人教版数学必修四：3.2二倍角的三角函数(二)学案(学生版)

人教版高中数学 任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：=r ____________________1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

2.有向线段：____________________________规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====_________________， cos 1x x x OM r α====_______________，tan y MP AT AT x OM OA α====_______________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

3.3 二倍角的三角函数一、复习回首： 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中假如，公式会变得怎样？二、学生演板：sin 2 2 sin cos cos2cos2sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2tan 22 tan1tan2这组公式有何特色？应注意些什么？三、公式剖析： 1．每个公式的特色，嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是的48倍角 .2 ．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos21cos2,sin 21cos2这两个形式此后常用 .例 1. 求值：22①． sin2230’cos2230’=1sin 452 24②． 2 cos21cos4282③． sin 2cos28cos4282④．8 sin cos cos cos4sin cos cos2sin cossin162 484824122424121212例2.化简①． (sin 5cos5)(sin5cos5)sin 25cos25cos53 12121212121262②．cos42sin 4(cos22sin 2)(cos2sin 2)cos 2222③．11 2 tan tan 2tan1tan1tan 21④． 1 2 cos2cos212cos2 2 cos212例 3、已知sin 5 ,(,) ，求sin2， cos2， tan2的值。

132解：∵ sin5 , (, )∴ cos1 sin 212 132120 13∴ sin2= 2sincos=169cos2=1 2 sin 2119120169tan2=1191 例 4.cos20 cos40 cos80 = sin 20 cos 20 cos 40 cos80sin 40 cos 40 cos802sin 20sin 201 1sin 1604sin 80 cos8018sin 20sin 208例 5. 求函数 y cos 2xcos xsin x 的值域 .解： y1 cos 2x 1 sin 2x2sin( 2x4) 1 ————降次2222四、公式变形：sin21cos ,cos 21cos , tan 2 2 1 cos 22221 cos[ 展现投影 ] 这组公式有何特色？应注意些什么？7 ，求 sin, cos , tan 的值 .例 6. 已知 cos252 22例 7. 已知 sin4 ，( ,3) ，求 sin, cos , tan 的值 .522 22五、稳固小结 ：1．公式的特色要嘱记：特别是“倍角”的意义是相对的，如：是 的倍角 .482．熟习“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） .3．特别注意公式的三角表达形式，且要擅长变形：cos 21 cos2 ,sin 21 cos2这两个形式此后常用 .224. 半角公式左侧是平方形式，只需知道角终边所在象限，就能够开平方；公式的“实质”2是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 .25．注意公式的构造，特别是符号 .六、评论设计七、课后反省：。

【关键字】数学3.2.1 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。

【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。

难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(α+β)= (S)cos(α+β)= (C)tan(α+β)= (T)(α,β, α+β≠κπ+ ,)(二)基本概念2.二倍角公式的推导在公式（S），（C），（T）中，当α=β时，得到相应的一组公式：sin2α= (S)cos2α= (C)tan2α= (T)注意：1°在（T）中2α≠ +,α≠ +()2°在因为sin2α+cos2α=1，所以公式（C）可以变形为cos2α=或cos2α= (C′)公式（S），（C），（C′），（T）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。

（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用例1不查表，求下列各式的值(1)( ) (2)(3)(4)1+2例2求tan=3，求sin2-cos2的值例3已知sin (0＜＜ ),求cos2,cos( +)的值。

2、sinα,cosα,sinα±cosα,sinα·cosα之间的关系例4已知sin+cos= , ,求cos,cos·cos,sin2,cos2,sin,cos 的值。

三、倍角公式的进一步运用例5求证：例6求 的值。

【课堂练习】1.若270°＜α＜360°，则 等于2.求值：（1）sin22°cos22°=（2）2 =（3） =（4） =3.求值（1）cos20°cos40°cos60°cos80°（2）sin10°sin30°sin50°sin70°4.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。

3.2 二倍角的三角函数一、 学习内容、要求及建议二、预习指导 1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用； (3)和差角公式、二倍角公式综合应用. 2. 预习提纲(1)阅读课本P105思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：sin 2=； cos 2===；tan 2=(所有tan 有意义)注意“倍角”的相对性.(2)阅读课本P107的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如P106例3的解法1)，阅读课本P107的例4，学会公式灵活运用.(3)探究：求sin10sin30sin50sin 70的值. 3. 典型例题 (1) 熟悉公式 例1 已知1312cos -=α，)23,(ππα∈，求α2sin ，α2cos ，α2tan 的值. 分析：先利用同角三角函数的关系求出αsin ，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的X 围.解：∵1312cos -=α，)23,(ππα∈∴135)1312(1sin 2-=---=α. ∴169120)1312()135(2cos sin 22sin =-⋅-⋅==ααα 1691191)1312(21cos 22cos 22=--=-=αα，1191202cos 2sin 2tan ==ααα (2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等 例2 已知21)tan(=-βα，71tan -=β，),0(,πβα∈，求βα-2.分析：先求αtan ，再求α2tan ，最后求)2tan(βα-，注意βα-2的X 围.解：∵βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-，∴)71(tan 1)71(tan 21-⋅+--=αα，解得31tan =α ∴43)31(1312tan 1tan 22tan 22=-⋅=-=ααα ∴1)71(431)71(43tan 2tan 1tan 2tan )2tan(=-⋅+--=+-=-βαβαβα ∵),0(,πβα∈，031tan >=α，071tan <-=β，∴),2(),2,0(ππβπα∈∈∴)2,(ππβ--∈- 又∵0432tan >=α∴)2,0(2πα∈，∴)0,(2πβα-∈-∴432πβα-=-.例3 已知xxx x x tan 1sin 22sin ,4745,53)4cos(2-+<<=+求πππ的值．分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“x x sin cos -”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“x 2sin ”用二倍角公式，注意“x x sin cos -”、 “x x sin cos +” 、“x x cos sin 2”这三者的关系. 解：由53)4cos(=+πx 得523sin cos =-x x ，两边平方得：2518cos sin 21=-x x ，∴257cos sin 2=x x ，∵4745ππ<<x ∴2)cos (sin sin cos x x x x +-=+=5242571cos sin 21-=+-=+-x x ∴xx x tan 1sin 22sin 2-+=xx x x x cos sin 1sin 2cos sin 22-+=x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+⋅=523)524(257-⋅=7528-. 例4 求值：(1)178cos 174cos 172cos17cosππππ； (2)sin 6sin 42sin 66sin 78；(3)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-.分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是4个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到20与40的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.解：(1)原式=17sin 2178cos 174cos 172cos17cos17sin244ππππππ=17sin16178cos174cos 172cos 172sin 23πππππ =17sin 16178cos 174cos 174sin 22ππππ=17sin 16178cos 178sin 2πππ=16sin1171616sin17ππ= (2)原式=sin 6cos 48cos 24cos12=442cos 6sin 6cos12cos 24cos 482cos 6=32sin12cos12cos 24cos 4816cos 6=sin 9616cos 6=sin 84116sin 8416= (3)原式=tan 70(cos103sin10)2cos 40+-=cos 202sin 402cos 40sin 20⋅-=cos 204sin 20cos 202cos 40sin 20⋅-=224cos 202(2cos 201)2--=(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=特点：降幂同时扩角，当遇到αα22cos ,sin 且不需要“平方”时，常考虑该公式.升幂公式αα2sin 22cos 1=-，αα2cos 22cos 1=+特点：升幂同时缩角，当遇到αcos 1±时，常考虑该公式.例5 化简：θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，(0,)∈分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与θsin 结合换成12cos 2sin22=+θθ同时对θsin 用二倍角公式；也可把“1”与θcos 结合用升幂公式同时对θsin 也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式=2cos 4)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin2(22θθθθθθ-+=2cos )2cos 2(sin 2cos 22θθθθ-=2coscos 2cos θθθ⋅-∵),0(πθ∈∴)2,0(2πθ∈∴02cos >θ∴原式=θcos - 例6 (1)已知21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求2cos 2βα-的值；(2)求函数1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y 的最大值．分析：(1)∵2)cos(12cos 2βαβα-+=-∴只要求)cos(βα-，将已知两等式平方相加即可；(2)∵12π不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开.解：(1)将21sin sin =+βα，31cos cos =+βα分别平方并相加得： 3613)cos cos sin (sin 22=++βαβα，即7259)cos(-=-βα. ∴144132725912)cos(12cos 2=-=-+=-βαβα.(2)1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y =12)62cos(12)62cos(1--+++-ππx x=)2sin 212cos 232sin 212cos 23(21x x x x +-+=x 2sin 21∴21max =y 4. 自我检测 (1)已知sin:sin8:52=，则cos 的值为______________．(2)等腰三角形的一个底角的正弦为53，则这个三角形的顶角的正切为_________． (3)不查表求值：=-125sin 1211sin 22ππ． (4)计算：13sin 50+=．(5)化简：sin 2sincos 2cos 1+++=__________．(6)求值：(1)24coscoscos 777πππ⋅⋅；(2))10tan 31(40cos+.(7)求证：函数222()cos cos ()cos ()33f x x x x =+++-是常数函数．三、 课后巩固练习A 组1．已知sin 26cos 5x x =，则cos2x 的值等于___________． 2．已知1sin 2x =，则sin 2()4x π-=．3．已知02x π-<<，4cos 5x =，则tan 2x 等于_________． 4．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________．5．已知的值等于则x x 2sin ,135)4sin(-=-π__________． 6．求值：(1)224cos 1533-+︒； (2) 44sin 67.5cos 67.5- ； (3) 111tan151tan15-+-.7．已知sin()sin()44ππαα-+=，且α为锐角，求sin 2α的值．8．已知sin cos 3αα+=，0απ<<，求cos 2α的值． 9. 若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ=.10. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=.11(1sin cos )(sincos )αααα++-2παπ<<)．B 组121sin 20--为___________． 13．已知 ααα则角,532cos ,542sin-==是第____象限角. 14. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．15. 已知1cos 21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-=．16．求值：（1）=080cos 40cos 20cos ； （2）=+++167sin 165sin 163sin 4sin4444ππππ． 17．已知sin14cos14a=+，2142b =-2c =，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为．18．函数sin cos 1sin cos 1x x y x x +=-的值域是____________________．19．函数1sin cos sin 22x x x +-的值域为．20．函数11()cos 22cos 22f x x x =-+在区间2[,]3πθ-上的最大值为1，则θ的最小值是．21．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒(3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 23．设函数2()cos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期； (2) 设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .24. 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.25. 已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求cos 2(2)4πθ-的值． C 组26．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．27．已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在[,]63ππ-上的值域； （2）在△ABC 中，若()2,2sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求tan A 的值. 28．设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期；(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．29．已知sin sin 1+=，cos cos 0+=，试求cos 2cos 2+的值．30．已知2244x y +=，求22441t x xy y =+-+的最大值和最小值．四、 学习心得五、 拓展视野课本112111=P 向我们介绍了正弦函数与余弦函数的叠加函数x B x A x f cos sin )(+=(A ，B 不全为0)，并指出该函数可以改写成)sin()(22θ++=x B A x f ，其中22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ，一般地，我们把公式xB x A cos sin +)sin(22θ++=x B A (22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ)称为辅助角公式.下面我们来看它的两个应用：例1 求函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值.解：23)20cos(521)20sin(5)20sin(300⋅++⋅+++=x x x y =)20cos(235)20sin(21100+++x x =)20sin()235()211(022θ+++x =)20sin(70θ++x (其中1411cos =θ，1435sin =θ)∴7max =y 例2 求函数xxy cos 2sin 3+=的值域.解：将xxy cos 2sin 3+=变形为y x y x 2cos sin 3=-，∴y x y 2)sin(32=++θ(其中233cos y+=θ，23sin yy +-=θ)即232)sin(yy x +=+θ，∵1sin(≤+θx ∴1322≤+yy ，解得11≤≤-y∴函数xxy cos 2sin 3+=的值域为[-1，1].。

第2课时二倍角的三角函数的应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换．(3)会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．(教师用书独具)●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程 创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】 由cos α＝1－2sin2α2得sin2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝± 1－cos α2.(1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式①sin α2＝± 1－cos α2；②cos α2＝±1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cosαsin α.化简cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ. 【思路探究】 此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋cos[2θ＋15°]2＋1＋cos[2θ－15°]2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1.1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？ 【解】 原式＝1－cos 2θ＋30°2＋1－cos 2θ－30°2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ＝1－3cos 2θ＋3cos 2θ＝1.利用和、差、倍角公式研究函数的性质求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→fx ＝A sin ωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x )＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x )＝33＋4sin(π3－2x )＝33－4sin(2x －π3)，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin(2x －π3)∈[12，22]．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增，∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)，化同名函数．(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π时，2x ＋π＝π，函数f (x )取得最大值为6.点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】 首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】 如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S四边形ABTP＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24.解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】 如图，连结 OC，设∠COB＝θ，则 0°＜θ＜45°，OC＝1，∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－BC＝cos θ－sin θ，∴S 矩形 ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ1 ＝2(sin2θ＋cos2θ)－12＝ 22cos(2θ－π4 )－12， 当 2θ－π4 ＝0， 即 θ＝π8 时，Smax＝ 22－1(m2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－1 2m2.【答案】2－1 2m211三角函数式化简时忽视角的范围致误已知3π 2 ＜α＜2π，化简12＋1212＋21cos α.【错解】11 2＋211 2＋2cosα＝ 12＋121＋cos 2α＝12＋12cos2α211 α ＝ 2＋2cos 2 ＝α 1＋cos 22＝cos2α4 ＝cos α4 .【错因分析】 上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选 择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】 应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝 对值符号时，要注意角的范围问题．12【正解】12＋1221＋12cos α11 ＝ 2＋21＋cos α 2＝12＋12cos2α2＝ 12＋12|cos α2 |.因为32π＜α＜2π，所以34π＜α2 ＜π，α 所以 cos 2 ＜0，所以原式＝12－21cosα 2＝1－cosα 22＝sin2α4 ＝|sinα 4 |.因为32π＜α＜2π，所以38π＜α4 ＜π2 ，αα所以 sin 4 ＞0，所以原式＝sin 4 .(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin2α＝1－co2s 2α，cos2α＝1＋cos 22α.(2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与13否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．1．若 cosα＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα 2 的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2 ∈(0，π2 )，∴sin α2 ＝1－cos 2α＝13＝ 33.【答案】3 32．已知 cosα＝－35，且 π＜α＜32π，则 cosα 2 ＝________.【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2 ＜α2 ＜34π，α1＋cos α∴cos 2 ＝－2 ＝－31－552 ＝－ 5 .5 【答案】 － 53．已知 tanα 2 ＝3，则 cosα＝________.α 【解析】 由 tan 2 ＝1－cos 1＋cosα α＝3 可得：1－cos 1＋cosα α＝9，则 cosα＝－45.【答案】 －451＋sin θ＋cos θsinθ2 －cosθ 24．化简：2＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】 原式142sinθ 2 cosθ2 ＋2cos2θ2θθsin 2 －cos 2＝4cos2θ2cosθ 2＝sin2θ2 －cos2θ2 |cos θ2 |－cos θ2 cos θ ＝ |cos θ2 | .∵0＜θ＜π，∴0＜θ2 ＜π2 .θ ∴cos 2 ＞0.∴原式＝－cos θ.一、填空题 1．sinπ8 ＝________.【解析】 sinπ8 ＝1－cosπ4 2＝1－2 22＝2－ 22.【答案】2－ 2 22.－23＋43cos2 15°＝________.【解析】 原式＝－23＋43×1＋co2s 30°＝－23＋23＋23cos 30°＝ 33.【答案】3 33．5π<θ<6π，cosθ2 ＝a，则θ sin 4 ＝________.15【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4 <θ4 <32π，∴sinθ4 <0.sin θ4 ＝－θ 1－cos 22 ＝－1－2 a.【答案】 －1－a 24．函数 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)的最小正周期为________．【解析】 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)＝2cos xsin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝ 2sin(2x＋π4 )＋1.故最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. 【答案】 π5. 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是________．【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.【答案】 －2sin 46．在△ABC 中，角 A、B、C 满足 4sin2A＋2 C－cos 2B＝72，则角 B 的度数为________．【解析】在 △ ABC中 ， A ＋ B ＋ C ＝ 180° ， 由4sin2A＋C 2－cos2B＝7 2，得4·1－cos 2 A＋C －2cos2B＋1＝72，∴4cos2B－4cos B＋1＝0.∴cos B＝12，B＝60°.【答案】 60°7．(2013·四川高考)设 sin 2α＝－sin α，α∈(π2 ，π)，则 tan 2α 的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈(π2 ，π)，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈(π2 ，π)，∴α＝23π，∴tan2α＝tan4π3π＝tan(π＋ 3 )＝tanπ 3＝3.【答案】 3 8．设 f(x)＝2s1i＋n cπo2s－2xx＋sin x＋a2sin(x＋π4 )的最大值为 2＋3，则常数 a＝________. 【解析】 f(x)＝1＋22ccooss2xx－1＋sin x＋a2sin(x＋π4 )＝cos x＋sin x＋a2sin(x＋π4 )16＝ 2sin(x＋π4 )＋a2sin(x＋π4 )＝( 2＋a2)sin(x＋π4 )．依题意有 2＋a2＝ 2＋3，∴a＝± 3.【答案】 ± 3 二、解答题 9．设 π＜θ＜2π，cos θ2 ＝a，求(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin2θ4 的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2 ＜θ2 ＜π， 又 cos θ2 ＝a，θ ∴sin 2 ＝1－cos2θ2 ＝ 1－a2，∴sin θ＝2sin θ2 cos θ2 ＝2a 1－a2.(2)cos θ＝2cos2θ2 －1＝2a2－1.θ (3)sin2θ4 ＝1－c2os 2 ＝1－2 a.10．若 π＜α＜32π，化简1＋sin α＋1＋cos α－ 1－cos α1－sin α.1＋cos α＋ 1－cos α【解】 ∵π＜α＜3π 2 ，∴π2 ＜α2 ＜34π，αα∴cos 2 ＜0，sin 2 ＞0.sinα2 ＋cosα 22sinα2 －cosα 22∴原式＝αα＋αα2|cos 2 |－ 2|sin 2 | 2|cos 2 |＋ 2|sin 2 |sinα2 ＋cosα 22＝αα－ 2 sin 2 ＋cos 2sinα2 －cosα 22＋αα2 sin 2 －cos 2ααααsin 2 ＋cos 2 sin 2 －cos 2α＝－＋ 22＝－ 2cos 2 .11．(2013·山东高考)设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4 .(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间[π，32π]上的最大值和最小值．17【解】(1)f(x)＝3 2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx3 ＝2－1－cos3·22ωx 1 －2sin2ωx＝3 2 cos2ωx－12sin2ωx＝－sin(2ωx－π3 )．π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 ，又 ω＞0，所以22π ω＝4×π4 .因此 ω＝1.(2)由(1)知 f(x)＝－sin(2x－π3 )．当 π≤x≤3π 2 时，53π≤2x－π3 ≤8π3 .所以－ 23≤sin(2x－π3 )≤1.因此－1≤f(x)≤ 23.故 f(x)在区间[π，3π 2 ]上的最大值和最小值分别为 23，－1.(教师用书独具)18已知 sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β. 【思路探究】 观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角 θ，因此从已知条 件中消去角 θ，问题即得证．【自主解答】 由题意，得2sin α＝sin θ＋cos θ，①sin2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得 4sin2α－2sin2β＝1.变形为 1－2sin2β＝2－4sin2α，则有 cos 2β＝2cos 2α.对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为 结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角 的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题， 这就是代入法的基本思想方法．19已知 cos θ＝1c＋oscoαs ＋αccooss ββ，求证：tan2θ2 ＝tan2α2 tan2β2 .【证明】∵11－ ＋ccooss θθ＝22csoisn22θθ22 ＝tan2θ2 ，同理有11－ ＋ccooss αα＝tan2α2 ，1－cos 1＋cosββ＝tan2β2 ，cos α＋cos β∴tan2θ2 ＝11－＋ccoossθ 1－1＋cos αcos β θ＝ cos α＋cos β1＋1＋cos αcos β1＋cos αcos β－cos α－cos β ＝1＋cos αcos β＋cos α＋cos β＝1－cos α 1＋cos α1－cos β 1＋cos β＝tan2α2 tan2β2 .20。

第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

3.2.1 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。

【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。

难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(α+β)= (S βα+)cos(α+β)= (C βα+)tan(α+β)= (T βα+)(α,β, α+β≠κπ+ ,Z ∈κ)(二)基本概念2.二倍角公式的推导在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2)cos2α= (C α2)tan2α= (T α2) 注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ) 2°在因为sin 2α+cos 2α=1，所以公式（C α2）可以变形为cos2α=或cos2α= (C ′α2)公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。

（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用 2π2π2π例1不查表，求下列各式的值(1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2-例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。

二、sin α,cos α,sin α±cos α,sin α²cos α之间的关系例4已知sin θ+cos θ= , θ ,求cos θ,cos ²cos θ,sin2θ,cos2θ,sin θ, cos θ的值。

125cos 125sin ππ+)125cos 125(sin ππ-2sin 2cos 44αα-ααtan 11tan 11+--135)4(=-θπ4π4π51 ⎝⎛⎪⎭⎫∈43,2ππ三、倍角公式的进一步运用例5求证：例6求 的值。

《倍角公式》教学设计——人教B版必修四《倍角公式》辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学王鹏“二倍角公式”是人教B版必修四第三章第2节第1课时的内容。

本节课的主要内容包括二倍角公式的推导以及利用公式进行简单的求值、化简、证明二倍角是继三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式,它为今后研究三角恒等式及三角函数等问题提供了又一必备的工具。

因此它起着承上启下的作用。

同时,也是培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。

本文主要研究二倍角公式的推导、变形及应用,并利用二倍角公式进行三角的求值、化简,同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。

一、学情分析本节课是在高一下半学期学习,学生在前面已经学习了三角函数和两角和与差的公式,为本节课的学习作了很好的知识铺垫,学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。

因此本节课采取教师启发引导与学生自主探究相结合的方式。

运用我校课堂教学改革思、疑、释、练教学模式授课。

二、教学内容的分析：（一）．教材的地位和作用：“二倍角的公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的公式的特殊化，又为以后三角函数求值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

（二）课程标准1、能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式变形推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系。

2、能运用上述公式进行简单的恒等变换。

（三）．教学的重点难点：重点:二倍角公式的推导及能正确应用这些公式进行三角求值、化简、证明难点：灵活应用二倍角公式变式。

三、教学目标：根据本节教材的特点、新课标的教学要求以及学生的认知水平，我确定了如下教学目标：（一）、知识目标：1掌握二倍角公式的推导，明确a的取值范围；2能运用二倍角公式求值、化简、证明（二）、能力目标：1通过两角和差公式的复习，推导出倍角公式，了解二者的内在联系；培养逻辑推理能力；2通过倍角公式的推导，以及对公式的综合运用，体会由一般到特殊的数学思想及类比，转化的数学思想，提高运算，分析能力（三）、情感目标：通过学习, 养成认真参与、积极交流的习惯；增强了善于发现问题的规律和及时解决问题的意识四、评价设计目标1：先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式、同角三角函数基本关系式，以达到温故而知新的目的。

3.2简单的三角恒等变换教学目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括浓度导出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记住公式。

教学重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。

教学难点： 例4的教学是本课的难点。

教学过程一、复习提问二倍角公式的正弦、余弦、正切。

二、新课在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例1、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222证明：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。

2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin补充： 万能公式：求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 例2、求证： （1）sin cos ＝21［sin （＋）+sin （－）］ （2）sin θ＋sin ϕ＝22cos 2sin ϕθφθ-+ 例3、求函数y ＝sinx ＋3cosx 的周期，最大值和最小值。

解：y ＝sinx ＋3cosx＝2（x x cos 23sin 21+） ＝2（3sin cos 3cossin ππx x +） ＝2)3sin(π+x所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为－2。