初二导学案之分式章节小结

第八章分式小结一、本章知识结构精要约分分式的性质通分 分乘除法 式分式的运算加减法解法分式方程 应用二、本章知识精讲1.分式的概念：形如BA （A 、B 是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做＿＿＿＿.其中，A 叫分式的分子，B 叫分式的分母.2、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：＿＿＿＿＿。

3、约分和通分分式的约分：把一个分式的＿＿＿＿叫约分.分式的通分：把几个异分母的分式＿＿＿＿分式叫通分.4、分式运算分式乘法法则：bdac d c b a =⨯＿＿＿＿；（b a ）n =＿＿。

除法法则：bcad c d b a d c b a =⨯=÷＿＿＿＝＿＿＿＿。

分式的加减法则：b c a b c b a ±=±＿＿＿，bd bc ad d c b a ±=±＿＿＿＿＿。

5、解分式方程的基本思想是把它化为＿＿＿方程。

在分式方程的求解的过程当中有可能产生＿＿＿＿，所以解分式方程必须＿＿＿＿＿。

例1 在分式222-++x x ax x 中，a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为零？ 解析 由x 2+x －2=0，得(x －1)(x +2)=0，∴x =1或x =－2．∴当x ≠1且x ≠－2时，该分式有意义．由x 2+ax =0，得x (x +a )=0，即x =0或x =－a ．当a ≠1且a ≠－2时，则x =0或x =－a 时，该分式的值为零．当a =2或a =－1时，则x =0时，该分式的值为零．点评 在解题中用了两个字“或”与“且”，它们所表达的含义完全不同，请认真体会．例2 已知22221111x x x y x x x x+++=÷-+--。

试求当x ＝2009，y ＝2010时的值。

分析 对原分式进行化简后代入x,y 的值计算。

学
前
准
备
二、自我检测 发现问题 1、下列代数 式中是分式的有 ： __
1 x 1 a b x y x y ， （ 1 ） ，（2） x y，（3） ，（4） ，（5） 2 x y x y ab
2 2
2、当 x____时，分式
1 x－3
没有意义．当 x =
时， x 1 的值为 0
x2
3.一种病菌的直径为 0.00000 36m，用科学记数法表示 为 4、当 x 为 5、计算⑴(
1 m
. 时，分式 ＋ 1 )÷ m＋n
n n
5 x 为负 x2 1
⑵
4a 1 a 2 a 1 1 a
(3)(
x y x 2y ). 2 y 2x y x
2 2
2
(4)
x 1 2x 1 1 .( ) x x 1 x 1 x 2
1 a 3 a2 2 a 2 a a2
2 a （2） a a a a 1 a 1
(m-1)(m-3) 的值为零。 m2-3m+2


6、已知
a2 1 a 1 a 4 1 0 ，求 a 2 2a a 2 4a 4 a 2 的值 a
7、已知 a2－6a+9 与|b－1| 互为 相反数,则(
a b )÷(a+b)=______。 b a
六、自主研学： 1、完成新课堂 121-122 页
2
1 a2 1 6、请你先化简， a (1 a) 再选取一个你喜欢的数代入 2 a 1
并求值:
三、合作质疑 学 1、下列各式： 习 导 航

一、教学目标（知识、能力、教育）：1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的 根。

2.能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．二、教学重点： 解分式方程的基本思想和方法。

三、教学难点： 解决分式方程有关的实际问题。

四、教学媒体： PPT五、教学过程（一）、知识梳理：1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是： （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根； ⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式 方程必须验根。

验根的方法是将所求的 根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解 题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有 和 。

（二）、基础过关练一练：1、 (2016义乌)解分式方程：2、(2016无锡)分式方程 的解是________． 2411x x x +=--431x x =-253520x x =-3. (2016凉山州)关于x 的方程321x x -+＝2＋1m x +无解，则m 的值为 ( ) A. －5 B. －8 C. －2 D. 54.若关于x 的分式方程+1x a x -＝a 无解，则a 的值为________．(三)、满分冲关闯一闯5. (2016江淮名校联考)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，依题意列方程正确的是( )A BC D6、(2009安徽4题4分)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 ( )A. 8B. 7C. 6D. 57、(2013安徽20题10分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍,已知一副羽毛球拍比一幅乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元,请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样,求x.（四）、教学小结：（五）、布置作业 ：精炼版P11—12页六、教学反思： 253520x x=+253520x x =-253520x x =+。

课题：分式方程——构建知识体系教学设计本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及中考专题专项训练，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为一元一次方程，所以也是对一元一次方程的复习. 分式方程是将具体问题数学化的重要模型，通过复习能够帮助学生更好的形成建立数学模型的意识，增根的出现也将会使学生对字母表示数有更进一步的理解，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.【教学目标】知识与技能会解分式方程，理解增根的含义，能用增根的概念解决问题.过程与方法体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要模型.情感态度与价值观在问题解决的过程中进一步细解转化的数学思想和训练好规范解题的习惯.渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.发展学生分析问题、解决问题的能力，培养应用意识.教学重点分式方程的解法以及与整式方程的区别；掌握分式方程中考类型题的解法，提高综合分析能力。

教学难点对分式方程增根的理解与运用难点诊断：其一，解分式方程较之解整式方程对学生来讲难度加大，在将分式方程转化为整式方程的过程中，容易出现去分母时漏乘整式项、符号变化错误等.其二，学生对于解分式方程时产生增根的原因有疑惑，解整式方程的思维定势对于解分式方程的步骤、检验等会有负迁移.复习本单元知识时，将以层层深入的练习为主线，通过精选典型例题，暴露学生的思维，发现学生在学习过程中的问题和疑惑，一方面巩固基础知识，一方面解决新问题，促进学生在该知识点的发展，帮助学生形成完整的知识结构，达到复习的目的.同时将有效利用信息技术，帮助学生分析问题，指导解题方法。

【教学程序】一、知识整理：活动1：学生小组完成考点知识清单的梳理。

【设计意图：在进行复习之前，教师带领学生以结构图的形式精要梳理本单元重点知识，使学生形成清晰的思路，以便更好地完成复习练习.】活动2：复习解分式方程（1）035=-+x x x （2）2510512-=-x x 这个环节安排了两个解方程的练习，让学生独立解方程的基础上总结以下解题步骤：点悟：1.解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根带入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根是原方程的增根，必须舍去；2.思维悟区分析：（1）最简公分母确定的不准确；（2）去分母时漏乘整式项；（3）区分母时忽略符号的变化；（4）忘记验根.【设计意图：因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生解方程，通过独立解题，复习解方程的一般步骤，再通过学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正反两个方面加深学生对知识的理解.所选两个例题有一定的代表性.】二、中考专题：（综合分析）活动3：例、（2012龙东地区）已知关于x 的分式方程112a x -=+有增根， 则a= .解：a-1=x+2，x=a-3∵方程有增根，∴x=-2，则有a-3=-2，a=1变式（1）：方程无解，则a 的取值范围是 .变式（2）：方程有解，则a 的取值范围是 .变式（3）：方程解为正数，则a 的取值范围是 .变式（4）：方程解为负数，则a 的取值范围是 .【设计意图：围绕“增根”问题，结合分式方程中考专题，通过一道题的变换将“有增根、无解、有解、有正（负）数解”等情况区别和联系起来，让学生掌握解决这一系列问题的策略和方法】活动4：（2009鸡西）若关于x 的分式方程131=---xx a x 有增根，则a = ． 变式（1）：方程无解，则a 的取值范围是 .变式（2）：方程有解，则a 的取值范围是 .变式（3）：方程解为正数，则a 的取值范围是 .变式（4）：方程解为非负数，则a 的取值范围是 .【设计意图：仿照例题的解题策略，让学生自己动手解题，尤其是对于“无解”这种情况的理解探究，发现问题，突破难点】三、中考专题：（强化训练）活动5：1、(2011龙东地区)已知关于x 的分式方程1+x a －xx x a +--212=0无解，则a 的 值为 .2、（2008齐齐哈尔）关于x 的分式方程15m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数C ．5m <-时，方程的解为负数D ．无法确定【设计意图：在学生初步掌握解题方法后加强中考问题的训练，尤其是第二道选择题，多数学生会纠结，让学生自己总结问题，再次体会出现“增根”的情况】四、总结归纳：学生归纳解分式方程的方法和注意事项：（1）分式方程定义：分母中含有未知数的方程.（2）解法：通过去分母把分式方程转化为整式方程.（3）注意事项：解完分式方程必须要验根.（4）综合分析：①有增根：整式方程的根使最简公分母等于0.②无解：③有解：取值范围排除“增根”值，（并列存在用“且”字相连）.④有正数解：x ＞0且≠增根值.有负数解：x ＜0且≠增根值.【设计意图：将所学知识归纳整理，举一反三，总结经验，培养学生养成反思的学习习惯】四、巩固提高：（课后作业）1、（2015齐齐哈尔）关于x 的分式方程25-=x a x 有解，则字母a 的取值范围 是 .2、(2010牡丹江) 已知关于x 的分式方程2122a x x -=++的解为负数，那么字母a 的 取值范围是 .4、(2011绥化) 分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和－2 D 、35、（2016农垦牡丹江分局）若关于x 的分式方程323-=--x m x x 无解，则m 的值为 .6、(2010大兴安岭) 已知关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的 取值范围是 . 无解.整式方程无解（无意义）.7、（2013农垦、森工）己知关于x 的分式方程12++x a =1的解是非正数，刚a 的取 值范围是（ ） A ．a ≤－l B ．a ≤－2 C ．a ≤1且a ≠－2 D ．a ≤－1且a ≠－2【本课设计意图：本课的教学设计通过整体——部分——整体的思路，首先通过知识结构图，使学生对解分式方程知识有系统的把握，构建了完整的知识结构，再通过层层递进的变式练习，较好的达到复习巩固的目的.本设计所复习的内容是考查的热点之一，填空、选择题是常见的题型，都一一进行训练.本单元所设计的知识是如何解分式方程，且仅为可化为一元一次方程的分式方程，将来还要学到可化为一元二次方程的分式方程，与本章知识有密切联系.】。