得出结论． 的数值，经过运算与推理，最后得出结论．判断函数单调性的 主要方法是定义法即比差法， 主要方法是定义法即比差法， 函数单调性是函数性质中最活跃 的性质，它的运用主要体现在不等式方面， 的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如解抽象函数不等 式．