三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
13.若角的终边经过点P(1，-2)，则sin^2的值为__ 5/13 __。
14.已知tanx=2，则(3sin^2x+2cos^2x)/(cos^2x-3sin^2x)的值为__ -1/2 __。
关于函数$f(x)=\cos2x-2\sqrt3\sin x\cos x$，下列命题：①若存在$x_1,x_2$有$x_1-x_2=\pi$时，$f(x_1)=f(x_2)$成立；②$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)$上是单调递增；③函数$f(x)$的图像关于点$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$对称；④将函数$f(x)$的图像向左平移$\frac{5\pi}{2}$个单位后将与$y=2\sin2x$的图像重合．其中正确的命题序号为①、②、③。
解答题：17.已知$\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$，$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$，求$\sin2\alpha$。
解：由$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$得$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$得$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$。
because \frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$。
XXX$ $\alpha+\beta$ 和 $\alpha-\beta$ 都在第二象限。
XXX$ $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin(\alpha+\beta-\beta)\cos(\alpha-\beta)$2\left(\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)\sin\beta\right)\left(\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$2\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac {2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{16}{25}-\frac{9}{25}\right)=\frac{28}{25}$。
答案：$\frac{28}{25}$。
18.求$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}$的值。
解：$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}=\frac{4\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}-2\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2 }-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{\sin1}{\cos1-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin^2\frac{1}{2}}{2\sin^2\frac{1}{2}}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos^2\frac{1}{2}-\sin^2\frac{1}{2}}$2-2\cot\frac{1}{2}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}-2$。
答案：$2\sqrt{3}-2$。
19.已知$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{11}\right)$，$\beta\in\left(0,\pi\right)$，且$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$，$\tan\beta=-\frac{4}{3}$，求$\tan(2\alpha-\beta)$的值及角$2\alpha-\beta$。
解：由$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$得$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\frac{4}{27}$。
由$\tan\beta=-\frac{4}{3}$得$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。
XXX$ $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{4}{27}$，$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。
therefore$ $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4\cos\beta}{2 7\cos^2\beta-4\sin^2\beta}=-\frac{16}{7}$。
XXX$ $\tan\alpha=-\frac{16}{7}$。
XXX$ $\tan(2\alpha-\beta)=\frac{2\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{2}{5}$。
又因为$2\alpha-\beta<\frac{2\pi}{11}<\frac{\pi}{2}$，$\tan(2\alpha-\beta)<0$。
therefore$ $2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。
答案：$\tan(2\alpha-\beta)=-\frac{2}{5}$，$2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。
20.函数$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x$，求：1）函数的最小值及此时的$x$的集合；2）函数的单调减区间；3）此函数的图像可以由函数$y=2\sin^2x$的图像经过怎样变换而得到。
解：（1）$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x=2\sin^2x+3\cos^2x+2\sin x\cosx+1$2\left(\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)^2+1-\frac{1}{2}$geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
当且仅当$\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=-\sqrt{2}$时取等。
therefore$ $y_{\min}=\frac{1}{2}$，$x=k\pi+\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$，$k\in\mathbb{Z}$。
2）$y'=(4\sin x+2\cos x)\cos x-6\sin x\cos x=2\sin x(2\sinx+\cos x)$。
therefore$ 函数$y$在区间$\left[-\frac{\pi}{2},0\right)$上单调递减，在区间$\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增。
3）将$y=2\sin^2x$的图像向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位再上下翻折即可。
21.已知函数$f(x)=\cos x+3\sin x\cos x+1$，$x\in\mathbb{R}$。
1）求证$f(x)$的小正周期和最值；2）求这个函数的单调递增区间。
解：（1）$\because f(x+2\pi)-f(x)=\cos(x+2\pi)+3\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi)+1-\cos x-3\sin x\cos x-1$cos x-3\sin x\cos x+1-\cos x-3\sin x\cos x-1=-2\cos x-6\sin x\cos x=-2f(x)$。
XXX(x)$的小正周期为$\pi$。
当$\sin x=1$，$\cos x=0$时，$f(x)=4$，当$\sin x=-1$，$\cos x=0$时，$f(x)=-2$。
