江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3分）已知集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，则A∩B=．2．（3分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为．3．（3分）函数f（x）=的定义域为．4．（3分）设向量=（1，﹣2），=（4，x），若∥，则实数x的值为．5．（3分）已知f（x）=，则f（f（1））的值为．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为．7．（3分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且x≥0时，f（x）=3x﹣1，则f（﹣1）的值为．8．（3分）求值：2log212﹣log29=．9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则φ的值为．10．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数．若f（2x+1）+f（1）＜0，则x的取值范围是．11．（3分）已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a+b 的值为．12．（3分）化简：=．13．（3分）已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则•的值为．14．（3分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8分）已知cosα=﹣，0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求sin（α+）的值．16．（8分）已知向量，满足||=2，||=1，，的夹角为120°．（1）求•的值；（2）求向量﹣2的模．17．（10分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β=﹣，求向量与的夹角；（2）若•=，tanα=，且α，β为锐角，求tanβ的值．18．（10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH 的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．19．（10分）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，]，求g（x）的值域．20．（12分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3分）已知集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，则A∩B={4，6}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集的定义求出即可．解答：解：∵集合A={0，2，4，6}，B={x|3＜x＜7}，∴A∩B={4，6}，故答案为：{4，6}．点评：本题考查了集合的运算，求解时要细心．2．（3分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值为2．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期公式求出ω即可．解答：解：∵函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，∴周期T==π，解得ω=2，故答案为：2．点评：本题主要考查三角函数周期的应用，要求熟练掌握三角函数的周期公式．3．（3分）函数f（x）=的定义域为（﹣∞，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则2﹣x≥0，解得x≤2，即函数的定义域为（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．（3分）设向量=（1，﹣2），=（4，x），若∥，则实数x的值为﹣8．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．解答：解：∵=（1，﹣2），=（4，x），∥，∴﹣2×4=x，即x=﹣8故答案为：﹣8点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（3分）已知f（x）=，则f（f（1））的值为4．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数f（x）的解析式，求出函数值即可．解答：解：∵f（x）=，∴f（1）=21=2，f（f（1））=f（2）=2+2=4．故答案为：4．点评：本题考查了分段函数的求值问题，也考查了复合函数的应用问题，是基础题目．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为（﹣1，）．．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由任意角的三角函数的定义即可求值．解答：解：由三角函数的定义可得：x=2cos=﹣1，y=2sin=故点P的坐标为（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．点评：本题主要考察了任意角的三角函数的定义，属于基础题．7．（3分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且x≥0时，f（x）=3x﹣1，则f（﹣1）的值为2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数的奇偶性，得到f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求出即可．解答：解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=31﹣1=2，故答案为：2．点评：本题考查了函数的奇偶性，考查了函数求值问题，是一道基础题．8．（3分）求值：2log212﹣log29=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质计算即可解答：解：2log212﹣log29=log2=log216=4log22=4故答案为：4点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则φ的值为．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象确定函数的周期，利用五点对应法即可得到结论．解答：解：由图象可知函数的周期T=2[3﹣（﹣1）]=2×4=8，即，解得ω=，即f（x）=Asin（x+φ），∵A＞0，ω＞0，0≤φ＜π，∴当x=3时，根据五点对应法得×3+φ=π，解得φ=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的图象和解析式的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．利用五点对应法是求φ常用的方法．10．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数．若f（2x+1）+f（1）＜0，则x的取值范围是（﹣1，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由奇函数的性质可得f（x）在R上递减，原不等式即为f（2x+1）＜﹣f（1）=f（﹣1），则2x+1＞﹣1，解得即可得到取值范围．解答：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上递减，即有f（x）在R上递减．不等式f（2x+1）+f（1）＜0，即为f（2x+1）＜﹣f（1）=f（﹣1），则2x+1＞﹣1，解得，x＞﹣1．则x的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．11．（3分）已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a+b 的值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由图象知，log a b=2，log a（+b）=0；从而解得．解答：解：由图象知，log a b=2，log a（+b）=0解得，b=，a=；故a+b=；故答案为：．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．12．（3分）化简：=﹣1．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先分子去根号后即可化简求值．解答：解：∵==∵sin40°＜cos40°，∴原式==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考察了三角函数的化简求值，属于基础题．13．（3分）已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则•的值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积．解答：解：在△ABC中，∠A=，建立直角坐标系，AB=2，AC=4，=，=，=，根据题意得到：则：A（0，0），F（0，1），D（1，），E（2，0）所以：，所以：故答案为：﹣点评：本题考查的知识要点：直角坐标系中向量的坐标运算，向量的数量及运算，属于基础题型．14．（3分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是[﹣1，+1]．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象，由图象知当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；从而由图象求解．解答：解：作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象如下，当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；故由图象可知，实数m的取值范围是[﹣1，+1]．故答案为：[﹣1，+1]．点评：本题考查了函数的图象的应用及最值的求法，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8分）已知cosα=﹣，0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求sin（α+）的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据同角的三角函数关系式即可求tanα的值；（2）根据两角和差的正弦公式即可求sin（α+）的值．解答：解：（1）∵cosα=﹣，0＜α＜π，∴sinα=，则tanα=．（2）sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×﹣×=．点评：本题主要考查三角函数的求值，根据同角的三角函数关系式以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．16．（8分）已知向量，满足||=2，||=1，，的夹角为120°．（1）求•的值；（2）求向量﹣2的模．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）由向量的数量积的定义，计算即可得到；（2）由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答：解：（1）由||=2，||=1，，的夹角为120°，则=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1．（2）||====2．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．17．（10分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β=﹣，求向量与的夹角；（2）若•=，tanα=，且α，β为锐角，求tanβ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）化简向量a，b，再由向量的夹角公式，计算即可得到；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的余弦公式，同角的平方关系和商数关系，再由tanβ=tan[（α+β）﹣α]，运用两角差的正切公式，计算即可得到．解答：解：（1）若α=，β=﹣，则=（0，1），=（，），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，则有向量与的夹角；（2）若•=，则cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即有cos（α+β）=．由于α，β为锐角，即0＜α+β＜π，则sin（α+β）===，即有tan（α+β）==1，由tanα=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和夹角公式，考查两角和的余弦公式，两角差的正切公式，考查角的变换方法，考查运算能力，属于中档题．18．（10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH 的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．考点：三角函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．解答：解：（1）如图，由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；（2）+2500sinθcosθ=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．因此θ=45°时，S EFGH取到最大值，最大值为2450．因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．点评：本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．19．（10分）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，]，求g（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先，化简函数解析式，然后，结合正弦函数的单调性求解；（2）化简函数g（x）=f（x）cosx=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+，然后，根据x∈[0，]，求解其值域．解答：解：（1）f（x）=2=2sin（x+），则函数f（x）的单调增区间满足：﹣+2kπ≤，k∈Z，∴2kπ﹣≤x≤2kπ+，∴函数f（x）的单调增区间[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）．（2）g（x）=f（x）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴0≤sin（2x+）+≤，∴g（x）的值域为[0，]．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题．20．（12分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．（1）若f（x）=lgx，g（x）=3﹣x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）先判断它们具有关系G，再令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，利用函数零点的判定定理判断．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=；再分段讨论函数的零点即可．解答：解：（1）它们具有关系G：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与分段函数的应用，属于基础题．。