第4讲 三角函数的图象与性质一、知识梳理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶奇函数偶函数奇函数1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．二、教材衍化1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则T ＝________，A ＝________． 解析：最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.答案：π 12．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)． ①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；②在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2及⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数； ③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；④在⎣⎡⎦⎤π2，π及⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数．解析：函数y ＝4sin x 在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增加的． 答案：②3． y ＝tan 2x 的定义域是________．解析：由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( ) (6)若sin x >22，则x >π4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视y ＝A sin x (或y ＝A cos x )中A 对函数单调性的影响； (2)忽视定义域的限制； (3)忽视正切函数的周期；(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错． 1．函数y ＝1－2cos x 的减区间为________．解析：函数y ＝1－2cos x 的减区间为函数y ＝cos x 的增区间． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )2．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为________．解析：当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－12，1]， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－32，3]，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的值域是[－32，3]．答案：[－32，3]3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4图象的对称中心是________． 解析：由x ＋π4＝k 2π，得x ＝k 2π－π4，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π4，0(k ∈Z )4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________． 解析：sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， 所以sin 68°>cos 23°>cos 97°. 答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°[学生用书P66]三角函数的定义域(自主练透) 1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） 解析：选D.由2x ＋π6≠k π＋π2，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数y 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z 3．(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．法三：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．答案：{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．三角函数的值域(师生共研)(1)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，则函数f (x )的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)(换元法)因为y ＝f (x )＝cos x sin 2x ＝2cos 2 x sin x ＝2(1－sin 2x )·sin x ＝2(sin x －sin 3 x )，令t ＝sin x ，则y ＝g (t )＝2(t －t 3)，－1≤t ≤1. 令g ′(t )＝2(1－3t 2)＝0，得t ＝±33.当t ∈⎣⎡⎦⎤－1，－33时，g ′(t )<0， g (t )在⎣⎡⎦⎤－1，－33上是减函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤－33，33时，g ′(t )>0， g (t )在⎝⎛⎦⎤－33，33上是增函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤33，1时，g ′(t )<0，g (t )在⎝⎛⎦⎤33，1上是减函数． 由此可知y ＝g (t )在t ＝33时取得最大值，最大值为439.故f (x )的最大值为4 39.故填439. (2)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3D ．3＋1解析：选C.f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为－π3≤x ≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值3，故选C. 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m .所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.函数的单调性(多维探究) 角度一 求三角函数的单调区间(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)函数y ＝12sin x ＋32cos x (x ∈[0，π2])的增区间是________．【解析】 (1)A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )是增加的，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )是减少的，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.(2)因为y ＝12sin x ＋32cos x＝sin(x ＋π3)，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )，所以函数的增区间为[2k π－5π6，2k π＋π6](k ∈Z )， 又x ∈[0，π2]，所以增区间为[0，π6]．【答案】 (1)A (2)[0，π6]三角函数单调性的求法(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图象利用y ＝sin x 的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．角度二 根据单调性求参数(1)(一题多解)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B ．π2C.3π4D ．π(2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．【解析】 (1)法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.(2)法一：因为x ∈[－π2，2π3](ω>0)，所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，因为f (x )＝2sin ωx 在[－π2，2π3]上是增函数，所以⎩⎨⎧－π2ω≥－π2，2π3ω≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f(x)在[－π2，2π3]上是增函数，需⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω(ω>0)，即0<ω≤34.法三：由－π2＋2kπ≤ωx≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω(k∈Z)，故f(x)的增区间是[－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω](k∈Z)，由题意[－π2，2π3]⊆[－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω](k∈Z，ω>0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0<ω≤34.【答案】(1)C(2)(0，34]已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[提醒]要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1．函数f(x)＝tan(2x－π3)的增区间是()A．[kπ2－π12，kπ2＋5π12](k∈Z)B．(kπ2－π12，kπ2＋5π12)(k∈Z)C ．(k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．(k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan(2x －π3)的增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )，故选B.2．(一题多解)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上是减少的，则ω的取值范围是________．解析：法一：由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．法二：由已知T 2＝πω≥π2，所以0<ω≤2，又π2<x <π，得π4<ωx ＋π4<94π.当π2≤ωx ＋π4≤32π时，f (x )是减少的，解得π4ω≤x ≤5π4ω，于是应有⎩⎪⎨⎪⎧π4ω≤π2， 5π4ω≥π，解得12≤ω≤54. 答案：[12，54]三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究) 角度一 三角函数的周期性(1)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数的序号为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 【解析】 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. (2)由题意知1＜πk ＜2，所以k ＜π＜2k . 即π2＜k ＜π，又k ∈N ， 所以k ＝2或3.【答案】 (1)A (2)2或3(1)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(2)图象法：利用三角函数图象的特征求周期． 角度二 三角函数的奇偶性已知函数f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)，φ∈(0，π)．(1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.【解析】 (1)因为f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)为偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. (2)因为f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)为奇函数，所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)， 所以φ＝π3.【答案】 (1)5π6 (2)π3奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．角度三 三角函数的对称性已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝π6对称【解析】 因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin(x ＋π6)， 函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3.所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称．【答案】 C(1)对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)函数图象的对称性与周期T 之间有如下结论：①若函数图象相邻的两条对称轴分别为x ＝a 与x ＝b ，则最小正周期T ＝2|b －a |；②若函数图象相邻的两个对称中心分别为(a ，0)，(b ，0)，则最小正周期T ＝2|b －a |；③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为(a ，0)与x ＝b ，则最小正周期T ＝4|b －a |.1. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( ) A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴解析：选A.由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的对称轴为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由x －π3＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的对称轴为x ＝k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，函数有相同的对称轴．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0，k ∈Z .故两个函数没有相同的对称中心，故选A.2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<1，|φ|<π2的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π3，0 解析：选D.由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z ，使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确，选D.三角函数中ω值的求法一、利用三角函数的单调性求解若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上是减少的，则ω的取值范围是________．【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上是减少的，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.即32≤ω≤3.【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，3根据正弦函数的减区间，确定函数f (x )的减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上是减少的，建立不等式，即可求ω的取值范围． 二、利用三角函数的对称性求解(1)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1(2)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．【解析】 (1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是T 4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以中心⎝⎛⎭⎫π12，0到对称轴x ＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12＝T 4＋kT2(k ∈N ，T 为周期)，解得(2k ＋1)T ＝π，又T ＝2πω，所以(2k ＋1)·2πω＝π，则ω＝2(2k ＋1)，当k ＝0时，ω＝2最小．故选A.(2)依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πω6＋π6＝0，则πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，所以ω的最小值为＝2.【答案】 (1)A (2)2三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心就是其图象与x 轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．三、利用三角函数的最值求解(1)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．(2)已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f (π3)，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，则ω＝________．【解析】 (1)显然ω≠0.若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2.所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，而12⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝π4，所以f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω4＋π3＝－1，所以πω4＋π3＝k π＋3π2，k ∈Z ，解得ω＝4k ＋143.再由f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，得2πω＝T ≥π3－π6，解得ω≤12，所以k ＝0，ω＝143.【答案】 (1)(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ (2)143利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．[基础题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减少的解析：选D.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先减后增，D 选项错误．3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x ＝π4对称．A ．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝⎛⎭⎫π4＝0不是函数的最值． 所以其图象不关于x ＝π4对称．B ．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于x ＝π4对称．C ．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．D ．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝1为函数最大值， 所以D 满足条件，故选D.4．(2020·河南六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，则φ为( ) A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选D.因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，所以ω＝2，φ＝π6－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，选D.5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( ) A.π12 B ．π3C.13π6D ．7π6解析：选C.T ＝2πω＝2⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫－π3＝π，故ω＝2，又2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，所以φ的值可能为13π6.故答案为C.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________． 解析：由已知可得函数为f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数f (x )的减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )．得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．故所求函数f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 答案：⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π58．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，所以π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：π29．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， 所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 22， 所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋3＝4(12sin x －32cos x )cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与y ＝m 在[0，π2]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin(2x －π3)在[0，π2]上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6， 故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33. [综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π是减少的，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π是减少的，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10递增 ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：选D.如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0，π10)时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在(0，π10)是增加的，所以③正确．3．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上是减少的，则ω＝________.解析：因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由π2＋2k π≤ωx ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6ω＋2k πω≤x ≤7π6ω＋2k πω，因为f (x )在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω＋2k πω，7π6ω＋2k πω]，从而有⎩⎪⎨⎪⎧π6≥π6ω＋2k πωπ2≤7π6ω＋2k πω， 解得12k ＋1≤ω≤7＋12k 3，k ∈Z ，所以1≤ω≤73，因为f (π6)＋f (π2)＝0， 所以x ＝π6＋π22＝π3为f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的一个对称中心的横坐标， 所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ， 又1≤ω≤73，所以ω＝2. 答案：24．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫πm x ＋5π12－ 3 cos ⎝⎛⎭⎫2πm x ＋π3(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值范围是________．解析：化简f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝⎛⎭⎫2πm x ＋π3得f (x )＝2sin 2πx m＋1，所以，函数f (x )的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为⎝⎛⎭⎫m 4，3，最小值点为⎝⎛⎭⎫－m 4，－1， 所以只需⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫m 42＋（3－1）2≤m 2，⎝⎛⎭⎫－m 42＋（－1－1）2≤m 2，解得m ≥81515. 答案：⎣⎡⎭⎫81515，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 值； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin(2x －π3)． 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )， 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1，2]．又|f (x )－m |<3，即f (x )－3<m <f (x )＋3，所以2－3<m <1＋3，即－1<m <4.故实数m 的取值范围是()－1，4.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)因为x ∈[0，π2]， 所以2x ＋π6∈[π6，7π6]， 所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]， 所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]， 所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1， g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin(2x ＋π6)－1>1， 所以sin(2x ＋π6)>12， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )是增加的，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z . 又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )是减少的，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . 所以g (x )的减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z . 所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ， 减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .。
