三角形的外角练习题及答案

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

初二数学上册三角形的外角复习专项练习【三角形的外角】相关知识点三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角特征：①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C 是△ABC的一个顶点；②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC 正好是△ABC的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD 的边CD是△ABC的BC边的延长线。

性质：①.三角形的外角与它相邻的内角互补。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

④三角形的外角和等于360°。

设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。

定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

定理：三角形的三个内角和为180度。

【三角形的外角】例题解析1．下列说法错误的是（）A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B．有两个角互余的三角形是直角三角形C．直角三角形只有一条高D．任何一个三角形中，最大角不小于60度选C【点评】本题考查了钝角三角形、直角三角形的概念．注意D中，如果最大角小于60°，则三个角的和就小于180°，与三角形的内角和定理，内角和为180°相矛盾．2．如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（）A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能确定【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，再根据∠BAC=∠BAD+∠DAC即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠ADC．故选B．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．3．三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是（）A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°D．30°，60°，90°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和与三角形的内角和等于180°可以求出与这个外角相邻的内角等于90°，然后根据这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，求出这个内角即可．【解答】解：根据题意，与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°，∵这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，∴90°÷3=30°，∴90°﹣30°=60°，∴这个三角形各角的度数是：30°，60°，90°．故选D．【点评】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．4．如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为（）2·1·c··j·yA．60°B．70°C．80°D．85°【考点】三角形的外角性质；余角和补角；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠3+∠4的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BDC的度数【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．故选C．【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．5．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（）A．60°B．50°C．45°D．25°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，在△BDE中，∵∠D=25°，∠ABD=110°，∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°．故选C．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A．70°B．80°C．90°D．100°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°，故选C．【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．8．直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为30°．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵直角三角形的一锐角为60°，∴另一锐角为90°﹣60°=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．9．直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是55°、35°．【考点】直角三角形的性质．【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，则x+x﹣20°=90°，解得，x=55°，x﹣20°=35°故答案为：55°、35°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．10．如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC=100°．【考点】三角形的外角性质．【分析】延长BO与AC相交于点D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长BO与AC相交于点D，由三角形的外角性质，在△ABD中，∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°，在△COD中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．故答案为：100°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造成三角形是解题的关键．11．（2015春•保山校级期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于270度．【考点】三角形的外角性质．【分析】如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．【解答】解：∵△ABC 为直角三角形，∠B=90，∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，∴∠1+∠2=270°．故答案为：270．【点评】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于求证∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．12．（2015秋•萧山区月考）如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为81°8′．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。

初一数学三角形的外角试题1.已知，如图，点是中边上的一点，点是边延长线上一点，说明：．【答案】见解析【解析】本题主要考查的是三角形外角与内角的关系. 由于∠DCB是△DCE的一个外角，所以∠DCB＞∠CDE；又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠ADB＞∠DCB，故∠ADB＞∠CDE．证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角∴∠DCB＞∠CDE∵∠ADB是△BCD的一个外角∴∠ADB＞∠DCB∴∠ADB＞∠CDE2.已知，如图，中，的平分线与的平分线交于点，若，求的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形内角及外角平分线的性质. 根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∵CD是外角∠ACE的角平分线，∴∠DCE=∠ACD=∠ACE，∵∠D=∠DCE-∠DBC=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=×80°=40°．∴∠D的度数是40°．3.已知，如图，在中，是高和的交点，观察图形，试猜想和之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．【答案】．证明见解析【解析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理. 由于∠DOE是△AOE的外角，故∠DOE=∠OAE+∠AEO=∠OAE+90°=∠OAE+∠ADC，即∠C+∠DOE=∠OAE+∠ADC+∠C=180°解：∠C+∠DOE=180°．∵AD，BE是△ABC的高（已知），∴∠AEO=∠ADC=90°（高的意义），∵∠DOE是△AOE的外角（三角形外角的概念），∴∠DOE=∠OAE+∠AEO（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和）=∠OAE+90°（∠AEO=90°）=∠OAE+∠ADC（∠ADC=90°）∴∠C+∠DOE=∠OAE+∠C+∠ADC=90°+90°=180°．另法：在四边形CEOD中，∠C+∠EOD+90°+90°=360°，则∠C+∠EOD=180°．4.如图所示，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P= ；O【答案】35°【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.∵AB∥CD，∠A=55°∴∠AOC=∠A=55°∵∠C=20°∴∠P=∠AOC-∠C=55°-20°=35°5.如图所示，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E= ；【答案】180°【解析】本题主要考查了三角形的外角和内角和定理因为∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠E，所以∠A +∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°6.如图所示，已知AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 .B．∠1=2∠2+∠3C．∠1=2∠2-∠3D．∠1=180°-∠2-∠3【答案】A【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.因为AB∥CD，所以∠ABD=∠3，因此∠1=∠2+∠ABD=∠2+∠3；7.若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则与之相邻的三个外角的度数之比为（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．3∶4∶5D．5∶4∶3【答案】D【解析】本题主要考查了三角形内角和定理及内角与外角的关系. 先根据三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3及三角形内角和定理求出三个内角的度数，再分别求出其对应的外角度数即可设三角形三个内角分别为，则，解得，所以三角形三个内角分别为30°，60°，90°，与之相邻的三个外角的度数分别为150°，120°，90°，故选D8.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.【答案】不合格【解析】本题主要考查了三角形内角和定理. 连接AD，利用三角形内角与外角的关系求出此零件合格时∠BDC的度数与已知度数相比较即可．解：如图，连接AD并延长至E，则∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，所以∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠BAD=21°+32°+90°=143°≠148°，所以这个零件不合格.9.图中（）是△ABC的外角．A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【答案】C【解析】本题考查的是三角形外角的定义根据三角形外角的定义解答．根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．10.如图，△ABC中，D是BC上一点，F是BA延长线上一点，连接DF交AC于E，且∠B=42°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、外角定理、对顶角相等由∠B=42°，∠C=59°，根据三角形的外角定理即可求得∠FAE，再根据对顶角相等求得∠AEF，最后根据三角形内角和定理即可求得∠F的度数．∠B=42°，∠C=59°，∠FAE=∠B+∠C=101°，∠DEC=47°，∠AEF=47°，∠∠FAE∠AEF。

《11．2．2三角形的外角》课时练命题点1三角形外角的概念及性质1．如图下列角中是△ACD的外角的是()A．∠EAD B．∠BAC C．∠ACB D．∠CAE2．如图∠ACD是△ABC的外角若∠ACD=110°∠B=50°则∠A等于()A．40°B．50°C．55°D．60°3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放则∠α的大小为()A．85°B．75°C．65°D．60°4．如图点E在BC上点D在AE上∠A=20°∠B=30°∠C=50°则∠ADB的度数是() A．50°B．100°C．70°D．80°5．如图∠BCD=150°则∠A+∠B+∠D的度数为()A．110°B．120°C．130°D．150°6．如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC外的A'处折痕为DE．如果∠A=α∠CEA'=β∠BDA'=γ那么下列式子中正确的是()A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°-α-β7．如图已知D为BC上一点∠B=∠1∠BAC=64°则∠2的度数为()A．37°B．64°C．74°D．84°8．如图BE平分∠ABCCE平分△ABC的外角∠ACD若∠A=70°则∠E=°．9．如图所示在△ABC中D是BC边上一点∠1=∠2∠3=∠4∠BAC=63°求∠DAC的度数．10．我们知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角同与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?已知:如图∠DBC∠BCE为△ABC的两个外角则∠A与∠DBC+∠BCE的数量关系为请证明你的结论．命题点2三角形内角和定理及其推论的综合应用11．一副三角板如图所示摆放则∠α与∠β的数量关系为()A．∠α+∠β=180°B．∠α+∠β=225°C．∠α+∠β=270°D．∠α=∠β12．如图在△ABC中∠C=36°将△ABC沿着直线l折叠点C落在点D的位置则∠1-∠2的度数是．13．如图已知∠BOF=120°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．14．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线且CE交BA的延长线于点E．(1)若∠B=35°∠E=25°求∠BAC的度数;(2)请你写出∠BAC∠B∠E三个角之间存在的等量关系并说明理由．15．如图在Rt△ABC中∠C=90°AD平分∠BACBD平分∠CBEAF平分∠DABBF平分∠ABD 求∠F的度数．16．(1)如图①是一个五角星则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=°．(2)将图①中的点A向下移到BE上时如图②所示五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有没有变化?说明你的结论的正确性．(3)将图②中的点C向上移到BD上时如图③所示五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有没有变化?说明你的结论的正确性．参考答案1．C2．D3．B4．B5．D6．A7．B8．359．解:∵∠3=∠1+∠2∠3=∠4∠1=∠2∴∠4=∠1+∠2=2∠2．∵∠BAC+∠2+∠4=180°即3∠2+63°=180°∴∠2=39°．∴∠1=39°．∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°．10．解:∠A=∠DBC+∠BCE-180°证明:∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC．∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°∴∠DBC+∠BCE=∠A+180°即∠A=∠DBC+∠BCE-180°．11．B12．72°13．240°14．解:(1)∵∠ECD=∠B+∠E∠B=35°∠E=25°∴∠ECD=60°．∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠ECD=60°．∴∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°．(2)结论:∠BAC=∠B+2∠E．理由:∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠ECD．∵∠BAC=∠ACE+∠E∠ACE=∠ECD=∠B+∠E∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．15．解:如图∵AD平分∠BACBD平分∠CBE∴∠DAB=12∠BAC∠DBE=12∠CBE．∵∠C+∠BAC=∠CBE∴12∠C+12∠BAC=12∠CBE．∴12∠C+∠DAB=∠DBE．∴12∠C=∠DBE-∠DAB=∠D．∵∠C=90°∴∠D=45°．∵AF平分∠DABBF平分∠ABD∴∠1=12∠DAB∠2=12∠ABD．∴∠F=180°-∠1-∠2=180°-12∠DAB-12∠ABD=180°-12(∠DAB+∠ABD)=180°-12(180°-∠D)=90°+12∠D=112．5°．16．解:(1)180(2)没有变化．根据平角的定义得∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E∠DAE=∠B+∠D∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．(3)没有变化．根据平角的定义得∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．∵∠ACB=∠CAD+∠D∠ECD=∠B+∠E∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．。

三角形的外角性质精选题43道一．选择题（共14小题）1．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°2．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°5．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°7．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°10．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°11．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC 外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（）A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADBC．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC13．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°14．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°二．填空题（共19小题）15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．16．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．17．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．18．如图，已知△ABC的两条高BD、CE交于点F，∠ABC的平分线与△ABC外角∠ACM 的平分线交于点G，若∠BFC＝8∠G，则∠A＝°．19．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．20．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A ＝．21．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．（写出所有可能情况）22．如图，△ADC是45°的直角三角板，△ABE是30°的直角三角板，若CD与BE交于点F，则∠DFB的度数为．23．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为．24．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABC；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（填序号）．25．三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形最大的外角是度．26．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．27．如图，已知△OAB中，∠AOB＝70°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为．28．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝度．29．如图，根据三角形的有关知识可知图中的x的值是．30．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．31．将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝度．32．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．33．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，O n B平分∠ABO n﹣1，O n C平分∠ACO n﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝°，∠BO2017C ＝°．三．解答题（共10小题）34．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．35．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．37．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．39．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．40．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．41．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．42．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．43．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．三角形的外角性质精选题43道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P 的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝∠2+∠D+∠3+∠F＝∠2+∠3+30°+90°＝210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB 可得答案．【解答】解：如图，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．7．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据三角形的内角和求出∠2＝45°，再根据对顶角相等求出∠3＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．【解答】解：∵∠2＝90°﹣45°＝45°（直角三角形两锐角互余），∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＝∠3+30°＝45°+30°＝75°．故选：D．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM＝∠ABC、∠ECM＝∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM＝∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM＝∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°【分析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，∵DE∥BC，∴∠D＝∠DBC＝59°，故选：B．【点评】本题考查了三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．10．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．【解答】解：如图：∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵HF∥BC，∴∠1＝∠2＝75°，故选：C．【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．11．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC 外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（）A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADBC．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．B、由AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB，C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD；D、用排除法可得结论．【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故A正确．B、由（1）可知AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABC＝2∠ADB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝2∠ADB，故B正确．C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，故C正确；不妨设，D选项正确，可以推出AB＝AD＝AC，推出∠ACB＝∠ACD＝∠DCF＝60°，显然不可能，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系．13．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【分析】利用三角形外角的性质解答即可．【解答】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知性质定理是解答此题的关键．14．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，又∵∠BMD是△CDE的外角，∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．二．填空题（共19小题）15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．16．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．17．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长DC交AB于E，∠CEB是△ADE的一个外角，∴∠CEB＝∠A+∠D，同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，故答案为：150°．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键》18．如图，已知△ABC的两条高BD、CE交于点F，∠ABC的平分线与△ABC外角∠ACM 的平分线交于点G，若∠BFC＝8∠G，则∠A＝36°．【分析】首先根据三角形的外角性质求出∠G＝∠A，结合三角形的高的知识得到∠G 和∠A之间的等量关系，进而求出∠A的度数．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACM＝∠A+∠ABC，∠GCM＝∠G+∠GBC，∵∠ABC的平分线与∠ACM的平分线交于点G，∴∠GBC＝∠ABC，∠GCM＝∠ACD，∴∠G+∠GBC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠GBC，∴∠G＝∠A，∵∠BFC＝8∠G，且BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BFC+∠A＝180°，∴8∠G+∠A＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为36．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，解题的关键是证明出∠A＝2∠G，此题有一定的难度．19．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝125度，若∠AIB＝155°，则∠C＝130度．【分析】作出辅助线，构造三角形的外角解答．【解答】解：连接CI并延长交AB于P．∵AI平分∠CAP，∴∠1＝∠2．∵BI平分∠CBP，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝（∠CAB+∠CBA）＝×（180°﹣70°）＝55°，∴∠7+∠8＝∠1+∠3+∠5+∠6＝55°+70°＝125°．∵∠AIB＝155°，∴∠2+∠4＝180°﹣155°＝25°，又∵∠CAP、∠CBP的平分线，相交于点I，∴∠CAP+∠CBP＝2×25°＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．【点评】解答此题要多次利用三角性内角和外角的关系，以建立起各角之间的联系．20．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝85°．【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD＝∠A+∠B，即可求出答案．【解答】解：∵∠ACE＝60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠B＝35°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝85°，故答案为：85°【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能根据三角形的外角性质得出ACD＝∠A+∠B是解此题的关键．21．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝30°或120°或165°，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．（写出所有可能情况）【分析】分三种情形画出图形分别求解即可解决问题；【解答】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．②如图2中，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．∵AD∥BE，∴∠AMC＝∠B＝45°，∴∠ACM＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠ACE＝75°+90°＝165°，综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．故答案为30°或120°或165°．【点评】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．22．如图，△ADC是45°的直角三角板，△ABE是30°的直角三角板，若CD与BE交于点F，则∠DFB的度数为15°．【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴∠DFB＝∠ADC﹣∠B＝15°，故答案为15°．【点评】本题考查特殊三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为75°．【分析】首先根据三角板可得∠B＝30°，∠A＝45°，再根据三角形内角和可得∠3＝45°，然后再根据三角形内角与外角的关系可得∠2＝∠B+∠4，进而得到答案．【解答】解：由题意得：∠B＝30°，∠A＝45°，∵∠1＝90°，∴∠A+∠3＝90°，∴∠3＝45°，∴∠4＝45°，∵∠B＝30°，∴∠2＝45°+30°＝75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．24．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABC；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有①②④（填序号）．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF ＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解答】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°+∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∴③错误；∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确；故答案为：①②④【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．25．三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形最大的外角是140度．【分析】根据三角形的内角和是180度和三角形内角和相邻外角的和是180°即可求解．【解答】解：这个三角形最大的外角＝180°﹣，故答案为：140．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键．26．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝125度．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．【点评】运用了直角三角形的两个锐角互余以及三角形的内角和定理的推论．27．如图，已知△OAB中，∠AOB＝70°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为35°．【分析】根据三角形的外角的性质得到∠ABN﹣∠OAB＝∠AOB＝70°，根据角平分线的定义计算即可．【解答】解：∠ABN﹣∠OAB＝∠AOB＝70°，∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠OAB，∴∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．28．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝165度．【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB 可得答案．【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，故答案为：165．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．29．如图，根据三角形的有关知识可知图中的x的值是60．【分析】根据三角形外角性质得出关于x的方程，求出即可．【解答】解：根据三角形的外角性质得：x+80＝x+20+x，解得：x＝60，故答案为：60．【点评】本题考查了三角形外角性质的应用，能根据三角形的外角性质得出关于x的方程是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．30．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为57°．【分析】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可．【解答】解：延长CD交AB于F，∵∠BDC是△BFD的一个外角，∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，∵∠BFD是△AFC的一个外角，∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF＝17°，∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，故答案为：57°．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．31．将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝105度．【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数．【解答】解：由题意可得，∠2＝60°，∠3＝45°，由三角形外角定理，∠1＝∠2+∠3＝60°+45°＝105°．故答案为105．【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．32．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为48度．【分析】根据平行线的性质得∠BFD＝∠B＝68°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠D＝∠BFD﹣∠E，由此即可求∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝68°，∴∠BFD＝∠B＝68°，而∠D＝∠BFD﹣∠E＝68°﹣20°＝48°．故答案为：48．【点评】此题主要运用了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．33．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，O n B平分∠ABO n﹣1，O n C平分∠ACO n﹣1，…，以此类推，则∠BO1C＝100°，∠BO2017C＝（60+）°．【分析】根据三角形内角和定理可求得∠ABO+∠ACO的度数，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出∠BO1C的度数；用n°的代数式表示出∠O1BC+∠O1CB 的度数的和，再根据三角形的内角和定理得出结论算出∠BO2017C的度数即可．【解答】解：∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°．∴∠ABO+∠ACO＝180°﹣60°﹣40°＝80°∵点O1是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠BO1C＝180°﹣（×80°+40°）＝100°．∴∠BO2C＝180°﹣[120°﹣（∠ABO2+∠ACO2）＝180°﹣[120°﹣（××80°+40°）＝80°．∠BO2017C＝180°﹣[120°﹣（）2017×80°]＝60°+（）2017×80°＝（60+）°故答案为：100，（60+）．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．三．解答题（共10小题）34．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC 中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．【解答】解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．因为∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．35．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．37．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：∠BOC＝90°﹣∠A．【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A 的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DF∥BE．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．39．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．。

三角形的外角（理由挖空）（一）（通用版）试卷简介:利用三角形外角定理进行角的计算，并借助三角形外角定理训练学生有理有据的推理和证明，重点考查学生对每一步推理依据的掌握情况．一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，直线∥，若∠1=150°，∠2=70°，则∠3的度数为( )A.70°B.80°C.65°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理2.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC的度数为( )A.55°B.60°C.80°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理3.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=50°，∠E=55°，则∠B的度数为（）A.70°B.60°C.55°D.50°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的判定、性质4.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中α的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理5.如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于点D，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理6.已知△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别分D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理7.已知：如图，点D在CA的延长线上，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上．求证：∠ACF+∠BAD+∠CBE=360°．证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠1+∠2（_______________________）∵∠BAD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠BAD=∠2+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CBE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠CBE=∠1+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2+∠3=180°（_______________________）∴∠ACF+∠BAD+∠CBE=∠1+∠2+∠2+∠3+∠1+∠3=2（∠1+∠2+∠3）=360°（等式的性质）①同角或等角的余角相等；②同角或等角的补角相等；③三角形的内角和是180°；④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑤平角的定义．以上空缺处依次所填正确的是( )A.④⑤B.②③C.④③D.①⑤答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理8.已知：如图，AB∥CD，∠EBA=60°，∠D=50°，求∠E的度数．解：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠EBA=∠EFC（两直线平行，同位角相等）∵∠EBA=60°（已知）∴∠EFC=60°（等量代换）∵∠EFC是△EDF的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠D+∠E（_______________________）∵∠D=50°（已知）∴∠E=∠EFC-∠D=60°-50°=10°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.③④B.③⑤C.②④D.①⑤答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理9.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=∠1，∠ADC=80°．求∠C的角度．解：如图，∵∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADC=∠1+∠B（_______________________）∵∠B=∠1（已知）∴∠ADC=2∠1（等式的性质）∵∠ADC=80°（已知）∴∠1=∠ADC=40°（_______________________）∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠2=∠1=40°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-40°-80°=60°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②④①B.③④①C.③②①D.②⑤④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理10.已知：如图，AB∥EF，∠E=∠CAE，∠DAB=65°．求∠ACF的度数．解：如图，∵AB∥EF（已知）∴∠DAB=∠E（_______________________）∵∠DAB=65°，（已知）∴∠E=65°（等量代换）∵∠E=∠CAE（已知）∴∠CAE=65°（_______________________）∵∠ACF是△ACE的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠E+∠CAE=65°+65°=130°（_______________________）①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③等量代换；④等式的性质；⑤三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形的内角和是180°．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①③⑤B.①③⑥C.②③⑤D.②④⑥答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理第11页共11页。

初中数学：三角形的外角检测题(含答案)总分100分时间40分钟一、选择题(每题5分)1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角.解：如下图所示，∠ACD<∠ACB，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACB>90°.∴△ACB是钝角三角形.故应选C.考点：三角形的外角2、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.100°D.120°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的三个外角的度数比为2:3:4，设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据三角形外角和是360°列方程求出x的值，求出每个外角的度数，根据外角的度数求出三角形的内角度数.解：设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据题意可得：x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴三角形最小的外角的度数是2x=80°，∴三角形最大的内角的度数是180°-80°=100°.考点：三角形外角的性质3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的一个外角是120°，求出三角形的一个内角是60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定结果.解：如下图所示，∵∠ACD=120°，∴∠ACB=60°，又∵△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形.故应选C.考点：1.三角形外角的性质；2.等腰三角形的判定.二、填空题(每题8分)4、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA 到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是______【答案】∠1>∠2>∠3【解析】试题分析：根据三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角.解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠2，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2>∠3，∴∠1>∠2>∠3.考点：三角形外角的性质5、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。

学生做题前请先回答以下问题问题1：三角形的______________________组成的角，叫做三角形的外角．问题2：三角形外角定理：三角形的一个外角等于__________________．三角形的外角（外角定义、定理）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列各项中，∠1是△ABC的外角的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，在△ABC中，点D，F在线段AB上，点E在线段AC上，H是BC延长线上一点，FE 的延长线交BH于点G，则下列说法错误的是( )A.∠ACG是△ABC的外角B.∠FGH是△ECG的外角C.∠AFE是△BFG的外角D.∠DEA是△ECG的外角答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，连接DE，则下列说法正确的是( )A.∠BFE是△CDF的外角B.∠ADF是△CDF的外角C.∠CFD是△BFE的外角D.∠CFB是△DFE的外角答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角4.如图，∠B=30°，∠A=40°，则∠BCD的度数为( )A.80°B.70°C.60°D.50°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角5.如图，直线m，n分别过点A，B，若∠1=100°，∠2=70°，则m，n相交所成的锐角为( )A.20°B.30°C.70°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.如图是某零件的平面示意图，点E在BD的延长线上，其中∠A=40°，∠ABC=35°，∠C=30°，则∠ADC的度数为( )A.75°B.95°C.105°D.140°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角7.如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )A.110°B.115°C.120°D.145°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角8.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则的度数为( )A.75°B.105°C.135°D.165°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角9.如图，五角星的顶点分别为A，B，C，D，E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( )A.90°B.180°C.270°D.360°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角10.如图，P为△ABC内任意一点，延长CP交AB于点D，连接BP，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。

11.2.2三角形的外角一、单选题1.三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定2.如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=50∘，则∠AED=.3.如图，在ΔABC中，EF//BC，∠ACG是ΔABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACG=β，∠AEF=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是.4.将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是.5.如图，几条线段首尾顺次连接，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为.6.下列命题中，属于假命题的是( )A.三角形中至少有一个角大于60∘B.如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和D.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形7.在△ABC中，∠A=60∘，∠C=2∠B，则∠C的度数为.8.如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为.9.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形二、填空题10.如图，BE平分∠ABC，CE平分ΔABC外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A度数为______.11.如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30∘，则∠1+∠2的度数为__________. 12.如图所示的折线图形中，α+β的度数为__________. 13.如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75∘,∠B=65∘,将纸片折叠，使点C，D分别落在AB边上的点C′,D′处，折痕为MN，则∠AMD'+∠BNC'的度数是__________. 三、解答题14.如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠DAE的度数．15.如图，将ΔABC分别沿AB，AC翻折得到ΔABD和ΔAEC，线段BD与AE交于点F，连接BE． (1)如果∠ABC=16°，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； (2)如果BD⊥CE，求∠CAB的度数．11.2.2三角形的外角1.【答案】A;【解析】略2.【答案】B;【解析】该题考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，掌握好基本性质及定义的解答该题的关键． 根据平行线的性质得出∠CAB=180∘−∠C=130∘，根据角平分线的定义得出∠CAE=12∠CAB=65∘，根据∠AED是ΔACE的外角，得出∠AED=∠C+∠CAE=115∘，即可得出结果． 解：∵AB//CD，∴∠C+∠CAB=180∘， ∴∠CAB=180∘−∠C=130∘，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB=65∘，∵∠AED是ΔACE的外角，∴∠AED=∠C+∠CAE=115∘，故选B．3.【答案】B;【解析】解：∵EF//BC， ∴∠γ=∠B， 由三角形的外角性质得，∠α=∠B+∠BAD=∠γ+∠BAD， ∠β=∠α+∠CAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠α−∠β=∠γ−∠α， ∴∠β=2α−∠γ. 故选：B. 根据两直线平行，同位角相等可得∠γ=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α、∠β，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后整理即可得解． 此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解答该题的关键．4.【答案】B;【解析】解：∵∠EDC=45°， ∴∠ADF=135°， ∵∠AFE是ΔADF的一个外角， ∴∠AFE=∠A+∠ADF=30°+135°=165°， 故选：B. 根据邻补角的概念求出∠ADF，再根据三角形的外角性质计算即可． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：∵如图可知∠BGD=∠C+∠B，∠GFE=∠E+∠A， 又∵∠BGD=∠D+∠GFD， ∴∠B+∠C=∠D+∠GFD， 又∵∠GFE+∠GFD=180°， ∴∠E+∠A+∠B+∠C−∠D=180°， 又∵∠D=28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠E=180°+28°=208°. 故选：B. 首先求出∠C+∠B=∠D+∠GFD，然后证明出∠A+∠B+∠C+∠E−∠D=180°，最后结合∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 此题主要考查了三角形内角的外角，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠E+∠B−∠D=180°，此题难度不大．6.【答案】A;【解析】 该题考查命题与定理，解答该题的关键是熟练掌握三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，属于中考常考题型． 根据三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可一一判断． 解：A、错误． B、正确．理由：4+6>9． C、正确．角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． D、正确．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．故选A．7.【答案】C;【解析】略8.【答案】A;【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=12∠A=12×30°=15°． 故选：A． 先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可． 该题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．9.【答案】D;【解析】略10.【答案】50°;【解析】解：∵∠E=25°， ∴∠ECD−∠EBD=∠E=25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=12∠ABC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=12∠ACD， ∴∠A=∠ACD−∠ABC=2×(∠EBD−∠ECD)=2×25°=50°， 故答案为：50°. 根据三角形的外角性质得到∠ECD−∠EBD=∠E=25°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．11.【答案】60∘;【解析】解：∠A′DA=180∘−∠1,∠A′EA=180∘−∠2,∠A′=∠A=30∘. ∵∠A′+∠A′DA+∠A+∠AEA′=360∘, ∵30∘+180∘−∠1+30∘+180∘−∠2=360∘,∴∠1+∠2=60°.12.【答案】85°;【解析】解：∠1=a+70∘,∠2=β+65∘,∵∠1+∠2+140∘=360∘. ∴a+70∘+β+65∘+140∘=360∘,∴α+β=85∘. 13.【答案】80∘;【解析】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C+∠D=220°，∠MD′B=∠D， ∠NC′A=∠C，∴∠MD′B+∠NC′A=220°，∵∠MD′B+∠NC′A+∠D′MN+∠C′NM=360°,∴∠D′MN+∠C′NM=140°，∵∠A+∠B+∠AMD′+∠D'MN+∠BNC'+∠C'NM=360°,∴140∘+140∘+∠AMD'+∠BNC'=360°, ∴∠AMD°+∠BNC'=80∘.14.【答案】解：在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°， ∴∠BAC=180°-20°-110°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=25°， ∴∠AEC=∠B+∠BAC=20°+25°=45°， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠D=90°， ∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°．;【解析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线定义得出∠BAE的度数，再由三角形外角的性质求出∠AEC的度数，进而得出答案． 此题主要考查的是三角形内角和定理．熟悉定理与性质并准确识图，理清图中各角度之间隐含的关系是解决本题的关键．15.【答案】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD， ∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC． ∴∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°， ∠EAC=∠BAD=∠BAC=180°-30°-16°=134°， ∵∠DAC=360°-∠BAD-∠BAC， ∴∠DAC=360°-134°-134°=92°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=134°-92°=42°； （2）∵BD⊥CE， ∴∠5=90°， ∴∠DBC+∠ECB=90°． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠DBC+∠ECB=2∠3+2∠1=90°． ∴∠3+∠1=45°， 在△ABC中，∠CAB=180°-（∠3+∠1）=180°-45°=135°．;【解析】 (1)由折叠的性质可得∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°，由周角的性质和外角性质可求解； (2)由三角形内角和定理可求解． 该题考查了翻折变换，三角形的内角和定理，外角性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起（其中60A ∠=︒，30D ∠=︒，45E B ∠=∠=︒），固定三角板ACD ，另一三角板BCE 的CE 边从CA 边开始绕点C 顺时针旋转，设旋转的角度为α．（1）当90α<︒时；①若30DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ；②若130ACB ∠=︒，求DCE ∠的度数；（2）由（1）猜想ACB ∠与DCE ∠的数量关系，并说明理由；（3）当0180α︒<<︒时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出α所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见详解；（3）当α=30°时，AD ⊥CE ，当α=90°时，AC ⊥CE ，当α=75°时，AD ⊥BE ，当α=45°时，CD ⊥BE ．【解析】【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB 的度数，进而可得出∠ACB 的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB 的度数，进而得出∠DCE 的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当090α︒≤<︒时，②当90α=︒时，③当90360α︒<<︒时，分别证明∠ACB 与∠DCE 的数量关系，即可；（3）分4种情况：①若AD ⊥CE 时，②若AC ⊥CE 时， ③若AD ⊥BE 时，④若CD ⊥BE 时，分别求出α的值，即可．【详解】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，∴∠DCB=90°−30°=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，故答案是150°；②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠DCB=130°−90°=40°，∴∠DCE=90°−40°=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：①当090α︒≤<︒时，如图1，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB ，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；②当90α=︒时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；③当90360α︒<<︒时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；(3)存在，理由如下：①若AD⊥CE时，如图4，则α=90°-∠A=90°-60°=30°，②若AC⊥CE时，如图5，则α=∠ACE=90°，③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，∵∠E=45°，∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，∴α=90°-15°=75°，④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，∴α=∠E=45°．综上所述：当α=30°时，AD⊥CE，当α=90°时，AC⊥CE，当α=75°时，AD⊥BE，当α=45°时，CD⊥BE．【点睛】本题主要考查一幅三角板中，角之间的数量关系，熟练掌握余角的性质，直角三角形的性质，垂直的意义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，是解题的关键．注意，数形结合思想与分类讨论思想在解题中的作用．62．（1）如图1，已知ABC ∆，BF 平分外角CBP ∠，CF 平分外角BCQ ∠．直接写出A ∠和F ∠的数量关系，不必证明；（2）如图2，已知ABC ∆，BF 和BD 三等分外角CBP ∠，CF 和CE 三等分外角BCQ ∠．试确定A ∠和F ∠的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）（3）如图3，已知ABC ∆，BF 、BD 和BM 四等分外角CBP ∠，CF 、CE 和CN 四等分外角BCQ ∠．试确定A ∠和F ∠的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）（4）如图4，已知ABC ∆，将外角CBP ∠进行n 分，BF 是临近BC 边的等分线，将外角BCQ ∠进行n 等分，CF 是临近BC 边的等分线，请直接写出A ∠和F ∠的数量关系，不必证明．【答案】（1）1902F A ∠=-∠；（2）11203F A ∠=-∠；（3）11354F A ∠=-∠；（4）11180n F A n n-∠=-∠． 【解析】【分析】（1）由BF 平分外角CBP ∠，CF 平分外角BCQ ∠，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（2）由BF 和BD 三等分外角CBP ∠，CF 和CE 三等分外角BCQ ∠，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（3）由BF 、BD 和BM 四等分外角CBP ∠，CF 、CE 和CN 四等分外角BCQ ∠，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（4）由外角CBP ∠进行n 分，BF 是临近BC 边的等分线，将外角BCQ ∠进行n 等分，CF 是临近BC 边的等分线，合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；【详解】（1）1902F A ∠=︒-∠，理由如下： ∵BF 平分外角CBP ∠，CF 平分外角BCQ ∠， ∴12CBF CBP ∠=∠，12BCF BCQ ∠=∠， ∵CBP A ACB ∠=∠+∠，BCQ A ABC ∠=∠+∠， ∴11()(180)22CBF BCF A ACB A ABC A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+︒， ∴11180()180(180)9022F CBF BCF A A ∠=︒-∠+∠=︒-∠+︒=︒-∠； （2）11203F A ∠=︒-∠，理由如下： 由已知得：13CBF CBP ∠=∠，13BCF BCQ ∠=∠， ∵CBP A ACB ∠=∠+∠，BCQ A ABC ∠=∠+∠， ∴11()(180)33CBF BCF A ACB A ABC A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+︒， 11180()180(180)12033F CBF BCF A A ∠=︒-∠+∠=︒-∠+︒=︒-∠； （3）11354F A ∠=︒-∠，理由如下： 由已知得：14CBF CBP ∠=∠，14BCF BCQ ∠=∠， ∵CBP A ACB ∠=∠+∠，BCQ A ABC ∠=∠+∠， ∴11()(180)44CBF BCF A ACB A ABC A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+︒， 11180()180(180)13544F CBF BCF A A ∠=︒-∠+∠=︒-∠+︒=︒-∠，（4）11180n F A n n-∠=︒-∠，理由如下： 由已知得：1CBF CBP n ∠=∠，1BCF BCQ n ∠=∠， ∵CBP A ACB ∠=∠+∠，BCQ A ABC ∠=∠+∠， ∴11()(180)CBF BCF A ACB A ABC A n n∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+︒， ∴111180()180(180)180n F CBF BCF A A n n n -∠=︒-∠+∠=︒-∠+︒=︒-∠． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理是解题的关键．63．如图，BE 平分ABC ∠，CE 平分外角ACD ∠，ABC ACE ∠=∠．（1）求证：//AB CE ；（2）若50A ∠=，求E ∠的度数．【答案】（1）详见解析；（2）25E ∠=︒．【解析】【分析】（1）由已知条件可得ABC ECD ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行即可得；（2）根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】（1）证明：∵CE平分外角ACD∠，∴ACE ECD∠=∠，又∵ABC ACE∠=∠，∴ABC ECD∠=∠，∴//AB CE．（2）解：∵BE、CE分别是∠ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，∴12EBC ABC∠=∠，12ECD ACD∠=∠，又∵∠ACD是△ABC的外角，∴ACD A ABC∠=∠+∠，∴A ACD ABC∠=∠-∠∵∠ECD是△BCE的外角，∴∠=∠+∠ECD E EBC∴1111()2222 ECD EBC ACD ABC ACD ABCE A∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=，∵∠A=50°，∴1252AE∠=∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．64．将一副三角板按如图所示放置，DEF的直角边DE与ABC的斜边AC 重合在一起，并将DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）DEF 在移动的过程中，FCE ∠与CFE ∠度数之和是否为定值，若是定值，请求出这个值，并说明理由；（2）能否将DEF 移动至某位置，使//FC AB ？请求出CFE ∠的度数．【答案】（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；（2）能，15CFE ∠=︒【解析】【分析】（1）FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒可得；（2）根据//FC AB ，且90B ∠=︒且60ACB ∠=︒知30FCE ∠=︒，再根据（1）中的结论可得答案．【详解】解：（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒，45FCE CFE ∴∠+∠=︒；（2）//FC AB ，且90B ∠=︒，90FCB ∠∴=︒，60ACB ∠=︒，30FCE ∴∠=︒，又45FCE CFE ∠+∠=︒，15CFE ∴∠=︒．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定及三角形外角的性质．65．已知直线//AB CD ．（1）如图1，直接写出BME E END ∠∠∠，、的数量关系为 ；（2）如图2，BME ∠与CNE ∠的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究P ∠与E ∠之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠E=∠END-∠BME ；（2）∠E+2∠NPM=180°，证明见解析．【解析】【分析】（1）由AB ∥CD ，即可得到∠END=∠EFB ，再根据∠EFB 是△MEF 的外角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME ；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB ）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，故答案为：∠E=∠END-∠BME；（2）如图2，延长NP交AB于G，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．66．如图，经测量，B处在A处的南偏西57︒的方向，C处在A处的南偏东15︒方向，C处在B处的北偏东82︒方向，求C∠的度数．【答案】∠C＝83°．【解析】【分析】先分别求出∠ABC和∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可．【详解】解：如图，∵BD∥AE，∴∠DBA＝∠BAE＝57°∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝82°－57°＝25°．在△ABC 中，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAE ＝57°＋15°＝72°，∴∠C ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝180°－25°－72°＝83°．【点睛】本题考查方向角、三角形的内角和定理、平行线的性质定理，读懂题意理解方向角是解题的关键．67．在平面直角坐标系中(),0A a ，()0,C c 且满足2(6)0a +，长方形ABCO 在坐标系中（如图），点O 为坐标系的原点．（1）求点B 的坐标．（2）如图1，若点M 从点A 出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点O ），点N 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点C ），设M 、N 两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形MBNO 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．（3）如图2，E 为x 轴负半轴上一点，且CBE CEB ∠=∠，F 是x 轴正半轴上一动点，ECF ∠的平分线CD 交BE 的延长线于点D ，在点F 运动的过程中，请探究CFE ∠与D ∠的数量关系，并说明理由.【答案】（1）B(−6,−3)；（2）9；（3）∠CFE=2∠D ，理由见解析；【解析】【分析】(1)根据题意可得a=−6，c=−3，则可求A 点，C 点，B 点坐标；(2)设M 、N 同时出发的时间为t,则S MBNO 四边形=S OABC 长方形−S ABM −S BCN =18−12×2t ×3−12×6×(3−t)=9.与时间无关，即面积是定值，其值为9； (3)根据三角形内角和定理和三角形外角等于不相邻的两个内角的和，可求∠CFE 与∠D 的数量关系.【详解】(1)∵2(6)0a +=，∴a=−6，c=−3∴A(−6,0),C(0,−3)∵四边形OABC 是矩形∴AO ∥BC,AB ∥OC ，AB=OC=3，AO=BC=6∴B(−6,−3)(2)四边形MBNO 的面积不变.设M 、N 同时出发的时间为t ，则S MBNO 四边形=S OABC 长方形−S ABM −S BCN =18−12×2t ×3−12×6×(3−t)=9.与时间无关.∴在运动过程中面积不变，是定值9.(3)∠CFE=2∠D.理由如下：如图∵∠CBE=∠CEB∴∠ECB=180°−2∠BEC∵CDP 平分∠ECF∴∠DCE=∠DCF∵AF ∥BC∴∠F=180°−∠DCF −∠DCE −∠BCE=180°−2∠DCE −(180°−2∠BEC) ∴∠F=2∠BEC −2∠DCE∵∠BEC=∠D+∠DCE∴∠F=2(∠D+∠DCE)−2∠DCE∴∠F=2∠D【点睛】此题考查坐标与图形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键在于掌握各性质定义，利用把已知坐标代入等式求值.68．如图所示，48C ︒∠=，25E ︒∠=，140BDF ︒∠=，求α∠和β∠的度数．【答案】115a ︒∠=，67β︒∠=．【解析】【分析】先根据∠BDF=∠E+∠α，求∠α，再根据∠α=∠C+∠β，求∠β.【详解】解：∵BDF ∠是EDF ∆的一个外角（外角的定义），∴BDF E α∠=∠+∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∴115BDF E α︒∠=∠-∠=（等式的性质，等量代换）．又∵α∠是ACF ∆的一个外角（外角的定义），∴C αβ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∴67C βα︒∠=∠-∠=（等式的性质，等量代换）．【点睛】此题考查三角形外角的性质，解题关键在于求出∠α.69．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a ，若AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 外部，则有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．将点P 移到AB 、CD 内部，如图b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）；【答案】（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D ，证明详见解析；（2）∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.【解析】【分析】（1）延长BP 交CD 于E ，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B ，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）连接QP 并延长，根据三角形的外角性质即可得结论.【详解】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.证明：延长BP 交CD 于点E ，∵AB ∥CD.∴∠B=∠BED ，又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D ；（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.连接QP 并延长，∵1B BQP ∠=∠+∠ ，2D DQP ∠=∠+∠ ，∴12B BQP D DQP ∠+∠=∠+∠+∠+∠即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.故答案为：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D，证明详见解析；（2）∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解题的关键．70．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，⊥F=50º，⊥C=30º，求⊥EDF和⊥DBA的度数．【答案】∠EDF=40°，∠DBA=70°.【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的外角的性质求出∠DBA=∠C+∠CDB即可求解．【详解】解：∵CE⊥AF，∴∠DEF=90°，∴∠EDF=90°-∠F=90°-50°=40°；∴∠CDB=∠EDF=40°，∴∠DBA=∠C+∠CDB=40°+30°=70°．即：∠EDF=40°，∠DBA=70°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

三角形的外角习题及答案三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和角度关系是我们学习的基础知识之一。

在这篇文章中，我将介绍一些与三角形外角相关的习题，并给出详细的答案解析。

一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下有关三角形外角的基本概念。

对于任意一个三角形ABC来说，顶点A的外角定义为：外角A = 角BAC的补角外角A与角BAC的和为180度，即：外角A + 角BAC = 180度这个性质将会是我们解题的基础。

二、习题一题目：已知三角形ABC中，角A的外角为85度，求角BAC的度数。

解析：根据外角的定义，外角A与角BAC的和为180度。

所以我们可以列出等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件，可得：85度 + 角BAC = 180度然后解方程，得到：角BAC = 180度 - 85度 = 95度所以角BAC的度数为95度。

三、习题二题目：在三角形ABC中，角BAC的度数为45度，外角A为120度，求角B的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的定义来解题。

根据外角的性质，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：120度 + 45度 = 180度化简可得：外角A = 180度 - 45度 = 135度由于外角A是角B的补角，所以我们有等式：外角A + 角B = 180度带入已知条件，得到：135度 + 角B = 180度解方程可得：所以角B的度数为45度。

四、习题三题目：在三角形ABC中，角B的度数为55度，外角A的度数为145度，求角C的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的性质来解题。

根据外角的定义，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：145度 + 角BAC = 180度解方程可得：角BAC = 180度 - 145度 = 35度所以角BAC的度数为35度。

由于角BAC是角C的补角，所以我们有等式：角BAC + 角C = 180度带入已知条件，得到：35度 + 角C = 180度解方程可得：所以角C的度数为145度。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，向两边延长ABC ∆的边AB ，点P 是直线AB 上B 点右边的一动点，PE AC ∥，CO 平分ACB ∠，PM 平分APE ∠，OC 与PM 交与点M ，当点P 在直线AB 上运动时，探求M ∠与ABC ∠数量关系.【答案】12M ABC ∠=∠. 【解析】【分析】过点A 作AG PM ∥，交MO 的延长于点G ，先根据平行线的性质得出G M ∠=∠，再得出6030m n =⎧⎨=-⎩平分NAC ∠，再根据三角形内、外角平分线的交角的结论即可【详解】解：如图，过点A 作AG PM ∥，交MO 的延长于点G ，则G M ∠=∠ PE AC ∥，NAC APE ∴∠=∠，AG ∴平分NAC ∠， CO 平分ACB ∠，由三角形内、外角平分线的交角的基本图形与结论得，12G ABC ∠=∠，即12M ABC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．62．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与BAC ∠，ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE BC ⊥的延长线于点E ，已知30∠=︒CDE ，50ABC ∠=︒，求ADB ∠、BDC ∠的度数.【答案】30ADB ∠=︒；35BDC ∠=︒.【解析】【分析】 根据三角形的内角和定理、角平分线定义得出1302∠=∠=︒ADB ACB ，1352∠=∠=︒BDC BAC 即可 【详解】解：30CDE ∠=︒，DE BC ⊥，60DCE ∴∠=︒． DC 平分ACE ∠，120∴∠=︒ACE60ACB ∠=︒∴．ADB ∠是内、外角平分线的交角，1302ADB ACB ∴∠=∠=︒． 180180506070BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BDC ∠是内、外角平分线的交角，1352BDC BAC ∴∠=∠=︒． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．63．如图，已知射线OE ⊥射线OF ，B 、A 分别为OE 、OF 上一动点，ABE ∠、BAF ∠的平分线交于C 点.问B 、A 分别在OE 、OF 上运动的过程中，C ∠的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由.【答案】不变，45C ∠=︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-12∠O ． 【详解】解：∠C 的度数不会改变．∵∠ABE 、∠BAF 的平分线交于C ，∴∠CAB=12∠FAB ∠CBA=12∠EBA ∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA ）=180°-12（∠ABE+∠BAF ） =180°-12（∠O+∠OAB+∠BAF ） =180°-12（∠O+180°） =90°-12∠O=45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键．64．如图，在ABC ∆中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，过点B 作BG CF ⊥于点G ，12OBG BAC ∠=∠成立吗？说明理由.【答案】12OBG BAC ∠=∠ 成立，见解析. 【解析】【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案【详解】解：12OBG BAC ∠=∠成立． 理由如下：∵在ABC ∆中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，1902BOC BAC ∠=︒+∠． 由三角形的外角性质得，90BOC G OBG OBG ∠=∠+∠=︒+∠，190902BAC OBG ∴︒+∠=︒+∠， 12OBG BAC ∴∠=∠ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．65．如图，BG 是ABD ∠的平分线，CH 是ACD ∠的平分线，BG 与CH 交于点O ，若150BDC ∠=︒，110BOC ∠=°，求A ∠的度数.【答案】70A ∠=︒.【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC 、∠BOC ，在根据角平分线的性质即可得出【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，BDC BOC OBD OCD ∠=∠+∠+∠①BOC A ABO ACO ∠=∠+∠+∠② BG 是ABD ∠的平分线，GH 是ACD ∠的平分线ABO OBD ∴∠=∠，ACO OCD ∠=∠．①-②得，270A BOC BDC ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．66．如图，已知DE 分别交ABC ∆的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，62B ∠=︒，76ACB ∠=︒，93ADE ∠=︒，求DEC ∠的度数.【答案】135DEC ∠=︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：在ABC 中，=180--∠︒∠∠A B ACB =180︒-62︒-7642︒=︒，∴∠DEC=9342135A ADE ∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．67．课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP 分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-12∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．【详解】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，∴130°+∠2=180°+∠C，∴∠2-∠C=50°；（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°+∠A），在△PBC中，∠P=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A；即∠P=90°-12∠A；故答案为：50°，∠P=90°-12∠A；（4）延长BA、CD于Q，则∠P=90°-12∠Q，∴∠Q=180°-2∠P，∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°-2∠P，=360°-2∠P．【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线68．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示）【答案】(1) 25°;(2) ∠E=β-α【解析】【分析】（1）由∠B=35°，∠ACB=85°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC 的度数，由PE⊥AD，可得∠DPE的度数，从而求得∠E的度数．（2）根据第一问的推导，可以用含α、β的代数式表示∠E．【详解】(1)∵∵B=35°,∵ACB=85°,∵∵BAC=180°-∵B-∵ACB=60°.∵AD平分∵BAC,∵∵DAC=∵BAD=30°.∵∵ADC=∵B+∵BAD=65°.又∵PE∵AD,∵∵DPE=90°,∵∵E=90°-∵ADC=25°.(2)∵∵B=α,∵ACB=β,∵∵BAC=180°-α-β.∵AD平分∵BAC,∵∵DAC=∵BAD=(180°-α-β).∵∵ADE=∵B+∵BAD=90°+α-β,又∵PE∵AD,∵∵DPE=90°,∵∵E=90°-∵ADE=β-α.【点睛】本题主要考查三角形的内角和的应用，关键是可以根据题意，灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．69．,D E 分别为ABC ∆的边,AC BC 上两点，将CDE ∆沿DE 翻折，C 点落在C '处，11,44PDC ADC PEC BEC ''''∠=∠∠=∠．（1）如图（1）若90C ∠=．求P ∠的度数．（2）如图（2）若180C P ∠+∠=，求C ∠的度数．【答案】（1）45︒；（2）120︒.【解析】【分析】（1）易得180ADC BEC ''∠+∠=︒，求出45PDC PEC ''∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理求出P ∠；（2）由题意得4ADC PDC ''∠=∠，4BEC PEC ''∠=∠，2ADC BEC C ''∠+∠=∠，然后根据三角形内角和定理可得P ∠11802C EDC DEC =︒-∠-∠-∠，结合180CDE CED C ∠+∠=︒-∠，可求出120C ∠=︒.【详解】解：（1）2180ADC BEC C ''∠+∠=∠=︒，又44ADC BEC PDC PEC ''''∠+∠=∠+∠，45PDC PEC ''∴∠+∠=︒，45PDE PED PDC EDC PEC C ED CDE CED ''''∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+∠+∠4590135=︒+︒=︒，180********P PDE PED ∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒（2）14PDC ADC ''∠=∠ 4ADC PDC ''∴∠=∠14PEC BEC ''∠=∠∠， 4BEC PEC ''∴∠=∠2ADC BEC C ''∠+∠=∠，442PDC PEC C ''∴∠+∠=∠12PDC PEC C ''∴∠+∠=∠， 180180P PDE PED PDC EDC PEC DEC ''''∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠-∠-∠11802C EDC DEC =︒-∠-∠-∠ 180C CDE CED ∠+∠+∠=︒180CDE CED C ∴∠+∠=︒-∠()1118018022P C C C ∴∠=︒-∠-︒-∠=∠ 又180P C ∠+∠=︒11802C C ∴∠+∠=︒， 120C ∴∠=︒【点睛】本题主要考查三角形内角和定理与外角的性质，涉及的角较多，分析起来较为复杂，结合题意求出12PDC PEC C ''∠+∠=∠是解题关键.70．如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）求∠ACB的大小；（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO－∠BCF=45°，求证：CF∥OB．【答案】（1）135°；（2）45°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，根据三角形的内角和得到∠OAB+∠ABO＝90°，即可求出∠CAB+∠ABC的度数，根据三角形的内角和即可求解.（2）根据角平分线的性质得到∠GBD=∠EBD，则∠CBD=∠GBC+∠GBD=12（∠ABG+∠GBE）=90°，根据∠ACB=135°即可求出∠ADB的大小.（3）根据三角形外角的性质得到∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，∠AGO－∠BCF=45°，可得到∠GBC=∠BCF，即可证明.【详解】（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB=180°－（∠CAB+∠ABC）=180°－12（∠OAB+∠ABO）=180°－12×90° =135°.（2）∵BD是∠OBE角的平分线，∴∠GBD=∠EBD，∴∠CBD=∠GBC+∠GBD=12（∠ABG+∠GBE）=90°，又∵∠ACB=135°，∴∠DCB=45°，∴∠ADB=180°－∠CBD－∠DCB=45°点A、B在运动的过程中，∠ADB不发生变化，其值为45°.（3）∵∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，又已知：∠AGO－∠BCF=45°，∴ 45°+∠GBC－∠BCF=45°，∠GBC=∠BCF，∴CF∥OB.【点睛】考查角平分线的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，平行线的判定等，综合性比较强，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.。

三角形的外角（习题）➢例题示范例1：已知：如图，点E是直线AB，CD外一点，连接DE交AB 于点F，∠D=∠B+∠E．求证：AB∥CD．①读题标注②梳理思路要证AB∥CD，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D=∠B+∠E，而由外角定理得∠AFE=∠B+∠E，故∠D=∠AFE，所以AB∥CD．③过程书写证明：如图，∵∠AFE是△BEF的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠B+∠E（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠B+∠E（已知）∴∠AFE=∠D（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）➢巩固练习1.如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A=40°，∠D=35°，则∠2=________．2.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE交于点F，则∠AFB的度数为____________．第2题图第3题图3.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．904.如图，已知∠A=25°，∠EFB=95°，∠B=40°，则∠D的度数为_____________．第4题图第5题图5.如图，已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，则∠D=_______，∠ACB=_______．6.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（_____________________）∴∠BDC=∠A+∠ABD（_____________________）∵∠A=40°，∠BDC=70° （_____________________）∴∠ABD=_______-________=________-________=________ （_____________________）∵BD平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC=2∠ABD=_____×______=__________ （_____________________）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-________-_______=________ （_____________________）7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．8.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线及两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和．。

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，DE⊥AB，EF⊥AC，⊥A=24°,求⊥DEF的度数．【答案】114°【解析】【分析】先根据DE⊥AB可知∠ADE=90°，再由三角形外角的性质求出∠DGC的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【详解】∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠DGC是△ADG的外角，∠A=24°，∴∠DGC=∠A+∠ADG=24°+90°=114°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠DGC=114°．【点睛】考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．72．在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），且AP＝AQ．（1）如图1，已知，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点Q关于直线AC的对称点为M，分别联结AM、PM；①当点P分别在点Q左侧和右侧时，依据题意将图2、图3补全（不写画法）；②小明提出这样的猜想：点P、Q在运动的过程中，始终有PA＝PM．经过小红验证，这个猜想是正确的，请你在①的点P、Q的两种位置关系中选择一种说明理由．【答案】（1）80°（2）①答案见解析②答案见解析【解析】【分析】（1）先利用三角形外角定理得到∠APQ的值，再利用等边对等角转化即可；（2）①根据题中所述步骤补全图形即可；②选择点P在点Q的左侧，QM交AC于点H，证明△AQH≌△AMH，再证明AP＝AM，最后证明△APM是等边三角形即可.【详解】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BAP＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）①如图2，3所示：②PA＝PM，点P在点Q的左侧，QM交AC于点H，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴QH＝MH，∠AHQ＝∠AHM，∵AH＝AH，∴△AQH≌△AMH（SAS），∴AQ＝AM，∠QAH＝∠MAH，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∵∠BAP＝∠CAQ，∴∠QAH＝∠MAH＝∠BAP，∴∠PAM＝∠PAQ+∠QAH+∠MAH＝∠PAQ+∠QAH+∠BAP＝∠BAC＝60°，∴△APM是等边三角形，∴PA＝PM．【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形是解题的关键.73．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C的大小关系如何？为什么？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，再证明三角形全等即可.【详解】解：∠B＝∠C，理由如下：∵∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．又∵∠FDE ＝∠B （已知），∴∠DFB ＝∠EDC ．在△DFB 和△EDC 中，FB ED DFB EDC BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DFB ≌△EDC （SAS ）．∴∠B ＝∠C ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，理清证明思路是写出理由与步骤的解决本题的关键．74．阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且∠AED ＝∠B ，延长DE 与BC 的延长线交于点F ，∠BAC 和∠BFD 的角平分线交于点G ．那么AG 与FG 的位置关系如何？为什么？解：AG ⊥FG ．将AG 、DF 的交点记为点P ，延长AG 交BC 于点Q ． 因为AG 、FG 分别平分∠BAC 和∠BFD （已知）所以∠BAG ＝ ， （角平分线定义）又因为∠FPQ ＝ +∠AED ， ＝ +∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED ＝∠B （已知）所以∠FPQ ＝ （等式性质）（请完成以下说理过程）【答案】∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG 【解析】【分析】根据角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，等角对等边和等腰三角形三线合一来解题即可.【详解】解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）所以FP＝FQ（等角对等边）又因为∠PFG＝∠QFG所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．故答案为：∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.75．如图，在ABC ∆中，CD 垂直AB ，垂足为D ，ABC ∠的平分线BP 交CD 于点P ．（1）若20BCD ∠=︒，求PBC ∠的度数；（2）若BCD α∠=，求BPD ∠的度数．【答案】（1）35PBC ∠=︒；（2）1452BPD α∠=︒+. 【解析】【分析】（1）由CD 垂直AB ，可得直角，由BP 平分ABC ∠，可得PBC PBD ∠∠=，依据三角形内角和定理可求ABC ∠，进而求出PBC ∠；（2）方法同（1），只是角度用α表示，最后由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，表示BPD ∠即可．【详解】解：（1）CD AB ⊥，CDB CDA 90∠∠∴==︒，BCD 20∠=︒，ABC 902070∠∴=︒-︒=︒，又BP 平分ABC ∠，1PBC PBD ABC 352∠∠∠∴===︒， 答：PBC 35∠=︒；（2）CD AB ⊥，CDB CDA 90∠∠∴==︒，BCD α∠=，ABC 90α∠∴=︒-，又BP 平分ABC ∠，()11PBC PBD ABC 90α22∠∠∠∴===︒-， ()11BPD PBC PCB 90αα45α22∠∠∠∴=+=︒-+=︒+， 答：1BPD 45α2∠=︒+．【点睛】考查三角形内角和定理、角平分线意义、垂直的意义等知识，三角形的内角和定理的推论，即三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在解决问题时也经常用到，注意掌握．76．一个零件的形状如图所示，按规定∠A =90°，∠B 、∠D 分别是32°和21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD 的度数，如果∠BCD =150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因．【答案】这个零件合格，理由见解析.【解析】【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．【详解】如图，连接AC并延长，由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D=∠A+∠B+∠D=90°+32°+21°=143°，∵143°≠150°，∴这个零件合格．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．77．如图，直线m//n，若1130∠=，求3∠的度数？∠=，270【答案】∠3=60°.【解析】【分析】利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．【详解】解：如图所示，∵∠1是△ABC的外角，∴∠4=∠1-∠2=130°-70°=60°，又∵m//n，∴∠3=∠4=60°.【点睛】考查平行线的性质，三角形的外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.78．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（定理证明）已知：△ABC（如图①）．求证：∠A+∠B+∠C=180°．（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ；（2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ．（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ；（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为；（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN．【答案】[定理证明]证明见解析；[定理推论] ∠A+∠ABC；[初步运用]（1）70°；（2）260°；[拓展延伸]（1）230°；（2）（2）∠P=∠A+100°.（3）证明见解析.【解析】【分析】[定理证明]过点A作直线MN∥BC，根据平行线的性质和平角的定义可得结论；[定理推论]根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论；[初步运用]（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论；（2）根据三角形的内角和得：∠ABC+∠ACB=100°，由两个平角的和可得结论；[拓展延伸]（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；（2）如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，综合可得结论；（3）如图⑥，作辅助线，构建三角形PQC，根据（1）的结论得：∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，和角平分线的定义，证明∠MBP=∠PQC，可得结论．【详解】[定理证明]证明：过点A作直线MN∥BC，如图所示，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°；[定理推论]∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=∠A+∠ABC，故答案为：∠A+∠ABC；[初步运用]（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°，故答案为：70°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°，故答案为：260°；[拓展延伸]（1）如图④，连接AP，∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC，∵∠BAC=80°，∠P=150°，∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°，故答案为：230°；（2）∠P=∠A+100°.理由是：如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，2∠A+2∠O=∠A+∠P，∵∠O=50°，∴∠P=∠A+100°，故答案为：∠P=∠A+100°；（3）证明：延长BP交CN于点Q，∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP，∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，∠A=∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC，∴∠BPC=∠MBP+∠NCP，∵∠BPC=∠PQC+∠NCP，∴∠MBP=∠PQC，∴BM∥CN.【点睛】本题考查的是三角形内角和的证明、三角形外角的性质的推理及运用、平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．三、填空题79．如图，AB∥CD，∠P＝40°，∠D＝100°，则∠ABP的度数是_____．【答案】140°．【分析】延长AB交DP于点E，根据平行线的性质可得：∠BEP＝∠D＝100°，然后利用三角形的外角的性质即可求解．【详解】延长AB交DP于点E．∵AB∥CD，∴∠BEP＝∠D＝100°，∴∠ABP＝∠BEP+∠P＝100°+40°＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．80．将Rt△ABC和Rt△DEF如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，∠A=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=30°，∠CDF=20°，则∠BCE的度数为______.【答案】35°【解析】先根据Rt△DEF求出∠F的度数，再根据外角定理求出∠ECD的度数，再根据等腰直角三角形得到∠ACB的度数，即可进行求解∠BCE.【详解】∵在Rt△DEF，∠E=30°，∠∠F=90°-∠E=60°，∵∠ACE是∠DCF的一个外角，∴∠ECD=∠F+∠CDF=80°，又∠ACB=90°-∠B=45°，∴∠BCE=∠ECD-∠ACB=80°-45°=35°.【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的内角和与外角定理进行求解.。

11。

2。

2三角形的外角基础知识一、选择题1．（20*＊•襄阳)如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°，则∠A 等于( ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°答案：C2．（20*＊•湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形,其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°,则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°答案：A3。

设α,β，γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ，α+γ 中 ( ）A 。

有两个锐角、一个钝角B 。

有两个钝角、一个锐角C 。

至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角答案：C4。

(20＊＊ 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C ＝70°,若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于 ( ）A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°答案：B5.已知△ABC，（1）如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°+21∠A； (2）如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°—∠A；A C B12(3）如图3,若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°—21∠A ． 上述说法正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案:C6．（20*＊•漳州）将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°答案：C7。

如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是( )A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°答案：C8。

三角形的外角和练习姓名:__________ 班别:___________ 学号:__________ A 水平 一、判断题1 .三角形的外角在于任何一个内角.( ) 2.三角形的外角中,至少有两个钝角.( ) 二、填空题1.如图表(1), △ABC 中,点D 在AC 的延长线上(1)若,110,50 =∠=∠BCD B ,则______=∠A (2)若65,120=∠=∠A BCD ,则______=∠B 3.如图(2),D 是△ABC 内一点,延长CD 交AB 于E 点,∠1是△_____的外角, ∠2是△_____的外角,用“<”连接∠1、∠2、∠A 的大小关系为________________.B 水平 1. 如图(3)，∠1．在△ABC 中， 120=∠+∠B A ， 160=∠+∠C A ，则_______=∠-∠C A 2．如图(4), 30,40,50=∠=∠=∠C B A ,则_______=∠BDC . 3．在△ABC 中,CB A ∠=∠=∠3121,那么△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.5.如图（5），,,27.20DE AC B A ⊥=∠=∠那么_______._______1=∠=∠D C 水平1. 在△ABC 中, CB A ∠=∠=∠6121,则.____________,______,=∠=∠=∠C B A2. 在△ABC 中,有一个外角是与它相邻的内角的3倍,则这个外角的度数为__________.3. △ABC 的三个外角的比为4:3:2，则三个内角分别为_________________.4.如图(6),AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AD//BC.试证明: ∠B=∠C.。