向量

向量知识点向量是数学中的一个重要概念，它具有许多应用领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。

在这篇文章中，我将介绍向量的基本概念、运算规则以及一些常见的应用。

一、向量的基本概念向量是一个有大小和方向的量。

它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在数学中，向量通常用加粗的小写字母（例如a）表示。

一个向量可以在坐标系中表示为一个有序的数字组合，这些数字称为向量的分量。

例如，在二维平面上，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别是向量在x和y方向的分量。

在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)。

二、向量的运算规则1.向量的加法：向量的加法是按照分量进行的。

对于两个向量a=(a1,a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和为(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。

2.向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。

对于向量a=(a1, a2, a3)和标量c，它们的数乘为(c a1, c a2, c*a3)。

3.向量的点积：向量的点积是将两个向量对应分量相乘后相加得到的结果。

对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的点积为a1b1 + a2b2 + a3*b3。

4.向量的叉积：向量的叉积是只适用于三维空间的一种运算。

对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的叉积为(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1.物理学中的向量：在物理学中，速度、加速度和力等都是向量。

通过使用向量，我们可以更好地描述和计算物体的运动。

2.工程学中的向量：在工程学中，向量可以用于表示力的合成、电路中的电流和电压以及机器人的运动轨迹。

3.计算机科学中的向量：在计算机图形学中，向量常用于表示点、线、面和体素等几何对象。

此外，向量在机器学习和数据挖掘中也有广泛的应用，例如在聚类、分类和回归分析中。

向量的各个知识点及对应分析向量的基本概念与运算 一、基本理论 1、向量概念（1）向 量：既有方向，又有大小的量叫做向量（2）向量的模：向量的大小称为向量的模，向量的大小即，记作|AB |或｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3）零 向 量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，记为0。

（4）单位向量：长度等于单位1的向量叫单位向量，向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

2、共线向量（1）基 线：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线（2）共线向量第一定义：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。

共线向量第二定义：方向相同或相反的向量 （3）零向量与任何向量共线。

（4）共线向量可以分为以下四种：()A 方向相同，模相等 ()B 方向相同，模不等 ()C 方向相反，模相等 ()D 方向相反，模不等注意：向量的共线与平行是等价的，要注意与直线的平行与共线相区别。

3、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB 。

（2）整体法：用一个小写的英文字母来表示，如a 。

（3）坐标法：用坐标来表示向量。

4、向量的向量加法（1）平行四边形法则：使两个已知向量始点重合，和向量就是两向量所夹的对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2） 三角形法则：其特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；当两个向量的起点公共时，用平行 四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

ACB COAC（1）平行四边形法则示意图 （2）三角形法则示意图*几点需要注意的问题：（1）两个向量的和仍是一个向量（2）当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向与a 、b 的方向都不同，且 a b a b +<+5、向量的减法（1）、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a - （1）()a a --= （2）()0a a +-=（2）、向量减法：两个向量a 与b 的差为a 与b 的相反向量的和，即：()a b a b -=+- （3）、向量减法的作图法：（A ）先将两个向量的起点重合（B ）在两个终点中，以被减向量的终点为终点。

向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。

类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。

5.零向量：大小为0，方向任意的向量。

在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。

6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。

若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。

7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。

平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。

1.1向量的概念 一、向量的定义、几何表示、记法 1．既有大小又有方向的量。

简称为式。

例如力、速度等。

注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般是空间中的向量。

2．用有向线段表示向量。

也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。

有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

有向线段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。

3．始点为A ，终点为B 的向量记作AB 。

有时用a ,b ,x 或黑体字母a ，b ，x 表示向量。

4. 向量的模：向量的大小称为向量的模。

向量AB 与a 的模分别记为|AB |与|a |。

二、几种特殊向量1．单位向量：模为1的向量称为单位向量。

与a 有同一方向的单位向量称为a 的单位向量，记为0a 。

2．零向量：模等于零的向量，记为0或0 ，即起点与终点重合，方向不确定（方向任意），否则为非零向量。

3．向量的平行与相等：向量a 与b 相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为a ∥b ，类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。

注：（i ）平行的两向量不一定同向。

（ii ）位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）。

a 与b 相等：若a 与b 的模相等且方向相同，记为a =b ，规定：所有零向量都相等。

注：(i)模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。

(ii)设AB 与B A ''为不在同一直线上的非零向量，则AB =B A ''当且仅当四边形ABB /A /为平行四边形。

证 根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量aAB 与B A ''，若用两线段分别连接它们的一对起点A 与A /，一对终点B 与B /，那么显然得到一个平行四边形ABB /A /。

反之，对两个向量，若用这种作图法得到一个平行四边形，那么由向量相等的定义知这两向量相等。

向量数学知识点总结1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。

通常用一个箭头或者是一段有方向的线段来表示。

向量的大小称为模，用符号||a||来表示。

向量的方向通常通过箭头所指的方向来表示。

一个向量通常用加粗的小写字母或者是在上方加一个箭头来表示，如 a 或者是→a。

2. 向量的表示在数学中，向量通常用坐标表示。

如果在一个二维空间中，一个向量可以表示成 (x, y) 的形式。

在三维空间中，一个向量可以表示成 (x, y, z) 的形式。

3. 向量的运算向量的加法：向量a 和向量 b 的和记作 a+b，它的定义是 a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)向量的数量乘法：数与向量相乘，记作k∙a，即k∙a=(k∙a_1,k∙a_2,...,k∙a_n)点积：向量a和向量b的点积表示为a∙b=a_1∙b_1+a_2∙b_2+...+a_n∙b_n，也可以表示为“a⋅b=│a││b│cosθ”其中θ为a与b的夹角叉积：在三维空间中，向量a和向量b的叉积表示为a×b=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)4. 向量的线性相关性向量a和b线性相关的充分必要条件是存在不全为0的实数λ和μ，使得λa+μb=05. 向量的线性无关性若存在一组向量{a_1, a_2, …, a_n}使得只有λ_1 a_1+λ_2 a_2+。

λ_n a_n=0 当且仅当λ_1=λ_2=…=λ_n=0，则称向量{a_1, a_2, …, a_n}线性无关6. 向量的基底和维度一个线性空间的基底就是一个线性无关的极大集合，即这个集合中的向量不能再添进任何一个可以由这个集合张成的向量空间。

一个向量空间的维度就是这个向量空间的一组基底中有多少个向量。

一个n维的向量空间能被n维向量张成，任意向量可以被这n个向量线性表示。

7. 向量的投影向量的投影是向量在另一个向量上的投影，向量a在向量b上的投影的长度为|a|cosθ，与b同向8. 向量的夹角两个非零向量a和b夹角的cosθ= a∙b／(|a||b|)夹角的范围是[0, π]，当cosθ>0时夹角在[0, π/2]上，当cosθ<0时夹角在(π/2, π]上，当cosθ=0时，a和b垂直。

向量基本概念
向量是一个包含大小和方向的量，通常用箭头表示。

在二维空间中，向量可以表示为一个有序的二元组(x,y)，其中x和y分别代表向量在水平和竖直方向的分量。

在三维空间中，向量可以表示为一个有序的三元组(x,y,z)，其中x，y和z分别代表向量在x，y和z轴上的分量。

向量的长度通常用向量的大小(或者称为模)来表示，用两个竖线表示，例如||v||代表向量v的大小。

向量的方向可以用一个单位向量来表示，它的大小为1。

单位向量通常表示为小写字母u或者e，例如u表示向量v的单位向量，u = v / ||v||。

向量的基本运算包括向量加法、向量减法、向量数乘、点积和叉积。

向量加法表示将两个向量的分量相加，得到一个新的向量。

向量减法表示将一个向量的分量减去另一个向量的分量，得到一个新的向量。

向量数乘表示将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。

点积表示将两个向量的对应分量相乘，然后相加，得到一个标量。

叉积表示将两个向量的叉积得到一个新的向量，它的大小等于两个向量的大小相乘，并且垂直于这两个向量所在的平面。

向量在物理学、几何学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。

在物理学中，向量被用来描述物体的运动和力的作用。

在几何学中，向量被用来描述平面和空间中的图形。

在计算机图形学中，向量被用来描述3D模型的位置和方向，以及光线的传播方向。

- 1 -。

向量概念知识点1、数量：只有大小没有方向的量称为数量；向量：在数学中，既有大小又有方向的量叫作向量；注：①数量之间可以比大小，向量之间不可以比大小；②我们所学的是自由向量，即只有大小与方向，而无特定位置，这样的向量可作任意平移。

2、有向线段：规定了方向（起点和终点）的线段称为有向线段。

注：①以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的；②有向线段包含三个要素：起点，方向，长度。

3、向量的表示：（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；（2）代数表示：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：、，也可以用小写字母表示，但书写时，印刷用黑体a 、b 、c 等，书写用a 、b 、c 。

4、向量的模：向量的大小称为向量。

5、两种特殊向量：（1）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的；（2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量。

注：①若用有向线段表示零向量，则其起点与终点重合，|0|=0；②单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同。

6、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。

向量a 与向量b 平行，记作a ∥b 。

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0∥a ；相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何。

向量a 与向量b 是相同的向量，也称a 与b 相等，记作a =b ；共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。

相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作-a。

规定：（1）零向量的相反向量还是零向量；（2）对任意一个向量a，总有-（-a）=a。

7、向量的夹角对于两个非零向量a和b，如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a和b的夹角。

向量知识点汇总1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=13．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa15．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e16．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 17．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=18．a ∥b (b≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=019．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ， 使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)20、定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比22点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点23线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b aλλλλλ+++=++111124．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角25．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.26．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 27．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 28．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |29、平面向量数量积的运算律 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c30、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和),(11y x a =，),(22y x b =⇒b a ⋅2121y y x x +=31、平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或||a =（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)32、.向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x 33.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ=||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=34.（1）平移的概念设F 为平面内一个图形，将F 上所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到F '，这个过程叫做图形的平移.在图形平移过程中，自一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点思考：其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移. （2）平移公式设点P (x ,y )按照给定的向量a ＝（h,k ）平移后得到新点),(y x P '''，则⎩⎨⎧+='+='k y y h x x容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为⎩⎨⎧-'=-'=yy k xx h（3）图形的平移公式给定向量a ＝（h,k ），由旧解析式求新解析式时，把公式⎩⎨⎧-'=-'=ky y hx x ，代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式⎩⎨⎧+='+='k y y hx x 代入到新解析式中整理可得.应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.35、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明三：（向量法）过A 作单位向量垂直于 由 AC +CB =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j •∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin同理，若过C 作垂直于得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 36、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a。

向量知识点归纳向量，在数学和物理学中起着重要的作用。

它是平面几何和立体几何研究的基础，也是物理学中描述力和速度等物理量的必备工具。

本文将就向量的概念、运算法则以及在几何和物理中的应用等方面进行归纳总结。

一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量记作A→或A→，其中A表示向量起点，A表示向量本身。

向量可以用坐标表示，例如坐标为(A, A)的向量记作(A, A)→。

向量有负数，零向量和单位向量等特殊情况。

二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法仍然是向量。

向量A→和A→的和记作A→+A→，求和的方法是将两个向量的起点连接起来，然后连接向量的终点，所得线段的方向与第一个向量相同，长度等于两个向量长度之和。

2. 向量的减法：向量的减法实际上就是加上一个相反数。

向量A→和A→的差记作A→−A→，即A→+（−A→）。

求差的方法是将向量A→取负号后，按照向量的加法规则进行运算。

3. 数量乘法：向量与实数之间的乘法。

若A→为一个向量，A为实数，则数量乘法的结果为AA→，即将向量的长度乘以实数，并沿原来的方向延长或缩短。

4. 数量积（点积）：又称内积或数量积。

向量A→和A→的数量积记作A→·A→或(A, A)。

数量积的结果是一个实数，其计算公式为A→·A→=AAAA+AAAA。

5. 向量积（叉积）：又称外积或向量积。

向量A→和A→的向量积记作A→×A→或[A, A]。

向量积的结果是一个向量，其方向垂直于向量A→和A→所在的平面，并遵循右手法则。

向量积的计算公式为：A→×A→ = (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→三、向量在几何中的应用1. 向量与平面几何：向量在平面几何中可以表示线段、直线和平面等。

两点间的向量可以用来求距离和中点，平行向量可以用来判定直线的平行和共线性，两向量的数量积可以用来判断两直线是否垂直。

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。

向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。

一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。

它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。

二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。

2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。

三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。

2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。

3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。

4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。

四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。

通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。

向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。

向量性质知识点总结一、向量的基本性质1. 向量的表示在空间直角坐标系中，向量可以用有序数组表示，如向量a 可表示为(a1, a2, a3)，a1、a2、a3 分别代表向量 a 在 x 轴、y 轴、z 轴上的分量。

我们也可以用向量的形式表示，即使用箭头在字母上方，如→a，表示向量 a。

2. 向量的模向量的模表示了向量的大小，或者说向量的长度。

对于三维空间中的向量 a=(x, y, z)，其模可以表示为|a|=√(x^2 + y^2 + z^2)。

3. 零向量零向量是指各个分量均为零的向量，通常用 0 或 $\vec{0}$ 来表示。

4. 负向量负向量是指方向相反、大小相等的向量，与原向量形成一条共线反向的直线。

如果 a=(x, y, z)，则其负向量为-b=(-x, -y, -z)。

5. 向量的平行性与共线性两个向量平行指向量的方向相同或相反，但大小可能不同；共线是指两个向量所在的直线方向相同。

6. 向量的相等向量 a 与向量 b 相等，当且仅当它们的对应分量完全相等，即a1=b1, a2=b2, a3=b3。

7. 向量的加法向量加法满足交换律和结合律，即 a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)，其中 a, b, c 是任意三个向量。

8. 向量的数量乘法向量数量乘法是将一个向量的每个分量乘以一个数量，结果是一个新的向量。

具体而言，如果 k 是一个实数，向量 a=(x, y, z)，则 ka=(kx, ky, kz)。

9. 向量的线性组合如果有向量 a 和向量 b，那么 c=ka+lb 就是向量 a、b 的线性组合，其中 k、l 是任意实数。

线性组合实际上是向量 a、b 的数量乘法和加法的组合。

二、向量的数量积性质向量的数量积（也称为点积或内积）是一种向量的运算，其结果为一个实数。

向量的数量积有以下性质：1. 定义向量 a=(x1, y1, z1) 和向量 b=(x2, y2, z2) 的数量积为a·b=x1x2+y1y2+z1z2。

向量百科名片向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对目录向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的表示向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。

α=（a 1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

向量的来源向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

向量概念总结1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量， ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

7．向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )8．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a + (-b )9．差向量的意义： = a , =b , 则BA =a - b10．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb11． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。

12．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 。

(1)不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量13．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。