小波分析简介
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窗口 Fourier 变换简介。 对于时间局部化的“最优”窗，用任一 Gaussian 函数
g a (t )
“Garbor 变换”的定义为
1 2 a
e
t2 4a
（11）
(Gba f )( ) (e it f (t )) g a (t b)dt
（12）
4
由于
小波分析理论简介
刘玉民
（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换
1807 年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为 T (= 2 )的函数
f (t ) ，都可以用三角级数表示： f (t ) =
g a (t b)db
g a ( x)dx 1
（13）
所以 令
{
(e it f (t )) g a (t b)dt } db = f ( )
=e
it
（14） （15）
Gba, (t )
g a (t b)
利用 Parseval 恒等式，
(G f )( ) (e it f (t )) g a (t b)dt = f , Gba, =
2
a f (t ) = 0 + 2
N 1 2 k 1
(a
m
k
N 1 1 cos k t bk sin k t ) + a N cos N t = C k e i k t 2 2 k 0 2
（4）
其中
ak bk
2 N 2 N
m 0 N 1
x
N 1
cos
k
C e
k
ikt
=
a0 + 2
a
k 1
k
cos ktቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+
b
k 1
k
sin kt
(1)
Ck =
1 2
2
f (t )e
0
ikt
dt =
f , e ikt
(2) (3)
ak Ck Ck
bk i(Ck Ck )
对于离散的时程 f (t ) ，即 N 个离散的测点值 f m ， m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间：
1 a
1 2 a
1 2 a
,
加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。 在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的 Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减 小a） ，高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。 总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
4a
ib 之外，在 t b 具有窗函数 g a 的 f 的“窗口 Fourier 变换” ， ae 的f 的 “窗口 Fourier 逆变换” 一致， 根据窗函数 g a 的宽度是 2 a 的 结
论，这两个窗的宽度分别是 2 a 这两个窗的笛卡儿积是 [ b a , b a ] 和
当 T 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换） ：
f ( ) f (t )
f (t )e
it
dt = f , e it
it
（9）
1 2
f ( )e
d
(10)
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从 1807 年开始，直 到 1966 年(1807 年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结 论是有误的，直到 1966 年才证明了 L2 可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)， 整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响，得到 了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学 上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具 有物理意义。所以说，傅立叶理论是万古流芳的。
数学上的插值方法。 除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性： （1） 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变 化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会 带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。 （举例：无阻尼与有阻尼的单自由度 的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等） 。
1
成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科 学意义和应用价值的成果。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理； 量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成； 医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于 数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的 滤波、 去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方 面的减少 B 超、 CT 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 (1) 小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压 缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方 法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向 量压缩等。 (2) 小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分 离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3) 在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙 的研究与生物医学方面。
小波分析
小波分析 (Wavelet) 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域， 它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意 义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974 年首先提出的，通过物 理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807 年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能 得到著名数学家 grange ， place 以及 A.M.Legendre 的认可一样。幸运的是，早在七 十年代， A.Calderon 表示定理的发现、 Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换 的诞生做了理论上的准备，而且 J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基； 1986 年著名数学家 Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat 合作建立了构造小波基的同 意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies 撰 写的《小波十讲（ Ten Lectures on Wavelets ）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与 Four ier 变换、窗口 Fourier 变换（ Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的 从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（ Multiscale A nalysis ），解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “ 数学显微镜 ” ，它 是调和分析发展史上里程碑式的进展。 小波 (Wavelet) 这一术语，顾名思义， “ 小波 ” 就是小的波形。所谓 “ 小 ” 是指它具有衰减性；而称 之为 “ 波 ” 则是指它的波动性， 其振幅正负相间的震荡形式。 与 Fourier 变换相比， 小波变换是时间 ( 空 间 ) 频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号 ( 函数 ) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时 间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决 了 Fourier 变换的困难问题，成为继 Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换 称为 “ 数学显微镜 ” 。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业 领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是 图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是： 准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来 看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分 析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理 的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳 定信号的工具就是小波分析。 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领 域，经过近 10 年的探索研究，重 要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 Fourier 变换相比，小波变换是空间 ( 时间 ) 和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号 进行多尺度的细化分析， 解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、 物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析 是一个新的数学分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信 息处理专家认为，小波分析是时间 — 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合
g a (t )
“Garbor 变换”的定义为
1 2 a
e
t2 4a
（11）
(Gba f )( ) (e it f (t )) g a (t b)dt
（12）
4
由于
小波分析理论简介
刘玉民
（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换
1807 年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为 T (= 2 )的函数
f (t ) ，都可以用三角级数表示： f (t ) =
g a (t b)db
g a ( x)dx 1
（13）
所以 令
{
(e it f (t )) g a (t b)dt } db = f ( )
=e
it
（14） （15）
Gba, (t )
g a (t b)
利用 Parseval 恒等式，
(G f )( ) (e it f (t )) g a (t b)dt = f , Gba, =
2
a f (t ) = 0 + 2
N 1 2 k 1
(a
m
k
N 1 1 cos k t bk sin k t ) + a N cos N t = C k e i k t 2 2 k 0 2
（4）
其中
ak bk
2 N 2 N
m 0 N 1
x
N 1
cos
k
C e
k
ikt
=
a0 + 2
a
k 1
k
cos ktቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+
b
k 1
k
sin kt
(1)
Ck =
1 2
2
f (t )e
0
ikt
dt =
f , e ikt
(2) (3)
ak Ck Ck
bk i(Ck Ck )
对于离散的时程 f (t ) ，即 N 个离散的测点值 f m ， m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间：
1 a
1 2 a
1 2 a
,
加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。 在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的 Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减 小a） ，高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。 总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
4a
ib 之外，在 t b 具有窗函数 g a 的 f 的“窗口 Fourier 变换” ， ae 的f 的 “窗口 Fourier 逆变换” 一致， 根据窗函数 g a 的宽度是 2 a 的 结
论，这两个窗的宽度分别是 2 a 这两个窗的笛卡儿积是 [ b a , b a ] 和
当 T 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换） ：
f ( ) f (t )
f (t )e
it
dt = f , e it
it
（9）
1 2
f ( )e
d
(10)
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从 1807 年开始，直 到 1966 年(1807 年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结 论是有误的，直到 1966 年才证明了 L2 可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)， 整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响，得到 了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学 上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具 有物理意义。所以说，傅立叶理论是万古流芳的。
数学上的插值方法。 除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性： （1） 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变 化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会 带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。 （举例：无阻尼与有阻尼的单自由度 的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等） 。
1
成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科 学意义和应用价值的成果。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理； 量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成； 医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于 数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的 滤波、 去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方 面的减少 B 超、 CT 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 (1) 小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压 缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方 法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向 量压缩等。 (2) 小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分 离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3) 在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙 的研究与生物医学方面。
小波分析
小波分析 (Wavelet) 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域， 它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意 义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974 年首先提出的，通过物 理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807 年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能 得到著名数学家 grange ， place 以及 A.M.Legendre 的认可一样。幸运的是，早在七 十年代， A.Calderon 表示定理的发现、 Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换 的诞生做了理论上的准备，而且 J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基； 1986 年著名数学家 Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat 合作建立了构造小波基的同 意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies 撰 写的《小波十讲（ Ten Lectures on Wavelets ）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与 Four ier 变换、窗口 Fourier 变换（ Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的 从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（ Multiscale A nalysis ），解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “ 数学显微镜 ” ，它 是调和分析发展史上里程碑式的进展。 小波 (Wavelet) 这一术语，顾名思义， “ 小波 ” 就是小的波形。所谓 “ 小 ” 是指它具有衰减性；而称 之为 “ 波 ” 则是指它的波动性， 其振幅正负相间的震荡形式。 与 Fourier 变换相比， 小波变换是时间 ( 空 间 ) 频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号 ( 函数 ) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时 间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决 了 Fourier 变换的困难问题，成为继 Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换 称为 “ 数学显微镜 ” 。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业 领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是 图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是： 准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来 看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分 析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理 的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳 定信号的工具就是小波分析。 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领 域，经过近 10 年的探索研究，重 要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 Fourier 变换相比，小波变换是空间 ( 时间 ) 和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号 进行多尺度的细化分析， 解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、 物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析 是一个新的数学分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信 息处理专家认为，小波分析是时间 — 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合
