辽宁省实验中学2014届高三第四次模拟考试数学(理)试题(扫描版)

辽宁省沈阳市2014届高三教学质量监测数学（理）试题（四）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 能正确表示右图中阴影部分的选项为（ ） A . ()U C M N B . ()U C MN C . ()()U MN C MN D . ()()U MN C MN2. 已知,a b ∈R ，则“0a =”是“a bi +A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 3. 执行右面的程序框图，如果输入的[]2,2x ∈-则输出的y 属于（ ）A ．1[,5]2B ．1,5]2（C ．1[,4]2D ．1,4]2（4. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，下列选项中不可能是关于(),n n S 的图象的是（ ）5. 在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为（ ） A . 0.10 B . 0.09 C . 0.19 D . 0.1996. 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：A 规格B 规格C 规格第一种钢板211BD第二种钢板 1 2 3今需要A 、B 、C 三种规格的成品各15、18、27块，所需两种钢板的张数分别为m 、n ，则m n +的最小值为（ ）A . 11B . 12C . 13D . 147.设点P ()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则()()20011cos2x x ++ 的值为（ ）A . 2B .C .D . 因为0x 不唯一，故不确定8. 如图，各棱长都为2的四面体ABCD 中,CE ED =,2AF FD =，则向量BE CF ⋅=（ ） A . 13-B . 13C . 12-D . 129. 双曲线22221y x a b -= ()0,0a b >>的两条渐近线与抛物线21y x =+ （第8题图） 有四个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A . (1B .C . )+∞ D . )+∞ 10. 函数()12sin 1f x x xπ=--在区间[]2,4-上的所有零点之和等于（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 1011. 若函数()32 231,0,0a x x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩ 在区间[]2,2-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是（ ）A . 1ln 22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B . 10ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C . (],0-∞D . 1ln 22⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-， 12. 四个顶点都在球O 上的四面体ABCD 所有棱长都为12，点E 、F 分别为棱AB 、AC 的中点，则球O 截直线EF 所得弦长为（）A .B .12 C .D .第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.) 13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为 .（第13题图） （第14题图）14. 如图，以摩天轮中心为原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，动点初始位于点()04,3P -处，现将其绕原点O 逆时针旋转120°角到达点P 处，则此时点P 的纵坐标为 .15. 过点(1 2)M ，的直线l 与圆22:(3)(4)25C x y -+-=交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 .16. 数列{}n a 的通项为()1nn a e -=+-（其中e 为自然对数的底数），则该数列各项取值最大、最小两项值的和为 .三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）小华参加学校创意社团，上交一份如图所示的作品：边长为2的正方形中作一内切圆⊙O ，在⊙O 内作一个关于正方形对角线对称的内接“十”字形图案. OA 垂直于该“十”字形图案的一条边，点P 为该边上的一个端点. 记“十”字形图案面积为S ，AOP ∠=θ. 试用θ表示S ，并由此求出S 的最大值.18.（本小题满分12分）9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5. 若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子.（1）求甲坑不需要补种的概率；2N C（2）记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为1P ，另记有坑需要补种的概率为2P ，求12P P +的值.19.（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 、M 在1l 上，点C 、N 在2l 上，1AM MB MN ===.（1）证明：AC BN ⊥；（2）若60ACB ∠=，求直线BN 与平面ABC 所成角的余弦值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= ()0a b >>.四点（、31,2（）、）、中有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点()2,0A ，与y 轴交于点R ，与椭圆C 交于点Q （Q 不与A 重合）. 过原点O 作直线l 的平行线m ，直线m 与椭圆C 的一个交点记为P . 问：是否存在常数λ使得AQ 、OP λ、AR 成等比数列？若存在，请你求出实数λ的值；若不存在，请说明缘由.21.（本小题满分12分）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x ()0n x >的第一项11x =，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在点()()11,n n x f x ++处的切线与经过()0,0和()(),n n x f x 两点的直线平行.（1）求函数()f x 的极值；（2）当+N n ∈ 时，求证：①221132n n n n x x x x +++=+ ； ②1211()()22n n n x --≤≤.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第四次联合模拟考试数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i2i 1ix y +=-+，,R x y ∈，则x y +=（）A ．2B ．3C ．4D ．52．若a ，b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+ 与2a b -垂直，则λ=（）A ．0B ．2C ．1-D ．2-3．某种酸奶每罐净重X （单位：g ）服从正态分布()2184,2.5N .随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g 之间的概率为（）（注：若()2~,X N μσ，()0.6827P X μσ-<=，()20.9545P X μσ-<=，()30.9973P X μσ-<=）A ．0.8186B ．0.84135C ．0.9545D ．0.68274．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若12a =，378a a +=，则17S =（）A ．51B ．102C ．119D ．2385．过点(),P a b 作圆221x y +=的切线PA ，A 为切点，1PA =，则3a b +的最大值是（）AB C ．D ．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，I 为12PF F △的内心，记1PF I ，2PF I △，12IF F △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足3123S S S =+，则双曲线的离心率是（）A BC ．2D ．37．某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A ．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5B ．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7C ．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%D ．2023年该校不上线的人数有所减少8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则点Q 的轨迹长度为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222sin sin cos 1ABC ++<，则ABC 为钝角三角形B．若1,30AB AC B ===︒，则ABC的面积为2C ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立D．若π,3B a ==且ABC 有两解，则b的取值范围是(3,10．已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的极值点为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点11．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()111f x g x ++-=，则下列说法中正确的是（）A ．4为()f x 的一个周期B ．8为()g x 的一个周期C ．()20240g =D ．()20241422024n f n =-=∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+=⎪⎝⎭.13．命题“任意[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则实数a 的取值范围是.14．已知数列{}n a 满足113,1,2,n n n a n n a a a n ++-⎧==⎨⎩是奇数是偶数，22n n b a n =+，则1n n b b +=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，11AA =.E 为11B C 的中点.(1)求直线1A D 与直线AE 所成角的余弦值；(2)求点1D 到直线AE 的距离.16．如图，在平面内，四边形ABCD 满足B ，D 点在AC 的两侧，1AB =，2BC =，ACD 为正三角形，设ABC α∠=.(1)当π3α=时，求AC ；(2)当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.17．如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S．(1)求p 的值；(2)求OM ON ⋅ 的值；(3)求OMN OABS S 的取值范围.18．2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列22⨯列联表，并依据0.010α=的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X ，求()P X k =取得最大值时的()*k k ∈N 值．附：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．19．已知2()e ln ,()ln x f x a x g x x x a ==+(1)当1a =时，求()f x 在1x =处切线方程；(2)若()()f x g x <在(0,1)x ∈恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：411111322222123e e e e ln(1)234(1)n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅<++ ．1．C【分析】根据条件得出()()i 1i 2i x y +=+-，再根据复数的乘法运算可得出i 3i x y +=+，然后即可求出x y +的值．【详解】解：i2i 1ix y +=-+，()()i 1i 2i 3i x y ∴+=+-=+，3x ∴=，1y =，4x y ∴+=.故选：C.2．A【分析】由数量积的定义可求出⋅a b ，再由向量垂直的性质求解即可得出答案.【详解】解：a ，b是夹角为60︒的两个单位向量，则1a b == ，111cos 602a b ⋅=⨯⨯︒= ，因为a b λ+ 与2a b -垂直，则()()()222220a b a b a a b b λλλ+⋅-=+-⋅-= ，即()121202λλ-+-⨯=，解得0λ=.故选：A.3．A【分析】根据正态分布的对称性，以及184μ=， 2.5σ=，即可求得净重在179g 与186.5g 之间的概率．【详解】由题意可知，184μ=， 2.5σ=，可得1792μσ=-，186.5μσ=+，净重在179g 与186.5g 之间的概率为()()179186.52P X P X μσμσ<<=-<<+，由正态分布的对称性可知，()()()()()1222P X P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+=-<+-<--<∣()10.68270.95450.68270.81862=+-=，所以净重在179g 与186.5g 之间的概率为()179186.50.8186P X <<=.故选：A.4．B【分析】结合等差数列的性质先求出公差d ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】等差数列{}n a 中，12a =，37528a a a +==，即54a =，所以511512a a d -==-，则171716117210222S ⨯=⨯+⨯=.故选：B.5．C【分析】根据圆的切线的性质得出PA OA ⊥，结合勾股定理可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，然后设3a b t +=，将222a b +=化为关于b 的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出t 的最大值，可得答案．【详解】解：根据题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =.若PA 与圆O 相切于点A ，则PA OA ⊥，可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，设3a b t +=，则3a t b =-，可得()2232t b b -+=，整理得2210620b tb t -+-=，关于b 的一元二次方程有实数解，所以()22Δ364020t t =--≥，解得t -≤≤当a =5b =时，t 有最大值3a b +的最大值是故选：C.6．D【分析】利用三角形12PF F △的内切圆圆心I 到各边距离都等于半径r ，从而得到1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，再由3123S S S =+找到,a c 的等量关系，进而求得离心率的值.【详解】设12PF F △的内切圆半径为r ，则1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，所以()121212111222S S PF r PF r r PF PF ar -=-=-=，又3S cr =,3123S S S -=，所以13ar cr =，即3c a =，所以3e =，故选：D.7．C【分析】设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，再根据扇形统计图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可．【详解】不妨设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，2022年本科达线人数为50，2023年本科达线人数为90，∴2023年与2022年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了9050480%505-==，故A 错误，C 正确；2022年专科达线人数为35，2023年专科达线人数为45，∴2023年与2022年的专科达线人数比为9:7，故B 错误；2022年不上线人数为15，2023年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，故D 错误．故选：C.8．C【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得1DB ⊥平面PMN ，可得点Q 的轨迹为圆，由此即可得．【详解】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，()1,2,0P ，()0,1,2M ，()2,0,1N ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，故()12,2,2DB = ，()1,1,2PM =--，()1,2,1PN =- ，设平面PMN 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令1z =得，1x y ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S为圆心，13r B S =为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中11B D B D ==，由对称性可知，1112B S B D ==13r ==，故点Q 的轨迹长度为2π.故选：C.9．ACD【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB ，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C ，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A ：ABC 中，若222222sin sin cos sin sin 1sin 1A B C A B C ++=++-<，即222sin sin sin 0A B C +-<，所以由正弦定理得2220a b c +-<，又由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为钝角三角形，A 说法正确；选项B ：ABC 中，若1,30AB AC B ===︒，则由正弦定理得sin sin AC AB B C =，解得sin C =所以60C =︒或120︒，所以90A ∠=︒或30A ∠=︒，ABC 的面积13sin 22S AB AC A =⋅⋅=或B 说法错误；选项C ：因为ABC 是锐角三角形，所以π2C <，所以ππ2A B C +=->，又π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2A B >-，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 说法正确；选项D ：如图所示，若ABC 有两解，则sin a B b a <<，解得3b <<D 说法正确；故选：ACD 10．BC【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB ；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D ；利用导数的几何意义求得()f x 在2x =处的切线方程，从而得以判断．【详解】对A ：因为()e x x f x =-，所以()1e xx f x '-=，令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(),1∞-上单调递减；在()1,∞+上单调递增.可知()f x 在1x =处取得唯一极小值，也是()f x 的最小值，所以()f x 的极值点为1x =，故A 错误，B 正确；对C ：因为()222e f =-，()212e f '=，所以()f x 在2x =处的切线方程为()22212e ey x +=-，即2214e e y x =-，故C 正确．对D ：因为()00f =，()110ef =-<，结合()f x 在(),1∞-上的单调性，可知0x =是()f x 在(),1∞-上的唯一零点；当1x >时，e 0x >恒成立，故()0e xxf x =-<恒成立，所以()f x 在()1,∞+上没有零点；综上：()f x 只有一个零点，故D 错误．故选：BC.11．BCD【分析】由题意可得()()21f x g x +-=，用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=，于是可得()()222f x f x ++-=，进而可得()f x 为周期函数，8为最小正周期，即可判断A ；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，即可判断B ；根据B 及()00g =即可判断C ；由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++=，()()()()()()261014809080942024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=即可判断D.【详解】因为()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且()00g =，又因为()()111f x g x ++-=，所以()()21f x g x ++-=，即()()21f x g x +-=，①用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()111f x g x -++=，即()()21f x g x -+=，②由①＋②，得()()222f x f x ++-=，所以函数()y f x =关于()2,1中心对称，且()21f =，由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++-=，()()()422f x f x f x +=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 为周期函数，8为周期，故A 错误；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，得()()18181f x g x ⎡⎤+++-+=⎣⎦，又因为()()181f x f x ++=+，所以()()()11818g x g x g x ⎡⎤⎡⎤-=-+=-+⎣⎦⎣⎦，所以()()8g x g x +=，所以()g x 为周期函数，8为周期，故B 正确；所以()()()20242538000g g g =⨯+==，故C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，即()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142f f +=，……令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以()()()()()()1012261014809080942222024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+=个所以()()()()()()()2024142261014809080942024n f n f f f f f f =⎡⎤-=++++⋅⋅⋅++=⎣⎦∑，故D 正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题．12．78##0.875【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案．【详解】因为π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：78.13．52a >【分析】根据题意，问题转化为存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，即()min22x xa ->+，求出22x x y -=+的最小值得解.【详解】若命题任意“[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则命题存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，因为13x ≤≤时，228x ≤≤，令2x t =，则28t ≤≤，则1y t t=+在[]28,上单调递增，所以56528y ≤≤，所以52a >.故答案为：52a >.14．2【分析】根据递推公式推导出2222(1)24n n a n a n +++=+，即可得解.【详解】由数列{}n a 满足11a =，13,2,n n n a n n a a n ++-⎧=⎨⎩是奇数是偶数，可得22(21)12121(21)322n n n n a a a n a n +++++==++-=+-，又由2122n n a a +=，所以22(21)12222n n n a a a n +++==+-因为22n n b a n =+，可得12222(1)24n n n b a n a n ++=++=+，所以1222422n n n n b a na nb ++==+.故答案为：215．(1)30【分析】（1）先利用直线的平行，找出所求的线线角，再放在三角形中，求角；（2）构造三角形，转化为求三角形的高.【详解】（1）如图：取1CC 中点，连接EF ，AF ，由长方体的性质可知1//A D EF ，所以AEF ∠(或其补角)即为1A D 与AE 所成的角，在AEF 中：161132AE =++=1514EF =+1916442AF =++=，由余弦定理：222cos 2·AE EF AF AEF AE EF +-∠=5811810443052322+-=⨯⨯10.（2）连接1AD ，1ED ，在1AD E 中：1415AD +116117ED =+=32AE =，所以2221111cos 2·AD AE D E D AE AD AE +-∠=10102532=⨯，所以1310sin 10D AE ∠=，所以点1D 到直线AE 的距离为：1131032sin 5102AD D AE ⨯∠16．3(2)5324+【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得AC 的值；（2）由余弦定理可得2AC 的表达式，进而求出正三角形ACD 的面积的表达式，进而求出四边形ABCD 的面积的表达式，由辅助角公式及α的范围，可得四边形面积的范围．【详解】（1）因为1AB =，2BC =，π3B =，由余弦定理可得：2212cos 1421232AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=（2）由余弦定理可得2222cos 14212cos 54cos AC AB BC AB BC ααα=+-⋅=+-⨯⨯=-，因为ACD 为正三角形，所以2353344ACD S AC α==△，11sin 12sin sin 22ABC S AB BC ααα=⋅=⨯⨯=△，所以53π53sin 32sin 434ABC ACD ABCD S S S ααα⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭四边形△△，因为()0,πα∈，所以ππ2π333,α⎛-∈-⎫ ⎪⎝⎭，所以πsin ,13α⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以244ABCD S ⎛∈+ ⎝⎦四边形，故当5π6α=时，四边形ABCD 面积的最大值为5324+.17．(1)2p =(2)3-(3)[)2,+∞【分析】（1）由抛物线2C 的焦点坐标求p 的值；（2）设直线MN 的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求OM ON ⋅ 的值；（3）设直线NO 、MO 的方程，与椭圆联立方程组表示出,A B x x ，由OMNOAB OM ON S S OB OA⋅=⋅ ，化简并结合基本不等式求取值范围.【详解】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =-，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=-+=- .（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =点A在第三象限，则A x =，点B在第四象限，同理可得B x =且121212121164y y x x k k x x ===-121222OMNOAB B AOM ON x x x x S S OB OA x x ⋅⋅⋅===⋅⋅=2≥=，当且仅当112k =时，等号成立.OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联(2)20k =【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写22⨯列联表，利用公式求2χ，与临界值对比后下结论；（2）依题意，随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由不等式组3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020kkk kk k k kk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成22⨯列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为0H ：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．220.010200(75455525)8.791 6.63510010013070x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴依据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为1301320020=，∴随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴30301313()C 12020kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．要使()P X k =取得最大值，则需3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020k kk kk k kkk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得3834032020k ≤≤，∵*k ∈N ，∴当20k =时，()P X k =取得最大值．19．(1)e e 0x y --=；(2)1[,)e+∞；(3)证明见解析.【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）将不等式()()f x g x <等价变形成ln ln(e e)x x x a x a <，按e 1x a ≥及0e 1x a <<讨论，构造函数借助单调性质可得e x a x >，再分离参数即可求出a 的范围.（3）由（2）的结论，当1ea =时()()f x g x <成立，变形整理得1ln (1)e x x x x -<-，取1nx n =+，借助裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）当1a =时，()e ln x f x x =，求导得)1(()e ln x f x x x+'=，则(1)e f '=，而(1)0f =，所以()f x 在1x =处切线方程为e(1)y x =-，即e e 0x y --=.（2）2ln ln ln ln(e ()()e ln ln )(0,,e 1)e x xx xx x a x a x x x a x x x a x f a a g x +∀∈⇔<+⇔⇔<<<，当01x <<时，ln 0x x <，当e 1xa ≥时，0)ln(e e x x a a ≥，则不等式ln ln(e e )x xx a x a <恒成立，此时e x a x >，当0e 1x a <<时，令函数ln (),01x h x x x =<<，求导得21ln ()0xh x x -'=>，函数()h x 在(0,1)上单调递增，不等式ln ln(e e)xxx a x a <，即()(e )x h x h a <，因此e x a x >，从而)(0,1(e ),()e xx x x x x a x f a g ∀∈⇔⇔><>，令1(0),e x x x x ϕ=<<，求导得1()0e xx x ϕ'-=>，函数()ϕx 在(0,1)上单调递增，1(0,1),()(1)e x x ϕϕ∀∈<=，则1e a ≥，所以a 的取值范围是1[,)e+∞.（3）由（2）知，当1ea =时，不等式112e ln ln (1)e x x x x x x x x --<-⇔<-对(0,1)x ∀∈恒成立，取1n x n =+，得11ln (1)1e 11nn n n n n n n -+-+<++，即112l 1(1n e )n n n n n ++<-+，因此112l 1(1)n e n n n n n +++>，即112e ln 1)ln 1)((n n n n n +<+-+，则111324222211123e e e e ln 2ln14ln 3ln 2ln 23(1)(1)ln n n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅+<-+-+++- ln(1)ln1ln(1)n n =+-=+，所以原不等式成立.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2014-2015学年度高三四校联考数学试题（理）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.已知全集R U =，{}{}034|,2|2>+-=<=x x x B x x A ，则)(B C A U ⋂等于{}31|.<≤x x A {}12|.<≤-x x B {}21|.<≤x x C {}32|.≤<-x x D2.设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.函数9ln )(3-+=x x x f 的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若336=S S ，则69S S =A. 2B.37C.38D. 3 5. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当13-≤≤-x 时，2)2()(+-=x x f ，当31<≤-x 时，x x f =)(.则=+++)2012(...)2()1(f f f A ．335 B ．338 C ．1678 D ．20126.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是A. ()1,2B.(][),12,-∞+∞ C. []1,2 D.()(),12,-∞+∞7．已知函数1212)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为（ ）A .()1,6-B .()6,1-C.()2,3-D.()3,2-8. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到 的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像 （ ）A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称9.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20132012B.20142013C.20152014D.2016201510.下列四个图中，函数11101++=x x n y 的图象可能是( )11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ． b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对),0(+∞∈∀x ，有)1()()2(f x f x f -=+，且当[]3,2∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ( ) A.)22,0(B.)33,0( C.)55,0( D .)66,0(二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为6，则ba 21+的最小值为______________ __. 14. 函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．15.在AOB ∆中，G 为AOB ∆的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且︒=∠60AOB .若6=⋅的最小值是____ ____．16. 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '= 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数()32331f x x x x =-++对称中心为 ．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值；（2）写出()f x 的单调区间．18.（本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.19.（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =． （1）求数列{n a }，{n b }的通项公式； （2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W .20.（本小题满分12分）已知函数23)(bx ax x f +=的图象经过点)4,1(M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直． （1）求实数b a ,的值；（2）若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =⋅,12n n S b b b =+++,求n S .22.（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)x g x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值．（1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （3）证明：()()g x f x ≥．2014-2015学年度上学期期中学业水平监测答案（理） 一.选择题：二．填空题：13.3348+ 14. 4 15. 2 16. (1 ,2)三． 解答题： 17.（10分）解：（1）3(1cos2)1cos2()sin 222x xf x x +-=++sin 2cos 22x x =++)24x π=++所以()f x 的最大值为2,Z 8x k k ππ=+∈.………………………5分（2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388k x k ππππ-≤≤+； 所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88k k k ππππ-+∈； 由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88k k k ππππ++∈。

一、单选题二、多选题1. 对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”，法则如下：当、都是正奇数时，※=；当、不全为正奇数时，※=.则在此定义下，集合中的元素个数是A．B．C．D．2. 设全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．3. 设M 是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t 的值为（ ）A．B．C ．2D ．14. 已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）A．B．C．D．5. 已知复数，则（ ）A．B ．10C．D ．26. 从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．47. 如图所示，连接棱长为2cm 的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A 处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B 到水面的距离h 以每秒1cm 的速度匀速上升，设该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．8. 已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）A．B．C．D．辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(1)辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(1)三、填空题四、解答题9.若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10. 棱长为2的正方体中，E ，F ，G 分别为棱AD ，，的中点，过点E ，F ，G 的平面记为平面，则下列说法正确的是（ ）A ．平面B．平面C ．平面截正方体外接球所得圆的面积为D ．正方体的表面上与点E 的距离为的点形成的曲线的长度为11. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据统计图分析，下列结论正确的是（）A ．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长B ．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C ．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了30%D ．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了0.6吨12. 在菱形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 边的中点，则（ ）A．B．C．D．13.已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是__________.14. 函数，则下列结论正确的是_________．①是函数的一个周期②存在，使得函数是偶函数③当时，函数在上的最大值为④当时，函数的图象关于点中心对称15. 复数z满足，则________．16. 已知数列的首项的等比数列，其前项和中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求.17.在中，，的面积为，为的中点，于点于点.(1)求的面积；(2)若，求的值.18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．(1)求证：∥；(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19. 如图，已知点，，以线段为直径的圆内切于圆．(1)证明为定值，并写出点的轨迹的方程；(2)设点是曲线上的不同三点，且，求的面积．20. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）已知函数.①若在处取得极小值，求实数的取值范围；②若的一个极值点为，且，求的最大值．21. 已知函数.(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；(2)若方程有两个实根，，且，求证：.参考数据：，.。

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）A．{0}B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜3}D．{1，2}2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）5．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．78．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．29．（5分）不等式x2+2x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．h max（x）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是．14．（5分）已知（l+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=．15．（5分）已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（e x）＜0的x的取值范围为．16．（5分）已知函数f（x）=sin，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；④函数y=f（x）•g（x）的最大值为．其中真命题为．三、解答题：本大题共6个小题，总分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，求a和c的值．18．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．19．（12分）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．四、选做题，请在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）A．{0}B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜3}D．{1，2}【解答】解：由N中的不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即N=（0，3），∵M={0，1，2，3}，∴M∩N=[1，2}．故选：D．2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：z=，故z的虚部为，故选：D．3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：a=＜log=0，b=∈（0，1），c=＞1，∴c＞b＞a，故选：A．4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．故选：C．5．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选：B．6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得有y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象，故选：C．7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．8．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：因为sin2α﹣sinαcosα====．故选：A．9．（5分）不等式x2+2x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．h max（x）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【解答】解：∵a，b＞0，∴=8，当且仅当a=4b＞0时取等号．∵不等式x2+2x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立⇔不等式x2+2x＜，a，b＞0．∴x2+2x＜8，解得﹣4＜x＜2．∴实数x的取值范围是（﹣4，2）．故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵当x＞0时，有＞0成立，∴当x＞0时，为增函数，又∵f（1）=0，∴当x＞1时，＞0，f（x）＞0，当0＜x＜1时，＜0，f（x）＜0，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，故当x＜﹣1时，＞0，f（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，＜0，f（x）＞0，故f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1×1×4×6=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是[﹣1，4] ．【解答】解：∵已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，则f（x）的定义域为[﹣1，4]，故答案为[﹣1，4]．14．（5分）已知（l+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=﹣1．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•=5，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．15．（5分）已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（e x）＜0的x的取值范围为（0，1）．【解答】解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减，在x=e﹣1时，函数取得极小值，∵f（1）=0，f（e）=0，∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，则f（e x）＜0等价为1＜e x＜e，即0＜x＜1，故答案为：（0，1）16．（5分）已知函数f（x）=sin，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；④函数y=f（x）•g（x）的最大值为．其中真命题为③．【解答】解：∵函数f（x）=sin，x∈R，∴将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），函数g （x）=sinx．∴f（x）•g（x）=sinx•sin．记h（x）=sinx•sin．（1）h（﹣x）=sin（﹣x）•sin（﹣）=（﹣sinx）•（﹣sin）=sinx•sin．∴h（﹣x）=h（x）．∴h（x）是偶函数．假设h（x）是奇函数，则h（x）=0恒成立，与h（x）=sinx•sin矛盾．故假设不成立．∴h（x）不是奇函数．即①不成立．（2）∵==h（x），∴h（x）是周期函数．故②不成立．（3）设P（x，y）是函数y=h（x）图象上任意一点，则y=sinx•sin．点P（x，y）关于点（π，0）的对称点是P′（2π﹣x，﹣y），∵∴点是P′（2π﹣x，﹣y）也在函数y=sinx•sin的图象上．∴函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称．∴③成立．（4）h（x）=sinx•sin=．令，则．H（x）=2（1﹣t2）t=﹣2t3+2t，（﹣1≤t≤1）．当时，H′（x）＜0，H（x）单调递减；当时，H′（x）＞0，H（x）单调递增；当时，H′（x）＜0，H（x）单调递减．∵H（﹣1）=2﹣2=0，，∴H（x）的最大值为．∴④不成立．故答案为③．三、解答题：本大题共6个小题，总分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，求a和c的值．【解答】解：（1）∵cos=，∴sin=sin（﹣）=，∴cosB=1﹣2sin2=．（2）由•=2可得a•c•cosB=2，又cosB=，故ac=6，由b2=a2+c2﹣2accosB 可得a2+c2=12，∴（a﹣c）2=0，故a=c，∴a=c=．18．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【解答】（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），P（A i）=（）i（）4﹣i．这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=（）2（）2=．（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=，P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=，∴ξ的分布列是数学期望Eξ=0×+2×+4×=．19．（12分）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞），﹣=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，∴ax2﹣5x+a≥0，∴a（x2+1）≥5x，即，∴．∵，当且仅当x=1时取等号，所以a．（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，所以有，∴，∴，解得m≥8﹣5ln2，所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．（2分）令f'（x）=0，解得x=2．∴f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（4分）（2）证明：，，∴F'（x）=．（6分）当x＞2时，2﹣x＜0，2x＞4，从而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．∴．（8分）（3）证明：∵f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（﹣∞，2）内为增函数，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．（12分）四、选做题，请在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2（2分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y ﹣4=0．由得C：．（2）在C：上任取一点，则点P到直线l的距离为d==≤=3．∴当=﹣1，即+2kπ，k ∈z 时，d max =3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f （x ）=log 2（|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣a ） （Ⅰ）当a=5时，求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）当函数f （x ）的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f （x ）有意义，即不等式|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x ≤1时，不等式①等价于﹣2x +1＞0，解之得x ；②当1＜x ≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解； ③当x ＞5时，不等式①等价于2x ﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f （x ）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f （x ）的定义域为R ， ∴不等式|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣a ＞0恒成立， ∴只要a ＜（|x ﹣1|+|x ﹣5|）min 即可，又∵|x ﹣1|+|x ﹣5|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣5）|=4，（当且仅当1≤x ≤5时取等号） ∴a ＜（|x ﹣1|+|x ﹣5|）min 即a ＜4，可得实数a 的取值范围是（﹣∞，4）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

一、单选题二、多选题1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2. 函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）A．B．C．D．3. 已知分别为四面体的棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是（ ）A ．平面B．C ．直线相交于同一点D ．平面4. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.14B ．0.62C ．0.72D ．0.865. 已知函数有且仅有3个零点，若，则（ ）A．B．C．D．6. 复数对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为（ ）A．B．C．D．8. 记数列的前项和为，且，则（ ）A．B．C．D．9.若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（ ）A．B ．1C．D．10. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（ ）辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(高频考点版)辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．三个不同零点B ．在上单调递增C．有极大值，且极大值为D．一条切线为11.抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（ ）A．B．的纵坐标是定值C．为定值D ．存在唯一的使得12. 已知某厂生产一种产品的质量指标值X 服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（ ）参考数据：，，，，.A ．1586件B ．1588件C ．156件D ．158件13. 已知向量，，若与共线，则________．14. 如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A 和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球则球A 的体积为________，圆柱的侧面积与球B 的表面积之比为___________.15.若，则_________.16. 已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．(1)求椭圆C 的方程；(2)过直线上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N，求证：直线过定点．17. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD，，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD的中点．（1）求cos，的值；（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并求出N 到AB 和AP 的距离．18. 2022年是极其不平凡的一年，我国在新冠疫情的反复肆虐下奋勇前行，取得了可观的抗疫成果.下表是2022年3月13日至3月18日河北省现存新冠肺炎确诊病例数目的统计结果：日期2022.3.132022.3.142022.3.152022.3.162022.3.172022.3.18日期编号x123456病例数目y131182195233271292(1)请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程；（计算结果均保留整数）(2)若已知某校须在河北省病例数目达到450例之前采取封校措施，假设该时间段内河北省的疫情增长速率持平，请根据（1）中的回归直线方程推测该校最晚在哪一天采取封校措施.参考公式：，，，19. 2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗.一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数300400500600700感染人数33667（Ⅰ）求与的回归方程；（Ⅱ）同期，在人数均为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，估计该疫苗的有效率.（疫苗的有效率为，结果保留3位有效数字）（参考公式：，，参考数据：）20. 已知函数，.(1)设函数，若在上是单调函数，求实数a的取值范围.(2)①证明：当时，在R上恒成立；②已知，（其中）是函数图象上任意两点，设直线AB的斜率为k，证明：.21. 已知抛物线（），点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是到距离的3倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）椭圆的两焦点为、，在椭圆外的抛物线上取一点，若、的斜率分别为、，求的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 已知，则曲线在点处的切线方程为( )A．B．C．D．2. 已知a ，b 是实数，且，则（ ）A．B．C．D．3. 已知复数，复数，给出下列命题：①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为A ．3B．C．D．5. 若，为两条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若．，，则D ．若，，，则6. 一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为( )A ．52B．C ．16D ．47.已知曲线，把上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，关于有下述四个结论：（1）函数在上是减函数；（2）方程在内有2个根；（3）函数（其中）的最小值为；（4）当，且时，，则.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知两条直线，和平面，那么下列命题中正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则9. 已知函数，，则（ ）A ．若在上单调递增，则B．若函数，则为奇函数C．时，若函数，则的取值范围是辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(1)辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷(1)三、填空题四、解答题D．若函数不存在零点，则10. 如图，已知正方体的棱长为2，P ，Q 分别是和底面ABCD上的动点（包含边界），且，PQ 的中点为M ，则下列说法正确的有（）A ．点M的轨迹的面积为B．直线与BC所成角的余弦值的范围为C ．当时，三棱锥的体积为定值D．的最小值为11. 已知一组数据为-1，1，5，5，0，则该组数据的（ ）A ．众数是5B ．平均数是2C ．中位数是5D．方差是12. 已知一组样本数据，，…，的平均数与中位数均为9，方差为4，极差为10，由这组数据得到新样本数据，，…，，则（ ）A ．新样本数据的平均数为26B ．新样本数据的中位数为26C ．新样本数据的方差为35D ．新样本数据的极差为3013. 所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为___________.14.函数 的零点个数为_________．15.记表示实数，，的平均数，表示实数，，的最大值，设，，若，则的取值范围是__________．16. 已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．(1)求；(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．17. PMI 值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI 值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；(2)用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．18. 已知函数.（1）求的值；（2）求使成立的的取值集合.19. 已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，M是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于A,B两点，如图所示.①若求圆的方程；②设与四边形的面积分别为，若求的取值范围.20. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．(1)求实数m的值，并求函数的单调区间；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．21. 化简或求值：（1）；（2）.。

一、单选题二、多选题1. 将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（ ）A．B．C．D．2. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则A ．3B ．2C．D．4.已知等差数列的前项为，且，，则A ．90B ．100C ．110D ．1205. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6. 函数的图象的一条对称轴方程是（ ）A．B ．C．D．7.下列曲线中离心率为的是A．B．C．D．8. 设全集，集合，集合，则M ∩（）=（ ）A．B．C．D．9. 已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）A．B．C．D．10. 欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解D．，当且仅当是素数时等号成立11. 下列说法不正确的是（ ）A．函数 在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷三、填空题四、解答题12. 盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（ ）A ．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件B ．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件C ．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则13.中，是上的点，，则的最大值是__________．14.若，，，，则的最小值为______．15. 直线与直线间的距离为__________.16.已知函数的极小值点为．(1)求函数在处的切线方程；(2)设，，恒成立，求实数m 的取值范围．17. 实数，，．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)讨论的单调性并写出过程．18.已知等差数列的前n 项和为，公差为2，，，成等比数列．(1)证明：；(2)证明：．19. 已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若成等差数列，的面积为，求．20.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21.如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.(1)求四边形的面积；(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.。