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⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。
二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。
比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。
第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。
在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。
本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。
一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。
二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。
二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。
它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。
三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。
它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。
四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。
五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。
龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。
六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。
它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。
其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。
然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。
它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。
割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。
它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。
割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。
在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。
这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。
二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。
二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。
牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。
割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。
无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。
通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。
这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。
数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。
在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。
本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。
2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。
它可以用于求解方程的根或函数的零点。
二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。
2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。
它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。
2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。
在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。
数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。
3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。
以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。
3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。
数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。
