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3
3 B3 3
C1 3 T
4 C2
2.状态(state)、状态变量和可能状态集 (1)状态与状态变量。表示每个阶段开始所 处的自然状况或客观条件。
2 Q4
3
A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
3
3 B3 3
C1 3 T
4 C2
(2)动态规划维数。 (3)可能状态集：用S(sk)表示。
所取决策必是Q→ A1→ B2→ C2→T，全程长度
是13。
A1 7
B1 1
2
4 6
4
C1 3
Q4 3
4 A2 2
4
4 2
6 B2
3 3
T 4 C2
A3 5
B3 3
◆全枚举法计算工作量将会十分庞大。 ◆局部最优求出的解不一定是最优解。
3.动态规划方法就是从终点逐段向始点方向寻 找最短路线的方法。解题步骤如下： ●把问题划分为几个阶段。 ●按阶段顺序首先考虑最后阶段如第四阶段 的最优决策，也就是走哪条路线最短。 ●按阶段顺序依次考虑第三、第二，第一阶 段的最优决策，为此只需确定每一阶段上 各初始点的最优决策即可。
表示某种运算，可为加、减、乘、除、开方等。
◆常见有:
n
Vk,n vi (si , xi ) ik
和
n
Vk,n vi (si, xi ) ik
7.最优指标函数：fk(sk)
fk(sk)op V k,nt,k1 ,2,,n
相应的子策略称为sk状态下的最优子策略， 记为pk*(sk) ；而构成该子策略的各段决策称 为该过程上的最优决策，记为
从上阶段的某一状态值到下阶段某一状态值 的转移规律成为状态转移律
s k 1 T ( s k ,x k ( s k ) ) x k s k 或简写为 sk1T(sk,xk)
6.指标函数
(1)阶段指标函数(也称阶段收益)（是对应某一 阶段状态和从该状态出发的一个阶段的决策的 某种效益度量。）vk(sk,xk) 简记为vk 。
第二节最优化原理与动 态规划
精品
一、动态规划方法导引
1.全枚举法或穷举法。共有18条可能路线，进 行比较，求得最优路线Q→ A3→ B1→ C1→T。
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6 4 A2 2 4
4 2
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6 B2
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3 B3 3
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2.“局部最优路径”法：选择当前最短途径， “逢近便走”。
(2)过程指标函数(指标函数)。(它所包含的 各阶段指标函数的函数。） Vk,n(sk,xk, sk+1,xk+1,…, sn,xn)。简记为Vk,n 。
◆动态规划求解的问题的过程指标函数(指标 函数)，必须具有关于阶段指标的可分离形 式(和、积或其他形式) ：
V k,n V k,n (sk,x k,sk 1 ,x k 1 ,,sn ,x n ) v k(sk,x k) v k 1 (sk 1 ,x k 1 ) v n (sn ,x n )
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4 C2
4.策略和子策略(Policy)
（1）全过程策略指具有n个阶段全部过程，简 称策略。表示为 {x1(s1),x2(s1),…,xn(sn)}。
k后部子过程策略,表示为pk(xk)
2 Q4
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A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
3
3 B3 3
8. 概念的关系。
决策xk(sk)
决策xk+1(sk+1)
状态 阶段k 状态 阶段k+1 状态
sk
T(sk,xk) sk+1 T(sk+1,xk+1) sk+2
vk(sk,xk)
vk+1(sk+1,xk+1)
四、最优化原理与动态规划的数学模型 1. 最优化原理 (贝尔曼最优化原理) 若某一全过程最优策略为：
阶段1
阶段2
4,C1 B1 1 4
7,C2 6
B2 3
6,C1 3 B3 3
3,T C1 3
4,T 4
C2
0，T
T
阶段3
阶段4
最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
三、动态规划的基本概念。
1.阶段(stage)和阶段变量。 把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题，称之为多段决策问题的阶段。
C1 3 T
4 C2
(2)允许策略集合记作P。
最优策略:从允许策略集中，找出的具有最 优效果的策略。
2 Q4
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6 4 A2 2 4
4 2
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B1 1 4
6 B2
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5.状态转移方程(状态转移律) ：多阶段决策 过程的发展就是用阶段状态的相继演变来描 述的。
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
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3 B3 3
C1 3 T
4 C2
(2)决策变量:xk=xk(sk) 决xk(策sk)变∈量Dk(xskk()s允k) 的许允决许策决集合策实集际用是Dk决(sk策) 表的示约, 束条件。
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6 4 A2 2 4
4 2
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xk (sk)x,k 1(sk 1),,xn (sn) 有 p k ( s k ) { x k ( s k )x k 1 , ( s k 1 ) ,, x n ( s n )k } 1 ,2 , ,n 简记为 p k { x k ,x k 1 , ,x n } k ,1 ,2 , ,n
◆用动态规划方法逐段求解时，每个阶段上 的求优方法基本相同，而且比较简单，每 一阶段的计算都要利用上一阶段的计算结 果，因而减少了很多计算量。阶段数愈多， 这种效果愈明显。
二、动态规划解题 标号法：
11,A3 2 Q4 3
11,B1 ,B2
A1 7 4
8,B1
6 4
A2 2
4
8,B1 4 2
A3 5
2 Q4
3
A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
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4 C2
3.决策(decision)、决策变量和允许决策集合
(1)决策。表示当过程处于某一阶段的某个状 态，可以作出不同的决定（选择），从而确 定下一阶段的状态。
2 Q4
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A1 7 4
6 4 A2 2 4
2 Q4
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Hale Waihona Puke A1 7 46 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
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3 B3 3
C1 3 T
4 C2
用以描述阶段的变量叫作阶段变量，一般以 k表示阶段量．
阶段数k的编号法有两种：
(1)顺序编号；(2)逆序编号法。
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A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
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B1 1 4
6 B2
