2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

数学初二希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333…D. √22. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，这个三角形是什么类型的三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. -16D. 44. 以下哪个表达式的结果不是正数？A. -1 + 2B. √4C. -√4D. (-2)^25. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的倒数是1/3，这个数是多少？A. 3B. 1/3C. 1/9D. 97. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是多少度？A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°8. 一个正方体的棱长是3，那么它的体积是多少？A. 27B. 9C. 3D. 19. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 010. 以下哪个是二次根式？A. √3B. √(-1)C. √(2x)D. √(2x+1)二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方根是2，这个数是______。

12. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

13. 一个数的绝对值是10，这个数可能是______或______。

14. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是______。

15. 一个数的平方是25，这个数是______或______。

16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是______。

17. 一个数的平方根是±3，这个数是______。

18. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

19. 一个圆的直径是10，那么它的半径是______。

初二组希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的周长是直径的π倍B. 圆的周长是半径的2π倍C. 圆的周长是直径的2倍D. 圆的周长是半径的π倍答案：B2. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：C3. 以下哪个方程的解是x=2？A. x+2=4B. x-2=0C. 2x=4D. x^2=4答案：C4. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是？A. 1<x<7B. 1<x<7且x≠3.5C. 7<x<11D. 以上都不对答案：B5. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C6. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A7. 一个数的相反数是-3，这个数是？A. 3C. 0D. 以上都不对答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. 2x+3=7的解是x=2B. 3x-5=10的解是x=5C. 4x+6=18的解是x=3D. 以上都不对答案：C9. 一个等腰三角形的底边长为5，两腰长为6，那么这个三角形的周长是？A. 17B. 18D. 20答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. 一个数的立方根是它本身B. 一个数的平方根是它本身C. 一个数的立方根和平方根是同一个数D. 以上都不对答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个圆的半径是3，那么它的面积是________。

答案：9π12. 一个数的平方是16，那么这个数是________。

答案：±413. 一个三角形的两边长分别为4和5，第三边长x满足的条件是________。

答案：1<x<914. 一个数的绝对值是4，这个数可能是________。

答案：4或-415. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为8，那么这个三角形的周长是________。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛 1试初二第_______________30 得分日上午8：30至11：2011年3月13以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字分)一、选择题(每小题4分，共40 母写在下面的表格总得2345678910题1DACACCC答CAA( ) 千克，则由此可列出方程为、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x1%15%?(a?x)?a(1?10%)?(a?x)(1?15%)?10a、BA、%15?10%?x?a?a%)1510%)?x(1??a(1、C、 D( )的关系是则所用的时间减少b%，则a，b2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，a100100aa100?b?b?b?b、A C、、 D B、a?a1001?a%1?a%1?1x?|?2x?1|?x?1?m?|x|( )m、当3时，不等式的最大值是恒成立，那么实数4 3 D、、2 C、1 BA、kkx?1y?y?2x?与横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数4、在平面直角坐标系中，( )k的值有的图象的交点是整点，则个 D、5、2个 B、3个 C、4个A6??1|2?|2x is ( )The sum of all such integers x that satisfy inequality 5、0、2 D、A、8 B、5 C) 满足；inequality 不等式(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy32220b?c?bc?aab?( ) b，c，且，则这个三角形一定是6、若三角形的三条边的长分别为a， D、等腰直角三角形、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形Aintersects AG ABCD is a square. the 7、As shown in figure 1，point C is on segment BG and quadrilateralBD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( )8165 4 D、 BA、、 C、A D 33 E 5 ) 与…相交于…square 正方形；intersect…at… (英汉词典：F3 151?2( ) n能分解成n个质因数的乘积，8、的值是G34 D、A、6 B、5 C、BCfigure 10?x?ay?1?( )没有实数解，则、若关于x，y的方程组9?0??2ya?bx?2?2a?a?1ab??2ab?2?ab?2ab??且 DA、C且、 B、、于点C，AOB°，OP平分∠，PC⊥、如图10OB2，∠AOB=45A( )，则OC的长是若PC=22?2232?、A、7 B、6 C、 D P 2 ) 分4分，共40二、A 组填空题(每小题O BC 549?2图?2?5； 11、化简：5?23x?2y?k?1?k?32y?74x?；，则k的解使的方程组，、若关于12xy的取值范围是?2?3x2?y?1AABC分成一个的线段MN把等边△13、如图3，平行于BC的周长相AMN和四边形MBCN三角形和一个四边形，已知△；MN的长度之比是 4:3 等，则BC与M N 、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，14 8月份分钟，再停机停机15分钟，再运转515分钟，……，又知CB3图 )，则这台冰箱的压缩度=1千瓦时这台冰箱的耗电量是24.18度 (1 130 瓦；机运转时的功率是1112222??02a???4a?4b?12ca?a?b?c?42的，满足和，则代数式15、已知自然数a，b，c cba；值是 12?y的面AOBO为原点，则△3，5.16、已知A、B是反比例函数设B的图象上的两点，A、的横坐标分别是x16；积是15；的最小值是 121 是11个连续整数的平方和，则A17、设完全平方数A 218，则首尾两个数的和是38个数与第63个数的和为个连续的偶数从小到大排成一行，其中第18、将100 218 ；地，然后下车步行，之间的C。

初二数学希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 05. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 + 2 = 5B. 7 - 5 = 2C. 4 × 2 = 8D. 6 ÷ 2 = 3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。

7. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是_________。

8. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。

9. 一个数的相反数是-3，那么这个数是_________。

10. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是_________。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，求这个长方体的体积。

12. 已知一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。

13. 已知一个等腰三角形的底边长是6cm，两腰长是5cm，求这个等腰三角形的面积。

初二数学希望杯试题答案一、选择题答案1. B2. C3. A4. C5. D二、填空题答案6. 167. -38. 1/29. 310. ±3三、解答题答案11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= 3cm × 4cm × 5cm =60cm³。

12. 圆的面积= π × 半径² = 3.14 × 7cm × 7cm = 153.86cm²。

13. 等腰三角形的面积 = (底× 高) / 2。

这篇全国“希望杯”数学邀请赛初⼆年级重点考试内容的⽂章，是特地为⼤家整理的，希望对⼤家有所帮助！
1.平⽅根、⽴⽅根、实数
2.整式的加减乘除、乘法公式、提取公因式法、因式分解的简单应⽤
3.⼆元⼀次⽅程组
4.平⾯直⾓坐标系、⼀次函数、反⽐例函数
5.⼀元⼀次不等式（组）
6.勾股定理
7.轴对称，中⼼对称
8.全等三⾓形
9.多边形及其内⾓和、镶嵌
10.统计图的选择、抽样调查、平均数、中位数与众数
11.分式加减乘除、整数指数幂、分式⽅程
12.平移、旋转
13.逻辑问题、概率问题、数论初步、应⽤问题
14.平⾏四边形的性质、判别，菱形、矩形、正⽅形、梯形的概念、计算。

2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程为（）A．a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）B．a×10%=（a+x）×15%C．a×10%+x=a×15% D．a（1﹣10%）=x（1﹣15%）2．（4分）一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是（）A． B． C．D．3．（4分）当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，那么实数m的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（4分）平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．若函数y=2x﹣1与y=kx+k的图象的交点为整点时，则整数k的值可取（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（4分）The sum of all such integers x that satisfy inequality 2≤|2x﹣1|≤6 is （）（英汉词典：sum和．integer整数．satisfy满足．inequality不等式）A．8 B．5 C．2 D．06．（4分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（4分）As shown in figure point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square．AG intersects BD and CD at points E and F，respectively．If AE=5 and EF=3，then FG=（）（英汉词典：square正方形．intersect…at…与…相交于…）A．B．C．4 D．58．（4分）216﹣1能分解成n个质因数的乘积，n的值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．（4分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠210．（4分）如图，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，若PC=2，则OC 的长是（）A．7 B．6 C．D．二、填空题（共15小题，11-20题，每小题4分，21-25题，每小题8，满分80分）11．（4分）化简：．12．（4分）若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是．13．（4分）如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是．14．（4分）小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是瓦．15．（4分）已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是．16．（4分）已知A、B是反比例函数的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5．设O为原点，则△AOB的面积是．17．（4分）设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是．18．（4分）A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B．甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C地与A地相距km．19．（4分）已知，则直线y=kx+k必经过点．20．（8分）等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是或．21．（8分）已知10个数x1，x2，x3，…，x10中，x1=10，对于整数n＞1，有，则，．22．（8分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中抽签，随机选一名男生和一名女生去参观，则所有可能出现的结果有个；恰好选中男生甲和女生A的概率是．23．（8分）若关于x的方程的解是x1=a，，那么方程的解是，．24．（8分）若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是和．2011年第22届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程为（）A．a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）B．a×10%=（a+x）×15%C．a×10%+x=a×15% D．a（1﹣10%）=x（1﹣15%）【解答】解：两个水的量一样∴可得a（1﹣10%）=（a+x）（1﹣15%）．故选：A．2．（4分）一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是（）A． B． C．D．【解答】解：设原来的速度为x，所用的时间为y．xy=x（1+a%）y（1﹣b%），解得b=．故选：D．3．（4分）当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，那么实数m的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵|x+1|+≥m﹣|x﹣2|，∴m≤|x+1|++|x﹣2|，设y=|x+1|++|x﹣2|，当1≤x＜2时，y=x+1++2﹣x=3+≥3，当x≥2时，y=x+1++x﹣2=2x+﹣1≥4，∴y的最小值是3，∵当x≥1时，不等式|x+1|+≥m﹣|x﹣2|恒成立，∴m的最大值是3，故选：C．4．（4分）平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．若函数y=2x﹣1与y=kx+k的图象的交点为整点时，则整数k的值可取（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由题意得：，把①代入②得，kx+k=2x﹣1，解得：，∴k可取的整数解有﹣1，1，3，5共4个．故选：C．5．（4分）The sum of all such integers x that satisfy inequality 2≤|2x﹣1|≤6 is （）（英汉词典：sum和．integer整数．satisfy满足．inequality不等式）A．8 B．5 C．2 D．0【解答】解：（1）当2x﹣1＜0时，∴﹣6≤2x﹣1≤﹣2，∴，解得，所有不等式的解集为：，∴在此范围内的整数有﹣2、﹣1两个．（2）当2x﹣1＞0时，∴2≤2x﹣1≤6，∴，解得：，所有原不等式的解集为：≤x≤3，∴在此范围内的整数有2，3．所有同时满足原连续不等式的整数解有2个．故选：C．6．（4分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a2b﹣a2c+b2c﹣b3=a2（b﹣c）﹣b2（b﹣c）=（b﹣c）（a2﹣b2）=（b﹣c）（a﹣b）（a+b）=0，∴b﹣c=o或a﹣b=0或a+b=0（舍去），∴b=c或a=b．∴这个三角形一定是等腰三角形．故选：A．7．（4分）As shown in figure point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square．AG intersects BD and CD at points E and F，respectively．If AE=5 and EF=3，then FG=（）（英汉词典：square正方形．intersect…at…与…相交于…）A．B．C．4 D．5【解答】解：在正方形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∴==，又AD=BC，在△ABG中，∴===，即=，解得FG=．故选：A．8．（4分）216﹣1能分解成n个质因数的乘积，n的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵216﹣1=（28+1）（28﹣1）=（28+1）（24+1）（24﹣1）=（28+1）（24+1）（22+1）（22﹣1）=（28+1）（24+1）（22+1）（2+1）（2﹣1）=257×17×5×3．∴n=4．故选：C．9．（4分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠2【解答】解：，由①得，x=﹣1﹣ay，代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a=0，即（﹣ab﹣2）y=b﹣a，因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2=0，ab=﹣2．故选：A．10．（4分）如图，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，若PC=2，则OC 的长是（）A．7 B．6 C．D．【解答】解：设∠POC=α，则tan2α=，即=1，化简：tanα2+2tanα﹣1=0，解得tanα=﹣1±，∵∠POC=α=22.5°，∴tanα＞0故tanα=﹣1，又tanα=，PC=2，∴OC==2+2．故选：C．二、填空题（共15小题，11-20题，每小题4分，21-25题，每小题8，满分80分）11．（4分）化简：．【解答】解：原式==2+．故答案为2+．12．（4分）若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是．【解答】解：由①×2﹣②×3，并解得y=；③由①×3+②×2，得13x=3k+1，解得x=；④把③④代入4x+7y＞2，得4×+7×＞2，不等式的两边同时除以2，得2×+7×＞1，不等式是两边同时乘以13，得2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13，去括号，得13k﹣26＞13，移项，得13k＞39，不等式的两边同时除以13，得k＞3；故答案为：k＞3．或①×2﹣②得到：4x+7y=2k=4，由题意2k﹣4＞2，∴k＞3．13．（4分）如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．【解答】解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．14．（4分）小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，…，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度（1度=1千瓦时），则这台冰箱的压缩机运转时的功率是130瓦．【解答】解：这台冰箱一小时内的运转时间是=小时．设这台冰箱的压缩机运转时的功率是x瓦．则（24×31×）x=24.18×1000．解得x=130．故答案是：130．15．（4分）已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是1．【解答】解：∵a2﹣a﹣2＞0，（a﹣2）（a+1）＞0，∴a＞2或a＜﹣1．a2+b2+c2+42﹣4a﹣4b﹣12c＜0配方得：（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣6）2＜2，∵a，b，c是自然数，∴a=3，b=2，c=6，∴++=++=++=1．故答案是：1．16．（4分）已知A、B是反比例函数的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5．设O为原点，则△AOB的面积是．【解答】解：如图，过A点作AC⊥x轴，过B点作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B的横坐标分别是3，5，∴A（3，），B（5，），∴S=S△AOC+S梯形ACDB﹣S△BOD△AOB=×3×+×（+）×（5﹣3）﹣×5×=．故本题答案为：．17．（4分）设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是121．【解答】解：设11个连续整数分别为：x﹣5，x﹣4，x﹣3，x﹣2，x﹣1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．∴A=（x﹣5）2+（x﹣4）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2+（x﹣1）2+x2+（x+1）2+（x+2）2+（x+3）2+（x+4）2+（x+5）2，=11x2+2×（1+4+9+16+25），=11x2+110，=11（x2+10），∵A为完全平方数，∴x2+10=11n，n为完全平方数，∴当n=1时，A的值最小．此时A=11×11=121．故答案为：121．18．（4分）A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B．甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C地与A地相距10km．【解答】解：设AC相距xkm，乙骑自行车的速度为akm/小时．+=，解得x=10，故答案为10．19．（4分）已知，则直线y=kx+k必经过点（﹣1，0）．【解答】解：∵，∴ak=b+c①；bk=a+c②，ck=a+b③，∴①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=﹣c，∵k===﹣1，∴直线为y=﹣x﹣1；（2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=﹣x﹣1和y=2x+2必经过点（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．20．（8分）等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是75°或100°．【解答】解：设其内角之比为x，则有两种情况：①2x+2x+5x=180°，②5x+5x+2x=180°由①2x+2x+5x=180°，解得x=20，则这个三角形的三个角分别为：40，40.100，那么最大内角的度数为：100°；由②5x+5x+2x=180°解得x=15，则这个三角形的三个角分别为：75，75.30，那么最大内角的度数为：75°故答案为75°或100°．21．（8分）已知10个数x1，x2，x3，…，x10中，x1=10，对于整数n＞1，有，则，．【解答】解：由，x1=10，得x2====，∴x1x2=10×=2．x3====15，同理可得，x4=，x5=，x6=，x7=，x8=，x9=，x10=，∴x2x3…x10=×15×××××××=384．故答案为：2；384．22．（8分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中抽签，随机选一名男生和一名女生去参观，则所有可能出现的结果有6个；恰好选中男生甲和女生A的概率是．【解答】解：根据题意知，所有可能出现的结果有6种：甲、A，甲、B，乙、A，乙、B，丙、A，丙、B，故恰好选中男生甲和女生A的概率是．故本题答案为：6；．23．（8分）若关于x的方程的解是x1=a，，那么方程的解是，．【解答】解：两边同时乘以﹣1得，，两边同时加1得，，可变形为②，∵于x的方程①的解是x1=a，，∴②的解为（1）1﹣x=1﹣a；解得x=a；（2）1﹣x=；解得x=．故答案为x1=a，x2=．24．（8分）若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是37和15．【解答】解：设这两个两位数分别是a、b，由题意得，a﹣b=11n，ab=111m，（m、n代表1～9的任意一个数字），由ab=111m=3×37×m，可知a=37（或b=37），b=3m（或a=3m），由a﹣b=11n，可知a、b被11除的余数相同，37除以11余数是4，3m除以11余数是4，只有当m=5时成立，因此得出另一个两位数为15．故答案为37，15．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第一试2011年3月13日 上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、 将a 千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程（ ） （A ）()()().%151%101-+=-x a a （B ）()%.15%10∙+=∙x a a （C ）%.15%10∙=+∙a x a （D ）()().%151%101-=-x a2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（ ） （A ）%1100a a b +=（B ）%1100a b += （C ）a a b +=1 （D ）aab +=1001003、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（ ）（A ）1． （B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个（A ）2． （B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（ ） （A ）8． （B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形 7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A ）316。

（B ）38。

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若，则d的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．42．（4分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b3．（4分）下列各数中，最大的是（）A．B．C． D．4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是（）A．2009 B．2010 C．2011 D．20125．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy，then the value of a+b is（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜27．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点（）A．B．C．D．8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负数D．x是负数、y是正数9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，thenthe value for is（）A．1 B．100 C．﹣1 D．﹣110．（4分）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C．D．11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1） B．（x1﹣2x2，y1﹣2y2）C．（2x1﹣x2，2y1﹣y2） D．（2x2﹣x1，2y2﹣y1）12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm313．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）A．12 B．24 C．36 D．4814．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D 点，∠ADC=130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°15．（4分）Given△ABC with∠ACB=90°，∠ABC=15°，AC=1，then the length of BC is（）A．B．C．D．16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）A．30 B．36 C．40 D．4517．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形18．（4分）有4个命题：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．319．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）A．81 B．C．D．20．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．722．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non ﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure（）A．3 B．4 C．5 D．623．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）A．它们的和是奇数B．它们的和是偶数C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）A．0 B．1 C．2 D．多于225．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）A．6 B．12 C．18 D．2426．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）A．2 B．2.4 C．3 D．3.527．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：128．（4分）12页书的页码用15个数码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．下面的数码的个数中，不能用来计算一本书的页数的是（）A．534 B．1998 C．1999 D．201029．（4分）方程2u+v+x+y+z=3的非负整数解（u，v，x，y，z）有几组？（）A．10 B．20 C．24 D．3030．（4分）老师问5个学生，昨天晚上你们有几个复习数学了张：没有人李：一个人王：两个人赵：三个人刘：四个人老师知道昨天晚上他们有人复习数学了，也有人没有复习数学，复习了的人说的是真话，那么这5个学生中复习了数学的人数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共45小题，每小题5分，满分225分）31．（5分）已知x为正整数，设A=x3+3x2﹣45x﹣175，若A为完全平方数，则A 的最小值是．32．（5分）若58﹣1能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数分别是和．33．（5分）已知实数x，y满足，则x=，y=．34．（5分）计算=．35．（5分）若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16=0，则点P的坐标为．36．（5分）已知：，，，…，若（a，b为正整数），则ab=．37．（5分）若关于x的分式方程无解，则m=．38．（5分）当，化简=．39．（5分）若a＜0＜b，|a|＜|b|，且a2+b2=﹣8ab，则=．40．（5分）若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=41．（5分）已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．42．（5分）若x+y+z=6，xy+yz+zx=11，xyz=6，则=．43．（5分）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n）（其中m，n 均为整数），则a的值是．44．（5分）若a，b是实数，且，则ab=．45．（5分）方程的解是x=46．（5分）设正整数x≠y，且满足，则x2+y2的值是．47．（5分）已知，那么A2+B2=．48．（5分）已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是．49．（5分）先阅读材料：若整数a是整系数方程x3+px2+qx+r=0的解，则﹣r=a （a2+pa+q），说明a是r因数．根据以上材料，可求得x3+4x2﹣3x﹣2=0的整数解为x=．50．（5分）定义，那么=．51．（5分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．52．（5分）已知a是正整数，若关于x的方程2x﹣a ﹣a+4=0至少有一个整数根，则a的值是．53．（5分）如果三角形三边的长分别为1，k，4，代数式的值为m，则m的取值范围是．54．（5分）若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且，a+b﹣c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是，最小值是．55．（5分）如图所示，要从80cm×160cm的长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下的半圆最大直径是cm．56．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是°．57．（5分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，延长AB到D，使AD=BC，连接DC，则∠BCD的度数是．58．（5分）如图所示，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PE∥AC交AB 于E，PF∥AB交BC于F，交AC于D，已知△ABC的周长是12cm，则PD+PE+PF= cm．59．（5分）如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为．60．（5分）如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，在△ABC内取一点M，使得∠MBA=30°，∠MAB=10°，那么∠AMC的度数是．61．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于．62．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DB，AB=AC，∠ACD=30°，则∠BAD的度数是．63．（5分）如图所示，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，EC交于点G，则=．64．（5分）如图，在平面直角坐标系内，放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，CO=5，若点P在梯形内，且S△PAD=S△POC，S△PAO=S△PCD，那么点P的坐标是．65．（5分）直线上的点A的横坐标为2，线段AB在直线上，且AB=5，线段AB向右平移2个单位后，点B的坐标为．66．（5分）一次函数y=﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上，OP（O是坐标原点）将△OAB分成面积为1：2的两部分，则过点P 的反比例函数解析式为．67．（5分）已知，则y2•y2011=．68．（5分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为．69．（5分）已知a，b，c都是﹣3到3之间的非零整数，且，则符合条件的a，b，c有组．70．（5分）若（x+2）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4=．71．（5分）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组有正数解的概率为．72．（5分）先将100个杯子排成一列，杯口朝上．从左向右从1数到100，数到3的倍数时把杯子翻过来；再从右向左从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有个杯子杯口朝上．73．（5分）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．74．（5分）若对于所有的实数x，都有f（2x）+xf（2﹣x）=x2，则f（2）=．75．（5分）博览会的门票每张50元，每人限购1张，现有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有100元的钞票1张，另外5个小朋友只有50元的钞票1张，售票员没有准备零钱，那么最多有种排队方法，使售票员总能找得开钱．三、解答题（共5小题，满分0分）76．某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品需要甲原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．（1）该化工厂现有原料能否保证生产？若能保证生产，有几种生产方案？（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低，最低生产总成本是多少？77．若方程组的解为．求方程组的解．78．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB=2BE．79．将编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下要求涂色：（1）涂色的球有2个；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有几种？80．直线y=kx+4分别于x轴、y轴相交于点A、B，O是坐标原点，A点的坐标为（4，0），P是OB上（O、B两点除外）的一点，过P作PC⊥y轴交直线AB于C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）（1）求k的值；（2）如果点P在线段OB（O、B两点除外）上移动，求l于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P运动到线段OB的中点时，四边形OPCD为正方形，将正方形OPCD 沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB 重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式．2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题参考答案与试题解析一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若，则d的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．4【解答】解：∵，∴两式相减得，﹣=0，∴=，∴点D是线段AC的中点，∴d=0．故选：B．2．（4分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a==+，b==+，∴a＞b，a＞c．∴a最大．故选：B．3．（4分）下列各数中，最大的是（）A．B．C． D．【解答】解：∵（+）2=10+2（2+）2=10+2（）2=10+2（）2=10+2，又∵21＜24＜＜25，∴+＜2+＜＜，∴最大的是：．故选：C．4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是（）A．2009 B．2010 C．2011 D．2012【解答】解：a2﹣2010a+4=0即：a2﹣2009a﹣a+4=0∴a2﹣2009a=a﹣4，a2+4=2010a∴原式=a﹣4++5=a﹣4++5=+5=+5=2011故选：C．5．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy，then the value of a+b is（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：依题意++=2a﹣4，∴2a﹣4≥0，2a﹣4++=2a﹣4，∴+=0，∴b=﹣2 a=3，∴a+b=1．故选：C．6．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【解答】解：∵y=ax+b 经过点（﹣2，0），∴0=﹣2a+b，∴b=2a，∵该直线不经过第一象限，∴a＜0，ax＞b，即ax＞2a，∴x＜2．故选：D．7．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点（）A．B．C．D．【解答】解：已知反比例函数的图象经过点，代入得：k=xy=﹣，A、假如过点，则k=﹣，故A选项错误；B、假如过点，则k=﹣，故B选项正确；C、假如过点，则k=﹣，故C选项错误；D、假如过点，则k=﹣，故D选项错误；故选：B．8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负数D．x是负数、y是正数【解答】解：，②×2﹣①得，7y=2﹣9a，y=③，③代入②得，x=1﹣2a﹣2y=1﹣2a﹣2×=．A、，解得﹣＜a＜，故本选项错误．B、，解得a＞，a＜﹣，无解，故本选项正确．C、，解得a＜﹣，故本选项错误．D、，解得a＞，故本选项错误．故选：B．9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，thenthe value for is（）A．1 B．100 C．﹣1 D．﹣1【解答】解：∵（1﹣99a）（1+99b），=1+99b﹣99a﹣99×99ab，=1+99（b﹣a）﹣99×99ab，∴1+99（b﹣a）﹣99×99ab=1，即b﹣a=99ab…①；又∵（a≠0，b≠0），=+1，②将①代入②，得，=+1，=99+1，=100．故选：B．10．（4分）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，故可排除A、C；∵x=﹣1时，y＜1，∴＜1，∴k＞﹣1，故可排除B．故选：D．11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1） B．（x1﹣2x2，y1﹣2y2）C．（2x1﹣x2，2y1﹣y2） D．（2x2﹣x1，2y2﹣y1）【解答】解：设所求点为（x，y）则，x1+x=2x2，y1+y=2y2 ，∴x=2x2﹣x1，y=2y2﹣y1，∴所求点为（2x2﹣x1，2y2﹣y1），故选：D．12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm3【解答】解：∵长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm，∴长方体盒子的高h满足：50≤h≤90，所以其体积V满足：22500≤V≤40500．故选：D．13．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：如图，先计算其中的一种情况，∠1与∠8，∠2与5，∠3与∠4，∠6与∠8，∠5与∠9，∠3与∠7，共6对，∵四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点，有4种情况，∴4×6=24．故选：B．14．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D 点，∠ADC=130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°【解答】解：设∠CAB=x∵在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠ACB=（180°﹣x）∵CD是∠ACB的角平分线，AD是∠BAC的角平分线∴∠ACD=（180°﹣x），∠DAC=x∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°∴（180°﹣x）+x+130°=180°∴x=20°故选：D．15．（4分）Given△ABC with∠ACB=90°，∠ABC=15°，AC=1，then the length of BC is（）A．B．C．D．【解答】解在BC上截取一点D，连接AD，使AD=BD则∠DAB=∠DBA=15°∴∠ADC=30°又∵∠ACB=90°∴AD=2AC=2×1=2∵AD=BD∴BD=2∴CD===∴BC=BD+CDBC=2+故选：A．16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）A．30 B．36 C．40 D．45【解答】解：∵三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a＜b，b=7，∴a=1，2，3，4，5，6．根据三角形的三边关系，得b﹣a＜c＜b+a，即7﹣a＜c＜7+a．当a=1时，6＜c＜8，则c=7，此时满足条件的三角形有1个；当a=2时，5＜c＜9，则c=6，7，8，此时满足条件的三角形有3个；当a=3时，4＜c＜10，则c=5，6，7，8，9，此时满足条件的三角形有5个；当a=4时，3＜c＜11，则c=4，5，6，7，8，9，10，此时满足条件的三角形有7个；当a=5时，2＜c＜12，则c=3，4，5，6，7，8，9，10，11，此时满足条件的三角形有9个；当a=6时，1＜c＜13，则c=2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，此时满足条件的三角形有11个．∴满足条件的三角形一共有1+3+5+7+9+11=36（个）．故选：B．17．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）A．等边三角形B．直角三角形C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形【解答】解：通分得+=，=，a（b+c）（b+c﹣a）=bc（b+c），a（b+c﹣a）=bc，ab+ac﹣a2﹣bc=0，a（b﹣a）+c（a﹣b）=0，（a﹣c）（b﹣a）=0，a﹣c=0或b﹣a=0．即a=c或b=a．此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．故选：C．18．（4分）有4个命题：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故（1）错误；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故（2）正确；（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形，只有点O是四边形ABCD对角线的交点时，故（3）错误；（4）若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故（4）错误．故选：B．19．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）A．81 B．C．D．【解答】解：过P0点作P0F⊥BC于点F，过P1点作P1E⊥BC于点E，则Rt△P0BF ∽Rt△P1BE，∴P1E=P0F，∴则…==故选：C．20．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD=====．故选：D．21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵1﹣a=0时，a=1，函数为y=5，即平行线于x轴的直线，且不过第四象限，∵函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，∴1﹣a＞0且a+4≥0，即：﹣4≤a＜1，∴﹣4≤a≤1，满足的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共6个，故选：C．22．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non ﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由图中可以看出，共有5个不同的直角三角形，故选C．23．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）A．它们的和是奇数B．它们的和是偶数C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数【解答】解：首先S=1+2+3+…+2010==2011×1005，其积是奇数，如果改了某个数k的符号，由正变负，就等于S﹣2k还是奇数，所以无论怎么添加结果都是奇数．选A24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）A．0 B．1 C．2 D．多于2【解答】解：显然，方程两边同时除以9，得到：3x+9y=1111等式的两边同时除以3，得到：x+3y=，要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．因此整数解0组．故选：A．25．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：有：347658，385674，438567，476583，567438，583476，658437，674385，743856，765834，834765，856743，∴共12个．故选：B．26．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）A．2 B．2.4 C．3 D．3.5【解答】解：设有鸡x只，兔y只．2x+4y=2.5×（x+y），x=3y，∴鸡的数量与兔的数量的比等于3．故选：C．27．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B 地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【解答】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，AB两地相距s．由题意，有+=，∴=，解得v=3，∴v：1=3：1．即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3：1．故选：B．28．（4分）12页书的页码用15个数码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．下面的数码的个数中，不能用来计算一本书的页数的是（）A．534 B．1998 C．1999 D．2010【解答】解：前9页用的数码个数：1×9=9，第10﹣99页用的数码个数：2×9×10=180，第100﹣199页用的数码个数：3×100=300（也就是说每100页用300个数码），534﹣9﹣180﹣300=45，45能被3整除所以A可以，1998﹣9﹣180﹣300=1509，1509÷300=5余9，9可以被3整除所以B可以，1999﹣9﹣180﹣300=1510，1510÷300=5余10，10不能被3整除所以C不可以，2010﹣9﹣180﹣300=1521，1521÷300=5余21，21可以被3整除所以D可以．故选：C．29．（4分）方程2u+v+x+y+z=3的非负整数解（u，v，x，y，z）有几组？（）A．10 B．20 C．24 D．30【解答】解：∵若u=0时，这时v x y z 若只有一个0，则有4种情况；若u=0时，v x y z有两个0，则有6×2=12种情况；若u=0时，v x y z有三个0，则有4种情况；若u=1时，其他四个数只能有一个不为0，故有4个情况；这样一共就有4+12+4+4=24种情况．∴方程2u+v+x+y+z=3的非负整数解（u，v，x，y，z）有24组．故选：C．30．（4分）老师问5个学生，昨天晚上你们有几个复习数学了张：没有人李：一个人王：两个人赵：三个人刘：四个人老师知道昨天晚上他们有人复习数学了，也有人没有复习数学，复习了的人说的是真话，那么这5个学生中复习了数学的人数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：假设张复习了，那则与没有人冲突，所以假设否定；假设李复习了，那么他自己复习了，其他人说谎，成立；王，赵，刘都假．若任意人为真，此处以王为例．若王真，则张，李，假，则两人为复习，那么只有王复习了，与李，王说的化矛盾，所以王假，同理的，赵，刘假所以，只有1个．故选：B．二、填空题（共45小题，每小题5分，满分225分）31．（5分）已知x为正整数，设A=x3+3x2﹣45x﹣175，若A为完全平方数，则A 的最小值是0．【解答】解：∵x为正整数，∴把x=1，2，…分别代入A=x3+3x2﹣45x﹣175，当x=7，A=73+3×72﹣45×7﹣175=0，而0为完全平方数，∴若A为完全平方数，则A的最小值是0．故答案为：0．32．（5分）若58﹣1能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数分别是26和24．【解答】解：58﹣1=（54+1）（52+1）（52﹣1）∵58﹣1能被20至30之间的两个整数整除，∴可得：52+1=26，52﹣1=24．故答案为：26，24．33．（5分）已知实数x，y满足，则x=±，y=±．【解答】解：∵，∴=2010，∴=2010，∴x﹣y=+，两边平方整理得：2010﹣xy=，两边平方整理得：x2﹣2xy+y2=0，解得：x=y，将x=y代入代入可得：x=±，y=±．故答案为：±，±．34．（5分）计算= 2010．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．35．（5分）若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16=0，则点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．【解答】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16=0，∴a2b2+8ab+16+a2+b2+2ab=0，∴（ab+4）2+（a+b）2=0，∴ab=﹣4，a+b=0，∴a=2，b=﹣2或a﹣2，b=2，∴点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．36．（5分）已知：，，，…，若（a，b为正整数），则ab=720．【解答】解：根据分析9+=92×，那么就可得到a=9，b=92﹣1=80，所以ab=9×80=720．37．（5分）若关于x的分式方程无解，则m=6，10．【解答】解：∵关于x的分式方程无解，∴x=﹣，原方程去分母得：m（x+1）﹣5=（2x+1）（m﹣3）解得：x=，m=6时，方程无解．或=﹣是方程无解，此时m=10．故答案为6，10．38．（5分）当，化简=．【解答】解：当x=时，原式=+=，当x=2时，原式=+0=．故答案为：．39．（5分）若a＜0＜b，|a|＜|b|，且a2+b2=﹣8ab，则=．【解答】解：∵a2+b2=﹣8ab，∴a2+2ab+b2=﹣6ab，a2﹣2ab+b2=﹣10ab，即（a+b）2=﹣6ab，（a﹣b）2=﹣10ab，∵a＜0＜b，|a|＜|b|，∴a+b＞0，a﹣b＜0，∴a+b=，a﹣b=﹣，∴==﹣．故答案是：．40．（5分）若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3【解答】解：若，则++==5，yz+2xz+3xy=5xyz；①++==7，3yz+2xz+xy=7xyz；②①+②得，4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz，4（yz+xz+xy）=12xyz，∴yz+xz+xy=3xyz∵xy+yz+zx=kxyz，∴k=3．故答案为：3．41．（5分）已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出3个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．【解答】解：容易看出，相邻两个数的比是2或者，不妨先取3，间隔一个数，可取3×22，3×24，符合题意；也可取3×2，3×23，3×25，也符合题意；因此最多能选出3个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．故答案为：3．42．（5分）若x+y+z=6，xy+yz+zx=11，xyz=6，则=．【解答】解：∵==，∴原式===．故答案是：．43．（5分）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n）（其中m，n 均为整数），则a的值是2或4．【解答】解：∵（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n），∴（x+3）（x+a）﹣2=（x+m）（x+n），展开得：a+3=m+n 3a﹣2=mn，进一步得到：mn=3m+3n﹣11，整理得（m﹣3）（3﹣n）=2，∵其中m，n均为整数，∴m﹣3=±1或±2，∴m=4，n=1 a=2 或m=5 n=2 a=4或m=2 n=5 a=4或m=1 n=4 a=2，∴a的值是2或4，故答案为2或4．44．（5分）若a，b是实数，且，则ab=．【解答】解：根据完全平方公式，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=4，∵a2+b2+2=，设=x，则ab=x2，∴a2+2x2+b2=4①，a2+b2+2x=②，①﹣②得：2x2﹣2x=，解得：x=，∴ab=x2=，故答案为．45．（5分）方程的解是x=2011【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．46．（5分）设正整数x≠y，且满足，则x2+y2的值是234．【解答】解：原方程可化为：2xy﹣5x﹣5y=0，∴（2x﹣5）（2y﹣5）=25，∵正整数x≠y，∴2x﹣5=25，2y﹣5=1或2x﹣5=1，2y﹣5=25，∴x=15，y=3或x=3，y=15，∴x2+y2=32+152=234．故答案为：234．47．（5分）已知，那么A2+B2=．【解答】解：∵，∴=，∴=，∴，∴A=，B=，∴A2+B2==．故答案为：．48．（5分）已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是36．【解答】解：∵5个互不相同的正整数的平均数是18，∴这5个数的和为：5×18=90，∵中位数25，∴最中间一定是25，∵要求这5个正整数中最大数的最大值是，其他数据应尽可能的小，∴其他数一定为：1，2，26，∴最大数为：90﹣1﹣2﹣25﹣26=36．故答案为：36．49．（5分）先阅读材料：若整数a是整系数方程x3+px2+qx+r=0的解，则﹣r=a（a2+pa+q），说明a是r因数．根据以上材料，可求得x3+4x2﹣3x﹣2=0的整数解为x=1．【解答】解：∵原方程可化为2=x（x2+4x﹣3），∴2是x的倍数，∵x为正整数，∴x=1或2，当x=1时，x2+4x﹣3=2；当x=2时，x2+4x﹣3=﹣3≠2舍去．∴x3+4x2﹣3x﹣2=0的整数解为x=1．故答案为：1．50．（5分）定义，那么=2010．【解答】解：∵f（2010）=﹣，f（﹣）=，f（）=2010，∴可得：那么为周期函数且周期为3，又∵=670，余数为0，∴那么=2010．故答案为：2010．51．（5分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥3．【解答】解：解关于x的不等式组，得，∵不等式组无解∴大大小小找不到，即a≥3．故答案为：a≥3．52．（5分）已知a是正整数，若关于x的方程2x﹣a ﹣a+4=0至少有一个整数根，则a的值是2或6．【解答】解：2x﹣a ﹣a+4=0，显然满足条件的x，必使得为整数，否则a=不可能为整数，设=y（y为非负整数），则原式变为2（1﹣y2）﹣ay﹣a+4=0，⇒a=，∵y为非负整数（又1+y能整除4），∴要使a为整数，则y=0，1，3，此时a=6，2，﹣3（不合题意舍去）．故答案为：2或6．53．（5分）如果三角形三边的长分别为1，k，4，代数式的值为m，则m的取值范围是﹣2＜m＜4．【解答】解：∵1，k，4为三角形的三边长，∴3＜k＜5．于是=2k﹣5﹣=2k﹣5﹣（6﹣k）=2k﹣5﹣6+k=3k﹣11．∵m=3k﹣11，∴k=．∵3＜k＜5，∴3＜＜5，解得﹣2＜m＜4．故答案为﹣2＜m＜4．54．（5分）若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且，a+b﹣c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是4，最小值是4．【解答】解：∵由++=可得，4b+4a+12=ab，ab﹣4a﹣4b=12，∴（a﹣4）（b﹣4）=28，∴a＞4，b＞4，∴a﹣4=1，2，4，7，14，28，b﹣4=28，14，7，4，2，1，∴a=5，6，8，11，18，32，b=32，18，11，8，6，5，c=29，16，11，11，16，29，（1）当a=5，b=32，c=29时，p==33，S===4；（2）当a=6，b=18，c=16时，p==20，S==8；（3）当a=8，b=11，c=11时，p==15，S==4；（4）当a=11，b=8，c=11时，p==15，S==4；（5）当a=18，b=6，c=16时，p==20，S==8；（6）当a=32，b=5，c=29时，p==33，S==4．可见最大值为4，最小值为4．故答案为4，4．55．（5分）如图所示，要从80cm×160cm的长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下的半圆最大直径是100cm．【解答】解：设O1，O2为两个半圆的圆心，半径为R，过O1作对边的垂线，垂足为H，连接O1O2，则在Rt△O1O2H中，O1H=80，O2H=160﹣2R，O1O2=2R，由勾股定理得O1H2+O2H2=O1O22，即802+（160﹣2R）2=（2R）2，解得R=50，2R=100cm．故答案为：100．56．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是75°．【解答】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故答案为：75．57．（5分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，延长AB到D，使AD=BC，连接DC，则∠BCD的度数是10°．【解答】解：以BC为一边在△ABC外作等边△BCE，连接AE，∴BE=CE=BC，∠BEC=∠BCE=60°，∵AB=AC，AE=AE，∴△ABE≌△ACE，∴∠CEA=∠BEA=×60°=30°，∵∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACE=∠A=100°，∵AD=CE，AC=AC，∴△ACE≌△CAD，∴∠D=∠CEA=30°，在△ACD中，∠ACD=180°﹣∠D﹣∠A=50°，∴∠BCD=∠ACD﹣∠ACB=10°．故答案为：10°．58．（5分）如图所示，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PE∥AC交AB 于E，PF∥AB交BC于F，交AC于D，已知△ABC的周长是12cm，则PD+PE+PF= 4cm．【解答】解：延长DP交AB于点M．∵PE∥AC∴∠MEP=∠A=60°∵PD∥BC∴∠EMP=60°∴△EMP是等边三角形∴EM=EP∵PD∥BC，PF∥AB∴四边形PFBM是平行四边形∴BM=PF∵PE∥AC，∠A=∠ADP=60°∴四边形AEPD是等腰梯形∴PD=EA∴PD+PE+PF=EA+EM+MB=12×=4故答案为4．59．（5分）如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为9．【解答】解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB，∴∠NMC=∠B，MN=AB，又∵MF∥AD，∴∠FMC=∠ADC=∠B+∠BAD，即∠FMN+∠NMC=∠B+∠BAD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN，所以．因此=+=9．故答案为9．60．（5分）如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，在△ABC内取一点M，使得∠MBA=30°，∠MAB=10°，那么∠AMC的度数是70°．【解答】解：如图，作△ADB≌△AMB，连接CD、MD，∴∠MBD=∠MBA+∠DBA=2∠MBA=60°，∠AMB=∠ADB=180°﹣10°﹣30°=140°，而∠ACB=80°，AC=BC，且180°﹣140°=40°=×80°，∴D就在以C为圆心，AC为半径的圆上，∴AC=DC=BC，∴△MBD为等边三角形，∴BM=DM，又CM=CM∴△CMD≌△CMB，∴∠CMD=∠CMB而∠CMD+∠CMB+∠BMD=360°，∠BMD=60°，∴∠CMD=∠CMB=150°易证∠MAD=20°，又AM=AD，∴∠AMD=80°则∠CMA=∠CMD﹣∠AMD=150°﹣80°=70°．故答案为：70°．61．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．【解答】解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．62．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DB，AB=AC，∠ACD=30°，则∠BAD的度数是45°．【解答】解：过点C，D分别作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，∵AB∥CD，∴DF=CE，∠CAB=∠ACD=30°，在Rt△ACE中，CE=AC，∵AC=AB，∴DF=AB，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，AF=BF=AB=DF，∴∠DAB=∠ADF=∠ABD=∠BDF=45°，∴∠BAD=45°．故答案为：45°．63．（5分）如图所示，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，EC交于点G，则=．【解答】解：如图：=a，S△CFG=b，连接BG，设S△AEG∵点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，∴S=a，△BEG=S△FGC=b，∴S△BGF∴S=S△BCE=S矩形ABCD，S△ABF=2a+b，S△BCE=2b+a，△ABF=12a，∴a=b，S矩形ABCD∴=．故答案为：．64．（5分）如图，在平面直角坐标系内，放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，CO=5，若点P在梯形内，且S△PAD=S△POC，S△PAO=S△PCD，那么点P的坐标是（，3）．【解答】解：设P点的纵坐标是y，因而根据S=S△POC，得到×3×（8﹣y）△PAD=×5y，解得y=3，因而P点的纵坐标是3；设P的横坐标是x，则△PAO的面积是×8x=4x，过P作MN⊥OC，交AD，OC 分别于M，N．△PCD的面积是×8﹣×（3﹣x）（8﹣3）﹣×（5﹣x）×3，=S△PCD，得到x=，因而点P的坐标是（，3）．根据S△PAO65．（5分）直线上的点A的横坐标为2，线段AB在直线上，且AB=5，线段AB向右平移2个单位后，点B的坐标为（8，）或（0，）．【解答】解：∵点A在直线上，且点A的横坐标为2，∴点A的坐标为：（2，），设点B的坐标为（x，），∵AB=5，∴=5，解得：x=6或﹣2，∴点B的坐标为：（6，）或（﹣2，），∴线段AB向右平移2个单位后，点B的坐标为（8，）（0，）．故答案为：（8，）或（0，）．66．（5分）一次函数y=﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上，OP（O是坐标原点）将△OAB分成面积为1：2的两部分，则过点P 的反比例函数解析式为y=．【解答】解：如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C点，由y=﹣2x+6得A（3，0），B（0，6），∴S=×3×6=9，△AOB∵OP（O是坐标原点）将△OAB分成面积为1：2的两部分，∴S=3或6，△AOP=3时，×PC×OA=3，解得PC=2，即P（2，2）；当S△AOP当S=6时，×PC×OA=6，解得PC=4，即P（1，4）；△AOP∴反比例函数系数k=2×2=1×4=4，∴反比例函数关系式为y=．故本题答案为：y=．67．（5分）已知，则y2•y2011=3．【解答】解：y1=3x，y2==，。