一元一次不等式组解集的表示(1)

一元一次不等式组解集的四种情况示例文章篇一：《一元一次不等式组解集的四种情况》嗨，小伙伴们！今天咱们来聊聊一元一次不等式组解集的四种情况，这可超级有趣呢！咱们先来说第一种情况。

想象一下，有两个不等式，就像两个小伙伴在争地盘。

如果一个不等式是x > a，另一个是x > b，这里a和b是两个数哦。

那这个不等式组的解集是啥呢？这就好比两个人都想要更大的地方，那肯定是取更大的那个数呀。

所以这个不等式组的解集就是x > 最大的那个数。

比如说，一个不等式是x > 3，另一个是x > 5，那这个不等式组的解集就是x > 5。

这多简单呀，就像两个小朋友抢糖果，谁要的更多就听谁的。

你们看，是不是很好理解呢？再来说第二种情况啦。

要是一个不等式是x < a，另一个是x < b呢？这就像是两个小懒虫，都想找个最小的地方躲起来。

那这个时候，解集就是x < 最小的那个数。

比如说x < 2和x < 4，那解集就是x < 2。

这就好像是两个小动物找洞穴，越小的洞穴越能让它们觉得安全，所以就选最小的那个啦。

第三种情况有点不一样咯。

如果一个不等式是x > a，另一个是x < b，这里a比b 小。

这就像是两个人，一个想往大的地方去，一个想往小的地方去，那中间的部分就是他们都能接受的啦。

这个时候不等式组的解集就是a < x < b。

就像在一条路上，一个人想走到3这个位置之后，另一个人想走到7这个位置之前，那3到7之间的路就是他们都能走的啦。

比如说x > 1和x < 5，那解集就是1 < x < 5。

这是不是很像两个人在商量一个共同的活动范围呀？最后一种情况呢。

要是一个不等式是x < a，另一个是x > b，这里a还比b小。

这就像两个人的要求完全相反啦，一个要小的地方，一个要大的地方，而且大的地方还在小的地方左边，这怎么可能同时满足呢？所以这个不等式组就没有解啦。

一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集是指该不等式组满足给定条件时，未知量可取到的所有实数值。

以下列出一元一次不等式组的解集:1、加法原理：若有不等式$ax+b>0$��不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b>0$与$a{x'}+b>0$同时成立的解集为$x>{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}>{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}或{-\dfrac{b}{a}}<{x'}<x$$2、减法原理：若有不等式$ax+b>0$与不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b<0$与$a{x'}+b<0$同时成立的解集为$x<{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}<{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$${x'}<x<{-\dfrac{b}{a}}$$3、乘法原理：若有不等式$ax+b>0$，则可乘以$\dfrac{1}{a}$，得$x+\dfrac{b}{a}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}$$4、倍乘法原理：若有不等式$a^2x+b>0$，则可以乘以$\dfrac{1}{a^2}$，得$x+\dfrac{b}{a^2}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a^2}}$$5、翻转原理：若有不等式$ax+b>0$，则可以转置变为${-ax-b}<0$，令$\quad-ax-b=0$，得$x={-\dfrac{b}{a}}$，即满足不等式无解结果。

6、乘容原理：若有不等式$ax-b>0$与$cx-d>0$，则$acx-ad-bc+bd>0$，令$acx-ad-bc+bd=0$，得$x=\dfrac{ad-bc}{ac}$，即$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$，即有：$$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$$7、综合分析：若有$ax+b>0$且$cx+d>0$，得$acx+ad+bc+bd>0$，故有：$$x>\dfrac{ad+bc}{ac}$$。

一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。

】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。

4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。

” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。

2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。

如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。

专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。

经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。

解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。

所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。

总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。

有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。

解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。

即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。

所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。

思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。

一元一次不等式组解集一元一次不等式组是由多个一元一次不等式组成的不等式集合，其中每个一元一次不等式都可以表示为形如 ax + b > c 或 ax +b <c 的形式，其中 a、b、c为已知实数，x为未知数。

一元一次不等式组中的解集是使得其中所有不等式都成立的实数解的集合。

要确定一元一次不等式组的解集，我们可以先确定每个不等式的解集，然后将其交集作为最终的解集。

解一元一次不等式的方法包括图像法、代入法、证明法等等。

其中，1. 图像法：可以将一元一次不等式转化为方程，然后绘制对应方程的直线图像，再根据不等式的符号确定解集的位置。

例如，对于不等式 ax + b > c，可以将其转化为方程 ax + b = c，绘制其对应的直线图像，然后根据不等式符号，在直线图像的哪一侧确定解集的位置。

2. 代入法：将不等式的解代入原不等式中验证是否成立。

例如，对于不等式 ax + b > c，假设 x = x0 是解，将其代入不等式，如果不等式成立，则 x0 是解；反之，则 x0 不是解。

3. 证明法：对于一元一次不等式组，可以将其中的每个不等式转化为等价的形式，并根据等价形式进行推理和证明。

例如，对于不等式 ax + b > c，可以将其等价转化为 ax + b - c > 0，然后根据不等式的性质进行证明。

在解一元一次不等式组时，我们还需要注意以下几点：1. 对于包含“或”关系的不等式组，解集为各个不等式的解集的并集；对于包含“与”关系的不等式组，解集为各个不等式的解集的交集。

2. 当不等式中的系数为零时，需要单独考虑。

例如，对于不等式 0x + b > c，当 b > c 时，任何实数都是解；当 b = c 时，无解；当 b < c 时，无解。

3. 在解集的表示中，可以使用区间表示法或集合表示法。

区间表示法用[a, b]表示解集，表示解集中的实数范围；集合表示法用{x|a ≤ x ≤ b}表示解集，表示解集中的实数集合。

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。

（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。

）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。

如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。

2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组： ，并求出正整数解。