计算方法第5章

∫ ∏
a
b
0≤ j ≤ n j≠k
h ⋅ ( −1)n − k n ( t − j )dt = ∏ ∫ 0 k !⋅ ( n − k )! 0≤ j ≤ n
j≠k
19
n ( −1)n − k ( t − j )dt = (b − a ) ⋅ ∏ ∫ 0 n ⋅ k !⋅ ( n − k )! 0≤ j ≤ n j≠k
I=∫
h
0
h x dx = 3
2
1 h3 3 2 = ( − 2 a ) h I2 = + ah [0 − 2h] 2 2 1 a= 12
11
令I = I2
h I = ∫ f ( x )dx ≈ [ f (0) + f ( h)] + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)] = I 2 0 2 f ( x) = x3
定义
若积分
∫a f ( x)dx
b
的数值Байду номын сангаас分公式
∫a
b
f ( x )d x ≈
Ak f ( x k ) ∑ k =0
n
对于任意 f ( x) = xi (i = 0,1," , m) 多项式都精确成立， 但对 f ( x ) = x m +1 不精确成立， 则称该数值积分公式具m 次代数精确度。
9
例1：对于[a, b]上1次插值，有L1 ( x ) =
A1 = A2 =
b−a 2
x −b a −b
f (a ) +
x −a b−a
f (b )
∫
b a
a f ( x )dx ≈ b − [ f ( a ) + f ( b )] 2
考察其代数精度。 梯形公式 解：逐次检查公式是否精确成立 代入 L0 = 1： ∫a 1 dx = b − a = 代入 L1 = x ： ∫a x dx = 代入 L2 = x2 ：
§5
§5.1
数值积分
机械求积公式
§5.2 Newton_Cotes公式 §5.3 变步长求积公式及其加速 收敛技巧 §5.4 Gauss公式
1
§5.1 机械求积公式
第1节 第2节 第3节 第4节 引言 数值积分的基本方法 代数精度法 插值求积法
2
第1节
引言
定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:
6
推广2: 用 f(x) 的一次多项式
∫x
x1
0
f ( x )dx
来近似代替f ( x ) , 于是，
x − x0 x − x1 L1 ( x ) = f ( x0 ) + f ( x1 ) x0 − x1 x1 − x0
x1
∫
x1
x0
f ( x)dx ≈ ∫ L1( x)dx
x0 x1
⎛ x − x1 ⎞ x − x0 =∫ ⎜ f ( x0 ) + f ( x1 )⎟ dx x0 x − x x1 − x0 ⎝ 0 1 ⎠ 1 = ( x1 − x0 )[ f ( x0 ) + f ( x1 )] 2
b
∑
k =0
Ak f ( x k )
该求积公式至少有 N 次代数精度.
14
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 第2节 公式的一般形式 低阶公式及其余项
第3节 复合求积公式
15
第1节 Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
∏
x − xj xk − x j
dx
I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0 b
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) = ∫ Rn ( x )dx
a
即有
I ( f ) = I n ( f ) + R( I n )
I ( f ) ≈ In ( f )
h
I=∫
h
0
4 h x 3 dx = 4
4 h h4 I2 = + ah2 [0 − 3h2 ] = 4 2
f ( x) = x4
I=∫
因此
h
0
5 h x 4 dx = 5
5 h h5 I2 = + ah2 [0 − 4h3 ] = 6 2
I ( x j ) = I2 ( x j ) I ( x4 ) ≠ I2 ( x4 )
20
第二节 低阶Newton-Cotes公式及其余项
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要三个公式,称为低阶公式 1.梯形(trapezoid)公式及其余项
取 n = 1, 有 x 0 = a , x 1 = b , h = b − a
Cotes系数为
1 C = − ∫ (t − 1)dt = 0 2 1 1 ( 1) C1 = ∫ tdt = 0 2
j = 0,1, 2, 3
所以该积分公式具有3次代数精确度.
12
第4节
插值求积法
b a
近似计算 I = ∫ f ( x )dx 利用插值多项式 Pn ( x ) ≈ f ( x )则积分容易计算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
) 在[a, b]上取 a ≤ x0 < x1 <…<插值型积分公式 xn ≤ b，做 f 的 n 次插值多 n
f ( x )dx
此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。
解：
y = L0 ( x ) = f ( x 0 ) 来近似代替 用 f (x) 的零次多项式
于是有
f ( x)
∫
x1 x0
f ( x )dx ≈
∫
x1 x0
f ( x 0 )dx
= f ( x 0 )( x1 − x 0 )
（为左矩公式）
∫
x1
x0
( x1 − x0 ) ⎡ x0 + x1 ⎤ ) + f ( x1 )⎥ f ( x)dx ≈ f ( x0 ) + 4 f ( ⎢ 6 ⎣ 2 ⎦
8
第3节
代数精度法
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际 计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立. 因此定义代数精度的概念:
其中
lk ( x ) =
0≤ j ≤ n j≠k
∏
x − xj xk − x j
ξ ∈ [a , b ]
ω n +1 ( x ) = ∏ ( x − xi )
i =0
n
而
f ( x ) = Ln ( x ) + Rn ( x )
因此对于定积分
b
I ( f ) = ∫ f ( x )dx
a
b
b
有 I ( f ) = ∫ f ( x )dx = ∫ [ Ln ( x ) + Rn ( x )]dx
I=∫
解:
h
0
h f ( x )dx ≈ [ f (0) + f ( h)] + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)] = I 2 2
f ( x) = x0
f ( x ) = x1 f ( x) = x2
I =
∫
0
h 0
x 0dx = h
1
2
I2 = h
I=∫
3
h
h x dx = 2
h2 I2 = 2
∫
2 0
⎛ x⎞ 1 − ⎜ ⎟ sin2 θ dθ ⎝r⎠
3
只能运用数值积分, 求积分近似值 .
第2节
b
数值积分的基本方法
1 数值积分的基本思想
∫a f ( x)dx
∫a
b
就是在区间[a, b]内取n+1个点 x0 , x1 ," , xn 利用被积函数 f(x) 在这 n+1 个点的函数值的 某一种线性组合来近似作为待求定积分的值.
f ( x ) dx ≈
Ak f ( x k ) ∑ k =0
n
Ak 称为求积系数。 其中, xk 称为积分节点， 因此，数值积分公式关键在于积分节点 xk 的选取 和积分系数 A k 的决定，其中 A k与被积函数 f(x) 无关。 称为机械求积公式。
4
2 简单算例 例1: 求积分 ∫
x1 x0
项式
Ln ( x ) = ∑ f ( x k )l k (，即得到 x)
k =0 n
∫
b a
f ( x )dx ≈
∑
k =0
f ( x k ) ∫ l k ( x )dx
a
b
Ak
Ak =
∫ ∏
a
b
( x− x j ) j ≠ k ( xk − x j )
dx
由节点 决定， 与 f (x) 无关。
不同的 插值方法 有不同的 基函数
（为梯形公式）
7
推广3: f ( x )dx ∫ x0 x0 < x ′ < x1 用f(x)的二次插值多项式,其中 ( x − x 0 )( x − x1 ) ( x − x ′ )( x − x1 ) L2 ( x ) = f ( x0 ) + f ( x ′) ( x 0 − x ′ )( x 0 − x1 ) ( x ′ − x 0 )( x ′ − x1 )
a
a
17
I = ∫ f ( x )dx= ∫a ∑ f ( xk )lk ( x )dx+ ∫a Rn ( x )dx