高考第一轮复习数学51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积

2012届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法第五章平面向量●网络体系总览«Skip Record If...»●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；（4）正、余弦定理的应用.复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|«Skip Record If...»|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a«Skip Record If...»b=λa（a≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3«Skip Record If...»，则b等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b|=3«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）.答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tan α等于A.«Skip Record If...»B.－«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.－«Skip Record If...»解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=«Skip Record If...».答案：A3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，则«Skip Record If...»等于A.b+«Skip Record If...»aB.b－«Skip Record If...»aC.a+«Skip Record If...»bD.a－«Skip Record If...»b解析：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=b－«Skip Record If...»a.答案：B4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+k e2，b=k e1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于A.0B.－1C.－2D.±1解析：a与b共线«Skip Record If...»存在实数m，使a=m b，即e1+k e2=mk e1+m e2.又e1、e2不共线，∴«Skip Record If...»∴k=±1.答案：D5.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.解析：|a+b|=«Skip Record If...»=8«Skip Record If...»（km）.答案：8«Skip Record If...» km 东北方向●典例剖析【例1】已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于A.1B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.解法一：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，a－b=（x1－x2，y1－y2），∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4.∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4.∴1－2x1x2－2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.∴|a+b|=«Skip Record If...».解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6.∴|a+b|=«Skip Record If...».故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0.«Skip Record If...»剖析：要证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0，只需证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»，即只需证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»与«Skip Record If...»互为相反的向量.证明：以向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»为邻边作平行四边形GBEC，则«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=2«Skip Record If...».又由G为△ABC的重心知«Skip Record If...»=2«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»=－2«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－2«Skip Record If...»+2«Skip Record If...»=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设«Skip Record If...»、«Skip Record If...»不共线，点P在AB上，求证：«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线，得«Skip Record If...»=t«Skip Record If...».再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线.∴«Skip Record If...»=t«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=t （«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）.∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+t«Skip Record If...»－t«Skip Record If...»=（1－t）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».设1－t=λ，t=μ，则«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»不共线，若«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线.②当λ=μ=«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（«Skip Record If...»+«Skip Record If...»），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.【例4】若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、t b、«Skip Record If...»（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－t b|的值最小?解：（1）设a－t b=m［a－«Skip Record If...»（a+b）］（m∈R），化简得（«Skip Record If...»－1）a=（«Skip Record If...»－t）b.∵a与b不共线，∴«Skip Record If...»∴t=«Skip Record If...»时，a、t b、«Skip Record If...»（a+b）的终点在一直线上.（2）|a－t b|2=（a－t b）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2，∴t=«Skip Record If...»时，|a－t b|有最小值«Skip Record If...»|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于A.3B.1C.－1 D.－3解析：由a⊥b，则3x－3=0，∴x=1.答案：B2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有A.a∥b且a、b方向相同B.a=bC.a=－bD.以上都不对解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b且方向相同.答案：A3.在四边形ABCD中，«Skip Record If...»－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»等于A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»解析：«Skip Record If...»－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...».答案：C4.设四边形ABCD中，有«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»且|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，∴DC∥AB，且DC ≠AB.又|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，∴四边形为等腰梯形.答案：C5.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.解：设a=λ1b+λ2c，即－l1+3l2=λ1（4l1+2l2）+λ2（－3l1+12l2），即－l1+3l2=（4λ1－3λ2）l1+（2λ1+12λ2）l2，∴«Skip Record If...»解得λ1=－«Skip Record If...»，λ2=«Skip Record If...»，故a=－«Skip Record If...»b+«Skip Record If...»c.6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1+7e2与向量e1+t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，∴（2t e1+7e2）·（e1+t e2）=2t e12+（2t2+7）e1·e2+7t e22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7＜0.∴－7＜t＜－«Skip Record If...».设2t e1+7e2=λ（e1+t e2）（λ＜0）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2t2=7«Skip Record If...»t=－«Skip Record If...»，∴λ=－«Skip Record If...».∴当t=－«Skip Record If...»时，2t e1+7e2与e1+t e2的夹角为π.∴t的取值范围是（－7，－«Skip Record If...»）∪（－«Skip Record If...»，－«Skip Record If...»）.向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?解：∵d=λ（2e1－3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d=k c，即（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2=2k e1－9k e2，由«Skip Record If...»得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d与c共线.8.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，试用a、b分别表示«Skip Record If...»、«Skip Record If...»和«Skip Record If...».«Skip Record If...»解：由三角形中位线定理，知DE«Skip Record If...»«Skip Record If...»BC.故«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»a.«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－a+b+«Skip Record If...»a=－«Skip Record If...»a+b，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»a+«Skip Record If...»a－b=«Skip Record If...»a－b.探究创新9.在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，用a、b表示«Skip Record If...».«Skip Record If...»解：由已知得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».设«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，λ∈R，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...».而«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+λ（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+λ（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»«Skip Record If...»）.∴«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...».同理，设«Skip Record If...»=t«Skip Record If...»，t∈R，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»«Skip Record If...»）.∴«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».∴（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是不共线向量，得«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»a+«Skip Record If...»b.评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a∥b«Skip Record If...»a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题.5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.●教师下载中心教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.拓展题例【例题】对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.（3）当a，b不共线时，设«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，作«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=a+b，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.综上得证.。

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：向量、向量的加法与减法，实数与向量的积二. 本周教学重、难点：1. 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运算律，共线向量的充要条件，平面向量基本定理。

2. 难点：向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对共线向量，平面向量基本定理的理解。

【典型例题】[例1] 判断下列各命题是否正确（1=则=（2）若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。

（3）若=，=则=（4）两向量、相等的充要条件是⎪⎩⎨=//（5=是=的必要不充分条件（6）CDAB=的充要条件是A与C重合，B与D重合解：（1）不正确（2）正确（3）正确（4）不正确[例∴ KL ∥AC 且AC KL 21=∴ KL 与AC 同向，且AC KL 21= 同理可证：NM 与AC 同向且AC NM 21=∴ KL 与NM 同向，且NM KL = ∴ NM KL =[例3] 如图，在ABC ∆中，O 为重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列三式。

（1）EA CE BC ++ （2）EA AB OE ++ （3）DC FE AB ++ABCDEFO解：（1）BA EA BE EA CE BC =+=++（2）OB AB OA AB EA OE EA AB OE =+=++=++)( 或原式OB EB OE AB EA OE =+=++=)(（3）AC DC AD DC BD AB DC FE AB =+=++=++[例4] 已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若a AB =，b BC =，c OD =，证明：OB b a c =-+。

证明：CB AB OD BC AB OD b a c ++=-+=-+在ABCD 中，=，则=+=+∴ OB DB OD b a c =+=-+[例5] 设1e 、2e 是两个不共线的非零向量，若向量2123e e -=，2142e e +-=，2142e e --=，试证：A 、C 、D 三点共线。

高二数学向量知识点1. 向量的定义和表示向量是带有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量用字母加上一个箭头来表示，例如AB→表示从点A指向点B的向量。

2. 向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量的大小和方向相加得到一个新的向量。

向量的减法是指将两个向量的大小和方向相减得到一个新的向量。

3. 向量的数量积向量的数量积也叫点积，表示为两个向量之间的乘积。

向量的数量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的余弦值。

4. 向量的向量积向量的向量积也叫叉积，表示为两个向量之间的乘积。

向量的向量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值，并且结果是一个新的向量。

5. 平面向量的坐标表示平面向量可以使用其在坐标系中的坐标表示。

一般情况下，平面向量的坐标表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。

6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、结合律和分配律。

即对于任意向量 a、b 和 c，有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(a + b)·c = a·c + b·c- 分配律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 是一个实数7. 向量的向量积的性质向量的向量积满足反交换律和分配律。

即对于任意向量 a 和b，有以下性质：- 反交换律：a×b = -b×a- 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c8. 向量共线与垂直的判定- 共线判定：如果两个向量的数量积为0，则它们共线。

- 垂直判定：如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。

9. 向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，用 ||a|| 或 |a| 表示，计算方式为向量的坐标的平方和的开平方。

单位向量是模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。