弧度制 导学案(2)

【新教材】5.1.2 弧度制（人教A版）

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；

难点：弧度制概念的理解．

一、 预习导入

阅读课本172-174页，填写。

1．度量角的两种单位制

(1)角度制

①定义：用_________作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的_________．

(2)弧度制

①定义：以_________作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于_________的弧所对的圆心角．

2．弧度数的计算

3.角度制与弧度制的转算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

度 0° 30° 45° ____ ____ 120° 135° 150° ____ ____ 360°

弧

度 0 ____ ____ π3 π2 ____ ____ ____ π 3π2 ____

5．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：

(1)弧长公式：l＝________．

(2)扇形面积公式：S＝________＝________．

1．下列说法中错误的是( )

A．1弧度的角是周角的1360

B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制

C．1弧度的角大于1度的角

D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度

2．(1)7π5化为角度是________．

(2)105°的弧度数是________．

3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．

4．－274π是第________象限的角．

题型一 角度制与弧度制的互化

例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.

跟踪训练一

1．将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.

题型二 用弧度制表示角的集合

例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

跟踪训练二

1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

① ②

题型三 扇形的弧长与面积问题

例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

跟踪训练三

1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( )

A.480 cm B.240 cm C.8π3 cm D.4π3 cm

2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.

1．下列说法中，错误的是（ ）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1的角是周角的1360，1rad的角是周角的12

C.1rad的角比1的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

2．300化为弧度是（ ）

A．43 B．53 C．54 D．76

3．下列各角中，终边相同的角是 ( )

A.23和240 B.5和314 C.79和299 D.3和3

4．半径为10cm，面积为2100cm的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）

A．2 rad B．2 C．2π rad D．10 rad

5．与30角终边相同的角的集合是（ ）

A．|360,}6kkZ

B．|230,kkZ

C．|236030,kkZ

D．|2,6kkZ

6．弧长为3，圆心角为135的扇形，其面积为____.

7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.

答案

小试牛刀

1．A

2．(1) 252°；(2) 7π12.

3．π3

4.三

自主探究

例1 【答案】（1）－5π2 rad；(2) 18°；(3) －240°；(4) 5π8 rad.

【解析】(1)－450°＝－450×π180 rad＝－5π2 rad；

(2)π10 rad＝π10×180π°＝18°；

(3)－4π3 rad＝－4π3×180π°＝－240°；

(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad＝5π8 rad.

跟踪训练一

1．【答案】（1）π9 rad；（2）－π12 rad；（3）105°；（4）－396°.

【解析】(1)20°＝20π180 rad＝π9 rad.

(2)－15°＝－15π180 rad＝－π12 rad.

(3)7π12 rad＝712×180°＝105°.

(4)－11π5 rad＝－115×180°＝－396°.

例2 【答案】（1）θ －π6＋2kπ<θ<512π＋2kπ，k∈Z；

（2）θ －3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z；（3）θ π6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.

【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

(1)

(2)θ －3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z.

(3)θ π6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.

跟踪训练二

1．【答案】(1)α －2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.

(2)α 2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，

所以阴影部分内的角的集合为

α －2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.

(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)．

不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，

则M1＝α 2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α 2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

所以阴影部分内的角的集合为

M1∪M2＝α 2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.

例3【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，

依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.

由l＝20－2r>0及r>0得0

∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r

＝－(r－5)2＋25(0

∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，

故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

跟踪训练三

1、【答案】C

【解析】:80°=π180×80=4π9,

又r=6 cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).

2、【答案】12π-9√3

【解析】S扇形AOB=12×120π180×62=12π,

S△AOB=12×6×6×sin 60°=9√3,

故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9√3.

当堂检测

1-5．DBCAD

6.6π

7．【答案】(1) {α|3𝜋4＋2kπ<α<4𝜋3＋2kπ，k∈Z}；(2) {α|－𝜋6＋2kπ<α≤5𝜋12＋2kπ，k∈Z}；(3) {α|kπ≤α≤𝜋2＋kπ，k∈Z}；(4) {α|2𝜋3＋kπ<α<5𝜋6＋kπ，k∈Z}.

【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，

故满足条件的角的集合为{α|3𝜋4＋2kπ<α<4𝜋3＋2kπ，k∈Z}．

(2)若将终边为OA的一个角改写为－𝜋6，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－𝜋6＋2kπ<α≤5𝜋12＋2kπ，k∈Z}．

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤𝜋2＋kπ，k∈Z}．

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足