三、解答题（共74分,其中第22小题14分,其余小题各12分）
17.（本题满分12分）已知方程24410x ax a +++=有两根为tan tan αβ和。
（1）求正实数a 的取值范围； （2）若(,)22
ππαβ∈-、，求αβ+的值。
18.（本题满分12分）袋子里装有大小相同的3个红球和4个黑球，现从中随机取出4个球。
（1）求取出的红球个数为2的概率；
（2）若取出一个红球得2分，取出一个黑球得1分，求得分η的数学期望E η。
20.（本题满分12分） 在数列{}n a 中，118,26n n a a a +=+=且。
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的前n 项的和为n S ，求满足不等式1242008n S n --<的最小正整数n 的值。
21.（本题满分12分）已知函数21()ln 2
f x x x =+。
（1）当[1,]x e ∈时，求f （x ）的最大值和最小值；
（2）当[1,)x ∈+∞时，比较f （x ）与32()3
g x x =的大小。
南充市高2020届第二次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i i +=（ ）A. 2i -B. 12iC. 0D. 2i 2.已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A 0 B. 0或3 C. 1D. 1或33.已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）B.C.4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.85.已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A. 0B. 5C. 7D. 136.过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． .A. 440x y --=B. 440x y +-=C. 440x y ++=D. 440x y -+= 7.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A. (11,53) B. 1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C. (1,53) D. (,3)-∞8.一个空间几何体的正视图是长为4的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B.C. 3D. 9.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4πB. 16πC. 163πD. 323π 11.设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A. 3215 B.6415 C. 5 D. 6 12.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A. ln21--B. 1ln2-+C. ln 2-D. ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r ，则cos ,a b <>=r r _________．14.函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.15.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．16.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项和，若62m S =，求m ．18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． 的（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；（2）根据茎叶图数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点. 的..（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值.20.设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．21.已知函数21()ln 2f x x mx x =++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23.设函数()()1f x x x a a R =-+-∈.（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.C10.D11.A12.A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1214. 115. 316. (1,2)或(1,2)-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+-解得1d =，故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以11222212n n n S ++-==--， 由62m S =得12262m +-=，解得5m =．18.解：（1）1901901902m +==． （2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．19.（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ，因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒.所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥，又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ，所以PA BC ⊥.同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =.所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r ，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r， 则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩取1y =，则(1)3n =--r ，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ， 所以面PAF 与面EAC. 20. （1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v ，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设11d F M ==，22d F M ==，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+Q ，22244=111mmS k m m m ∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．21.（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为， 由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立， ()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值 m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++= 由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<故12,x x 为方程210x mx ++=的两根，1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x == 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭ ()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln 2x x x x =--1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减2m ≤-Q 又，即()122x x -+≤-122x x ∴+≥ ()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 15 2t t ∴+≥ 122t t ∴≥≤或 由01t <<知102t <≤ ()11113 ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3． 23.（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥.（2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.。
四川省南充市晋城中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为①若②若③若④若m,n是异面直线，，则A． B． C． D．参考答案：A略2. 执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是A. 2B.1 C. D.参考答案：A3. 已知为第二象限角，是关于x的方程的两根，则的等于A． B． C． D．参考答案：【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7A 解析：由已知得又为第二象限角，所以==，故选 A.【思路点拨】由已知得，又为第二象限角，所以==.4. 已知非零向量满足，则为A.等腰非等边三角形B.等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形参考答案：A5. 已知正项等比数列{a n}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A．B． C．D．参考答案：B设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B．6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2参考答案：B7. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z?i=2﹣i，得．故选：D．8. 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中O为坐标原点．对于下列结论：（1）符合的点P的轨迹围成的图形的面积为2；（2）设点P是直线：上任意一点，则；（3）设点P是直线：上任意一点，则“使得最小的点P 有无数个”的充要条件是“”；（4）设点P是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）（A）（1）、（2）、（3）（B）（1）、（3）、（4）（C）（2）、（3）、（4）（D）（1）、（2）、（4）参考答案：A9. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于( )A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x≤﹣1或1≤x＜2} C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x＜2}参考答案：D考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．解答：解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|x≥1}={x|1≤x＜2}故选D．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，不等式的解法，考查计算能力．10. 设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是 A．（-1,-log3 2） B．（0,log3 2） C．（log3 2,1） D．（l,log3 4）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 无穷等比数列{an}满足：a1=2，并且=，则公比q= 。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1−i1+2i=()A. −15−35i B. 25−i C. −1+i D. 15+35i2.设集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B等于()A. {3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3，6}D. {1,2，3，4，6}3.已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，则tanα=()A. −43B. 43C. −34D. 344.在ΔABC中，AB=3，BC=√13，AC=4，则边AC上的高为()A. 3√22B. 32C. 3√32D. 3√35.设(3x−1)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a1+a2+⋯+a7+a8等于()A. 122B. 144C. 255D. 3366.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x−y=17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)=f(5)=1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y=f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是()A. (−3,0)B. (−3,5)C. (0,5)D. (−∞,−3)∪(5,+∞)8. 如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是 ( )A.B.C.D.9. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2,A =30∘,C =105∘，则a =( )A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知正三棱柱ABC −A 1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )A.253πB.1003π C. 25π D. 100π11. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为( )A. 815B. 325C. 3215D. 8512. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=e 2x−4a −2e x−2a ，若存在实数x 0使f(x 0)+g(x 0)=−1e −1成立，则实数a 的值为( )A. −1B. −12C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则向量(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =______．14. 设函数f(x)={x 2, x ≤0f(x −1), x >0，则函数g(x)=f(x)−x 的零点的个数为______ ．15. 已知函数f(x)=lnx +x ，则函数y =f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为______． 16. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−1，焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上不同的三点，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则直线AC 的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求1S 3+1S 6+⋯+1S 3n．18.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．P(K2≥k0)0.4000.2500.1500.1000.0500.025k00.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024(n=a+b+c+d)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=4，PC=PD=AD=2√2，E为PB中点．(1)求证：CE⊥平面PBD；(2)求平面PAC和平面PCD所成二面角的大小．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM 与△BON面积之和的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)⩾0在内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−2a|．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：【试题解析】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．分子和分母同时乘以分母的共轭复数，利用复数的乘法法则计算即可．解：因为1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i5=−15−35i故选A．2.答案：D解析：解：由已知集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B={1,2，3，4，6}；故选D．找出两个集合的公共元素组成的集合．本题考查了集合的并集运算；属于基础题．3.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．解：∵已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，∴cosα=√1−sin2α=−45，则tanα=sinαcosα=34，故选：D．4.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4−x，利用勾股定理可知BD=√AB2−AD2=√BC2−CD2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4−x，∴BD=√9−x2=√13−(4−x)2，解得x=3，2√3．因此BD=2=32故选C．5.答案：C解析：解：令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a8=28=256，所以a1+a2+⋯+a8=255．故选：C．利用赋值法，分别令x=0，x=1，的到所求结果．本题考查二项式定理，利用特殊值法求解，属于一般基础题．6.答案：A解析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出经过圆上一点M(1,0)的切线方程．此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时所满足的关系，是一道基础题．解：由圆x2+y2=1，得到圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r=1，则圆上一点M(1,0)与(0,0)连线的方程为y=0，∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x=1，故选：A．7.答案：B解析：本题考查导函数图象与函数单调性的关系，属于基础题．由图象可以判断出f(x)的单调性情况，由f(−3)与f(5)的取值，即可得出答案． 解：由f′(x)的图象可得，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又由题意可得，f(−3)=f(5)=1， ∴f(x)<1的解集是(−3,5)， 故选B ．8.答案：D解析：本题考查三视图及空间几何体的体积的计算，属基础题． 结合选项逐一分析求解即可．解：当俯视图是A 时，该几何体是正方体，体积为1，所以A 错误;当俯视图是B 时，该几何体是半圆柱，体积V =12×π×(12)2×1=π8，所以B 错误； 当俯视是C 时，该几何体是直三棱柱，体积V =12×1×1×1=12，所以 C 错误; 当俯视图是D 时，该几何体是14圆柱，体积是V =14×π×12×1=π4，所以D 正确． 故选D ．9.答案：C解析：本题考查正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出． 解：∵A =30∘,C =105∘， ∴B =45°，∵asinA =bsinB ，∴a =bsinA sinB =2√2sin30∘sin45∘=2，故选C ．10.答案：B解析：如图，取ΔABC 的重心E ，ΔA 1B1C1的重心E 1，取AC 中点D ， 则EE 1的中点O 是该正三棱柱外接球的球心，OA 为球半径， ∵正三棱柱ABC −A 1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2√3， ∴OE =√3,AE =BE =23BD =23√42−22=4√33， ∴R =OA =√(√3)2+(4√33)2=√253，∴该正三棱柱外接球的表面积： S =4πR 2=4π×(√253)2=100π3．故选：B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．求得双曲线的a ，b ，c ，求得A ，F 的坐标和渐近线方程，设出过F 于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值． 解：双曲线x 29−y 216=1的a =3，b =4，c =√9+16=5，可得A(−3,0)，F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y=±43x，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=43(x−5)，即4x−3y−20=0，则A到直线l的距离为d=√16+9=325．故选：B．12.答案：B解析：解：由题意可得：f′(x)=e x(x+1)，则函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，当x=−1时，函数f(x)取得最小值f(−1)=−1e，令t=e x−2a(t>0)，可知g(x)=e2x−4a−2e x−2a=t2−2t=(t−1)2−1，所以当t=1时取得最小值−1，要满足存在实数x0使f(x0)+g(x0)=−1e−1成立，则当x=−1时，t=e−1−2a=1，即−1−2a=0,解得a=−12，故选B．由题意首先确定函数f(x)，g(x)的最小值，然后结合题意求解实数a的值即可．本题主要考查导函数研究函数的最值，复合函数求最值的方法等知识，属于中等题．13.答案：3解析：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：2解析：解：函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f(x)的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为2．函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．15.答案：y=2x−1解析：本题考查利用导数计算函数的切线方程，注意导数的几何意义，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出其导数，计算可得f(1)与f′(1)的值，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得答案．+1，解：根据题意，f(x)=lnx+x，则f′(x)=1x+1=2，则f(1)=ln1+1=1，f′(1)=11则切线的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1；故答案为：y=2x−1．16.答案：2x −y −1=0解析：本题主要考查抛物线的性质与几何意义，根据条件求出直线AC 的斜率和AC 的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．根据抛物线的准线方程求出p ，设A ，B ，C 的坐标，根据|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求出x 1+x 3=2，x 2=1，然后求出直线AC 的斜率和A ，C 的中点坐标，进行求解即可．解：抛物线的准线方程是x =−p2=−1，∴p =2， 即抛物线方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， ∵|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列， ∴|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即x 1+1+x 3+1=2(x 2+1)， 即x 1+x 3=2x 2， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0， 则x 1+x 3=2，x 2=1，由y 22=4x 2=4，则y 2=−2或2(舍)，则y 1+y 3=2， 则AC 的中点坐标为(x 1+x 32,y 1+y 32)，即(1,1)，AC 的斜率k =y 1−y3x 1−x 3=y 1−y 3y 124−y 324=4y1+y 3=42=2，则直线AC 的方程为y −1=2(x −1)， 即2x −y −1=0， 故答案为：2x −y −1=0．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，{a 1+d +a 1+2d =7a 1+3d +a 1+4d +a 1+5d =18，解得a 1=2，d =1， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(2)S 3n =3n(a 1+a 3n )2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2，∴1S 3n =29n(n +1)=29(1n −1n +1) ∴1S 3+1S 6+⋯+1S 3n =29[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=2n 9(n +1)解析：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法，考查转化与分析运算的能力，属于中档题．(1)由等差数列{a n }中的a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18，即可求得其首项与公差，从而可得数列{a n }的通项公式；(2)可先求得S 3n ，再用裂项法即可求得答案．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，记该事件为A ，根据等可能事件的概率得到P(A)=C 52C 62=1015=23；-----------------(4分)(2)由已知数据，填写列联表得----------------------(6分)根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值为 k =40×(1×15−5×19)220×20×6×34≈3.137，-----------------------(9分)由于3.137>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．-----------------------(10分)解析：(1)由题意根据等可能事件的概率计算即可； (2)由已知数据填写列联表，计算得K 2的观测值， 对照临界值得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：(1)因为PC =BC ，所以CE ⊥PB ，又因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD =CD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面PCD ，即BC ⊥PD ，PD ⊥PC ，PC ∩BC =C ，所以PD ⊥平面PBC ，即PD ⊥CE 又因为PD ∩PB =P ， 即证CE ⊥平面PBD ．(2)取CD 中点O ，连结PO.因为△PCD 是等腰三角形， O 为CD 的中点，所以PO ⊥CD.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 所以PO ⊥OG ，OG ⊥DC ，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(2√2,−2,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，D(0,−2√2,0)，O(0,0，0)， G(2√2,0，0)．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PAC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +4y =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，得n ⃗ =(√2,1,1).平面PCD 的法向量为OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)， 设n ⃗ ，OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，所以cosα=|n ⃗⃗ ⋅OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， 由图可知二面角A −PC −D 为锐角，所以平面PAC 与平面PCD 所成二面角的大小为45°．解析：本题主要考查线面垂直的判断二面角的求法，属中档题．(1)由面面垂直的性质易得BC ⊥平面PCD ，进一步可证PD ⊥平面PBC ，即可证得； (2)先证PO ⊥平面ABCD ，再建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得{a =2ca =√32a 2=b 2+c 2.解得b =1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则k AP =yx 0+2，所以直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2)．令x=0，可得y=2y0x0+2．同理可解得直线BP与y轴的交点N的纵坐标y N=−2y0x0−2．因为P(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即4y024−x02=1，所以S△AOM+S△BON=12|AO|⋅|OM|+12|BO|⋅|ON|=|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2√|y M⋅y N|=2√2y0x0+2×−2y0x0−2=2√4y024−x02=2，当且仅当x0=0时等号成立．所以，当且仅当点P在短轴端点时，△AOM与△BOM面积之和的最小值为2．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出短轴长，然后求解椭圆C的方程．(Ⅱ)设点P(x0,y0)，求出直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2).求解M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=ax +x−(1+a)=x2−(1+a)x+ax=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，由x>0，若f′(x)<0，则0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0,1)，函数f(x)的增区间是(1,+∞)．②当0<a<1时，若f′(x)<0，则a<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(a,1)；单调增区间是(0,a)，(1,+∞)．③当a=1时，则f′(x)=(x−1)2x≥0，故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；④当a>1时，若f′(x)<0，则1<x<a，函数f(x)的单调递减区间是(1,a)；函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，(a,+∞)．(Ⅱ)由于f(1)=−12−a ， 当a >0时，f(1)<0，此时f(x)≥0对定义域内的任意x 不是恒成立的．当a ≤0时，由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值，也是最小值为f(1)=−12−a ， 此时，f(1)≥0，解得a ≤−12， 故实数a 的取值范围是(−∞,−12]. 解析：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题． (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过讨论a 的范围，从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)先求出f(1)=−12−a ，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性，从而求出a 的范围．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得|2x −1|+|x −2|≤3，∴①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3．解①求得0≤x <12；解②求得12≤x <2；解③求得x =2． 综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (Ⅱ)∵当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立， 即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，故2x −4≤2a −x ≤4−2x ，即3x −4≤2a ≤4−x ．再根据3x −4的最大值为6−4=2，4−x 的最小值为4−2=2， ∴2a =2，∴a =1， 即a 的范围为{1}．解析：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3.分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，化简得3x −4≤2a ≤4−x.再根据3x −4的最大值为2，4−x 的最小值2，可得2a =2，从而得到a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
