第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系,[学生用书P147])1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<02设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，22222222方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解1．直线3x＋4y＋1＝0与圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：A2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切答案：B1．辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．2．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)． 3．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2．(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]．注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [做一做]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0解析：选D ．因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)，∴k PQ ＝－32－1＝－3，∴切线斜率k ＝33，∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 4．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：圆心为(2，－1)，半径r ＝2．圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d2＝222－⎝⎛⎭⎫3552＝2555．答案：2555,[学生用书P 148～P 149])考点一__直线与圆的位置关系__________________(1)(2013·高考陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(2013·高考湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2．设线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)∵圆心(0，0)到直线l 的距离为1，又∵圆O 的半径为5，故圆上有4个点符合条件．[答案] (1)B (2)4[规律方法] 判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．1．(2015·山东聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．考点二__圆与圆的位置关系____________________已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切； (2)圆C 1与圆C 2内含．[解] 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后得 C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4． (1)如果C 1与C 2外切，则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝3＋2． (m ＋1)2＋(－2－m )2＝25．m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2．∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切． (2)如果圆C 1与圆C 2内含，则有 （m ＋1）2＋（－2－m ）2<3－2． (m ＋1)2＋(－2－m )2<1，m 2＋3m ＋2<0， 解得－2<m <－1，∴当－2<m <－1时，圆C 1与圆C 2内含．在本例条件下，求公共弦所在的直线方程．解：圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，② 由②－①得2x ＋2mx －2my －4y ＋2＝0， ∴(m ＋1)x －(m ＋2)y ＋1＝0．[规律方法] (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．2．(2015·郑州质检)若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4．答案：4考点三__圆的切线与弦长(高频考点)____________与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长；(3)与切线长有关的问题； (4)由弦长及切线问题求参数．已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4．(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1，2)，半径长r ＝2．(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1．∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0． (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0．又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34．∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0．综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0． ∵|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1．[规律方法] (1)求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况．(2)求解与圆的弦长有关的计算问题时，常利用圆的半径r ，弦长l 与弦心距d 之间的关系：r 2＝d 2＋l 24，一般不用代数法求解．3．(1)(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8(2)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－34，0 B ．⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3，3] D ．⎣⎡⎦⎤－23，0 (3)(2015·济南模拟)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：(1)由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ．圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2．由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4．(2)如图，设圆心C (2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33．(3)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a ，0)，则由题意知(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0．答案：(1)B (2)B (3)x ＋y －3＝0,[学生用书P 149])考题溯源——有关弦长问题(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________________．[解析] 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1．∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4． [答案] (x －2)2＋(y －1)2＝4[考题溯源] 本题源于人教A 版必修2 P 132 A 组第6题“求圆心在直线3x －y ＝0上，与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．”1．(2014·高考福建卷)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A ．将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1．又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1．因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A ．2．(2015·山西太原五中调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若2c cos(C －π2)＝a sin(π－A )－b cos(π2＋B )，则圆M ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax －by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由2c cos(C －π2)＝a sin(π－A )－b cos(π2＋B )，化简得2c sin C ＝a sin A ＋b sin B ，由正弦定理，可得2c 2＝a 2＋b 2；圆M ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为r ＝2，圆心M 到直线l ：ax －by ＋c ＝0的距离为d ＝|c |a 2＋b 2＝22，所以圆M 被直线l 所截得的弦长为2r 2－d 2＝24－（22）2＝14． 答案：141．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切，则圆O 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A ．依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4． 2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A ．12B ．1C ．22D ． 2解析：选D ．因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－（22）2＝22，所以弦长为2． 3．(2014·高考湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C ．圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ． 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5．又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9． 4．(2015·湖南岳阳模拟)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．12，－4B ．－12，4C ．12，4D ．－12，－4解析：选A ．因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4．5．过点P (4，1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x －y －4＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．4x －y －4＝0D ．4x ＋y －4＝0解析：选B ．如图所示，A 点的坐标为(1，1)，∵AB ⊥PC ，k PC ＝13，∴k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．6．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1，2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1，2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x＝0，得y ＝52．令y ＝0，得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254．答案：2547．(2015·辽宁阜新模拟)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．解析：∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l 交圆的弦长最短，此时圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l ．∵2－01－2＝－2， ∴所求直线l 的斜率k ＝22．答案：228．(2015·山东济南模拟)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝________．解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即yx ＝±3．答案：3或－ 39．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0． (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2．(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2．解得a ＝－34．(2)过圆心C 作CD ⊥AB (图略)，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1．故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0．10．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角． 解：(1)证明：将已知直线l 化为y －1＝m (x －1)． 故直线l 恒过定点P (1，1)． 因为12＋（1－1）2＝1<5， 故点P (1，1)在已知圆C 内，从而直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)圆半径r ＝5，圆心C 到直线l 的距离为d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝32，由点到直线的距离公式得|－m |m 2＋（－1）2＝32，解得m ＝±3，故直线的斜率为±3，从而直线l 的倾斜角为π3或2π3．1．(2014·高考江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π解析：选A ．∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |．又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π． 2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A ．设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为(－31＋λ，－3λ1＋λ)，又圆心在直线x －y－4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．3．(2015·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0．若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4．先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为22”．再将“直线上存在点P 到圆心的距离为22”转化为“圆心到直线的距离小于等于22”．即|3k |k 2＋1≤22，－22≤k ≤22．答案：[－22，22] 4．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1，0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2．问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3，0)与点P (1，－3)之间的距离为（3－1）2＋（0＋3）2＝7， 故（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为7＋1． 答案：7＋15．已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0(0＜a ≤4)的圆心为C ，直线l ：y ＝x ＋m ． (1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0，4]上变化时，求m 的取值范围． 解：(1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0， ∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ，设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，当m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－a －a ＋4|2＝2·|a －2|，则t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10，又0＜a ≤4， ∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为210． (2)圆心C 到直线l 的距离为 d ＝|－a －a ＋m |2＝|m －2a |2，∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a ，∴m ＝2a ±22a ，又∵直线l 在圆心C 的下方， ∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1，∵a ∈(0，4]，∴m 的取值范围是[－1，8－42]． 6．(选做题)(2015·广东揭阳模拟)已知曲线C 的方程为：ax 2＋ay 2－2a 2x －4y ＝0(a ≠0，a 为常数)．(1)判断曲线C 的形状；(2)设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B (A ，B 不同于原点O )，试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且|OM |＝|ON |，求曲线C 的方程．解：(1)将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4a y ＝0⇒(x －a )2＋(y －2a )2＝a 2＋4a2，可知曲线C 是以点(a ，2a )为圆心，以 a 2＋4a2为半径的圆．(2)△AOB 的面积S 为定值．证明如下：在曲线C 的方程中令y ＝0，得ax (x －2a )＝0，得点A (2a ，0)，在曲线C 方程中令x ＝0，得y (ay －4)＝0，得点B (0，4a)，∴S ＝12|OA |·|OB |＝12·|2a |·|4a|＝4(定值)． (3)∵圆C 过坐标原点， 且|OM |＝|ON |，∴OC ⊥MN ，∴2a 2＝12，∴a ＝±2，当a ＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为5，圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离d ＝|－4－1－4|5＝95＞5，直线l 与圆C 相离，不合题意舍去， a ＝2时符合题意．这时曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0．。