新课标人教版高中数学必修一 1.2函数及其表示 教学设计

基本不等式2a b +≤(2) 课程目标(),02a b a b +≥。

结合具体事例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。

教材分析本节在上节课的基础上，主要讲解基本不等式在求最值中的应用，采取化归、方程等思想将函数表达式转化，然后采取换元、“1”的代换等方法将题目解答。

本节所使用的方法较多，可帮助学生通过类比，再加深理解等式和不等式的共性与差异，具体到本节课的要求，无论方法还是思想，运用基本不等式时始终应注意“一正二定三相等”。

课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解基本不等式在求最值中的应用.教学目标重点：基本不等式的应用难点：应用基本不等式时应注意“一正二定三相等”知识点：求解最值时函数的变形方法能力点：培养学生观察、分析、猜想等思维能力教育点：引导学生体会化归思想在数学中的应用自主探究点：变形的其他方法考试点：基本不等式的应用易错易混点：应用基本不等式时忽略“一正二定三相等”拓展点：数字“1”的其它表现形式教具准备 多媒体一、复习引入1、基本不等式2b a ab +≤ 称ab 为b a ,的几何平均数,称2b a +为b a ,的算术平均数,即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数；利用分析法和几何法的证明；2.重要变形+≥a b (积定和最小),22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(和定积最大)； 3.利用基本不等式求最值运用基本不等式求最值需满足“一正二定三相等”,即（1）0,0a b >>；（2）积定和最小,和定积最大；（3）等号成立的条件：当且仅当a b =时等号成立.4、课堂练习（1）04,(82)x y x x <<=-当时函数的最大值是_____.（2）18,221x y x x >=+-当时函数的最小值是_____. 二、讲授新知例1.求下列函数的最值（1）当0x >时,求21()x f x x+=的最小值； （2）当0x >时,求234()x x f x x++=的最小值； （3）当1x >-时,求234()1x x f x x ++=+的最小值；解：(1)由0x >,因此10x >,即得211()2x f x x x x +==+≥=,当且仅当1x =时等号成立.（2）由题意得2344()3x x f x x x x++==++,由0x >可得40x >,因此()37f x ≥=,当且仅当2x =时等号成立. （3）(法I)分离常数2234(1)(1)22()(1)1111x x x x f x x x x x ++++++===++++++,由1x >-可得10x +>,201x >+,因此由基本不等式()11f x ≥=,当且仅当1x =时等号成立.(法II)换元法令1t x =-,则0,1t x t >=-,因此原式2(1)3(1)42=11t t t t t-+-+=++≥,当t =即11x t =-=时等号成立.【设计意图】函数1(0)=+>y x x x是很多分式函数求最值的原式模型,第(3)题中采用了常用的两种解决分式函数最值的方法,其目的就是为了通过变形得到类似函数1(0)=+>y x x x的形式,进而利用基本不等式(由于两个正数的积为定值),求出函数的最小值. 【变式练习】(1)求函数422331x x y x ++=+的最小值. 解：令21t x =+,则1t ≥,21x t =-, 因此原式22(1)3(1)311+121t t t t t t t t-+-+++===+≥-,当且仅当1t =即0x =时,等号成立.（2）若对任意的0x >,231x a x x ≤++恒成立,则实数a 的取值范围是_____.(2010) 解：由0x >,因此21113153x x x x x =≤++++,当且仅当1x =时等号成立,因此15a ≥. 例2．已知0x >,0y >,且191x y+=,求x y +的最小值. 解：(法I)“1”的代换 199()()10x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭,由于0x >,0y >,因此由基本不等式可得原式102316≥+⨯=,当且仅当3y x =时等号成立.又191x y+=,解得4,12x y ==. 所以当4,12x y ==时,min ()16x y +=.(法II)消元 由191x y +=,得9y x y =-.又0x >,0y >,从而90y ->. 因此(9)99(9)(9)1016999y y x y y y y y y y -++=+=-+=-++≥---,当且仅当999y y -=-即12y =时等号成立,此时4x =. 所以当4,12x y ==时,min ()16x y +=.【设计意图】利用基本不等式求(0,0)x y x y +>>的最小值,应构建某个积为定值的情况.本题的两种解法都对式子进行了变形.法I 的“1”的代换是经常使用的方法,要学会观察变形；法II 通过消元,将问题转化为一元问题,此时应注意被代换变量的范围对另一变量的影响.【变式练习】(3) 已知0x >,0y >,且192x y+=,求4x y +的最小值. (4) 已知0x >,0y >,已知1,x y +=求19x y +的最小值. (5)已知01x <<,则191x x+-的最小值为_____. (6)已知0x >,0y >,且35x y xy +=,则34x y +的最小值为_____.例3.(1)若97x y xy +-=-,求xy 的最小值.(2)若916x y xy +-=-,求9x y +的最小值.【变式练习】(7)若()()3214x y -+=,求2x y +的最小值.(8)设0x >，且2212y x +=，则 三、课堂小结利用基本不等式求最值,应注意“一正二定三相等”,即1.式中数值若为负数,取其相反数,使得式中数值皆为正数；2.欲求函数的最值,应通过变形构造出和或积为定值的情形；3.要验证等号成立的条件是否在所给定义域内,作解答题时应注明等号成立的条件.4.思想：化归5.方法：换元、“1”的代换、消元等四、布置作业作业：课本第48页1.2五、教后反思1.本节知识渗透了化归等数学思想,应引导学生熟练掌握变形的方法；2.例题的安排有层次，难度逐步加深；题目的选取具有代表性,兼顾高考与学生的学习实际；3.课上应留给学生充分的思考时间,部分题目只需给出大体思路；但是应结合题目及时强调“一正二定三相等”.六、板书设计一、班级情况分析学生男女生比例约为3:1，大部分来自城镇。

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。

教学准备1. 教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

2. 教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；3. 教学用具4. 标签教学过程四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．解：略例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.引导学生小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.巩固练习：课本P22第12、如何判断两个函数是否为同一函数例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？（五）归纳小结①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.图2＋c＜0b＝ax2＋bx＋c的性质，易知表：活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.图4的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 所示，那么水瓶的形状是( )图5图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考查．观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H 2，注水量V ′＞V 02，知能训练课本本节练习2,3. 【补充练习】1．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图象都有哪些？解答：变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本习题1.2A 组 7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．第2课时 作者：刘菲导入新课思路1．当x ＞1时，f (x )＝x ＋1；当x ≤1时，f (x )＝－x ，请写出函数f (x )的解析式．这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题．思路2．化简函数y ＝|x |的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题． 推进新课新知探究 提出问题①函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ＋1，x <－1，x ≥－1与f (x )＝x －1，g (x )＝x 2在解析式上有什么区别？②请举出几个分段函数的例子．活动：学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．讨论结果：①函数h (x )是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．②例如：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1，x >0，x <0等．应用示例例1 画出函数y ＝|x |的图象．活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：由绝对值的概念，我们有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.所以，函数y ＝|x |的图象如图7所示．图7解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图象如图7所示．点评：函数y ＝f (x )的图象位于x 轴上方的部分和y ＝|f (x )|的图象相同，函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方就是函数y ＝|f (x )|图象的一部分．利用函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|f (x )|的图象的这种关系，由函数y ＝f (x )的图象画出函数y ＝|f (x )|的图象.图821),0,x ≤>的图象．①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间图9(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．图10解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5， 0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )图11解析：方法一：函数的解析式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，1－x ， x ≥1，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.方法二：将函数f (x )＝x －1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与f (x )＝x －1位于x 轴上方部分合起来，即可得到函数f (x )＝|x －1|的图象，故选B.方法三：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A ，C ，D ，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x >0，1， x ＝0，－1x ，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)，f [f (－1)]的值．解：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0上的图象，合在一起得函数的图象．(1)如图12所示，画法略．图12(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝1. 3．某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地．试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t 属于哪个时间段，得到相应的解析式．解：从A 地到B 地，路上的时间为26052＝5(小时)；从B 地回到A 地，路上的时间为26065＝4(小时)．所以走过的路程s (千米)与时间t 的函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋65(t －6.5)， 0≤t <5，5≤t ≤6.5，6.5<t ≤10.5.拓展提升问题：已知函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋2，n ∈N *.(1)求：f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)猜想f (n )，n ∈N *.探究：(1)由题意得f (1)＝1，则有 f (2)＝f (1)＋2＝1＋2＝3，f (3)＝f (2)＋2＝3＋2＝5，f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.(2)由(1)得f(1)＝1＝2×1－1，f(2)＝3＝2×2－1，f(3)＝5＝2×3－1，f(4)＝7＝2×4－1，f(5)＝9＝2×5－1.因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*.课堂小结本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．第3课时作者：林大华导入新课思路1．复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．5．函数的概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．思路2．前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．应用示例例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？在A中的什么元素与中元素22对应？图1560°对应的元素是32，在A 中的元素1．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数 D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x 1－x解析：判断映射的方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受对应法则f 的作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 中集合S 中的元素0没有象；D 中集合S 中的元素1也无象．答案：A2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析：选项C 中，集合M 中部分元素没有象，其他均是映射．答案：C3．已知集合A ＝N *，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )A．3 B．5 C．17 D．9解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.答案：D4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y 与B的关系是________．解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A 中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y⊆B.答案：X＝A Y⊆B5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．答案：816．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→1|x|.(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应．(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．(3)是映射，因为它是一对一的对应．7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.( )A．1 B．3 C．9 D．11解析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.答案：A8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴由a2＋3a＝10，得a＝2.∵k 的象是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＜3，x ∈N ，y ∈N }，B ＝{0,1,2}，f ：(x ，y )→x ＋y ，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．解：是映射，不是函数．由题意得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A 中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B 中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A 不是数集而是点集，所以不是函数．拓展提升问题：集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立多少个不同的映射？探究：当m ＝1，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝11个不同的映射；当m ＝2，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝12个不同的映射；当m ＝3，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝13个不同的映射；当m ＝2，n ＝2时，从M 到N 能建立4＝22个不同的映射；当m ＝2，n ＝3时，从M 到N 能建立9＝32个不同的映射．集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立n m 个不同的映射． 课堂小结本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．(2)映射由三个部分组成：集合A ，集合B 及对应法则f ，称为映射的三要素．(3)映射中集合A ，B 中的元素可以为任意的．作业课本本节练习4.补充作业：已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射，并说明理由．(1)A ＝N ，B ＝Z ，对应法则f 为“取相反数”；(2)A ＝{－1,0,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，对应法则：“取倒数”； (3)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝R ，对应法则：“求平方根”；(4)A ＝{0,1,2,4}，B ＝{0,1,4,9,64}，对应法则f ：a →b ＝(a －1)2；(5)A ＝N *，B ＝{0,1}，对应法则：除以2所得的余数．答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．设计感想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．备课资料【备选例题】【例1】区间[0，m]在映射f：x→2x＋m下所得的象集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则m等于( )A．5 B．10 C．2.5 D．1解析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上的值域是[m,3m]，则有[m,3m]＝[a，b]，则a＝m，b＝3m，又区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，所以3m－m＝m＋5，解得m＝5.答案：A【例2】设x∈R，对于函数f(x)满足条件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么对所有的x∈R，f(x2－1)＝________.解析：(换元法)设x2＋1＝t，则x2＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，即f(x)＝x2＋3x－7.所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.答案：x4＋x2－9【知识总结】1．函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．3．函数与映射的关系函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．21 / 21。

高中数学人教A版必修1第一章《1.2 函数及其表示（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。

2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地
从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。

1.2.2函数表示法(1)人教A版必修1一、教学目标（1）知识与技能目标：明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，了解简单的分段函数及其应用。

（2）过程与方法目标：利用实际生活中丰富的函数实例，帮助学生巩固对函数概念的理解，特别是从整体上把握函数概念；克服原有认知局限性，丰富对函数图像、函数对应关系的认识；帮助学生在解决具体问题的过程中领悟数形结合、转化与划归等数学思想方法的重要价值，发展学生思维能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过学习实际生活中丰富的函数实例，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点教学重点：会根据不同的实际情境需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示。

三、学情分析及教学内容分析函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。

同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但对函数的认识还很不全面。

在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。

函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。

特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。

因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。

四、教学过程设计环节1：理解函数表示中定义域的“不可或缺”，从整体把握函数的概念师：在初中我们已经接触过函数的三种表示法，它们分别是？生: 解析法、图像法、列表法.问题一：试用函数的三种表示法表示下列函数y=f(x)?(1)某种饮料单价是3元/瓶,买x（x∈{1，2，3，4，5}）瓶这种饮料需要y元;(2)某种食品的单价是3元/公斤，买x （ x ∈[1,5] ）公斤这种食品需要y 元. 学生活动：1，2两组写第(1)问，三四小组写第(2)问. 思考1：这两个函数有什么不同吗？为什么？学生回答：问题（1）中定义域是集合{1，2，3，4，5};而问题（2）中定义域是[1,5]，定义域不同，因此是两个不同的函数。

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1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。

2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地
从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。

1.2.2函数的表示法（1）（教学设计）教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、复习回顾，新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。

请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、师生互动，新课讲解这三种表示法各有什么优、缺点？列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。

下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。

例题选讲：例1（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2本例能否用解析法？为什么？变式训练2：某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年内12个月份的关系用一条折线连接起来如图1—2—1．请用列表法表示图中的函数关系．图2-2-1解：在图象上找出月份与销售额的对应点，用列表法表示为x(月) 123456789101112y(万406030204050302550604040元)例3（课本P21例5）画出函数y = | x | ．解：（略）归纳：1）如何作y=|f(x)|的图象：先作出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象做关于x轴对称，即得y=|f(x)|的图象。

集体备课主备方案附：导学案设计1．2 函数及其表示第一课时函数的概念明确任务，确立目标【教学目标】1、用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

2、能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。

【教学重难点】教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示。

师生合作，攻克目标导入新课1．回顾初中所学函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．问题：⑴?.0.1是函数吗⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x y R ⑵？x x y x y 是同一函数吗与2==3．导入：这两个例子中的问题提示我们要从更深更广的层面去认识、去研究函数的本质特征。

新知探究探究一 函数的研究背景（实际例子） 1．指导学生阅读教材的三个实例。

2．分析：对实例的背景与研究功能进行剖析；从问题中考虑量的变化范围可确定两个数集。

3．思考：三个例子，变量之间的关系有什么共同点？对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，这种对应记为：f ：A →B ，读作：f 下从A 到B 的对应。

探究二 f ：A →B 的直观分析举例分析：上面三个对应中在对应关系f 下，集合A 与集合B 的元素的对应有何共同点？探究三 函数的近代定义1．设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．2．注意：⑴“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；⑵函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

云南省德宏黄冈启明中学高中数学《1.2 函数及其表示》教学设计 新人教A 版必修1（一）内容及解析1、内容：函数的概念、表示方法2、解析：函数是高中数学的重要内容。

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围。

（二）目标及其解析目标1、掌握函数的概念2、掌握函数的定域、值域3、掌握函数的表示方法解析:1、一般地，设非空A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(x)y f =,x ∈A其中，x,叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{(x)f ∣x A ∈}叫做函数的值域。

2、初中已经接触过函数的三种方法表示：解析法、列表法和图像法。

高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于是学生面对实际情景时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

.教学难点函数概念及符号y=f(x)（三）教学问题诊断分析1、学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。

2、学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的使用解析式表示函数，但这是对函数很不全面认识。

（四）教学支持条件分析为了加强学生对这一节内容的理解，帮助学生克服在学习中遇到的困难，本节尽可能多的对实例进行分析，让学生合作探讨。

（五）教学过程设计1、教学基本流程概述本节内容→本节学习要点→学习过程、实例分析→练习、小结2、问题与例题（1）对教科书中的实例1，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中，t 的变化范围是多少？设计意图：体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 范围。

教学准备1. 教学目标（1）理解函数的概念和记号，掌握函数的三种表示形式；（2）会求基本的代数函数的定义域；（3）掌握两个函数是同一函数的条件，掌握函数的图象特征。

（4）通过问题的讨论、回答，增强数学语言的表达能力，分析、归纳能力，提高数学素质；（5）增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力。

（6）领会一切事物都是在不断变化，而且是相互联系，相互制约的，从而增强辩证唯物主义观点。

2. 教学重点/难点【教学重点】函数的概念【教学难点】深入理解函数的概念3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、新课引入引例：同学们骑车上学，速度越快，用的时间越少。

其中有两个变量某物体运动中距离s，速度v，时间t（1）如果距离s不变，则，变量v与t成反比例（2）如果速度v不变，则s=vt, 变量s与t成正比例复习正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数（板书课题：函数的概念）一、新课讲解l 函数的概念（与映射相结合，回忆初中所学内容）1、判断下面哪些关系是函数关系？6）某自来水厂，水压、时间的对应关系（7）上海市人均住房面积统计表提问：上面各例中的关系哪些是函数关系，为什么？可结合函数定义进行判断回忆函数符号想一想决定一个函数是否仅依靠对应法则？函数的三要素：定义域，对应法则，值域l 函数的表示方法：解析法，列表法，图象法（什么时候用图象法、列表法）l 函数图象具有的特征：三种表示形式各有优劣，互相补充，互相转化。

这种转化思想就是数形结合的思想。

提问：具有函数关系的图象会具有什么特征呢？为此，我们先来判断下列图象是否是函数图象？请同学总结函数图象应具有的特征例：求下列函数的定义域一、课时小结1、函数的三要素：定义域，对应法则，值域2、函数的表示法：解析法，列表法，图象法3、函数图象的特征：经过函数定义域中任何一个点x作垂直于x轴的直线，它与函数的图象恰好有一个交点。

4、两个函数是同一个函数必须满足：定义域相同，对应法则相同二、家庭作业【教学后记】。

教学准备1. 教学目标掌握①定义域②对应法则③值域2. 教学重点/难点掌握①定义域②对应法则③值域3. 教学用具4. 标签教学过程一、[基础知识]（一）映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

（二）函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。

②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。

（2）构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域注意：强调分段函数的表示形式及解题方法。

二、例题选讲关于函数三要素例1(或P10:例1)、下列各组函数中，表示相同函数的是（D）三、小结1.判断两个函数是否同一，要紧扣函数概念三要素：定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。

2、映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是一种特殊对应关系，只有一对一、多对一的对应才是映射。

3、分段函数是重点和难点，关键是分段解决四、作业：优化设计P11 闯关训练备1、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？解（1）不是映射（2）是映射，也是函数（3）是映射，不是函数。

教学准备1. 教学目标1、函数三要素：定义域、对应法则、值域2、几个基本函数：几个特殊幂函数、指数函数、对数函数、分段函数、绝对值函数、分式函数3、函数性质：单调性、奇偶性、对称性4、函数图象：会画基本函数的图象5、函数应用：求最值2. 教学重点/难点1、函数三要素：定义域、对应法则、值域2、几个基本函数：几个特殊幂函数、指数函数、对数函数、分段函数、绝对值函数、分式函数3、函数性质：单调性、奇偶性、对称性4、函数图象：会画基本函数的图象5、函数应用：求最值3. 教学用具4. 标签教学过程知识网络1、函数三要素：定义域、对应法则、值域2、几个基本函数：几个特殊幂函数、指数函数、对数函数、分段函数、绝对值函数、分式函数3、函数性质：单调性、奇偶性、对称性4、函数图象：会画基本函数的图象5、函数应用：求最值常用的求函数值域的方法1、利用函数的单调性2、对数的运算法则3、函数的奇偶性：判断函数的定义域是否关于原点对称4、函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数注：1、函数的单调性是函数的局部性质，函数的定义域不一定是函数的单调区间；2、取值，作差，判定典例解读1、判断下列函数的奇偶性2、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(x)不等于0。

求证：f(0)=1；f(x)为偶函数3、在定义域内为减函数的是（）A.y=B.y=C.y=x3D.y=lg4、函数f(x)= -log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.（1，32）D.[32，2]5、求函数的定义域、值域和单调区间反函数1、函数 y = 2-x+1(x>0)的反函数是________2、点(1，2)既在函数y= 的图像上，又在其反函数的图像上，求a、b的值3、已知函数f(x)=2x2+4x-7，x∈[0，+∝]，求f-1(-7)的值典例解读1、若f（x）的定义域是[0，5]，求f（x 2－2x－3）的定义域2、若f（x+3）定义域是[－4，5），求f（2x－3）的定义域。

广东省德庆县孔子中学高中数学《1.2 函数及其表示函数的表示法（一）》教案新人教A版必修1教学内容课题:教学目标 1. 选用恰当形式表示函数2..体会函数三种表示形式的优点.3. 尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.教学策略手段1、创设情境，引入新课(采取情景导入法)2、推进新课(结合教材的例子采用传统讲授方式).（1）回顾函数的有关概念.（2）．函数的表示方法.解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.（3）通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.（4）（能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识..例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x).解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y = f (x)表示为y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.用列表法可将函数y = f (x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y = f (x)表示为下图.例3 画出函数y = |x|的图象.例4 某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？3. 课堂练习巩固知识1，下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）2. 函数||x y x x =+的图象为下图中的（ C ）3， 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =53(1),3(12),35(2).x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎨⎪->⎩[函数的图象如图（1）所示.（2）y = |x2 – 4x + 3| =2243(1,3),43(13).x x x x x x x ⎧=+≤≥⎪⎨-+-<<⎪⎩或图象如图（2）所示图（1） 图（2）课堂练习巩固练习教材P.23练习第1、2、3题4， 已知y = f (x)的图象如右图所示，求f (x).【解析】1,(0),(),(01).x x f x x x +<⎧=⎨-≤≤⎩教学反思。