三角形外角练习题

人教版八年级上册三角形的外角经典题训练一．选择题1．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°2．如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°二．填空题7．如图，根据三角形的有关知识可知图中的x的值是．8．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为．9．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．10．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．11．将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为．15°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．14．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．15．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．16．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．17．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．故选：B．2．解：∵∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，故选：A．3．解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故选：A．4．解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∵∠1＝∠2＝145°，∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，故选：B．5．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，故选：C．6．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．二．填空题7．解：根据三角形的外角性质得：x+80＝x+20+x，解得：x＝60，故答案为：60．8．解：由题意得：∠B＝30°，∠A＝45°，∵∠1＝90°，∴∠A+∠3＝90°，∴∠3＝45°，∴∠4＝45°，∵∠B＝30°，∴∠2＝45°+30°＝75°，故答案为：75°．9．解：延长DC交AB于E，∠CEB是△ADE的一个外角，∴∠CEB＝∠A+∠D，同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，故答案为：150°．10．解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．11．解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．故答案为：165°．12．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案为：35．三．解答题13．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．因为∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．14．解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝55°．∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°．∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°．15．解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．16．解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．17．解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．18．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

三角形的外角（理由挖空）（一）（通用版）试卷简介:利用三角形外角定理进行角的计算，并借助三角形外角定理训练学生有理有据的推理和证明，重点考查学生对每一步推理依据的掌握情况．一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，直线∥，若∠1=150°，∠2=70°，则∠3的度数为( )A.70°B.80°C.65°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理2.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC的度数为( )A.55°B.60°C.80°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理3.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=50°，∠E=55°，则∠B的度数为（）A.70°B.60°C.55°D.50°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的判定、性质4.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中α的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理5.如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于点D，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理6.已知△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别分D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理7.已知：如图，点D在CA的延长线上，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上．求证：∠ACF+∠BAD+∠CBE=360°．证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠1+∠2（_______________________）∵∠BAD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠BAD=∠2+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CBE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠CBE=∠1+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2+∠3=180°（_______________________）∴∠ACF+∠BAD+∠CBE=∠1+∠2+∠2+∠3+∠1+∠3=2（∠1+∠2+∠3）=360°（等式的性质）①同角或等角的余角相等；②同角或等角的补角相等；③三角形的内角和是180°；④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑤平角的定义．以上空缺处依次所填正确的是( )A.④⑤B.②③C.④③D.①⑤答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理8.已知：如图，AB∥CD，∠EBA=60°，∠D=50°，求∠E的度数．解：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠EBA=∠EFC（两直线平行，同位角相等）∵∠EBA=60°（已知）∴∠EFC=60°（等量代换）∵∠EFC是△EDF的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠D+∠E（_______________________）∵∠D=50°（已知）∴∠E=∠EFC-∠D=60°-50°=10°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.③④B.③⑤C.②④D.①⑤答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理9.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=∠1，∠ADC=80°．求∠C的角度．解：如图，∵∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADC=∠1+∠B（_______________________）∵∠B=∠1（已知）∴∠ADC=2∠1（等式的性质）∵∠ADC=80°（已知）∴∠1=∠ADC=40°（_______________________）∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠2=∠1=40°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-40°-80°=60°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②④①B.③④①C.③②①D.②⑤④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理10.已知：如图，AB∥EF，∠E=∠CAE，∠DAB=65°．求∠ACF的度数．解：如图，∵AB∥EF（已知）∴∠DAB=∠E（_______________________）∵∠DAB=65°，（已知）∴∠E=65°（等量代换）∵∠E=∠CAE（已知）∴∠CAE=65°（_______________________）∵∠ACF是△ACE的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠E+∠CAE=65°+65°=130°（_______________________）①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③等量代换；④等式的性质；⑤三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形的内角和是180°．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①③⑤B.①③⑥C.②③⑤D.②④⑥答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理第11页共11页。

三角形的外角性质精选题35道一．选择题（共14小题）1．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°2．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β3．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°4．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°5．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°8．如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC 的外角∠ACD，则∠E＝（）A．40°B．36°C．20°D．18°11．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD 等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°12．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°13．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°14．如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE＝（）A．103°B．104°C．105°D．106°二．填空题（共15小题）15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．16．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．18．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α＝．19．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC形外一点，DA平分∠BAC，且∠CBD＝50°，求∠DCB＝．20．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝．21．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝°．22．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝．23．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．24．点O是△ABC内一点，∠A＝85°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC＝．25．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°﹣7°＝83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝°．…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝°．26．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠B＝50°，∠ACD＝120°，∠A＝．27．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝度．28．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于．29．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF＝．三．解答题（共6小题）30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．31．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．33．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．34．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．35．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．。

初中数学：三角形的外角检测题(含答案)总分100分时间40分钟一、选择题(每题5分)1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角.解：如下图所示，∠ACD<∠ACB，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACB>90°.∴△ACB是钝角三角形.故应选C.考点：三角形的外角2、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.100°D.120°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的三个外角的度数比为2:3:4，设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据三角形外角和是360°列方程求出x的值，求出每个外角的度数，根据外角的度数求出三角形的内角度数.解：设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据题意可得：x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴三角形最小的外角的度数是2x=80°，∴三角形最大的内角的度数是180°-80°=100°.考点：三角形外角的性质3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的一个外角是120°，求出三角形的一个内角是60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定结果.解：如下图所示，∵∠ACD=120°，∴∠ACB=60°，又∵△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形.故应选C.考点：1.三角形外角的性质；2.等腰三角形的判定.二、填空题(每题8分)4、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA 到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是______【答案】∠1>∠2>∠3【解析】试题分析：根据三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角.解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠2，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2>∠3，∴∠1>∠2>∠3.考点：三角形外角的性质5、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。

三角形内角和与外角(练习题)一、填空1、△ABC 中，假设∠A ＝350,∠B ＝650,那么∠C ＝___；假设∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，那么∠C ＝___2、三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______；3、在等腰三角形中，顶角是500，那么底角是_________；4、在等三角形中，有一个角是70度，那么另外两个角是______________________5、三角形三个内角中, 最多有___个直角,最多有__个钝角,最多有___个锐角,至少有___个锐角；6、三角形中,假设最大角等于最小角的2倍,最大角又比另一个角大20°,那么此三角形的最小角的度数是________.7、在△ABC 中,假设∠A+∠B=∠C,那么此三角形为_______三角形;假设∠A+∠B<∠C,那么此三角形是_____三角形.8、如图,∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,那么∠BDC=______.9、等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 那么这个等腰三角形的顶角为_______.10、△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,假设∠BOC=132°,那么∠A=____ 11、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，那么∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ 。

12 如图，△ABC 中，∠C=70°，假设沿图中虚线截去∠C ，那么∠1+∠2=13、△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，那么∠A′DB=14、 将一副常规的三角尺按如图方式放置，那么图中∠AOB 的度数为15、一副三角板如图叠放在一起，那么图中∠α的度数为21D CB A 12题 13题16、如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是二、选择题17、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,那么它是( )18、以下说法正确的选项是( )°19、三角形的一个内角是另一个内角的32,是第三个内角的54,那么这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°20、△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),那么∠A 的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°21、三角形两个内角的差等于第三个内角,那么它是( )22、在△ABC 中,∠A=21∠B=31∠C,那么此三角形是( ) B.直角三角形 C.钝角三角形三、解答题23、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数。

三角形的外角练习题一、选择题1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这个说法是：A. 正确B. 错误2. 一个三角形的外角和等于多少度？A. 360度B. 180度C. 90度D. 120度3. 如果一个三角形的两个内角分别是40度和60度，那么第三个内角的度数是：A. 40度B. 60度C. 80度D. 100度4. 一个三角形的外角等于它相邻内角的补角，这个说法是：A. 正确B. 错误5. 直角三角形的外角中，最大的外角是：A. 45度B. 90度C. 135度D. 180度二、填空题6. 如果三角形的一个内角是50度，那么它的一个外角是________度。

7. 一个三角形的三个内角之和是________度。

8. 如果一个三角形的外角是120度，那么它相邻的内角是________度。

9. 等边三角形的每个外角是________度。

10. 已知三角形的一个外角是70度，那么它相邻的内角是________度。

三、判断题11. 一个三角形的外角可以大于90度。

（）12. 一个三角形的外角可以小于60度。

（）13. 等腰三角形的两个底角的外角相等。

（）14. 直角三角形的一个锐角的外角等于它的邻角。

（）15. 一个三角形的外角和内角的和总是等于180度。

（）四、计算题16. 已知三角形ABC中，角A是45度，角B是75度，求角C的度数以及角C的外角。

17. 如果一个三角形的内角之和为180度，且其中一个内角为70度，求另外两个内角的度数，并计算这两个内角的外角。

18. 在三角形DEF中，如果角D是90度，角E是30度，求角F的度数以及角F的外角。

19. 已知三角形GHI的三个内角分别为60度，60度，60度，求这个三角形的外角和。

20. 如果一个三角形的外角和为360度，且其中一个外角为80度，求相邻内角的度数。

五、简答题21. 解释为什么三角形的外角和总是等于360度。

22. 描述在已知三角形一个内角的情况下，如何计算它的外角。

三角形外角定理基础训练题(有详解)问题描述在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ADB = 130^{\circ}$，$\angle BDC = 40^{\circ}$，求 $\angle A$ 的度数。

解题思路三角形外角定理是指：三角形的一个外角等于其对应内角的两个非邻居内角之和。

因此，我们可以先求出 $\angle BDA$ 的度数，然后再利用外角定理求出 $\angle A$ 的度数即可。

根据题意，$\angle BDC = 40^{\circ}$，则 $\angle BDA =180^{\circ} - \angle BDC = 140^{\circ}$。

根据外角定理，$\angle ADB = \angle BDA + \angle BAD$，代入已知角度得：$130^{\circ} = 140^{\circ} + \angle BAD$则$\angle BAD = -10^{\circ}$，但是角度不可能为负数，因此，我们可以将三角形的另外两个内角相加后再用 $180^{\circ}$ 减去，即：$\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (140^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ}$因此，$\angle A$ 的度数为 $0$，即 $\triangle ABC$ 不是一个有效的三角形。

总结三角形外角定理是一个比较简单的几何定理，但是在应用时需要注意各个角度的定义以及单位，以免计算错误。

同时，我们还可以通过三角函数等方式来计算三角形的各个角度，提高计算效率。

三角形的外角习题及答案三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和角度关系是我们学习的基础知识之一。

在这篇文章中，我将介绍一些与三角形外角相关的习题，并给出详细的答案解析。

一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下有关三角形外角的基本概念。

对于任意一个三角形ABC来说，顶点A的外角定义为：外角A = 角BAC的补角外角A与角BAC的和为180度，即：外角A + 角BAC = 180度这个性质将会是我们解题的基础。

二、习题一题目：已知三角形ABC中，角A的外角为85度，求角BAC的度数。

解析：根据外角的定义，外角A与角BAC的和为180度。

所以我们可以列出等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件，可得：85度 + 角BAC = 180度然后解方程，得到：角BAC = 180度 - 85度 = 95度所以角BAC的度数为95度。

三、习题二题目：在三角形ABC中，角BAC的度数为45度，外角A为120度，求角B的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的定义来解题。

根据外角的性质，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：120度 + 45度 = 180度化简可得：外角A = 180度 - 45度 = 135度由于外角A是角B的补角，所以我们有等式：外角A + 角B = 180度带入已知条件，得到：135度 + 角B = 180度解方程可得：所以角B的度数为45度。

四、习题三题目：在三角形ABC中，角B的度数为55度，外角A的度数为145度，求角C的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的性质来解题。

根据外角的定义，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：145度 + 角BAC = 180度解方程可得：角BAC = 180度 - 145度 = 35度所以角BAC的度数为35度。

由于角BAC是角C的补角，所以我们有等式：角BAC + 角C = 180度带入已知条件，得到：35度 + 角C = 180度解方程可得：所以角C的度数为145度。

初二数学三角形外角练习题三角形是初中数学中重要的几何概念之一，而三角形的外角则是对我们理解三角形性质和解题有着重要影响的概念。

本文将通过列举一些三角形外角的练习题，帮助初二学生加深对三角形外角的理解和应用。

练习题1：已知三角形ABC，点D为BC延长线上一点，且∠ACD = 151°，∠BAC = 65°，求∠ABC的度数。

解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠ABC = ∠ACD -∠BAC = 151° - 65° = 86°。

练习题2：已知三角形DEF中，∠D = 90°，∠F = 72°，点G在EF上，且∠DGF = 52°，求∠EDG的度数。

解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠EDG = ∠DGF + ∠F = 52° + 72° = 124°。

练习题3：已知三角形MNP中，∠M = 38°，∠P = 108°，点Q在MN上，且∠PNQ = 82°，求∠Q的度数。

解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠Q = ∠PNQ + ∠P = 82° + 108° = 190°。

练习题4：已知三角形XYZ中，∠X = 45°，∠Z = 100°，点W在YZ上，且∠XWZ = 30°，求∠W的度数。

解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠W = ∠XWZ + ∠Z = 30° + 100° = 130°。

练习题5：已知△ABC和△DEF为等边三角形，且它们的外角∠A和∠D相等，求∠A的度数。

解答：等边三角形的内角都为60°，因此∠A = 180° - 60° - 60° = 60°。

通过以上练习题的解答，我们可以进一步理解和应用三角形外角与其对应内角之间的关系。

三角形的外角（习题）例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBA2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．DC EA BFF BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70°（_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________） ∵BD 平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________（_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）第4题图D CABFEA7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．8.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________E DCBA________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

7. 2. 2三角形的外角基础过关作业1若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是______________ 三角形.2. \ ABC中，若/ C-Z B=Z人，则厶ABC的外角中最小的角是________ （填“锐角”、“直角” 或“钝角”）.3. 如图1, x= ______ .4. 如图2,A ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E,连EF, 则Z 1,Z 2,Z 3的大小关系是___________________ .5. 如图3,在厶ABC中，AE是角平分线，且Z B=52°,Z C=78°，求Z AEB的度数.6. 如图，在△ ABC中，Z A=60°, BD CE分别是AC AB上的高，H是BD ?CE的交点，求ZBHC的度数.综合创新作业7. 如图所示，在厶ABC中, AB=ACAD=AE Z BAD=60 , 贝UZEDC= ________& 一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定Z A 应等于90°,ZB Z D应分别是30°和20°, 李叔叔量得Z BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？AB D(2)如图 7-2-2-7 (2),求出/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的度数.10. ________________________________________ (易错题)三角形的三个外角中最多有 个锐角. 培优作业11. (探究题)(1)如图，BD CD 分别是△ ABC 的两个外角Z CBE Z BCF?勺平分线，试探索 Z BDC 与Z A 之间的数量关系.(2)如图，BD %A ABC 的角平分线，ABC 的外角Z ACE 的平分线，它们相交于点 D, 试探索Z BDC 与Z A 之间的数量关系.ADB12. （趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接•如图所示•城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：？能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现•该怎样走才好呢？？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.？?好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707〜1783）.欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在.你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案：1. 钝角2. 直角点拨：•••/ C- / B=Z A,「./ C=Z A+Z B.又•••(/ A+Z B) +Z C=180°,A Z C+Z C=180°,「・Z C=90°, •••△ABC的外角中最小的角是直角.3. 60 点拨：由题意知x+80=x+ (x+20).解得x=60 .4. Z 1>Z 2>Z 3点拨：T Z 1是Z 2的外角，Z 2是Z 3的外角，•••/ 1>Z 2>Z 3.5. 解：/ BAC=180 - (/ B+Z C) =180° - (52° +78 °) =50 ° .•/ AE是Z BAC的平分线，1•••Z BAE玄CAE=_ Z BAC=25 .2• Z AEB玄CAE+Z C=25° +78°=103°.6. 解：在厶ACE中，Z ACE=90 - Z A=90° -60 ° =30°.而Z HDC的外角，所以Z BHC Z HDC-Z ACE=90 +30° =120 ° .17. 30°点拨：设Z CAD=2a 由AB=AC知Z B=—(180° -60 ° -2a ) =60° -?a , ?2Z ADB=180 - Z B-60 ° =60° +a,由AD=AE知，Z ADE=90 -a,所以Z EDC=180 - Z ADE-Z ADB=30 .&解法1:如答图1,延长BC交AD于点E,则Z DEB Z A+Z B=90° +30° =?120°,从而Z DCB Z DEB+Z D=120° +20° =140°.若零件合格，Z DCB应等于140° .李叔叔量得Z BCD=142 ,因此可以断定该零件不合格.(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同.解法2:如答图2,连接AC并延长至E,则Z 3=Z 1+Z D,Z 4=Z 2+Z B,因此Z DCB=/ 1+Z D+Z 2+Z B=140°.以下同方法1.解法3:如答图3,过点C作EF// AB,交AD于E,则Z DEC=90 , Z FCB=Z B=?30°,所以Z DCF=/ D+Z DEC=110 ,从而Z DCB=/ DCF+Z FCB=140 .以下同方法 1 .说明：也可以过点C作AD的平行线.点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.9. 解：(1)由图知Z A+Z F=Z OQA Z B+Z C=Z QPC Z D+Z E=Z EOP而Z OQA ?Z QPC Z EO^A OPQ勺三个外角.•Z OQA Z QPC Z EOP=360 .•Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=Z OQA Z QPC Z EOP=360 .(2) 360° 点拨：方法同(1).10. 1点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3.111. 解：(1)z BDC=90 - _ / A.2理由：/ ABC+Z ACB=180 - / A./ EBC Z FCB=( 180°- Z ABC + ( 180°- Z ACB =360°- (Z ABC+Z ACB =180°+Z A. ••• BD CD 分别为Z EBC Z FCB的平分线，1 1•••Z CBD J Z EBC Z BCD J Z FCB.2 21 1•Z CBD-Z BCDd (Z EBC+Z FCB =_ x( 180°+Z A)2 21=90 °+ —Z A.21 1在^ BDC中, Z BDC=180 - (Z CBD-Z BCD =180°- (90°+—Z A) =90°- — Z A.2 21(2)Z BDC」Z A.2理由：T Z ACE是△ ABC的外角，•Z ACE Z A+Z ABC•/ CD是Z ACE的平分线，BD是Z ABC的平分线，1 1 1 1•Z DCEd Z ACE—Z A+—Z ABC Z DBA Z ABC2 2 2 2T Z DCE是△ BCD的外角，1 1 1 1•Z BDC Z DCE-Z DBA Z A+ —Z ABC-—Z ABC—Z A.2 2 2 212. 解：如图，设球员接球时位于点C,他尽力向球门冲近到D,此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中.理由说明如下：延长CD到E,则Z ADE Z ACE Z BDE>Z BCE• Z ADE+Z BDEN ACE+Z BCE 即Z ADB>Z ACB点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题.数学世界答案：欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题. 这个图形显然无法一笔画出，也就是说，？要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的.AD。

的外角一．选择题〔共17小题〕1．如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，假设∠β=20°，那么∠α的度数为〔 〕°° C. 20° D. 35°2．将一副常规的三角尺按如图方式放置，那么图中∠AOB 的度数为〔 〕 °°°° 4．如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，假设∠DAB=20°，∠DAC=30°，那么∠BDC 的大小是〔 〕A. 100°B. 80°C. 70°° 5．如下图，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C ，那么∠BDC 的度数是〔 〕 °°°°6．如下图，l 1∥l 2，那么以下式子中值为180°的是〔 〕7．如图，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为O ，BC 与l 2相交于点E ，假设∠1=43°，那么∠2=〔 〕 °°°°8．两个直角三角形如图放置，那么∠BFE 与∠CAF 的度数之比等于〔 〕 A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 119．如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为α，β，γ，假设α：β：γ，=3：4：5，那么∠A ：∠B ：∠C=〔 〕A.3:2:1B.1:2:3C.3:4:5D.5:4:310．如图，DC 是△ABC 中∠ACB 的外角平分线，那么有〔 〕 A.B BAC ∠>∠ B.B BAC ∠=∠ C.B BAC ∠>∠11．一个正方形和两个等边三角形的位置如下图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2=〔 〕A ． α+β+γB ． α+β﹣γC ． β+γ﹣αD ． α﹣β+γA．90°B．100°C．130°D．180°12．假设△ABC中，2〔∠A+∠C〕=3∠B，那么∠B的外角度数为何〔〕A．36 B．72 C．108 D．14413．两本书按如下图方式叠放在一起，那么图中相等的角是〔〕A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等14．假设△ABC的内角满足：2∠A﹣∠B=60°，4∠A+∠C=300°，那么△ABC是〔〕A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定15．假设一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，那么这个三角形的形状为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形16．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA两次反射后回到点P，PQ∥OA，PR∥OB，那么∠1的度数为〔〕°°°°17．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，那么∠H的度数是〔〕A．30°B．45°C．60°D．以上都有可能二．填空题〔共5小题〕18．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，线段BP、BE三等分∠ABC，线段CP、CE三等分∠ACB，那么∠BPE的度数是_________．19．如图，是一个六角星，其中∠AOE=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=42°，∠C=70°∠DAE= _________．22．将两块含30°的直角三角板叠放成如图那样，假设OD⊥AB，CD交OA于点E，那么∠OED=_________°．三．解答题〔共8小题〕23．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形〞．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答以下问题：〔1〕在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_________；〔2〕仔细观察，在图2中“8字形〞的个数：_________个；〔3〕在图2中，假设∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；24．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．〔1〕求∠DAE的度数；〔2〕判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．〔3〕假设∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．〔∠C＞∠B〕25．：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC的延长线上．试证明∠1＜∠2．26．〔1〕如图1，：AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O，∠D=60°，求∠BOF的度数．〔2〕如图2，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC，∠BOA．27．如图〔1〕如图〔1〕，∠ADC=100°，试求∠A+∠B+∠C的度数；〔2〕如图〔2〕所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，试求∠O的度数．28．如图，∠BOF=120°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．29．如图，AB∥CD，∠1=∠F，∠2=∠E，试猜测AF与DE的位置关系，并证明你的结论．。

三角形的外角（习题）➢例题示范例1：已知：如图，点E是直线AB，CD外一点，连接DE交AB 于点F，∠D=∠B+∠E．求证：AB∥CD．①读题标注②梳理思路要证AB∥CD，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D=∠B+∠E，而由外角定理得∠AFE=∠B+∠E，故∠D=∠AFE，所以AB∥CD．③过程书写证明：如图，∵∠AFE是△BEF的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠B+∠E（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠B+∠E（已知）∴∠AFE=∠D（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）➢巩固练习1.如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A=40°，∠D=35°，则∠2=________．2.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE交于点F，则∠AFB的度数为____________．第2题图第3题图3.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．904.如图，已知∠A=25°，∠EFB=95°，∠B=40°，则∠D的度数为_____________．第4题图第5题图5.如图，已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，则∠D=_______，∠ACB=_______．6.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（_____________________）∴∠BDC=∠A+∠ABD（_____________________）∵∠A=40°，∠BDC=70° （_____________________）∴∠ABD=_______-________=________-________=________ （_____________________）∵BD平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC=2∠ABD=_____×______=__________ （_____________________）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-________-_______=________ （_____________________）7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．8.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线及两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于及它不相邻的两个内角的和．。

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

11。

2。

2三角形的外角基础知识一、选择题1．（20*＊•襄阳)如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°，则∠A 等于( ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°答案：C2．（20*＊•湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形,其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°,则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°答案：A3。

设α,β，γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ，α+γ 中 ( ）A 。

有两个锐角、一个钝角B 。

有两个钝角、一个锐角C 。

至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角答案：C4。

(20＊＊ 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C ＝70°,若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于 ( ）A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°答案：B5.已知△ABC，（1）如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°+21∠A； (2）如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°—∠A；A C B12(3）如图3,若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°—21∠A ． 上述说法正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案:C6．（20*＊•漳州）将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°答案：C7。

如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是( )A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°答案：C8。

八年级数学上册三角形的外角精选练习题目一、选择题：1.CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°2.将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )A. 80B.] 50C. 30D. 203.已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°4.如中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列何者正确( )A. ∠2=∠4+∠7B. ∠3=∠1+∠6C. ∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°5.一副三角板有两个直角三角形，如叠放在一起，则∠α的度数是( )A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°6.直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°7.下面四个形中，∠1=∠2一定成立的是( )A. B. C. D.8.∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠1二、填空题9.将一副常规的三角尺按如方式放置，则中∠AOB的度数为________10.l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为________11.若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形.12.△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”).13.x=______.14.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=_________ 度.15.已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________ 度.16.将一副直角三角板如放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________.EF上，AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC.∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=_____ .18.AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=____ .三、解答题：19.已知：∠2是△ABC的一个外角.求证：∠2=∠A+∠B证明：∵∠A+∠B+∠1=180° ( )∠1+∠2=180° ( )∴∠2=∠A+∠B ( )20. 直线a∥b，∠1=130°，∠2=70°，求则∠3的度数.21.已知：在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.22.在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数。