运筹学 讲义动态规划

k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。

建立状态转移方程
根据问题的特性和约束条件，建立状 态转移方程。
状态转移方程描述了状态变量随时间 或步骤的变化规律，通常表示为 $s_{t+1}=f(s_t,a_t)$。
求解最优解
根据状态转移方程和目标函数，使用动态规划算法求解最优解。
最优解通常表示为一个最优策略或最优路径，即在不同时间或步骤上采取的最佳决策。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
确定起终点
在给定的图中确定起点和终点，并确定节点之间 的距离。
状态定义
将每个节点作为状态，并定义状态转移方程。
求解最短路径
通过动态规划的方式求解从起点到终点的最短路 径。
背包问题
01
02
03
确定物品
确定需要装入背包的物品 及其重量和价值。
状态定义
将已装入背包的物品及其 重量和价值作为状态，并 定义状态转移方程。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到原问题的最优解。
动态规划的基本思想
递归
01
动态规划通过将问题分解为子问题，并递归地求解这些子问题，
从而找到原问题的最优解。
记忆化
02
动态规划通过记忆已解决的子问题的解，避免了重复计算，提
高了算法的效率。
最优子结构
多目标优化与约束处理
研究如何将多目标优化和约束处理技术融入动态规划中，以解决更广 泛的实际问题。
感谢您的观看
THANKS
适用场景有限 动态规划适用于具有重叠子问题 和最优子结构的问题，但对于非 重叠子问题或无最优子结构的问 题，其效果不佳。
最优子结构不唯一 在某些问题中，最优解可能并非 只由一个最优子结构组成，导致 算法难以找到全局最优解。

递推关系的建立
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移

从k阶段状态sk出发，对所有的子策略，最优的过程指标函数称为最 优指标函数，记为fk(sk)，通常取Vk的最大值或最小值。
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
管 理 运 精品资料 筹 学
18
连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n

fk
sk 1
min
uk Dk (sk )
d (sk , sk1)
fk1(sk )
(k 1,2,3,4)
k=0时，f0(s1)= f0(s)=0，这是边界条件。
k=1时，S2={A1，A2，A3} f1( A1) 8
A1
8
f1( A2 ) 6 f1( A3 ) 4 k=2时，S3={B1，B2，B3}
发，采取某种策略到第n阶段的终止状态时的效益，它与所选 取的策略有关，因此常记作：
Vk,n (sk ,uk , sk 1,, sn ,un ) (k 1,2,, n) 常用的指标函数的形式有各阶段指标函数的和的形式和积的 形式两种。
①和的形式
n
Vk,n (sk ,uk , sk 1,,un ) v j (s j ,u j ) vk (sk , uk ) Vk1,n (sk1 , uk1 ,, un )
uskk
Sk
sk
Dk
sk
k 1,2,,n
建立实际问题的动态规划模型一般可遵循以下步骤：
第一，按时间或空间顺序将多阶段决策问题划分为适当的 阶段；
第二，恰当选择状态变量sk，使它既能确切地描述过程的演 变，又满足过程的无后效性；
第三，确定决策变量uk 及每阶段的容许决策集Dk(sk)。状态 变量和决策变量可以是连续的，也可以是离散的；
在例6-4中，第一阶段有一个状态s，则S1={s}；第二阶段的 状态有A1、A2、A3三个，则S2={A1,A2,A3}；第三阶段的状态 也有B1、B2和B3三个，则S3={B1,B2,B3}；第四阶段的状态有两 个，C1和C2，记为则S4={C1,C2}。
3.决策和策略 当各阶段的状态确

略称为最优策略。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n
子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n
6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk决 策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，它
运筹学
练习： 求从A到E的最短路径
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 6 10
1
4
13
6
C2
5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
路线为A→B2→C1 →D1 →E ，最短路径为19
2019/10/11
运筹学
二、资源分配问题 1、一维资源分配运筹学源自 二、动态规划的基本思想和基本方程
1、Bellman最优性定理
一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状 态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言， 其以后所有的决策应构成最优策略。
换句话说，最优策略只能由最优子策略构成。
2、思想方法：在求解过程中，各阶段的状态和决策， 对其后面的阶段来说，只影响其初始状态，而不影响 后面的最优策略。——无后效性
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状 态变量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函 数是指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的
最优值，最后写出动态规划基本方程。

生产计划、库存管理、路径规划 等。
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。

和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。

2003年9月13日1时0分
(一) 阶段和阶段变量 为了便于求解和表示决策及过程的发 展顺 序，而把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有区别 的 子问题，称之为多段决策问题的阶段。一个阶段，就是需要 作出一个决策的子问题，通常，阶段是按决策进行的时间或空 间上先后顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作阶段变量，一 般以k表示阶段变量．阶段数等于多段决策过程从开始到结束 所需作出决策的数目，图5—1所示的最短路问题就是一个四阶
2003年9月13日1时0分
图10-1 运输网络图示
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§10-1 多阶段决策过程最优化
2003年9月13日1时0分
三、动态规划求解的多阶段决策问题的特点
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来实 现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶段的状 态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决策有关。因 此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动态规划方法 求 解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有“无后效性”的
❖ 多阶段决策过程最优化的目标是要达到整个活动过程的总 体效果最优。由于各段决策间有机地联系着，本段决策的 执行将影响到下一段的决策，以至于影响总体效果，所以 决策者在每段决策时不应仅考虑本阶段最优，还应考虑对 最终目标的影响，从而作出对全局来讲是最优的决策。动 态规划就是符合这种要求的一种决策方法。
段决策过程。
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。 用以 描述事物(或系统)在某特定的时间与空间域中所处位置及 运
动特征的量，称为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。 状态变量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需要的 信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态可分为初始状态 和终止状态，或称输入状态和输出状态，阶段k的初始状态记

生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合，构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域，利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中，每个阶段的决策只与 当前状态有关，而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程，通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程，可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题，如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法， 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略，实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力，对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型，涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则，将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解，常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法（记忆化搜索）

C4 A — B— C — D — E
f2(C1)=7,f3(C2)=8,f3(C3)=10,f3(c4)=9
阶段1
阶段2 阶段3 阶段4
S0={A} S1={B1,B2} S2={C1,C2,C3,C4 } S3={D1,D2} S4={E}
f3(D1)=11,f4(D2)=13
案例---资源分配
D1 5 E
D2 2
[引例] 马车驿站问题
f(C1)=8
阶段 起点 1A
终点
B1 B2
可选路线
AB1 AB2
路线数 2
f(B1)=8
B1 5 A
f(A)=313 8
B2
2 3 6
7 6
C1 6
f(C2)=85
C2 3
f(C3)=54
3 C3 3
84
f(B2)=11 C4
f(C1)=5
A —B— C —
最k优=4化原理
(Optimality principle) :
最k优=3策略具备这样的决性策质：:无D1论初E始 状态与初始决策如何,以后诸决策对 以第一个决策所形成的状态作为初 始状态的过程而言,必决然策构：成D2最优E策 策略.通俗地说:最优策略的子策略 也k是=2最优的.
例 A13—k如,其=B1，子1—在策C导略2入—:B案D11—例—C中决E2决决，,—策最策策最D：短：：1优A距—CC策12离E略B,为1DD是11 C2—D1—E, D1—E也决是策最：优C3的。D2
（4）状态转移方程 （5）递归方程（k→n）
1、划分为4个阶段 2、用点集表示各阶段的状态 S1=｛A｝;s2= ｛B1,B2,B3｝, s3= ｛C1,C2,C3｝; s4= ｛D1,D2｝ 3、指标函数：Vk，4（i）为第k阶段第i点到E点的距离 4、最优值函数fk（i）为i点到E的最短距离 5、决策变量xk=d[i,j]为第k阶段第i状态的选择 6、边界条件： f5（E）=0 7、基本方程： fk（i）=min｛d[i,j]+ fk+1（j） ｝(k=1,2,3,4)

（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3

)

min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )

min
5 2

4 3

5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)

min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )

f6 (F1) f6 (F2 )


min


fk
(sk
)

opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策

每个阶段有一个输入状态和一个输出状态 一般把输入状态称为该阶段的阶段状态
多阶段决策过程(2) 多阶段决策过程
uk 代表k 阶段对第k 子问题进行的决策,称uk为k 阶段的决策变量,uk的一组确定的取值称为一个 决策 rk 表示k 阶段从状态xk 出发做决策uk 之后产生的 后果,称为k 阶段的阶段效应
所有可能的fn ( xn )都已求出
根据 xn = Tn1( xn1, un1 ) ,就阶段n-1的所有可能状 态 xn1 ∈ Xn1 计算 u'n1 (xn1) 和 fn1( xn1 ) 余者类推,直到阶段1
un1
动态规划问题求解步骤(3) 动态规划问题求解步骤
通过状态转移方程顺序求出最优决策序列 和最优路线
则
fk ( xk ) = opt ⊕ ri ( xi , ui ')
n uk ,Lun i=k ,
执行条件最优策略时的阶段状态序列称为 条件最优路线,表示为{xk, xk+1',…, xn', xn+1'} 条件最优路线
贝尔曼函数(3) 贝尔曼函数
动态规划方法的原理就是建立起fk(xk )与 fk+1(xk+1 )之间的递推关系,然后逐步求出所 有的fk(xk )
fn+1(xn+1 ) ≡ 0
un
fn ( xn ) = rn ( xn , u'n (xn ))
必须就阶段n的所有可能状态 xn ∈ Xn计算 u'n (xn )和 fn ( xn )
动态规划问题求解步骤(2) 动态规划问题求解步骤
k=n-1时,
fn1( xn1 ) = opt{rn ( xn1, un1 ) ⊕ fn ( xn )}

3. 由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型。
解：以产品 A,B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数，模型如下：
min Z P1 d 1 2.5 P2 d 3 P2 d 4 P3 d 2 30x1 12x 2 d 1 d 1 2500 2 x x d d 140 1 2 2 2 x d d 60 1 3 3 x d d 100 2 4 4 x 60 1 x2 100 x 0 , d , d 0 ( l 1.2.3.4) l l 12
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
min{d d } 2 x 2 x d d 12 2 1
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。 现假定：
选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验