第二章插值法

f ( xi ) f [ x0 , x1 , xk ] i 0 ( xi x0 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi x k )
k
性质2：差商与其所含节点的排列次序无关。
性质3：f(x) 在包含互异节点 x0 , x1 , xn 的闭区间 [a, b] 上有n阶导数，则 n 阶导数与n 阶差商之间有如下 f ( n ) ( ) , ( a, b) 关系成立： f [ x0 , x1 , xn ]
7 3 5 T ( 方程组解为： 3 , 2 , 6 )
插值多项式为
7 3 5 2 P2 ( x) x x 3 2 6
2.1.3 插值余项 在插值区间 [a, b] 上用插值多项式 Pn (x) 近似 代替 f (x) ，除了在插值节点 x i 上没有误差外，在 其它非插值节点上一般要存在误差。 插值函数Pn (x) 与 f (x) 之间的误差，叫做插 值余项或截断误差。记作： Rn ( x) f ( x) Pn ( x) （2-3） 插值余项的大小可以来衡量插值函数 Pn (x)与 f (x) 之间准确程度。
L 用二次函数 L2 ( x) 近似函数 f (x) ，2 ( x) 为过三点的 一条抛物线，所以也称其为抛物线插值。如图22所示。
例： 已知函数 y x 的一组数据为
i
xi
yi
0 100 10
1 121 11
2 144 12
选择合适节点，试分别用线性插值和二次插值 求出 115 的近似值。
插值法与拟合法是研究函数近似问题的两种常 见方法。
插值主要内容
2.1 插值问题 2.2 拉格朗日插值多项式 2.3 牛顿插值多项式 2.4 埃米插值 2.5 三次样条插值
2.1 插值问题
2.1.1 插值问题的基本概念
设函数 y f (x) 在区间 [a, b] 上有定义，它在该区间上的 n 1各互异节点 a x0 x1 xn b上的函数值 y0 , y1 y n已 知 ，记为 y f (x) i 0,1n 。 如果选取简单函数 P(x)作为函数 f ( xi ) yi 的近似表达式，并要 满足以下条件： Pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2-1） 这样的函数近似问题被称为插值问题。（2-1）式被称为插 值条件，满足插值条件的近似函数 P(x)被称为函数 f (x) 的插 值函数，f (x) 称为被插值函数，互异节点 x0 , x1 , xn 被称为 插值节点，区间[a, b] 称为插值区间。
第二章 插值
问题背景


离散数据去进行理论分析和工程设计都是极不 方便甚至是不可能的. 因此需要设法寻找与己知函数值相符或基本相 符，而又方便计算、形式简单的函数去近似代 替原来的函数。
yi f ( xi ) ( i 0,1,, n)
求简单P ( x )，满足

P ( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n)
2.2.2 拉格朗日插值多项式 利用插值基函数，我们可以直接写出拉格朗 日插值多项式，在 n 1 个互异节点 x i (i 0,1n) 上，满足插值条件（2-1）式的拉格朗日插值多 项式记为 Ln (x) 。 n 即 Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yn ln ( x) = y k l k ( x) k 0 （2-7） 其中 l k (x) 为（2-6）式。
解：线性插值，表中给出3个互异节点，而线性 插值只需要2个互异节点即可，这时为使截断误 差的绝对值较小，只能选取节点 x0 100, x1 121， 相应的有 y0 10, y1 11 。
x x0 x x1 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y0 y1 x0 x1 x1 x0
n!
2.3.2 牛顿插值公式
N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 ,xn ](x x0 )(x x1 )( x xn1 )
当节点个数不同时，拉格朗日插值多项式的 表达形式也不同。下面分别写出 n 1,2 时拉格 朗日插值插值多项式的表达形式。 当 n 1 时的一次插值多项式 x x0 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y 0 x x1 y1
x0 x1
x1 x0
2.1.2 插值多项式存在的唯一性 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于 n次的插值多项式 2 n （2-2） Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x 称为插值多项式。 定理1 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于n 次的插值多项式 Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 存在且唯一。
n
(n 1)!
n 1
其中 wn1 ( x) ( x xi ), (a, b)，且依赖于 x 。
i 0
n
2.2 拉格朗日插值多项式
通过求解线性方程组的方法，我们可以求出插 值多项式，但是当节点的个数很多，在利用克莱 姆法则求解时，行列式的维数很高，造成了计算
量很大，这种方法在实际的计算中很少应用。这
为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 ,x i k 的K阶差商。 k 0 时称为 f ( xi )关于节点 x i 的零阶差商， 记为 f [ xi ] 。
差商表 2-1
差商的性质： 性质1：函数 f (x)的k阶差商 f [ x0 , x1 ,xk ] 可由函数值 f ( x 0 ), f ( x1 ), f ( xm ) 的线性组合表示，且
其中 Ak 为待定系数。由条件 lk ( xk ) 1
Ak
得：
1 ( xk x 0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
故
( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn ) l k ( x) （2-6） ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
称为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 , x i 2 的二阶差商。
一般的，称
f [ xi 1 , xi k ] f [ xi , xi k 1 ] f [ xi , xi 1 , xi k ] xi k xi
L1 (115) 10.714
=
10
x 121 x 100 11 100 121 121 100
二次插值需要三个互异节点，本题节点不必选择
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
=
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y0 y1 y2 ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 ) ( x 插值多项式的存在唯一性的意义: 用任何 方法求出的插值多项式，只要满足同一个插值 条件，其实都是同一个插值多项式。 注2: 此定理本身提供了一种求插值多项式的具 体方法，即通过求解线性方程组确定插值多项 式。但由于这种解法计算量很大，不便于实际 应用，所以以后还要研究其它的简便方法。

例： 当 x 1,1,2 时相应的函数值分别为0，-3， 4。试求该函数的二次插值多项式。 解： 设插值多项式为 P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 ， 插值多项式必须满足插值条件P( xi ) yi (i 0,1,2)， 构成非齐次线性方程组：
a 0 a1 a 2 0 a 0 a1 a 2 3 a 2 a 4 a 4 1 2 0
一节中介绍一种简便方法。
2.2.1 插值基函数 在 n 1个互异节点 x i (i 0,1n) 上插值基函 数 lk ( xi ) 的特点：
1 i k l k ( xi ) 0 i k
（2-5）
根据插值基函数的特点，可以确定插值基函数的 具体表达形式。
设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
L2 (115) 10.7228
例：估计上例中二次插值求 115时的截断误差。 解：已知 f ( x) x ， f (3) ( x) 3 x 5 / 2
M max | f
x[100 ,144 ] ( 3)
3 5 / 2 3 ( x) | max | x | 10 5 x[100 ,144 ] 8 8
( x 121 x 144) )( ( x 100)(x 144) ( x 100)(x 121 ) 11 12 (100 121 100 144) )( (121 100)(121 144) (144 100)(144 121 )
= 10
2.3.1 差商的定义与性质 定义 已知函数 f (x) 在 n 1 个互异节点xi (i 0,1,2n) 上函数值分别为 f ( x0 ), f ( x1 ), f ( xn ) 。
f ( xi 1 ) f ( xi ) f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi 称为 f (x)关于节点 xi , xi 1 的一阶差商，
8
得：
M | R2 (115 ) | (115 100 )(115 121)(115 144 ) 1.63 10 3 3!