数系的扩充

简述数系的五次扩充过程

嘿，咱今儿个就来讲讲数系的五次扩充过程，这可有意思啦！

你想想啊，最开始咱就只有自然数，那就是 1、2、3 这么正着数下去的数呀，就像咱走路一步一步稳稳当当的。这自然数多实在呀，用来数数东西，记个数啥的，好用得很呢！

但后来呢，发现光有自然数不够啦！有时候东西分着分着，不够分啦，这可咋办？嘿，就扩充出了整数！整数就像给自然数找了个伴儿，负数也来啦，这就好比有了进有了退呀。

再后来呀，除法又有问题啦，不是整数除以整数不一定能除得尽呀。那咋办？小数就来啦！小数就像把整数给掰碎了，更精细了呢，能解决好多问题。

接着呢，又出现了一种情况，有些方程没解呀！比如说那个根号 2

找不到一个整数或者小数来准确表示呀。这时候无理数就来啦，像个奇兵一样，让数系更丰富了，这下好多难题都能解决啦。

最后呀，负数开平方没意义呀，这可不行！于是虚数就闪亮登场啦！这虚数就像打开了一个神奇的大门，让我们对数的世界有了全新的认识。

你说这数系的扩充像不像我们的生活呀，一开始很简单，后来遇到问题就不断想办法，不断丰富自己。从自然数到整数，从小数到无理数，再到虚数，这一步步走过来，多不容易呀，但也多有趣呀！这就像是我们一点点成长，一点点去探索更广阔的世界。

这数系的扩充可不是随便扩充的呀，每一次都是为了解决实际问题呢。就像我们学习新东西，也是为了让自己更强大，能应对更多的挑战呀。而且你看，这数系扩充了之后，我们能解决的问题就更多了，这不是很好吗？

所以呀，别小看这数系的扩充过程，这里面可有着大学问呢！它让我们看到了人类的智慧是多么了不起，能不断地突破自己，创造出更精彩的东西。咱以后再看到那些数字呀，可别光觉得它们就是几个符号，要想想它们背后的故事，那可精彩啦！这数系的扩充不就是人类不断探索和进步的一个缩影吗？咱也得像数系一样，不断成长，不断进步呀！

２００６年第３期　中学数学教学　

，　。　。　。　。、　ｊ走　进：　

｛新课程；ｔ　ｋ－＋．＋一＋－＋－　数　系的　扩充与复数的引入　

安徽师范大学刘克和　（邮编：２４１０００）　

中小学数学教材，数系一般是按以下顺序扩充：　

坌　非　正整数　非负整数（自然数）　非　

负有理数　墨塑塑　兰　有理数　生里　实数　

旦坚复数．　在科学发展史上，数的概念经历了漫长的演变和　

发展过程．数系扩充的动力来自两个方面．一是来自社　

会实践及科学技术发展的客观需要，这是外部动力：一　

是来自数学科学自身发展的需要，这是内在动力．在数　

系扩充的教学中，应了解数系扩充的过程，体会实际需　

求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受数与现　

实世界的联系，让学生体会知识的自然发展，是水到渠　

成的，而不是强加于人的．这样才能使教学亲切自然．　

１　自然数集Ｎ　

正整数是“数”（ｓｈ０数数）出来的．人类的祖先大多以　

游牧为生，为了统计每日猎获的野生动物，曾用多种方　

法一手指计数、石子计数、结绳计数。长年累月，人们发　

现了“石子”、“手指头”、“绳结”的共同属性：都是与实物　

建立对应关系．以后，撇开这些具体的石子、手指头、绳结，　

用抽象形式的符号，例如刻划符号“／／”，把它表示出来，用　

实物，或者划痕，与实物进行“一对一”地对应．　

自然数是数的理论构建的出发点．在集合论的基　

础上，用自然数公理来进行描述．　

１．１基数理论　两个集合，如果能在它们的元素之间建立“一一对　

应”，就说这两个集合是等价的，或“等势”的．所有等势　

的非空集合的共同特征叫基数．空集合的基数是数　

…０’，有限集合的基数是正整数．由０和全体正整数组　

成的集合叫自然数集．　

基数，就是通常所说的某个集合元素（事物）的个　

数．既然如此，为何又要引进基数新概念呢？这是因为　

用“一一对应”定义的等势性，可以从有限集推广到无　

限集．例如：　

Ｎ：｛０，１，２，…，ｎ，…｝　

ｌ　ｌ　ｌ　ｌ　Ａ＝｛２，４，６，…，２ｎ，…｝　因此，这两个集合是等势的，即偶数集合与整个自然数　

数系扩充的认识和理解

数系扩充是数学中的一个重要概念，它指的是在已有的数系基础上引入新的数，以丰富数学的内容和应用范围。常见的扩充数系有自然数、整数、有理数、实数和复数等，它们分别在不同的数学领域中发挥着重要的作用。

自然数是最基本的数系，它是用来计数的。自然数包括0和正整数，可以表示为0，1，2，3，4……。自然数在计算中常用于表示数量、次数、顺序等概念，是数学中最简单的数系。

整数是在自然数的基础上扩充而来，它包括自然数以及它们的相反数和零，可以表示为……，-3，-2，-1，0，1，2，3……。整数在数学中用于表示负数、欠债、温度等概念，扩展了数学的应用范围。

有理数是在整数的基础上扩充而来，它包括整数以及可以表示为两个整数之比的数，例如1/2，-3/4，5/6等。有理数在数学中用于表示分数、比例、平均数等概念，扩展了数学的计算能力。

实数是在有理数的基础上扩充而来，它包括有理数以及无理数，可以用来表示所有的实际数值。实数在数学中用于表示长度、面积、体积、时间等连续变化的量，扩展了数学的描述能力。

复数是在实数的基础上扩充而来，它包括实数以及虚数单位i，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数。复数在数学中用于表示电路中的交流电、量子力学中的波函数等概念，扩展了数学的应用领域。

数系扩充的过程是数学发展的必然结果，它使得数学能够更好地描述和解决现实世界中的问题。通过引入新的数，数学可以更准确地描述数量、量度、变化等现象，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。

除了上述常见的数系扩充外，数学中还有其他一些特殊的数系，如超实数、超复数、超复分析等。这些数系扩充了数学的边界，拓展了数学的理论和应用。

数系扩充的认识和理解对于学习和应用数学都具有重要意义。通过深入了解各个数系的特点和应用，我们可以更好地理解数学的本质和规律，提高数学思维能力和解决问题的能力。

数系扩充是数学的重要内容之一，它丰富了数学的内涵，拓展了数学的应用领域。通过深入学习和理解各个数系的特点和应用，我们可以更好地应用数学解决实际问题，促进科学技术的发展和社会进步。

数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系

从自然数到有理数，两个方向的需求：

（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。

问题1：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事

bdbcaddcba，bdacdcba，1aa，babcac。

在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。

问题2：为什么不把加法定义为dbcadcba？

逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，422121，从度量的角度看是不合适的。

（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，„„，并定义a＜b时，a－b＝－(b－a)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。

问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？

与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号ba，称为分数，它服从b×ba=a（b≠0）。

这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。

上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：

（1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）