二次函数与最大利润问题 (2)

30k b 400
k 20
, 解之得 :
，
40k b 200
b 1000
即一次函数表达式为 y 20x 1000 (30 x 50) ．
⑵ P (x 20) y ( x 20)( 20 x 1000)
20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0
∵ a 20 0 ∴ P 有最大值．
当x
1400
35 时， Pmax 4500 （元）
[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润
最大？ 解：设涨价（或降价）为每件
x 元，利润为 y 元，
y1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y1 (60 40 x)( 300 10x)
商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他
成本。 总利润 =总售价 -总进价 - 其他成本 =单位商品利润 ×总销售量－其他成本 单位商品利润 =商品定价－商品进价 总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量
[ 例 1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现， 每月销售量 y （万
所以，销售单价定为 25 元或 43 元，
将
z =-2x
2
+136x-1800
2
配方，得 z=-2 （ x-34 ） +512 ，
因此， 当销售单价为 34 元时， 每月能获得最大利润， 最大利润是 512 万元；

[解析] 每件涨价x元时,每件盈利(20＋x)元,每天的销售量为(80
－3x)件,则y关于x的函数解析式为y＝(20＋x)(80－3x)＝－3x2
＋20x＋1600.
随 3.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一
堂
小 个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么
检
测 每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量 将减少2箱.
润,最大利润是2400元.
探 (3)在y＝－10x2＋110x＋2100中,令y＝2200,得
究
与 －10x2＋110x＋2100＝2200,
应
用 即x2－11x＋10＝0,解得x1＝1,x2＝10.
由图象(图略)可知,当y≥2200时,x(元)的取值范围是1≤x≤10且x为
整数.
探 总结与警示
探 究
(3)若每个月的销售利润不低于2200元,求涨价x(元)的取值
与 范围.
应
用 [解析] (1)根据进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出
210件,再根据每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件
和销售利润＝件数×每件的利润,列出函数解析式,即可得出答
案.自变量x的取值范围可由“每件售价不能高于65元”以及“x为
应 用
(2)根据(1)得y＝－10x2＋110x＋2100＝－10(x－5.5)2＋2402.5.
∵a＝－10＜0,∴当x＝5.5时,y有最大值2402.5.
∵0＜x≤15,且x为整数,
当x＝5时,50＋x＝55,y＝2400,当x＝6时,50＋x＝56,y＝2400,
∴当每件商品的售价定为55元或56元时,每个月可获得最大利
－5)2＋6250,其中300－10x≥0，所以 0≤x≤30.当 x＝__5__时,y 最 x≥0，

22.3（3.2）--利润最大值问题-顶点不在范围内
一．【知识要点】
1.利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值。

2.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。

二．【经典例题】
1.某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
三．【题库】
【A】
1．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【B】【C】【D】。

初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）

二次函数利润问题专题训练（二）1、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）．•2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少5、红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y 1(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x ≤10)满足函数关系式y 1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y 2(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x ≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．(1)求y 2与x 的函数关系式；(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克) (2≤x ≤10)之间的函数关系式．6、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？7、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。

变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。

（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。

题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。

阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。

预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。

（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。

（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。

已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。

（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。它在经济、工程等领域有着广泛的应用，尤其是在求解最值问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某商品的成本为固定值，售价与销售量之间存在二次关系，我们将通过构建二次函数模型来求解最大利润。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于二次函数在实际问题中的应用表现出较高的兴趣。他们能够积极参与课堂讨论，提出自己的想法，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到在一些环节还存在一些问题，需要我在今后的教学中加以改进。
在导入新课环节，我通过提问方式引发学生思考，大家发言积极，但个别学生对问题的理解还不够深入。在今后的教学中，我应适当增加一些引导性的问题，帮助学生更好地理解问题本质。
5.强化数学运算能力：在求解最大利润过程中，培养学生准确、快速地进行数学运算的能力。
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，帮助学生将理论知识与实际应用相结合，全面提升学生的数学素养函数的一般形式及其图像特点，明确二次函数在实际问题中的应用。
举例：二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。图像特点为抛物线，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）。
3.提高学生的口头表达能力和逻辑思维能力，使他们能够更好地展示自己的观点。
4.鼓励学生独立思考，培养他们的问题解决能力。
在新课讲授环节，我发现大部分学生能够跟上课堂节奏，但仍有部分学生对二次函数的一般形式和求解最值方法掌握不够牢固。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，增加一些例题和练习，让学生在实际操作中加深对知识点的理解。

二次函数是解决实际问题 中常用的数学工具，具有 广泛的应用领域。
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景

二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。

2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。

3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。

4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。

5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。

举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。

1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。

2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。

因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。

3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。

4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。

P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。

5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。

1）小明家的服装店每 星期获利多少元？你用 到了哪几个量的关系？
如果调整价格：每件 涨价1 元，每星期要 少卖出10 件服装
2）怎样定价才使每星
期利润达到6090元？
能否达到10000元？
3 ）如何定价才能使一星期所获利润 最大？
分析
(60+ x)元 (60+ x-40) 元
涨价x元
销售 单价
单件 利润
如果调整价格：每件 降价1 元，每星期要 多卖出20 件服装
爸爸在旁边说， 降价必须是整数 哦，我可嫌找零
钱麻烦
帮小明算一算该如何定价才能使一星期所获 利润最大？最大利润是多少？
你是这样做的吗？
解：设降价x元，每 星期获得的利润为y 元，则 y=(60- x40)(300+20 x)
=(20x)(300+20 x)
的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y （万个）与x（元/个）的函数解析式． ? （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万个）与 销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元 时净得利润最大，最大值是多少？ ? （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售 价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大， 销售价格应定为多少元？
2、直接代入顶点坐标公式，求最值 (
?
b 2a
, 4a4c-ab2)
3、观察二次函数图象，找最高点或最低点，求最值
2、求下列二次函数的最值
（1）
（2）-1≤x≤2，该
y x?1
函数的最大值是 2 ，
最小值是 -2 ；
(3)若-2≤x≤0，该
o
x
函数的最大值是 1 ，

如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
②T恤衫何时获得最大利润,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利润最大：
8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：

22.3.2实际问题与二次函数------最大利润问题一、教学目标：1、知识与技能：通过探究实际问题与二次函数关系,能用配方法或公式法求二次函数最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。

2、过程与方法：（1）、通过研究生活中实际问题,体会建立数学建模的思想. （2）、通过学习和探究“销售利润”问题,渗透转化及分类的数学思想方法.3、情感态度：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。

二、学情分析：学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质,学习了列代数式,列方程解应用题,这些内容的学习为本节课奠定了基础,使学生具备了一定的建模能力,但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识,对学生来说要完成这一建模过程难度较大。

三、教学重难点：教学重点：1、理解数学建模的基本思想,能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

2、能根据实际问题，确立二次函数解析式，并用配方法或公式法求最值教学难点：从实际情景中抽象出函数模型。

四、教学过程：【活动1】小视频导入本节课的探究内容：某运动服的进价为每套40元,售价是每套60元时，每星期可卖出300套,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10套,每降价1元,每星期可多卖出20套,问：如何定价才能使利润最大?(设计说明:教师通过小视频将这个实际问题呈现给学生，但本问题是一道较复杂的市场营销问题,不能直接建立函数模型,需要分类讨论,初中学生分类讨论的思想较薄弱,这给解题造成了障碍,造成学习上的困难，因此，并没有马上去处理这个问题而是先进行一下知识储备。

)【活动2】小组合作探究解决自主学习中存在的问题：1、与利润有关的几个等式：（1）总价、单价、数量的关系；（2）单件利润、售价、进价的关系；（3）总利润、单件利润、数量的关系。

2、如何求2(0)y ax bx c a=++≠的最值？你有几种方法？3、二次函数2=-+的对称轴是直线，顶点坐标是y x2(3)5当x= 时，y有最值，是。

问题2:售价为x元，售价涨了多少元？可表示为(x-60 )因为xf 0一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。

已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润X销售数量问题1:售价为x元时，每件的利润可表示为（x-40 ）问题3:售价为x元，销售数量会减少，减少的件数为兰60 20 （件）2问题4：售价为x元，销售数量为y （件），那么y与x的函数关系式可表示为y 300 弓0 20= 300 10(x 60)= 10x 900x 60 0自变量x的取值范围是x 60问题4：售价为x元，销售数量为y （件），销售总利润为W（元），那么W与x的函数关系式为W (x 40) y(x 40)( 10x 900)10x2 1300x 36000问题5:售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少?因为W (x 40) y(x 40)( 10x 900)210x 1300x 36000210(x 130x) 3600010 (x2130x 652) 6523600010（x 65）242250 3600010（x 65）26250所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元分析：本题用到的数量关系是: (1) (2) 问题 问题 利润=售价-进价销售总利润=单件利润X 销售数量1:售价为 2:售价为 x 元时，每件的利润可表示为 x 元， 问题 3:售价为 x 元, (x-40 ) 售价降了多少元？可表示为 (60-x ) 竺上40(件)2销售数量会增加，增加的件数为 问题 4:售价为y 300x 元, 60 销售数量为y x 40= 3002(件)，那么y 与x 的函数关系式可表示为20(60 x)= 20x 1500因为xf 60自变量x 的取值范围是问题4:售价为x 元， 所以, 销售数量为y 0 x 60(件)，销售总利润为 W (元)，那么 W 与 x 的函数关系式为、某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出 40件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大?W (x 40) y= (x 40) ( 20x 1500)=20x 2 2300x 60000问题5:售价为x 元，销售总利润为 W (元)时，可获得的最大利润是多少?因为 W (x 40) y= (x 40) ( 20x 1500)2=20x2300x 600002=20( x 115x) 600002 22115 115=20 x 2115x) 600002 2115=20( x)266125 60000 22=20( x 57.5)66125 60000=20(x 57.5)26125所以可知，当售价为 57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为 6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降精品资料60W （元），那么W 与x 的函数关系式为所以可知，当售价为 65元时，可获得最大利润，且最大利润为 6250 元2、降价时：（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为价2元，每星期可多卖出 40件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大?分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1） 涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2） 降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加 本题用到的数量关系是： （1） 利润=售价-进价（2） 销售总利润=单件利润X 销售数量 根据题目内容，完成下列各题： 1、涨价时（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为y 300 竺6020= 300 10（x 60）=10x 9002r , xf因为x 自变量x 的取值范围是 x 6010( x 65)2 42250 3600010( x 65)26250w (x 40) y =(x 40)( 10x 900) =210x1300x 36000（3）售价为 x 兀，销售总利润为 W （兀）时，可获得的最大利润是多少?w = (x 40)( 10x 900) = 210x1300x 36000= 210(x 130x) 36000=10 (x 2130x 652) 65236000（2）售价为x 元，销售数量为 y （件），销售总利润为60 xy 300 2 40= 300 20(60 x)= 20x 1500因为xf 0 60 x 0所以，自变量x的取值范围是0 x 60（2）售价为x元，销售数量为y （件），销售总利润为W（元），那么W与x的函数关系式为W2= (x 40) y(x 40)( 20x 1500)220x 2300x 60000（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少?因为W4 = (x 40) ( 300 6^-x40) 2=(x 40) ( 20x 1500)20x22300x6000020(x2115x)6000022115、11520 x115x)22 115 220(x2)6612560000 20(x57.5)26612560000 20(x57.5)26125600006125 元所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为本题解题过程如下：解：设售价为x元，利润为W（1）涨价时,2x-60W1= (x 40) (300 -20)2=(x 40)( 10x 900)= 10x21300x 3600010(x2130x) 3600010 (x2130x 652) 652360002= 10( x 65) 42250 36000= 10(x 65)2 6250所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元(2)降价时，60 xW2= (x 40) (300+ 40)2=(x 40) ( 20x 1500)= 20x 2300x 6000020( x2115x) 600002 22 115 115=20 x 115x ) 600002 2=20( x 115)22 )66125 60000=20( x 57.5)266125 60000=20( x 57.5)26125所以可知，当售价为57.5兀时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。

④旅行社何时营业额最大：
3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
⑤商贩何时获得最大利润：
4.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
②T恤衫何时获得最大利润：
2.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;

(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利Βιβλιοθήκη 最大：8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则

22.3实际问题与二次函数第二课时 二次函数与最大利润问题一、 教学目标知识与技能：通过探究实际问题与二次函数的关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

过程与方法：通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。

二、 教学重点及难点教学重点：用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。

教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。

三、学情分析我班学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列方程解应用题，所以学生具备了一定的建模能力，但我班学生的理解能力较弱，对应用题具有恐惧感，然而应用二次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应用能力，对学生而言建模难度很大。

三、 教学过程（一） 复习引入 (1)商家进了一批杯子，进货价是10元/个 ，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。

（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打八折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元 。

利润问题主要用到的关系式是：利润=售价-进价 总利润=单件利润 ⨯ 销售数量(二)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。

如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表示为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表示为(300-10x ) 件，一周的利润可表示为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列方程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。