第二章插值法
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第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中,相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的,但是却不知道具体的解析表达式,只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ,b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此,希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数,虽然有明确的解析表达式,但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算,同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中,根据所讨论问题的特点,对简单函数的类型可有不同的选取,如多项式、有理式、三角函数等,其中多项式结构简单,并有良好的性质,便于数值计算和理论分析,因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义,且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ,若存在一个简单函数)(x p y =,使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x (图5-1),即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == (2.1.1)那么,函数)(x p 称为插值函数,点n x x x ,,,10 称为插值节点,],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ,即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式,相应的插值法称为多项式插值;若)(x p 为分段多项式,称为分段插值,多项式插值和分段插值称为代数插值。