随机过程期末复习题

期末复习试题一、填空题1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7aP X k ==，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.6．设随机变量X 的密度函数为, 01,()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________8. 设随机变量()Xπλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.9．设随机变量(,)XB n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___10. 设X 服从2(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为____13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23Z X Y =-+服从_________14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列{},1n X n ≥的状态空间是____________________.16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.17．设{(),0}W t t ≥是以2σ为参数的维纳过程，则0, ()t W t ∀>___________________.18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<<<（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______二、简单计算题1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1()0, ()(),8P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1{0}2P X ≤≤．3．设X 的密度函数为121, 0,()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求以a 为未知数的一元二次方程2240a Xa ++=有实根的概率。

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

随机过程复习题2的答案1. 定义：随机过程是定义在概率空间上的随机变量序列，这些随机变量随时间或空间的变化而变化。

2. 分类：- 离散时间随机过程：随机变量序列的索引是离散的，例如整数序列。

- 连续时间随机过程：随机变量序列的索引是连续的，例如时间序列。

3. 基本特征：- 概率分布：描述随机过程在任意时刻的状态分布。

- 联合分布：描述随机过程在多个时刻的状态分布。

4. 重要随机过程：- 泊松过程：描述在固定时间或空间内随机事件发生的次数。

- 布朗运动（Wiener过程）：连续时间随机过程，具有独立增量和正态分布的增量。

5. 随机过程的数学描述：- 随机变量函数：每个时刻的随机变量可以看作是时间的函数。

- 样本路径：随机过程在特定样本空间中的实现。

6. 随机过程的性质：- 平稳性：如果随机过程的统计特性不随时间变化，则称其为平稳的。

- 遍历性：如果随机过程在足够长的时间后，其统计特性与初始状态无关，则称其具有遍历性。

7. 随机过程的应用：- 信号处理：分析和处理信号中的随机成分。

- 金融数学：模拟股票价格的变动。

8. 随机过程的数学工具：- 期望：随机过程在某一时刻的期望值。

- 方差：随机过程在某一时刻的方差，衡量其波动大小。

- 协方差和相关系数：描述不同时刻随机变量之间的关系。

9. 随机过程的极限定理：- 大数定律：随着时间的增长，随机过程的样本均值趋于其期望值。

- 中心极限定理：在一定条件下，随机过程的和趋于正态分布。

10. 随机过程的模拟：- 使用计算机模拟随机过程，例如通过生成随机数来模拟泊松过程或布朗运动。

结束语：随机过程是理解现实世界中不确定性现象的重要工具。

通过对随机过程的学习，我们能够更好地分析和预测各种随机现象，为科学研究和工程实践提供理论支持。

西安邮电大学研究生随机过程期末试题1单选(2分)随机过程的数学期望，是随机过程的( )平均，而非( )平均。

[单选题] *A.时间平均，统计平均B.集合平均，统计平均C.统计平均，集合平均D.统计平均，时间平均(正确答案)2单选(2分)随机过程X(t)的互相关函数，描述了( )个随机过程任意( )个不同时刻状态之间的相互关系(相关程度) [单选题] *A.1,2B.2,1C.2,2(正确答案)D.1,13单选(2分)如果两个随机过程相互独立，则这两个随机过程之间没有( )关系。

如果两个随机过程互不相关，则这两个随机过程之间没有( )关系 [单选题] *A.任何，任何B.任何，线性(正确答案)C.线性，线性D.线性，任何4单选(2分)实现遍历过程时间自相关的三部曲正确的顺序是( )，( )和( ) [单选题] *A.平移、点对点相乘、相加2.00/2.00(正确答案)B.相加、点对点相乘，平移C.相加、平移、点对点相乘D.点对点相乘、平移、相加5单选(2分)实现卷积运算的的四部曲( )，( )，( )和( ) [单选题] *A.点对点相乘、平移、反转、相加B.点对点相乘、平移、相加、反转C.反转、相加、点对点相乘，平移D.反转、平移、点对点相乘、相加(正确答案)6单选(2分)若平稳随机过程含有一个周期分量，则其自相关函数则含有一个( )的周期分量。

[单选题] *A.0.5倍周期B.1倍周期(正确答案)C.3倍周期D.2倍周期7单选(2分)。

[单选题] *A.20.00/2.00B.5C.0(正确答案)D.18单选(2分)。

[单选题] *A.(正确答案)B.C.D.9单选(2分)。

[单选题] *A.5(正确答案)B.0C.1D.20.00/2.0010单选[单选题] *A.B.(正确答案)C.D.11单选[单选题] *A.1B.00.00/2.00C.3D.2(正确答案)12单选[单选题] *A.无法判断B.不遍历(正确答案)C.可能遍历也可能不遍历D.遍历13单选[单选题] *A.是的B.无法判断0.00/2.00C.不是(正确答案)D.可能是也可能不是14多选(3分)确定随机试验的3个基本要素是什么？ *A.试验之前却不能断言它出现哪个结果1.00/3.00(正确答案)B.不同条件下可以重复C.相同条件下可以重复；(正确答案)D.结果不止一个；1.00/3.00(正确答案)15多选(3分)随机过程宽平稳的判据有？ *A.数学期望是一常数(正确答案)B.自相关函数只与时间间隔有关，(正确答案)C.均方值是常数D.均方值有限(正确答案)16判断(2分)某次试验的随机变量，可以描述该次随机试验的所有结果，对吗？[单选题] *A.对(正确答案)B.错17判断随机过程是把以时间t作为参数的随机函数的统称，对吗？ [单选题] *A.错B.对(正确答案)18判断(2分)随机过程的一维概率密度，描述的是随机过程在任一特定时刻对应的随机变量的一维概率密度。

随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。

4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。

二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。

（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。

则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。

《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

随机过程期末复习题随机过程期末复习题库（2015）⼀、填空题1.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。

2.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。

3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 .4.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的矩母函数为，则.5.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的特征函数为，则.6.设是平稳序列，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．7.设是平稳过程，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．8.已知平稳过程的均值，协⽅差函数为，则该过程的⾃相关函数．9.设为两个随机事件，，则 0.6 ．10.设为⼆随机变量，，则 2 ．11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的泊松分布．12.是⼆维正态分布，即，．13.设随机变量的数学期望均存在，则．14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则．15.在强度为的泊松过程中，相继事件发⽣的间隔时间是相互独⽴的随机变量，且服从均值为的同⼀指数分布.16.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则的分布函数为.17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发⽣的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独⽴同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有19.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．20.设，是速率为的泊松过程. 则对于，.21.设，是速率为的泊松过程. 对于，.解对于，有增量与独⽴22.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则对，.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．23.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，则.24.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则.25.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则服从参数为和的分布.26.⾮齐次泊松过程，其强度函数为，则.解对于，有27.设是⼀个强度函数为的⾮齐次泊松过程，为过程均值函数的反函数，则随机过程是⼀个强度为 1 的泊松过程．28.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则是⼀个强度为的泊松过程．29.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．30.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，若以表⽰到时刻记录的事件数，则计数过程是⾮时齐的泊松过程，的分布，31.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于前发⽣的事件，并以概率计数．以记直到时间为⽌被计数的事件个数，则计数过程是⼀个强度函数为的⾮时齐的泊松过程．32.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于33.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和，则是具有强度的泊松过程.34.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．35.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和，则是具有强度函数的⾮时齐泊松过程.36.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．37.保险公司接到的索赔次数服从⼀个泊松过程，每次要求赔付的⾦额都相互独⽴，且有相同分布，每次的索赔数额与它发⽣的时刻⽆关，表⽰时间内保险公司需要赔付的总⾦额，则随机过程是⼀个复合泊松过程．38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每⽉两次的速率的泊松过程到达保险公司．每次赔付服从均值为10000元的正态分布，则⼀年中保险公司的平均赔付额是240000元．解题思路：索赔次数为⼀速率为（次⽉）泊松过程，每次的赔付⾦额,总索赔⾦额为⼀复合泊松过程，故⼀年中保险公司的平均赔付额为39.设顾客以每分钟6⼈的平均速率进⼊某商场，这⼀过程可以⽤泊松过程来描述．⼜设表⽰进⼊该商场的第位顾客在该商场所花费的⾦额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进⼊该商场的顾客数⽆关．则该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为432000 元．解题思路：到达顾客数为⼀速率为（⼈⼩时）泊松过程，每个顾客的消费⾦额,商场营业⾦额为⼀复合泊松过程，故该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到⼀个地区．如果每个家庭的⼈数是独⽴的，⽽且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为25 ．解题思路：移民家庭数为⼀速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均⼈数为移民⼈数为⼀复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为41.设是复合泊松过程，存在，则．42.设是复合泊松过程，，则．43.在任意给定的⼀天，加⾥的⼼情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是⼀般的(so-so，S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，0.1是C，S，G．如果今天他感觉⼀般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加⾥在第天的⼼情，则马尔可夫链的状态空间，，，⼀步转移概率矩阵.44.假设明天下⾬的机会只依赖于前⼀天的天⽓条件，即今天是否下⾬，⽽不依赖过去的天45.的概率解释是：为从出发经步⾸次到达的概率.46.的概率解释是：从出发，经有限步⾸次到达的概率.47.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏良好状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为48.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏正常状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为49.如果，则 0 ；反之亦然.50.如果，则 >0 ；反之亦然.51.如果，则对，有 0 .52.状态是周期的，且周期为，则对，当不能被整除时，使 0 .53.如果状态是常返的，则 0 .54.如果状态是零常返的，则从出发再回到的平均回转时间.55.如果状态是正常返的，则从出发再回到的平均回转时间.56.马尔可夫链从出发到达的平均次数为.57.状态是常返的充要条件是.58.状态是⾮常返的充要条件是.59.为从状态出发经有限步返回的概率．如果，则.60.设马⽒链的⼀步转移概率矩阵，步转移概率矩阵，⼆者之间的关系为.61.设为马尔可夫链，状态空间，初始分布为，的概率分布为==(=), ，步转移概率矩阵()=，三者之间的关系为.⼆、单选题1.下⾯的随机过程中不⼀定是⼆阶矩过程的是（A）A. 严平稳过程B. 宽平稳过程C. 正态过程2.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.解题思路：注意到：，；，，以及即得.3.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.4.对于任意两个随机变量和，若，则( B ).A、B、C、和独⽴D、和不独⽴5.已知标准正态分布随机变量的矩母函数为，则的矩母函数（A）.A. B.C. D.6.已知参数为的泊松随机变量的矩母函数为，设与分别是以和为参数的独⽴的泊松随机变量，则的矩母函数( B ).A. B.C. D.7.已知是维纳过程，则下⾯错误的是( B ).A. 是独⽴增量过程B. 是平稳过程C. 是平稳增量过程D.是正态过程8.( A )的有限维分布关于时间是平移不变的.B. 宽平稳过程C. 平稳增量过程D. 独⽴增量过程9.设是泊松过程，下述结论不正确的是（B）.A. 是平稳独⽴增量过程B. 宽平稳过程C. 是独⽴增量过程D. ⼆阶矩过程10.设是泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则下⾯正确的是( B ).A. B.C. D.11.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯正确的是( B ).12.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯错误的是( D ).解题思路注意到在条件下，对，有且在条件下，服从上的均匀分布，故有＝13.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( D ).服从参数为的泊松分布．14.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( B ).是独⽴增量过程；是平稳增量过程；是⼀个泊松随机变量．15.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件是来⾃过程的概率为( A ).16.设是复合泊松过程，，则下⾯说法错误的是( B ).A. B.C. D.17.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( D ).A. 所有状态都是遍历状态C. 所有状态都是正常返状态D. 没有零常返状态18.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( C ).A. 所有状态都是遍历状态B. 所有状态都是⾮常返状态C. ⼀定存在常返状态D. 所有状态都是正常返状态19.设马尔可夫链的状态满⾜，表⽰从状态出发再回到状态的平均回转时间，若，称为( C ).A. 遍历状态B. ⾮常返状态C. 正常返状态D. 零常返状态20.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B )．A. 和B. ，和C. ，和D. ，和21.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：则该链的状态分类为( A )．A. 1和2都是遍历状态，3和4是⾮常返状态；B. 1和2都是遍历状态，3和4是零返状态；C. 1和2都是零常返状态，3和4是正常返状态；D. 1和2都是⾮常返状态，3和4是遍历状态．三、判断题1.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )2.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )3.设与为⼆随机变量，则关于的条件期望是的函数. ( )4.严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )5.⼆阶矩存在的严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )6.平稳增量过程是平稳过程． ( )7.宽平稳过程是平稳增量过程． ( )8.严平稳过程是平稳增量过程． ( )则的均值具有遍历性． ( )10.设是平稳过程，其协⽅差函数为，若，则的均值具有遍历性． ( )11.平稳过程的均值具有遍历性． ( )12.平稳过程的均值函数和⽅差函数均为常数． ( )13.对于严平稳过程⽽⾔，有限维分布关于时间是平移不变的． ( )14.平稳独⽴增量过程的均值函数⼀定是时间的线性函数． ( )15.随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述． ( )16.设是⼀计数过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔. 如果是独⽴且参数同为的指数随机变量，则是强度为的泊松过程. ( )17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 在的条件下，的条件分布函数与个在上相互独⽴同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同. ( ) 18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 则在的条件下，服从上的均匀分布. ( )19.时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )20.时齐泊松过程是平稳过程. ( )21.⾮时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )22.⾮时齐泊松过程是独⽴增量过程. ( )23.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )24.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )25.由时齐泊松过程的时间的抽样可⽣成⼀个⾮时齐的泊松过程. ( )26.⼀个强度函数为有界的⾮时齐泊松过程可以由⼀个时齐泊松过程的时间的抽样⽣成．( )27.复合泊松过程是独⽴增量过程. ( )28.复合泊松过程是计数过程. ( )29.如果，则对，必有. ( )30.令为不可约、⾮周期Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⾮零. ( )31.令为不可约、⾮周期、有限状态Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⼤于零. ( )32.如果为零常返状态，且，则必有. ( )33.如果为遍历状态，且，则必有. ( )34.如果为常返状态，且，则必有． ( )35.为⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限36.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )37.为不可约⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )38.为有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )39.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )40.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )41.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )42.马尔可夫链的初始分布是平稳分布，则该马尔可夫过程是严平稳过程. ( )43.马尔可夫链是严平稳过程，则该马尔可夫链的初始分布必是平稳分布. ( )44.不可约⾮周期的有限状态Markov链⼀定存在平稳分布. ( )45.不可约⾮周期正常返的Markov链⼀定存在唯⼀的平稳分布. ( )46.如果状态是零常返的，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )47.如果状态是遍历状态，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )48.如果状态是零常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )49.如果状态是⾮常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )50.如果状态可达状态，则状态具有与状态相同的状态分类性质. ( )51.如果状态与状态互通，则状态与状态具有相同的状态分类性质. ( )52.若状态是常返的，则必有．( )53.如果为常返状态，且，则必为常返状态，且. ( )四、计算题1.设随机过程，其中相互独⽴，同服从，试求的均值函数和协⽅差函数.解据题意，于是2.设为维纳过程，试求的均值函数和协⽅差函数，并讨论其平稳性．解因为维纳过程，故满⾜：(1) ；(2) 有平稳独⽴增量；(3) 对每个，服从正态分布．于是，的均值函数和协⽅差函数为增量独⽴性，3.设，是参数为的泊松过程，，计算.解4.设，是速率为的泊松过程. 对于，求(1)； (2)；(3)； (4).解 (1)；(2)(3)(4)⾸先，在的条件下，服从参数为⼆项分布. 事实上故，5.设是⼀个强度为泊松过程．记. 计算.解：的均值函数为：⼜，，有＋不妨设．当时，区间与不相交，故由独⽴增量性，与独⽴．从⽽当时，＋6.设和是强度分别为与的泊松过程，且两个泊松过程独⽴．试求(1) 的概率分布；(2) 的数学期望与⽅差；(3) 在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率．解：(1) 据题意，，，，且与独⽴，于是，由泊松分布的可加性知，，其概率分布为(2) 的数学期望与⽅差为；(3) 设表⽰过程的第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.表⽰过程的第个事件发⽣的时刻．则在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率为7.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，且每次事件发⽣时，对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．若以表⽰到时刻被记录的事件总数，求．解显然，．设．由于每次事件是否被记录是独⽴的，则在的条件下，可以看作在次独⽴试验中有次成功（被记录）和次失败（不被记录）的概其中是每次试验成功的概率．由定理3.2.3，在已知内发⽣了次事件的前提下，各次事件发⽣的时刻（不排序）可看作相互独⽴的随机变量，且都服从上的均匀分布．因此事件在内发⽣且被记录事件在内发⽣且被记录事件在时刻发⽣于是有＝其中．8.设Markov链的状态空间为，初始分布为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 求；(3) 求．解(1) 状态转移图如下：(2)(3) 因初始分布为，于是的分布为：所以，9.设马尔可夫链的状态空间为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 是否为遍历链？说明理由；(3) 分析说明的各状态是什么状态？解 (1) 状态转移图如下：(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽即状态4是⾮常返状态，故不是遍历链.(3) ⼜因故状态3和状态4为⾮常返状态，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.解法⼆(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽，即该链是可约的，故不是遍历链.(3) ⼜因所以，状态3和状态4为⾮常返状态．再由，及该链是有限状态空间的马⽒链知，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.10.设马尔可夫链，，转移概率矩阵为：(1) 求；(2) 求；(3) 求.解(1) 因，故，于是的分布为所以，(2) 由于故⽽的分布：所以，的分布律为：(3) 由于从⽽，的分布律为：11.设马尔可夫链，，，的转移概率矩阵为：（1）求和；（2）该链的平稳分布是否存在？该链的极限分布是否存在？为什么？（3）求该链各状态的平均返回时间。

随机过程期中试题1、请解释齐次poisson过程与非齐次Poisson过程之间的关系。

2、请列举从Poisson过程与更新过程的相同点和不同点。

λ>的Poisson过程，随机变量X与3、设()()N t是参数为0Y t X N t=⋅，其中()N(t)相互独立，而{1}{1}1/2===-=，判断此过程是否是平稳过程。

P X P Xλ>的Poisson过程，随机变量X与4、设()=，其中()Y t X()N tN t是参数为0N(t)相互独立，而{1}{1}1/2===-=，判断此过程是否是平稳过程。

P X P X5、设()N t t≥是强度为λ的Poisson N t为在[0,)t内来到某商店的顾客数，{(),0}过程。

每个顾客购买某商品的概率为p，不购买某商品的概率为p1。

设个顾客是-否购买商品是相互独立的。

令)X为在[0,)t内购买商品的顾客数，证明{(),0}(tX t t≥为λ的Poisson过程。

强度为p5、设电话总机在[0,)t内接到电话呼叫次数是强度（每分钟）为λ的Poisson 过程，试求：（1）“2min内接到3次呼叫”的概率。

（2）“第3次呼叫是在第2分钟内接到”的概率。

7、设粒子按平均率为4个/min的Poisson过程到达计数器，()N t表示在[0,)t内到达计数器的粒子数，试求：（1）()N t均值、方差、自相关函数。

（2）在第3min到第5min之间到达计数器的粒子个数的概率分布。

'2设某医院收到的急诊病人数()N t组成Poisson流，平均每小时接到2个急诊病人，试求：（1）上午10:00~12:00没有急诊病人到来的概率。

（2）下午2:00以后第2位病人到达时间的分布。

λ=.8、设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有2户定居，即2若每户的人数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户2人的概率是1/3，一户1人的概率是1/6，且每户的人数是相互独立的，试求在5周内移民到该地区定居的人数的数学期望与方差。

随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。

随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

随机过程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个是随机过程的数学定义？A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案：C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是：A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案：A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案：A4. 泊松过程是一种：A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案：A5. 布朗运动是：A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案：B二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是平稳随机过程，并给出其数学特征。

答案：平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。

数学上，如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变，则称该过程为严格平稳过程。

2. 解释什么是遍历定理，并说明其在随机过程中的重要性。

答案：遍历定理是随机过程中的一个基本定理，它提供了时间平均与概率平均之间的联系。

在随机过程中，如果一个随机过程是遍历的，那么对于任意的观测时间点，其时间平均值将趋向于其期望值，这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。

3. 描述什么是随机过程的平稳增量，并给出其数学定义。

答案：随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内，随机过程增量的分布不随时间变化。

数学上，如果对于任意的非负整数n和任意的实数h，随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布，则称该随机过程具有平稳增量。

4. 简述什么是马尔可夫性质，并给出一个实际应用的例子。

答案：马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。

例如，在天气预报中，明天的天气可能只与今天的天气有关，而与前几天的天气无关，这就是马尔可夫性质的一个实际应用。

《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。

2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。

8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。

9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。

10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。

4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。

6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。

4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。

随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。

2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。

试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。

3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。

若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。

6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。

7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。

试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。

8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________.答案:识别问题2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的答案:正确3.接上题。

试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？答案:0.064.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。

他先去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时的泊松过程拟合。

由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷，每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷，根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。

小王要获得200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松过程的强度是______人/小时。

答案:1505.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。

答案:506.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=——————(用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。

答案:0.02887. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____.答案:8.平稳独立增量过程一定是平稳过程答案:错误9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程答案:正确10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】.答案:错误11.对离散时间随机过程【图片】定义【图片】,那么【图片】是关于该随机过程的停时答案:错误12.已知W是初值为0, 步长分布为【图片】的随机游动，那么以下错误的是答案:13.已知非负整数值随机变量X的概率母函数为【图片】那么【图片】______.(用小数表示)答案:0.514.若X，Y是独立同分布的随机变量服从参数为a的指数分布, 那么在X+Y=1的条件下X的分布是_____.答案:均匀分布15.【图片】(注意结果用小数表示)答案:0.0516.【图片】(注意：结果用小数表示)答案:0.517.已知X, Y是两个方差有限的随机变量，若以X的一个函数随机变量g(X)作为Y的一个近似，为了使得近似误差的均方最小，那么在几乎处处意义下g(X)=_____。

20111.（8分）设随机过程X 具有概率分布： X 0 1 2Pk 1/2 1/3 1/6试求其特征函数)(t g x 。

2.（8分）设随机变量X 的特征函数为itt g x -=11)(，试求X 的数学期望E(X)和方差D(X)。

3.（8分）设迷宫中某处有三个出口。

若选择路口1，则3小时可走出迷宫；若选择路口2，则5小时后又回到原处；若选择路口3，则7小时后又回到原处；并设每次选择各个路口的概率是等可能的。

求走出迷宫所需时间的期望值。

4.（8分）设},2,1,{ =i X i 是一独立随机变量序列，且有相同的两点分布i X 0 1 i p1/32/3令∑==ni in X Y 1；试求随机过程},2,1,{ =n Yn的均值函数和相关函数。

5.（8分）设}0),({≥t t X 是一参数为λ的泊松过程，若t s <<0，对n k <<0，求})(|)({n t X k s X P ==6.（10分）设齐次马氏链},2,1,{ =n X n 的状态空间为}4,3,2,1{=I ，其初始分布和转移概率矩阵为：4,3,2,1,4/1}{0====i i X P p i⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P 试求}41,1|4{103<<==X X X P7.（10分）设有随机相位过程ωω,),cos()(a t a t X Θ+=为常数，Θ为)2,0(π上服从均匀分布的随机变量。

试证明随机过程)(t X 为各态历经过程。

8.（10分）一质点在1，2，3点上做随机游动。

若在时刻t 质点位于这三点之一，则在),[h t t +内，它以概率)(21h o h +分别转移到其它两点之一。

试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫向前方程、转移概率)(t p ij 及平稳分布。

9.（10分）设随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X ，其中，Z Y ,是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。