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第六章 整数规划

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运筹学课件 第六章-整数规划3

运筹学课件 第六章-整数规划3

物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m

ai xi
a
st.
i 1 m
bi

《运筹学》第6章 整数规划

《运筹学》第6章 整数规划
整数规划（Integer Programming，简称IP），是 要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规 划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只 介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题

第六章 整数规划(应用运筹学)

第六章 整数规划(应用运筹学)

x2≥3
线性规划B6 Z5=6 x1=0 , x2=3
z6
z 6
§3 0—1规划Binary integer programming
当我面临是与非两种选择时，我们可以用决策变量取0或1值来表示 这样的决策，这样，地j个是非决策问题可以表示成
if decision j is yes, 1 如果决策是 xj if decision j is no 0 如果决策是非
x2 3 2 1 2x1+3x2 =6 o 1 2 3 4 x1 2x1+3x2 =14 2x1+3x2 =14.66
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
B0
max z =x1+2x2 s.t. 2x1+5x2 ≤ 15 2x1－2x2 ≤5 x1 , x2≥0
x2为整数的限制条件，得规 划B0对应的最优解与最优 值如下，而 X=(0，0)为A0 3 的可行解 B0 13 3 T 11 X (3 ,1 ) , z 6 14 7 14
2x1＋5x2=15
(1)每求出一次符合整数的解，都要考虑修改下界
函数值最大者为新的下界 (2)修改
z
，选整数解的目标
z
0
z ，找出所有未 分枝问题目标函数值最大者，为新的上界 z 当改变完上、下界 z ，z 后，若 z ＝ z，则所有分枝均已查明，得到 A
的最优解， 若
z＞ z
，则说明仍有分枝未查明，返回到第四步
分枝定界法
分枝定界法步骤

6第六章 整数规划(3-4节)

6第六章 整数规划(3-4节)

max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0， 整 数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束：
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念 。
例：
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0， 整 数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域：ABCD
1 1 最优解：C点，其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解：（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B ：
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
（2）构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分，但该可行域内不包含任何整数可行解，所有

运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解

运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解
项目 所需资金（万元） 收益期望值（万元）
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则 考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工 作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题称为该整数规 划问题的松弛问题。

第六章 整数规划(2012)

第六章 整数规划(2012)
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： 2、将（2 式）代入（1 式）得： xi + ∑ Nik xk - Ni = fi - ∑ fik xk ……………………（3 式） 3、提出变量为整（当然含非负）的条件： 由于（3 式）中等式左边需整，而 0 ＜ fi ＜ 1 ，故有 fi - ∑ fik xk ≤ 0 ……………………（4 式） 此即为所需切割方程。
16
第三节 割平面法
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： （1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优 解这一点切割掉了。 证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0， 又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量） 有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。 （2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件 提出的。
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
7
第二节 分支定界法
分支定界法图解整数规划
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6 B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9 B2 Max 松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 B1 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≤1 X1 ， X2 ≥ 0

整数规划(数据模型与决策)


0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
例:指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗 位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩 （百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
1 x ij 0
指派第 i个 人 做 第 j件 事 ( i , j 1,2,..., n) 不指派第 i个 人 做 第 j件 事
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型为：
Page 8
min Z
c
i 1 j 1
n
n
ij
x ij
n x ij 1 ( i 1.2. .n) j 1 n x ij 1 ( j 1.2. .n) i 1 x ij 取0或1(i , j 1.2. .n)
Page 19
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13 7 ◎ 0 ◎ 0 6 9 5 3 2 1 ◎ 0 Ø 0
独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指 派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作， 丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排 能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11 ＝28。
2）试指派（找独立0元素）
Page 22
2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
5 1 0 Ø 2
4 2 4 0 3 ◎ 0 Ø ◎ 0 1 3 3 5 1 3 Ø 0 5

整数规划_精品文档

整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。

整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。

随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。

一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。

分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。

彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。

整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。

二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。

二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。

物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。

金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。

资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。

组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。

三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。

分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。

遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。

摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。

蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。

元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。

粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。

深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。

四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。

第六章 运筹学 整数规划案例

第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。

1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。

3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。

第六章 整数规划


原来的上界 .
在分枝定界法的整个求解过程中,上界的值在不断减小.
问题 B5
max f 20 x1 10 x2
问题 B6
max f 20 x1 10 x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 x2 4 s.t x1 6 x2 3 x ,x 0 1 2
第六章 整数规划
整数规划模型
分支定界法
割平面法 0-1整数规划问题
指派问题
整数规划模型
在许多线性规划问题中,要求最优解必须取整数.例如 所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等.如果所得的 解中决策变量为分数或小数则不符合实际问题的要求. 对于一个规划问题,如果要求全部决策变量都取整数, 称为纯(或全)整数规划;如果仅要求部分决策变量取整数, 称为混合整数规划问题.有的问题要求决策变量仅取0或l两
解 设计划甲种宿舍建 x1 幢,乙种宿舍建 x2 幢,则本题数学 模型为 :
max Z 20 x1 10 x2
0.25 x1 0.4 x2 3 x1 8 s.t x2 4 x1 , x2 0, 取整数
这是一个纯整数规划问题,称为问题 A0 。
（1）
作出问题 A1 , A2 的伴随规划 B1 , B2 , 则问题 B1 , B2 , 的可行 域为 K1 , K 2 , 见图2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两 个分枝问题称为"一对分枝".
x2
4
3
x2
2 1
O
2
4
6
8
x1
O
1
2
4
6
8
x1
(a)
(b)
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纯整数规划的可行解就是可行域中的整 数点
非整数点不是可行解，对于求解没有意 义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化
IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
OR3
5
6.2 分枝定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。一次分枝 变成两个可行域，分别求最优解
例1. maxZ=2000x1+1000x2
第五步 造0——直线未覆盖的元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产
生新的0元素，Go to 2
0 6 2 1 -1 5 1 0 0 4 0
Cij= 0 5 3 1 -1 0 4 2 0 3 1 0
0001
1 0 1
2 0 2
1320
2 3 2 2 2 1
+1
最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1 Z=15
继续分解，Go to 3
（例题2讲解）
OR3
9
6.3 0—1规划问题
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简 化为0或1，1代表选择，0代表不选择。
例4. 600万元投资5个项目，求利润最大的方案？
项目 投资额 项目收益 约束条件
210 160
中选1项
300 210
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
之中选1项
150 60
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13
x1.x2 ≥0且为整数 解此LP问题，得：X1=4.8，X2=0 显然不是可行解
OR3
3
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
OR3
4
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不 是IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的 最优解
原问题分解为两个
maxZ=2000x1+1000x2
maxZ=2000x1+1000x2
5x1+4x2≤24
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13 ( IP1 ) 2x1+5x2 ≤13 (IP2)
x1 ≤4
x1 ≥5
x1.x2 ≥0且为整数
x1.x2 ≥0且为整数
OR3
7
分枝定界法（续）
不考虑整数要求，解相应LP问题。
ABCBD
1
1
2
1
3
1
41
5
1
OR3
17
（1，0，0，1，1）
………..
Z值
240
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
420
OR3
12
6.4 指派问题
例8 甲乙丙丁四个人，A、B、D四项任 务，不同的人做不同的工作效率不同， 如何指派不同的人去做不同的工作使效 率最高？
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐 枚举法、匈牙利法
OR3
2
问题举例
某集装箱运输公司，箱型标准体积24m3，重量 13T,现有两种货物可以装运，甲货物体积5m3、 重量2T、每件利润2000元；乙货物体积4m3、 重量5T、每件利润1000元，如何装运获利最 多？
maxZ=2000x1+1000x2
选必先选
130 80
260 180
OR3
10
求解0—1规划的隐枚举法
例4解：
0 当项目未被选中
建模：设xj= 1 当项目被选中
max Z=160x1+210x2+60x3+80x4+180x5
210x1+300x2+150x3+130x4+260x5 ≤ 600
X1+x2+x3=1
X3+x4=1
3 3 4 4 -3 0 0 1 1 0 0 1
4 6 6 3 -3 1 3 3 0 1 3 2
-1
第二步 圈0——寻找不同行不同列的0元素，
圈之。 所在行和列其它0元素划掉
第三步 打——无的行打，打行上0列打
，打列上行打，打行上0列打 …
OR3
14
指派问题解法—匈牙利法（续）
第四步 划线——无行、打列划线
OR3
15
相关问题：
非标准型的转化
（1）maxZ= ΣΣcijxij minZ’= ΣΣ(-cij)xij minZ’’= ΣΣ(M-cij)xij = ΣΣbijxij
M是足够大的常数， 新问题的最优解 就是原问题的最优解 （2）整数规划的计算机求解
OR3
16
整数规划习题课
P222——6.11
第六章 整数规划
本章要求 理解整数规划的含义 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的算法 微机求解
OR3
1
6.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、 件数、机器台数、货物箱数……如何解 决？四舍五入不行，枚举法太慢
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13 x1.x2 ≥0且为整数 解：先不考虑整数要求，解相应的LP问题，得： x1=4.8 x2=0 Z=9600 不是可行解 Z=9600是IP问题的上界，记为：Z=9600
OR3
6
分枝定界法（续）
X1=4.8不符合要求，切掉4—5之间的可行域， 可行域变成两块，即原有约束条件再分别附加 约束条件x1 ≤4和x1 ≥5
x5 ≤ x1
Xj=0或1 j=1，2,…,5
增加过滤条件：160x1+210x2+60x3+80x4+180x5 ≥ 240
OR3
11
用隐枚举法解例4：
(x1,x2,x3,x4,x5）
（1，0，0，1，0） （1，1，1，1，1） （1，1，1，1，0） （1，1，1，0，1） （1，1，1，0，0） （1，1，0，1，1） （1，1，0，1，0） （1，1，0，0，1） （1，1，0，0，0） （1，0，1，1，1） （1，0，1，1，0）
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
OR3
13
指派问题解法—匈牙利法
解：类似运输问题的最小元素法
第一步 造0——各行各列减其最小元素
4 10 7 5 -4 0 6 3 1 6 2 1
Cij= 2 7 6 3 -2 0 5 4 1 0 5 3 1
2、检查是否符合整数要求，是，则得最 优解，完毕。否则，转下步
3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个 新的约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别 加入到上一个LP问题，形成两个新的分 枝问题。
4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整
数解的Z值>所有分枝末梢的Z值，则得最
优解。否则， 取Z值最大的非整数解，
解IP1得：x1=4 ,x2=1 z=9000
解IP2得：无可行解
此时可以断定IP问题的下界为9000，记 为Z=9000
‫٭‬由于目前的分枝末梢最大值是9000，故
IP问题的上界便是9000。由于Z=Z，此 时已得IP问题的最优解，即
x1=4,x2=1,Z=9000
OR3
8
分枝定界法的解题步骤
1、不考虑整数约束，解相应LP问题