5.5充分统计量

而 g(T ( x , x ,, x ); ) 显 然 是T ( x, x2 ) 和 (, 2 )
12
n
i
i 1
n
的函数。故由因子分解定理知T ( X ,
x2 i
)
是
(,
2)
i 1
n
的一个联合充分统计量。此时，显然不能说
x2 i
是
2的
i 1
充分统计量。
定理 1.4 设T T ( X1, X2 ,, Xn )是 的一个充分统计量， f (t)是单值可逆函数，则 f (T )也是 的充分统计量。
对统计量 T，如果已知它的值以后，样本的条件分布
与 无关，就意味着样本的剩余部分中已不再包含关于
的信息，也就是在 T 中已包含有关 的全部信息。因此，
对 的统计推断只需要从 T 出发即可，不再需要样本数据。
二、 因子分解定理
根据充分统计量的含义，在对总体未知参数进 行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参 数的充分统计量。
（1.6）
定义 1.6 设( X1, X2 ,, Xn ) 为来自总体 F( x; )( )
的一个样本，若统计量T T( X , X ,, X )的分布函数
1
2
n
族 FT ( x; ), 是 完 备 的 分 布 函 数 族 ， 则 称
T T ( X1 , X2 ,, Xn )为完备统计量。
12
n
g(T ( x , x ,, x ); p) (1 p)n ( p )nT
12
n
1 p
则有
PX x , X x ,, X x
1
1
2
2
n
n
h( x , x ,, x )g(T ( x , x ,, x ); p)

充分统计量的证明方法及几个重要定理刘冬喜(湖南娄底职业技术学院计算机系湖南娄底417000）摘要:本文讨论了充分统计量的充分性,给出了统计量的充分性的两种主要证明方法,介绍了几个重要的定理,它们可以用来间接地证明统计量的充分性.关键词:统计量;充分统计量;因子分解定理;统计结构;Fisher信息Proof method of Sufficient statistic and several important theoremsLiu Dong-xi（Loudi Vocational and Technical College，Loudi Hunan 417000）Abstract:In this paper，we discuss the sufficient statistic sufficiency and the two main proof methods to statistic sufficiency. Several important theorems are introduced and they may be used to prove the sufficiency of statistic indirectlyKey words:Statistic, sufficient statistic, factoring theorem, statistical structure, Fisher information一、统计量与充分统计量统计量是样本的函数，定义在可测空间(X, ,B)上的统计量T=T(x),实际上是对样本X=(X1,…,Xn)进行某种加工和提炼的结果，把样本中所含的总体的相关信息集中起来，针对不同问题构造出样本的适当函数，这种加工从本质上体现了统计量压缩数据的功能.从直观上看，样本的不同的观察值，统计量T可能有相同的值，如：样本均值和样本方差不会随样本观察的排列顺序的改变而改变，这体现了统计量的“压缩数据”的功能.从理论上看，若T是在（T,C）上取值的可测映照，那么对σ代数C中任一元素c在B中都有一个原像T﹣1(C)={x：T（x）∈C}∈B .把所有原像的全体记为T－1(C)={T－1(C):C∈C} ⊂B。

对任给 X x1, xn 和 t ,满足 X At ,有
-1-
P X1 x1,, X n xn T t
P
X1
x1,, X n xn ,T
PT t;
t;
P
X1
x1,, X n
PT t;
xn ;
g t,
g t, h x1,, xn h y1,yn :T y1,yn t y1, yn
f x, g T x h x
(0.1)
对每一 与x X 成立.
注： h x不依赖于.
证：只对离散型情况给出证明.这时,
f x, P X x
对于T X 的值域中任意固定的 t ,定义集合
At x :T x t.
充分性 设 f x, 使因子分解式（1.1）成立.则对任意的 x At , T x t 成立,
X1, X 2 ,, X n 的条件与 无关.
即不包含关于参数的信息
2）定理 5.5.1（因子分解定理 Factorization Theorem）：设总体概率函数为 f (x; ) ，
X1, X 2,, X n 为样本，则 T T ( X1, X 2 ,, X n ) 为充分统计量得充分必要条件是：存
2）定理（极小充分统计量的存在定理）： 假定分解定理中的条件成立，且样本空间为欧
式的，则极小充分统计量存在.
3）要求：①信息损失越少越好
②统计量越简化越好
4．指数族：
1）定义：设 (, | p : |) 是可控参数统计结构，加入其密度函数可表示为如下形
k
式： p (x) c( ) exp{ cj ( )Tj (x)}h(x) i 1
期望）可以看作一个变换，且是一对一的变换.

2．完备性 1）定义： F { p ( x; ), } ，设 g ( x) 是定义在样本空间 上的一个实函数，一般来 说，积分（如果存在） E[ g ( x )]


，因此上述积分（数学 g ( x) p ( x; )dx （ ）
期望）可以看作一个变换，且是一对一的变换. 即对 ， g1 ( x ) g 2 ( x ) 1 E g [ g1 ( x )] E g [ g 2 ( x )]




T t X 1 x1 , , X n xn ,
故
P X 1 x1 , , X n xn T t P T t ; h x1 , , xn g t , ,
P X 1 x1 , , X n xn ; P X 1 x1 , , X n xn , T t ;
i 1
n
5) 某些完全性 定理（指数族的完全性） ：设 X 的样本空间为 ( x, x ) ，分布族为指数族，对 ，有
dp ( x) c( ) exp[ iTi ( x)]du ( x) ，此处 为 Rk 之一子集，若 （作为 Rk 的子
i 1
k
集）由内点，则统计量 t ( x) (T1 ( x), , Tk ( x)) 是完全统计量. 定理（次序统计量的完全性） ： 设分布族 f 满足以下两个条件：
P X x, T X t

u A t
g t h x g t h u
u A t
h x , h u
它与参数 无关.又若 x A t , 则T x t ,