湖北省黄冈市黄冈中学高三数学4月适应性考试试题理

2025届湖北省黄冈、华师大附中高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．83．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 4．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．7 D ．85．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行6．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）A ．25B ．32C ．35D ．408．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27 B ．34()27 C ．44()27 D ．54()2710．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x = 12．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =，P 为线段AB 上的一点，且CACB CP x y CA CB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届湖北省黄冈中学高三下学期4月高考模拟测试数学（理）试题一、单选题1．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则A B =I （ ） A ．[-1,0] B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤， ∴{|01}A B x x =I ≤≤． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】∵复数1z i =+，∴||z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 3．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈< D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.4．已知||a =r ，||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B【解析】由()a ab ⊥-r r r ，||a =r ，||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r r r 化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题5．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出；所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D【解析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得. 【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=.故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．483π+D ．144183π+【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为22633()2r =+圆锥的高22(35)3h =-截去的底面劣弧的圆心角为23π，底面剩余部分的面积为221412sin 2323S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得. 【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为22633()62r =+=，圆锥的高22(35)36h =-=，圆锥母线226662l =+=120°，底面剩余部分的面积为2222212212sin 66sin 2493323323S r r πππππ=+=⨯+⨯⨯=+为：11(2493)64818333V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.8．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】因为cos 23sin 2y x x =-2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32ππ. 故选D. 【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5(,]2-∞- B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-【答案】B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率10m-<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意；当0m <时，直线10x my ++=的斜率10m->， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率12AD k m-≤=，解得12m ≤-.综上可得实数m 的取值范围为1(,]2-∞-， 故选：B. 【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题10．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D【解析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） ABC ．32D1【答案】B【解析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，,可求得幂函数为()f x =设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x0=解得01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是c e a===故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 12．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D【解析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->.设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题二、填空题13．()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为__________．【答案】3【解析】分别用1和()2x -进行分类讨论即可 【详解】当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：2266115C C ⨯==；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()16212C -⨯=-；故()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为()216623C C +-=.故答案为：3 【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC V 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC V边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC V 的面积为________．. 【解析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以4S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.15．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为________．【答案】3.【解析】先求圆的半径, 四边形MACB 的最小面积S ∈,转化为MBC S △的最小值为22MBC S ∈△，求出切线长的最小值min MB ∈,再求MC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解得k 的取值范围,利用几何概型即可求得概率． 【详解】由圆的方程得22(1)1x y ++=，所以圆心为(0,1)-，半径为1r =，四边形的面积2MBC S S =△，若四边形MACB的最小面积S ∈，所以MBC S △的最小值为,]22MBC S ∈△，而12MBCS r MB =△，即MB的最小值min MB ∈，此时MC 最小为圆心到直线的距离，此时d=，因为0k >，所以k ∈，所以[1,4]k ∈【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点.给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为；③若3AC =，4BC =，SC =S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】①②③【解析】对①，由线面平行的性质可判断正确；对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解； 对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解； 对④，由动点分析可知，当P 点与A 点重合时，直线PS 与平面SBC 所成的角最大，结合几何关系可判断错误； 【详解】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥， 所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ， ∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球， ∴222244443R =++=，23R =，∴体积为34(23)3233V ππ==，∴②正确；对于③，设ABC ∆内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ， 则有222SO OC SC +=，又内切圆半径()134512r =+-=， 所以2OC =，222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332ABC V S SO ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，∴③正确；对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的角最大时，P 点与A 点重合，在Rt SCA ∆中，3tan 15ASC ∠==，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒， ∴④不正确，故答案为：①②③. 【点睛】本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()32nn n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）22n n T n +=⋅【解析】（1）结合等差数列下标性质可得465218a a a +==，再由前n 项和公式()11111611111212a a S a +===，即可求解；（2）由（1）()132(1)2nn n n b a n +=+=+，再结合错位相减法即可求解；【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵465218a a a +==，∴59a =，()11111611111212a a S a +===，∴611a =，∴651192d a a =-=-=，∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-. （2）由（1）可知()132(213)2(1)2nnn n n b a n n +=+=-+=+，∴数列{}n b 的前n 项和为2341223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++L ，3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++++L ，两式作差，得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+L()122228128(1)2828(1)2212n n n n n n n n -++++-=+-+=+--+=--，∴22n n T n +=⋅.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前n 项和，属于中档题 18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图.如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”. （1）根据频率分布直方图填写下面22⨯列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P k k ≥0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 k1.3232.0722.7063.8415.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关；（2）分布列见解析，4()25E X =【解析】（1）由频率分布直方表求出男生与女生中书虫、非书虫的人数分别为：12，38和4，46，填写二联表结合2k 表格可以求解；（2）结合题意可知，X 符合超几何分布，结合超几何分布公式求出对应概率，列出分布类，即可求解对应期望； 【详解】（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下22⨯列联表：根据列联表中数据可得：22100(1246438) 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于4.762 3.841>，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关.（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2，则246250207(0)245C P X C ===，11464250184(1)1225CC P X C ===，422506(2)1225C P X C ===， 故X 的分布列为X 的数学期望为20718461964()01224512251225122525E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查频率分布直方表中频数的求解，二联表的填表与计算，离散型随机变量的分布列与数学期望求解，属于中档题19．如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）217【解析】（1）取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，通过线面垂直的性质和菱形对角线性质证明BD AC ⊥，BD OF ⊥即可证明；（2）通过建系法求解，以OE 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF 和平面DFB 的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解； 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，由题意知，EO AB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为OF AC ∥，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .又EF ⊂平面EOF ，所以BD EF ⊥.（2）连结DO ，由题意知EO AB ⊥，⊥DO AB .又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以DO ⊥平面ABE ，又O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()0,0,0O ，()3,0,0E ，330,,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0B ，()0,0,3D ，330,,2DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,0,3DE =-u u ur .设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v ，即33022330y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩， 令1x =，所以131,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r .又由（1）可知EO ⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为()21,0,0n =u u r，设二面角E DF B --的平面角为θ，则121221cos 7||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r .【点睛】本题考查线面垂直的证明，建系法求解二面角的大小，属于中档题20．已知1F ，2F 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，1AF B ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线()220y px p =>的焦点为F 的弦AB 满足2||||||||AF BF AF BF p+=⋅.”那么对于椭圆E ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，实数43λ= 【解析】（1）由题可知，过焦点的三角形1AF B ∆的周长为48a =，求得2a =，再将点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆即可求解； （2）由（1）得()21,0F ，再分直线斜率为0和不为0两种情况作具体讨论，当斜率不为0时，可设直线方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程得出关于y 的韦达定理，222222222211AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF λλ++=⋅⇔=+=⋅，结合前式所求韦达定理进行代换即可求证 【详解】（1）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴1AF B ∆的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴48a =，得2a =，∴椭圆E 的方程为22214x y b+=，将31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆E 的方程可得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）由（1）可知222431c a b =-=-=，得()21,0F ，依题意可知， 当直线l 的斜率为0时，2224AF BF a +==，()()222223AF BF a c a c a c b ⋅=+-=-==，则222243AF BF AF BF λ+==⋅； 当直线l 的斜率不为0时，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理得()2234690my my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，不妨设10y >，20y <，211||AF y y ====，同理222BF y y ==，所以22121111AF BF y y ⎫+==-⎪⎭21121224334y y y y m -====+即22224||||3AF BF AF BF +=⋅，所以存在实数43λ=， 使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，由直线与曲线的位置关系求解与弦长有关的定值问题，韦达定理在圆锥曲线中的应用，转化与化归思想，计算能力，属于难题 21．已知函数()21x f x e-=+.（1）求函数()2f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()()f x y f x y mx ++-≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=；（2）(,2]-∞ 【解析】（1）设()()2221x t x f x e -==+，则()222x t x e -'=，再结合导数的几何意义和点斜式求解切线方程即可；（2）原式等价于222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，经检验，当0x =时，不等式2220y y e e ---++≥，显然成立，当0x >时，设22()2x y x y g x e e +---=++，设22()2x y x y g x e e +---=++，则()g x mx ≥恒成立，通过不等式放缩可得2()22x g x e -≥+，原题转化为222x e mx -+≥，分离参数得222x e m x-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，令222()x e h x x -+=，通过研究()'h x 的正负分析()h x 的增减性确定函数()()min 2h x h =，进而求出参数m 范围； 【详解】（1）设()()2221x t x f x e-==+，则()222x t x e -'=，当1x =时，()22112t e -=+=，()22122t e -'==，∴函数()2f x 在1x =处的切线方程为()221y x -=-，即20x y -=.（2）根据题意可得222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立， 当0x =时，不等式即为2220y y e e ---++≥，显然成立；当0x >时，设22()2x y x y g x e e +---=++，则不等式222x y x y e e mx +---++…恒成立，即为不等式()g x mx ≥恒成立， ∵()22222()22222x y x y x y y x x g x e e e e e e e --------=++=++⨯=+…（当且仅当0y =时取等号）， ∴由题意可得222x emx -+≥，即有222x e m x-+≥对()0,x ∈+∞恒成立， 令222()x e h x x -+=，则()222221(1)1()22x x x xe e x e h x x x ----+--'=⋅=⋅， 令()0h x '=，即有()211x x e--=，令2()(1)x m x x e -=-，则222()(1)x x x m x e x e xe '---=+-=，当0x >时，()20x m x xe-'=>，∴()m x 在()0,+∞上单调递增，又∵22(2)(21)1m e -=-=，∴2(1)1x x e --=有且仅有一个根2x =，当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当2x =时，()h x 取得最小值，为2222(2)22e h -+==，∴2m ≤.∴实数m 的取值范围(,2]-∞.【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，双变量不等式恒成立问题的等价转化，基本不等式的应用，构造函数法，利用导数研究函数的增减性与最值，转化与化归能力，属于难题22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x y t⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）写出直线l 的普通方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）210x -+=，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2. 【解析】(1)利用代入消元法,可求直线l 的普通方程,根据极坐标与直角坐标互化原则可得圆C 直角坐标方程;(2)将直线的参数方程标准化,借助标准参数方程中参数的几何意义,通过直线l 与圆C 联立即可求得12||AB m m =-.【详解】（1）将直线l的参数方程121x y t⎧=⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数)消去参数t ， 可得直线l的普通方程为11)2y x -=-，即210x -+=．由)4πρθ=-，得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+, 得22x y x y +=+，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由121x y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩得122112x m y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数）， 将其代入22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得211024m m +-=， ∴1212m m +=-，1214m m =-， ∴12||AB m m =-====.【点睛】 本题考查参数方程和普通方程互化、极坐标和直角坐标方程互化,考查直线参数的几何意义,难度一般.23．已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式(2)(4)2f x f x -->的解集；（2）当0a >时，不等式()()1f ax af x a ++…恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2{|3x x >或6}x <-；（2）10,[3,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【解析】(1)去绝对值将函数化为分段函数的形式,解分段函数的不等式即可.(2) ()()1f ax af x a ++…恒成立，即求函数[]min ()()f ax af x +根据绝对值不等式的性质可得[]min ()()=|22|f ax af x a +-,故原不等式等价于|22|1a a -+…,计算求解即可.【详解】（1）函数4,1(2)(4)2223,124,2x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪--=+--=-<⎨⎪+⎩„…，当1x <-时，不等式即42x -->，求得6x <-，∴6x <-；当12x -<„时，不等式即32x >，求得23x >，∴223x <<； 当2x ≥时，不等式即42x +>，求得2x >-，∴ 2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2{|3x x >或6}x <-． （2）当0a >时， ()()|2||2||2||2||(2)(2)||22|f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a +=+++=++++-+=-…∵不等式()()1f ax af x a ++…恒成立，∴|22|1a a -+…， ∴221a a -≥+或221a a -≤--，解得3a ≥或103a <≤， ∴实数a 的取值范围为10,[3,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解,主要采用的方法是分类讨论,本题还考查了含参绝对值函数的最值问题,解决问题的方法是利用绝对值不等式的性质进行求解,难度一般.。

第八届湖北省高三(4 月)调研模拟考试数学试卷1. 复数与下列复数相等的是( )A. B.C.D.2. 已知集合，，且全集，则( )A. B. C. D.3. 城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性.在一个周期T 内交通信号灯进行着红绿交替变换东西向红灯的同时，南北向变为绿灯;然后东西向变为绿灯，南北向变红灯用H 表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R 表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S 表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和不考虑黄灯时间及其它起步因素，则S 的计算公式为( )A. B.C.D.4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则( )A. B.C.D.5. 在中，，，且点D 满足，则( )A. B. C.D.6. 已知，则( )A.B. C.D.7. 已知动直线l 的方程为，，，O 为坐标原点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 长度的取值范围为( )A.B.C.D.8. 已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为，且的图象关于原点对称，则( )A. 0B. 3C. 4D. 19. 以下说法正确的有( )A. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为B. 经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点C. 若，，则事件A，B相互独立D. 若随机变量∽，则取最大值的必要条件是10. 已知函数其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有( )A.B. 函数为奇函数C.D. 若，则直线为图象的一条切线11. 已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有( )A. 截面多边形可能是五边形B. 若截面与直线垂直，则该截面多边形为正六边形C.若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行D. 若截面过点，则该截面多边形的面积为12. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有( )A. 抛物线焦点F的坐标为B. 过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C. 在中，若，，则t的最小值为D. 若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则13. 在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则__________.14. 若的展开式中常数项为160，则的最小值为__________.15. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为__________.16. 已知X为包含v个元素的集合设A为由X的一些三元子集含有三个元素的子集组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系.若为一个7阶的Steiner 三元系，则集合A中元素的个数为__________.17. 设数列前n项和满足，证明：数列为等比数列;记，求数列的前n项和18.如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且平面求棱BC的长度;若，且的面积，求二面角的正弦值.19. 在中，D为边BC上一点，，，，求若，求内切圆的半径.20. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标即三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为求每个AI芯片智能检测不达标的概率;人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求若AI芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.21. 已知双曲线的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点异于顶点若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积为坐标原点若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由.22. 已知函数，当时，求函数的最小值;当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，为基础题.【解答】解：，，，故可知B正确.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的并、交、补运算，涉及二次不等式的求解，对数不等式的求解，属于基础题.【解答】解：由题可知：，所以，，故3.【答案】B【解析】【分析】本题考查数学建模问题，属于基础题.【解答】解：东西方向上红灯时间为R，故一个周期内，东西方向上的车辆等待时间的总和为HR，南北方向上红灯时间为，故一个周期内南北方向上的车辆等待时间的总和为，故一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和4.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的性质，正切值的求解，为基础题.解：，，，，，故5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积，向量的模，属于中档题.【解答】解：由题所以6.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，属于中档题.【解答】解：，，即，故，即，故7.【答案】B【解析】【分析】本题考查与圆有关的轨迹问题，考查点与圆的位置关系，为中档题.解：动直线l的方程为，过O点做动直线的垂线，设OQ直线为，联立求得，，则Q的轨迹为圆心为，半径为3的圆上的点，圆的标准方程为：，且点P在圆的内部.此时问题可转化为点P与圆的位置关系，此时，即，故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性，周期性，属于中档题.【解答】解：因为，两边同时求导可得：，即，①令，可得①两边同时求导：，整理得：，因为的图象关于原点对称，所以，，所以，，故9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查百分位数的计算，独立性与条件概率的关系，经验回归方程，独立重复试验的概率计算，属于中档题.【解答】解：A选项：样本数据从小到大依次排列为：2，3，3，4，7，8，10，18，故样本数据的第50百分位数，是，故A正确；B选项：经验回归直线一定过样本中心点，不一定过样本点数据中的点，故B错误；C选项：，故，故事件A，B相互独立，故C正确；D选项：，故当或时，取最大值，故D错误.10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查三角函数的函数性质，考查曲线的切线，为中档题.【解答】解：，又，故得，A错误；函数，故为奇函数，B正确;在恰有两个极值点，其中，则可知，则得，故C正确；若，则，则，，设上的切点坐标为，切线方程可写为：，当时，，切线方程为，故D正确.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查几何体的截面问题，属于中档题.【解答】解：对于由图，截面多边形可能是五边形对于B：与垂直的平面截几何体，截面是三角形或六边形，又过E，F 故必为正六边形对于C：由题过中点，E，F的截面与交与接近的四等分点，可得与截面平行对于D：由正方体的性质，过，EF的截面必定为五边形，设截面与，的交点分别为M，N，则，，，三角形底边MN上的高为：，四边形MEFN底边EF上的高为：截面多边形面积为：12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于难题.【解答】解：A选项：过A点作准线于点Q，则，又F为AD的中点，则，故，抛物线焦点F的坐标为，故A错误；B选项：由A得，，，则，故在点处的切线方程为：，若切线经过点N，则，即切点坐标为，故B正确；C选项：设，若，则，当且仅当，即时等号成立，故t的最小值为，故C正确；D选项：不妨令点A在第一象限，设，则，故，直线AB的方程为，联立直线AB方程与抛物线方程可得：，结合选项B可得：在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，在点M处的切线方程为，联立在A，B两点处切线方程可得：，即同理可得：，所以故，所以即，故，故D正确.13.【答案】【解析】【分析】本题考查正态分布概率的求解，为基础题.【解答】解：，14.【答案】4【解析】【分析】本题考查二项式系数，属于中档题.【解答】解：由题，，当常数项为160时，可得，解得，由，可得的最小值为15.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题.【解答】解：由题知方程即方程有两个相异的正实根，设，则有两个相异的正实根，故函数与的图象有两个交点，又函数与的图象关于对称，则与的图象有两个交点，设，故函数有两个零点，又令则，则在上单调递增，在上单调递减，又当时，当时，故当时，函数有两个零点，综上所述：16.【答案】7【解析】【分析】本题考查集合的新定义，为难题.【解答】解：7阶中元素个数为7个，设为，则7阶的三元子集的集合个数为，若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，不妨先挑选，则三元子集中不能包含：，共12个剔除；再从剩余三元子集中挑选，则剩余三元子集中不能包含：，共8个剔除；接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：，共4个剔除;接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：共3个剔除，接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：，共1个剔除；综上一共剔除28个，此时剩余，均符合题意.则集合A中元素的个数为17.【答案】解：，且，，，，令，可得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列由可得，，【解析】本题考查等比数列的判定，裂项相消求和，属于中档题.18.【答案】取AC中点D，连接ED，BD，为三棱柱，且，四边形DEFB为平行四边形，又平面平面，，又D为AC的中点，为等腰三角形，由知，，，，且且，，，由知平面，，又三棱柱中，又，所以，，平面ABC，平面，所以为直三棱柱，为直角三角形，可求得，又在三棱柱中，，以为坐标原点，向量方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，取，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，， .【解析】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.19.【答案】解：设，，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，，，，，又易知为锐角，，，，，，中，，.又，在中，由余弦定理可得，.设的内切圆半径为r，则，则【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，结合等面积法求解三角形的内切圆半径，为中档题.20.【答案】解：记事件A =“每个AI芯片智能检测不达标”，则由题意，令，则，当，，当，，所以的最大值点 .记事件B =“人工检测达标”，则，又所以，所以需要对生产工序进行改良.【解析】本题考查相互独立事件的概率以及条件概率，属于中档题.21.【答案】解：由题意得，所以，设，，，则作差得又MN的斜率，，所以；，设直线MN的方程为，，，，联立得，所以，所以设直线，所以，所以故直线AN与直线BM的交点G在定直线上.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系及应用，双曲线中的定直线问题，属于较难题.22.【答案】解：，，令，则，当，，当， .所以记，即恒成立，①当时，当，设，，所以在单调递增，且，，故存在唯一的，使得，当，，所以，此时，不合题意.②当时，若，则，所以恒成立，即成立，符合题意.，，设，单调递增，且，，所以存在唯一使，当时，，当，，又，，故存在唯一，使故，，，，又，，所以时，，，即恒成立.综上，【解析】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立的条件，从而求得a的取值范围.。

湖北省黄冈市2014年4月高三模拟考试理科数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1． 在复平面内，复数212iz i=-+的共轭复数的虚部为A ．25B ．25-C ．25i D ．25i -2． 下列命题正确的是A ．存在x 0∈R ，使得00x e ≤的否定是：不存在x 0∈R ，使得00x e >；B ．存在x 0∈R ，使得2010x -<的否定是：任意x ∈R ，均有2010x ->C ．若x =3，则x 2-2x -3=0的否命题是：若x ≠3，则x 2-2x -3≠0.D ．若p q ∨为假命题，则命题p 与q 必一真一假3． 若一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |-2<x <1}，则f (2x )>0的解集为A ．{x | x <-2或x >0}B ．{x | x <0或x >2}C ．{x |x >0}D ．{x |x <0}4． 将函数y =sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到的图象关于y轴对称，则φ的一个可能的值为A ．4π-B ．4πC ．34πD ．34π-5．已知点M 是⊿ABC 的重心，若A =60°，3AB AC ⋅=，则AM 的最小值为A 3B 2C 26D ．2 6． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为A ．83π B ．163π C ．483π D ．643π7． 若实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=2，则xy +yz +zx 的取值范围是A ．[-1，2]B ．[1，2]C ．[-1，1]D ．[-2，2]8． 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A ．425B ．825C ．1625D ．24259． 已知F 2、F 1是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 210．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为A ．[1，+∞)B ．(1，+∞)C ．[0，+∞)D ．(0，+∞)二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a=________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150)，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在[140，150)内的学生中选取的人数应为________.12. 数列{a n}满足a n=n，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n=5，a n=n，x=2的值，则输出的结果v=_______.13．若变量x、y满足约束条件：215218327*x yx yx yx,y N+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪∈⎩≥≥≥，则z=x+y+3的最小值为______.14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是________；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是________.（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答）15.（选修4-1：几何证明选讲）已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，若∠ACB=20°，则∠AFD=_______.16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则曲线C上点到直线12x ty t=-+⎧⎨=⎩(t为参数)距离的最大值为______. ACCCB DACCD11、0.030，212、12913、1514、3 402715、45°16、5 25 +三、解答题（本大题共6小题，共75分）17.（本小题满分12分）在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C =cosC . （1）求角C ；（2）若b =2a ，⊿ABC 的而积S =32sinA ·sinB ，求sinA 及边c 的值。

湖北省黄冈中学4月份模拟考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量)1,(-=a a 的模为5，则实数a 的值是（ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1或－22．在等比数列{n a }中，=+-=-=>543412,9,1,0a a a a a a a n 则且 （ ）A ．16B ．27C ．36D ．813．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点B （ααsin ,cos ）的距离为1的α的一个值是 （ ）A ．12π B ．6π C ．3π-D ．4π-4．已知偶函数),0(||log )(+∞+=在b x x f a 上单调递减，则)1()2(+-a f b f 与的大小关系是 （ ）A ．)1()2(+<-a f b fB ．)1()2(+=-a f b fC ．)1()2(+>-a f b fD ．无法确定的5．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这一正四面体某顶点到其相对面的距离是 （ ）A ．36B ．35 C ．33 D ．32 球的表面积公式 24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径6．已知),()1,1(m m B m m A 与点+-关于直线l 对称，则直线l 的方程是 （ ）A ．01=-+y xB ．01=+-y xC ．01=++y xD ．01=--y x7．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则这一双曲线的离心率是（ ）A ．25 B ．23 C ．3D ．58．如图，某电路中，在A 、B 之间有1，2，3，4四个焊接点，若焊 接点脱落，则电路不通. 则可能出现的使A 、B 之间的电路不通的 焊接点脱落的不同的情况有 （ ） A ．4种 B ．10种 C ．12种 D ．13种9．设=-+-+-=++++=-n nn n n a a a a n x a x a x a a x )1(,4,)3(2102210ΛΛ则若（ ）A ．256B ．136C ．120D ．1610．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到点A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是 （ ）A ．4bB ．)(2c a -C ．)(2c a +D ．a 411．已知不等式0)3(log 1<<-x x 成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．)1,33(B ．)33,0( C ．)1,31(D ．)33,31( 12．已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）A ．354B ．483C ．336D ．324第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把各题的结果直接填在各题中的横线上. 13．有一个简单的随机样本：6，10，12，9，14，15，则样本平均数x . 14．设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是 . 15．函数)632cos(32sinπ++=x x y 的图象中相邻两条对称轴的距离是 . 16．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线2-=x y 上，现将抛物线沿向量a 进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线2-=x y 移到点)24,2(+a a 处，则在平移中抛物线的顶点移动的距离d= .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知非钝角ο60,=∠∆B ABC 中，边AB 的长减去BC 的长等于AC边上的高，若A C sin sin -和分别是方程04322=-+-m mx x 的两个根，求实数m 和角A 、C 的值.18．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f +-=331)(在y 轴上的截距为1，且在曲线上一点P ),22(0y 处的切线斜率为31，求这一切线方程，并求该函数的极大值和极小值.19．（本小题满分12分）已知函数}1220|{,log 2a a a a x y a -<∈=其中.（1）判断函数x y a log =的单调性；（2）若命题|)2(|1|)(:|x f x f p -<为真命题，求实数x 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：（1）异面直线PM与FQ所成的角；（2）四面体P—EFB的体积；（3）（附加题，满分5分，全卷总分不超过150分）异面直线PM与FQ的距离.21．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }前四项的和为60，第二项与第四项的和为34，等比数列{n b }的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90. （1）求数列{n a }、{n b }的通项公式；（2）对一切正整数n ，是否存在正整数p ，使得2n p b a ？无论存在与否，都请给出证明.22．（本小题满分14分）有如下命题：已知椭圆A A y x '=+,14922是椭圆的长轴，),(11y x P 是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点斜率为1194y x -的直线l ，若直线l 上的两点M 、 M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′，则（1）|AM||A ′M ′|为定值4；（2）由A 、A ′、 M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为12.请分析上述命题，并根据上述问题对于椭圆)0(12222>>=+b a by a x 构造出一个具有一般性结论的命题. 写出这一命题，并判断这一命题的真假.湖北省黄冈中学2004年4月份模拟考试数学试题（文）参考答案1．C （解得5)1(22=-+a a ）2．B （即))(,3,9)(435421221q a a a a q a a q a a +=+=∴=++）3．C （|AB|=1|2sin|2)sin 2(sin )cos 2(cos 22==-+-ααααα）4．A （必有b=0，且012),2()2(,10>+>=-<<a f b f a 而）5．A （即求棱长为1的正四面体的高，))33()23(22-∴为） 6．B （直线与AB 垂直，且过AB 的中点，故得)212,212(,11+-=m m k 且过点） 7．A （渐近线方程是a k y kx 再求由此得,41,022==-、)c 8．D （1号接点脱落，有23种情况；1号接点正常，2号脱落有22种情况；1号、2号接点正常，3、4号接点都脱落有1种情况）9．A （在展开式中令44321041=+-+--=a a a a a x 得）10．D （由椭圆的第一定义得4a ）11．D （必有1312,102>>+<<x x x 且）12．A （6,)2332()2(222=∴⨯=-a a a R ）13．11 )61514912106(+++++即14．2 （设中截面面积是S ，则))21(82=S15．π23（)32222),332sin(2cos 2332sin 21⨯=∴+=+=ππT x x x y16．,2,2224(26-=-=+=a a a l 得由∴平移后抛物线的焦点为F （－4，－6），又（)0,2p在4,2=∴-=p x y 上，由此可以求得平移公式为⎩⎨⎧-='-=';6,6y y x x 代入原方程得平移后的抛物线方程是)6(8)6(2+=+x y ，其顶点坐标为（－6，－6）） 17．设△ABC 的AC 边上的高为h ，由∠B=60°，且三角形是非钝角三 角形，ChBC A h AB sin ,sin ==∴，依题意得AB －BC=h ， ∴A C A C A C h Ch A h sin sin ,sin sin sin sin ,sin sin -=-=-和又故得是方程4322-+-m mx x =0的两个根，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-∴;43)sin (sin ;sin sin 2m A C m A C 243m m -=∴，即),0sin sin ,23(21,03442故舍去由对>-==∴=-+A C m m m m此时方程为021212=--x x ，它的两个根是,12121=-=x x 和,1sin =∴C ,21sin =A即有οο90,30==C A18．依题意，,)(,1,1)0(2a x x fb f -='=∴=Θ又 由已知,61,31)22(=∴='a f,11122122)22(,16131)(03=+-==+-=∴f y x x x f ∴所求的切线方程是 ,66,061)(,02662),22(3112±==-='=-+--=-x x x f y x x y 得令即0)(66,0)(6666,0)(,66>'><'<<->'-<x f x x f x x f x 时当时当时当Θ ∴函数)(x f 有极大值 ,1546)66(+=-f 极小值.5461)66(-=f 19．（1）x y a a a a a a a a log ,102,02012},1220|{22=∴<<<+-∴-<∈函数即Θ是增函数；（2）10,0,1|2log ||log ||)2(|1|(|<<><+-<x x x x x f x f a a 当必有即，,12log ,12log log ,0log <∴<+-<a a a a x x x 不等式化为这显然成立，此时,12log log ,0log ,1;1;10<+≥≥≥<<x x x x x x a a a 不等式化为时当当 ;21,2,12log a x a x x a <≤<<∴此时故综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是{}20|a x x << 20．（1）将已知图形以AD 、DC 、DM 为相邻的三条棱补成如图所示的正方体，易知BF//MP ，连结BQ ，则∠QFB 即为异面直线PM 与FQ 所成的角，由正方体的性质知△BFQ 是直角三角形，由即所求的知,30,2221ο=∠==QFB a BF BQ为30°； （2）由于DP=PE ，所以四面体P —EBF 的体积等于四面体D —EBF 的一半，所以所求的体积V=;63121)4(2133a a V V BDE A =⨯=--正方体 （3）由（1）异面直线PM 与FQ 的距离即为MP 到平面BFQ 的距离，也即M 点到平面BFD 的距离，设这一距离为d ，,23a BC S d S V V DCF DBF DCF B DBF M ===--有 而2)2(43a S BDF ==.33232,23232a a a d a ==∴ 21．（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，等比数列的首项为1b ，公比为q ，依题意有n n n b n a q b d a q b q b q q b d a d a d a 3,54;3,3;4,9;90,1201)1(;3)3()(,602)14(441131141111=+=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=--⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+解得 （2）由（1）=-+=--==+=5)18(59,459,954,92n n n n nn p p b 而得令,,51)888(1110*--∈-++++N n C C C n n n n n n 由于Λ 459≥-∴n ，且上式小括号中的数为8的倍数，故对于一切正整数n ，使得2n p b a =的正整数p 总存在.22．这一命题是：已知A A b a by a x '>>=+),0(12222是椭圆的长轴，),(11y x P 是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点作斜率为1212y a x b -的直线l ，若直线l 上的两点M 、M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′则（1）|AM||A ′M ′|为定值2b ；（2）由A 、A ′、M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为ab 2，这一命题是真命题，证明如下：（1）不防设)0,(a A -、)0,(a A '由点斜式得直线l 的方程是),(112121x x y a x b y y --=-即221212b a y y a x x b =+，由射影的概念知M 与A 、M ′与A ′有相同有横坐标，由此可得⨯+==''∴-'+-'1112211221122|||||||),,(),,(y a x b ab y y M A AM ay x b ab a M ay x b ab a M M M22122122221122|||b y a x b b a b ay x b ab =-=-；（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积|)|(|||21M A AM A A S ''+'=，||,2||AM a A A 且='Θ、||M A ''都为正数， |)||(|||21M A AM A A S ''+'=∴ab M A AM a M A AM a 2)||||2(|)||(|=''≥''+=，即四边形的面积的最小值为2ab .。

湖北省黄冈中学2018届高三五月模拟考试数学（理工类）本试题卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★命题：潘际栋审稿：张智校对：尚厚家注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2．已知命题p ：,x R $?使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ） A ．,x R $?使1sin 2x x =成立 B ．,x R "?1sin 2x x <均成立C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．7124．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n 边形*(3,)n n N ≥∈内的概率为n P下列论断正确的是（ ）A ．随着n 的增大，n P 增大B ．随着n 的增大，n P 减小C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，nP 先减小后增大5．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是（ ）A ．43πB ．23πC ．3π D ．2π 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,(,n m n mS S m n N m n==∈且)m n ≠，则下列各值中可以为n m S +的值的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知变量,x y 满足不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y z =+的最小值为( )A ． 52B ．2 C． D．8．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P α∈，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 10．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα=C ．2sin 22sin βββ=-D ．2cos22sin βββ=-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为12．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=， 则a b ⋅的最大值为 ．13．过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF = ． 14．已知数列A ：123,,,,n a a a a *(3)n n N ≥∈，中，令{}*|,1,,A i j T x x a a i j n i j N ==+≤<≤∈，()A card T 表示集合A T 中元素的个数．（1）若:1,3,5,7,9A ，则()A card T = ；（2）若1i i a a c +-=（c 为常数，且0c ≠，11i n ≤≤-）则()A card T = ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知圆O 的半径为3， 2PA =，则CE =______． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos ,(13sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），以ox 为极轴建立极 坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6πρθ+=则圆C 截直线l 所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式并标出其定义域；（2）设()6()1g x mf x =+，若()g x 的值域为3(1,]2，求实数m 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，把它们编号，利用随机数表法抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15],(15,25],(25,35]，(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图，如图所示． （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）设θ为直线1C N 与平面1CNB 所成的角，求sin θ的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP //平面CNB 1 ，求BPPC的值．（第19题图） （第20题图）20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，当2k =时， 23S =； 当3k =时，34S =．AN11（1）试求数列{}n a 的通项；（2）设若[]x 表示不大于x 的最大整数（如[2.10]2,[0.9]0==）， 求22222[log 1][log 2][log 3][log (21)][log (2)]nna a T =+++-+关于n 的表达式．21． (本小题满分13分)已知,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列． （1）求椭圆C 的方程；求12S S（2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 的取值范围．22．（本小题满分14分）设()x g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的最值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()11g x a x--<成立；（3）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．2018年届湖北省黄冈中学五月模拟试题1．【答案】D 2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 3．【答案】A【解析】12334100111()()()|3412S x x d x x x =-=-=⎰ 4．【答案】A【解析】22122sin sin22n nr n n n P r ππππ==,设()2sin f x x x π=,可知 ()222'sin cos f x x x x πππ=-,可[3,4]x ∈时()222'sin cos 0f x x x xπππ=->,当(4,)x ∈+∞时, ()222'costan 0f x xx x πππ⎛⎫=->⎪⎝⎭,故n P 在*3()n n N ≥∈时单调递增.5．【答案】B【解析】由条件可得121252,2(,)33m k n k k k N ππππ=+=+∈，则124|||2()|3m n k k ππ-=--，易知121k k -=时min 2||3m n π-=6．【答案】D【解析】由已知，设2n S An Bn =+，则22()1()1n m n S An Bn An B m m m Am B n S Am Bm n ⎧=+=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=+=⎪⎩两式相减得，()0B m n -=，故10,B A mn==。

湖北省黄冈中学2019届高三适应性考试数学试题（理）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|20,{1,0,1,2,3}M x x x N =-->=-，则MN =（ ）A. {0,1}B. {3}C. {1,0,1,2,3}-D. {0,1,2,3}【答案】B【解析】由题得M ={x |x ＞2或x ＜-1}, 所以M ∩N ={3}. 故选：B2.若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 则（ ）A. 1212,m m n n <<B. 1212,m m n n <>C. 1212,m m n n ><D. 1212,m m n n >>【答案】C【解析】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知： 甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 得12m m >，12n n <． 故选：C ． 4.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425 B.4825C. 1D.1625【答案】A【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264c o s 2s i n 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 5.运行下图程序框图，则输出框输出的是（ ）A.12B. -1C. 2D. 0【答案】A【解析】n =1,x =12,1≤2019，x =1-2=-1,n =2,2≤2019，x =1+1=2,n =3,3≤2019，x =1-11=22,n =4, 所以由x 组成的数列的周期为3， 2019=673×3， 所以输出的是12. 故选：A6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线离心率为（ ）A.5B.32C.D.2【答案】A 【解析】圆22:650C x y x +-+=的圆心(3,0)C ，半径2r =∴双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点坐标为(3,0)，即3c =，229a b ∴+=，①双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，C ∴2=②由①②解得：25a =，24b =，所以29c =∴该双曲线的离心率为e ==故选：A ．7.设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，且满足()2f x …的x 的取值范围是（ ）A. [1,2]-B. [0,2]C. [1,)+∞D. [0,)+∞【答案】D【解析】当1x ≤时，122x -≤的可变形为11,0x x -≤≥，∴01x ≤≤．当1x >时，21log 2x -≤的可变形为12x ≥，∴1x >， 故答案为[0,)+∞． 故选D ．8.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P QEF -的体积D. △QEF 的面积 【答案】B【解析】将平面QEF 延展到平面11CDA B 如下图所示，由图可知，P 到平面11CDA B 的距离为定值.由于四边形11CDA B 为矩形，故三角形QEF 的面积为定值，进而三棱锥P QEF -的体积为定值.故A ，C ，D 选项为真命题，B 为假命题.9.湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ）A.12B.18C.14D.16【答案】C 【解析】 分析】基本事件总数122412n C C ==，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数 133m C ==，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数122412n C C ==， 在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==， ∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为31124m p n ===． 故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A.B.C. 7+D. 【答案】D【解析】设椭圆上点Q (,)x y ，则221010x y =- ，因为圆22(6)2x y +-=的圆心为0,6（），2==≤所以P 、Q两点间的最大距离是=【11.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且23()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A. 56x π=B. 712x π=C. 3x π=D. 6x π=【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为12x k πϕπ-=+12x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ-=23k πϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k k ππϕπππ=++=-+(12,k k N ∈) 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，对任意不相等的实数1x 和2[0,)x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式(2ln 3)2(3)(2ln 3)f mx x f f mx x --≥--++在[1,3]x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A. 1ln 6,12e 6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 1ln 6,2e 3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C. 1ln 3,2e 3⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D. 1ln 3,12e 6⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】∵函数()f x 满足()()f x f x -=， ∴函数()f x 为偶函数．又()()()()()2ln 3232ln 3232ln 3f mx x f f mx x f f mx x --≥--++=---，∴()()22ln 323f mx x f --≥， ∴()()2ln 33f mx x f --≥．由题意可得函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减． ∴[]2ln 331,3mx x x --≤∈对恒成立， ∴[]32ln 331,3mx x x 对-≤--≤∈恒成立，即ln ln 622x x m x x+≤≤[]1,3x ∈对恒成立． 令[]ln (),1,32x g x x x =∈，则21ln ()2xg x x -'=， ∴()g x 在[]1,e 上单调递增，在(,3]e 上单调递减，∴max 1()()2g x g e e==． 令[]ln 6(),1,32x h x x x +=∈，则25ln ()02xh x x--'=<， ∴()h x 在[]1,3上单调递减，∴min 6ln 3ln 3()(3)166h x h +===+． 综上可得实数m 的取值范围为1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．选D ． 二、填空题。

湖北省黄冈中学2024届中考适应性考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A ．水涨船高B ．守株待兔C ．水中捞月D ．缘木求鱼2．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，一次函数y ＝x ﹣1的图象与反比例函数2y x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上，若AC ＝BC ，则点C 的坐标为（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（0，3）4．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac ＜1；②a+b=1；③4ac ﹣b 2=4a ；④a+b+c ＜1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个6．﹣18的相反数是（）A．8 B．﹣8 C．18D．﹣187．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm8．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）A．6B．6 C．2D．39．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，tan∠ABC=34，EF=，则AB的长为（）A 533B536C．1 D17210．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A ．中位数是4，平均数是3.75B ．众数是4，平均数是3.75C ．中位数是4，平均数是3.8D ．众数是2，平均数是3.8 11．计算232332x y x y xy ⋅÷的结果是（ ）．A ．55xB ．46xC ．56xD ．46x y12．﹣3的相反数是（ ）A ．13- B ．13 C ．3- D ．3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ．14．函数y ＝1x +的自变量x 的取值范围为____________．15．在□ABCD 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以BA 长为半径作弧，交BC 于点E ；②分别以A ，E 为圆心，大于12AE 的长为半径作弧，两弧交于点F ；③连接BF ，延长线交AD 于点G . 若∠AGB =30°，则∠C =_______°.163______ ．172633+=________. 18．计算：21m m ++112m m++=______． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．20．（6分）观察下列各式：①()()2111x x x -+=- ②()()23111x x x x -++=-③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 21．（6分）已知：如图，在矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 3=，翻折矩形纸片，使点A 落在对角线DB 上的点F 处，折痕为DE ，打开矩形纸片，并连接EF ．()1BD 的长为多少；()2求AE 的长；()3在BE 上是否存在点P ，使得PF PC +的值最小？若存在，请你画出点P 的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22．（8分）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台． 求甲、乙两种品牌空调的进货价； 该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-，且与y 轴交于点()B 0,1-，点P 为抛物线上一点．()1求抛物线的表达式；()2若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q.如果OP OQ =，求点Q 的坐标．24．（10分）在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.表示出所有可能出现的结果；小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.小黄想要在游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.25．（10分）解方程组3{3814 x yx y-=-=26．（12分）如图，AE∥FD，AE=FD，B、C在直线EF上，且BE=CF，（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．27．（12分）如图，已知与抛物线C1过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）.（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点P，D 为第四象限内的一点，若△CPD 为等腰直角三角形，求出 D 点坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选B．考点：随机事件.2、D【解题分析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．详解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选D．点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．3、B【解题分析】根据方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即可解决问题．【题目详解】由1{2y xyx=-=，解得21xy=⎧⎨=⎩或12xy=-⎧⎨=-⎩，∴A（2，1），B（1，0），设C（0，m），∵BC=AC，∴AC2=BC2，即4+（m-1）2=1+m2，∴m=2，故答案为（0，2）．本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组等知识，解题的关键是会利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题．4、C【解题分析】①根据图象知道：a＜1，c＞1，∴ac＜1，故①正确；②∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴x="-b/2a" ="1/2" ，∴a+b=1，故②正确；③根据图象知道：x=1时，y=a++b+c＞1，故③错误；④∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴=1，∴4ac-b2=4a，故④正确．其中正确的是①②④．故选C5、B【解题分析】仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a，b看y2=x+a，y1=kx+b与y轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【题目详解】①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；②∵y2=x+a，与y轴的交点在负半轴上，∴a<0，故②错误；③当x<3时，y1>y2错误；故正确的判断是①．故选B．【题目点拨】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y随x的变化趋势：当k＞0时，y随x 的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.6、C【解题分析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18的相反数是18，故选C．7、C根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【题目详解】A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【题目点拨】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.8、B【解题分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【题目详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第5，（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1，则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．故选B．9、B【解题分析】由平行四边形性质得出AB=CD，AB∥CD，证出四边形ABDE是平行四边形，得出DE=DC=AB，再由平行线得出∠ECF=∠ABC，由三角函数求出CF长，再用勾股定理CE，即可得出AB的长．【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE ，∴AB=DE=CD ，即D 为CE 中点，∵EF ⊥BC ，∴∠EFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠ECF=∠ABC ，∴tan ∠ECF=tan ∠ABC=34，在Rt △CFE 中，tan ∠ECF=EF CF 34，∴根据勾股定理得，，∴AB=12， 故选B ．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线的性质，三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，判断出AB=12CE 是解决问题的关键． 10、C【解题分析】试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有5个人，∴第3个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4， 平均数为：3 3.542 4.55++⨯+=3.1． 故选C ．11、D【解题分析】根据同底数幂的乘除法运算进行计算.【题目详解】3x2y2 x3y2÷xy3＝6x5y4÷xy3＝6x4y.故答案选D.【题目点拨】本题主要考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.12、D【解题分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．【题目详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.【题目点拨】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、5【解题分析】试题分析：根据图形可知圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π（cm），因此圆锥的底面半径为10π÷2π=5（cm），因此圆锥的高为：=5（cm）．考点：圆锥的计算14、x≥－1【解题分析】试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．考点：函数自变量的取值范围．15、120【解题分析】首先证明∠ABG=∠GBE=∠AGB=30°，可得∠ABC=60°，再利用平行四边形的邻角互补即可解决问题.【题目详解】由题意得：∠GBA=∠GBE，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBE=30°，∴∠ABC=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°-∠ABC=120°，故答案为：120.【题目点拨】本题考查基本作图、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识16、2【解题分析】试题分析：设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．解：如图所示,在Rt△AOG中,OG3,∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°3÷32=2；故答案为2.点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系. 解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.173【解题分析】3【题目详解】解：原式233【题目点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18、1.【解题分析】利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.【题目详解】解：原式=12112121m m m m m +++==++. 【题目点拨】本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、吉普车的速度为30千米/时.【解题分析】先设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时，列出方程求出x 的值，再进行检验，即可求出答案．【题目详解】解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为15x 千米/时. 由题意得：1515151.560x x -=. 解得，x=20经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.答：吉普车的速度为30千米/时.点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．20、x n+1-1【解题分析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得． 试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．故答案为11n x +-.考点：平方差公式．21、（1）DB 5=；（2）AE 的长为32；（1）存在，画出点P 的位置如图1见解析，PF PC +的最小值为 5055． 【解题分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）设AE =x ，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（1）延长CB 到点G ，使BG =BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【题目详解】（1）∵矩形ABCD ，∴∠DAB =90°，AD =BC =1．在Rt △ADB 中，DB 2222345AD AB =+=+=．故答案为5；（2）设AE =x ．∵AB =4，∴BE =4﹣x ，在矩形ABCD 中，根据折叠的性质知：Rt △FDE ≌Rt △ADE ，∴FE =AE =x ，FD =AD =BC =1，∴BF =BD ﹣FD =5﹣1=2．在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得FE 2+BF 2=BE 2，即x 2+4=（4﹣x ）2，解得：x 32=，∴AE 的长为32； （1）存在，如图1，延长CB 到点G ，使BG =BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，则点P 即为所求，此时有：PC =PG ，∴PF +PC =GF ．过点F 作FH ⊥BC ，交BC 于点H ，则有FH ∥DC ，∴△BFH ∽△BDC ，∴FH BF BH DC BD BC ==，即2453FH BH ==，∴8655FH BH ，==，∴GH =BG +BH 621355=+=．在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得：GF 2222218505555GH FH =+=+=（）（），即PF +PC 505 【题目点拨】本题考查了四边形的综合题，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握设未知数列方程的思想．22、（1）甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；（2）当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元【解题分析】（1）设甲种品牌空调的进货价为x 元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x 元/台，根据数量=总价÷单价可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）设购进甲种品牌空调a 台，所获得的利润为y 元，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y 关于a 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【题目详解】（1）由（1）设甲种品牌的进价为x 元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x 元，由题意，得 ()720030002120%xx =++， 解得x=1500，经检验，x=1500是原分式方程的解，乙种品牌空调的进价为（1+20%）×1500=1800（元）. 答：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；（2）设购进甲种品牌空调a 台，则购进乙种品牌空调（10-a ）台，由题意，得1500a+1800（10-a ）≤16000，解得 203≤a ， 设利润为w ，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a ）=-700a+17000，因为-700<0，则w 随a 的增大而减少，当a=7时，w 最大，最大为12100元.答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.【题目点拨】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于x 的分式方程；（2）根据总利润=单台利润×购进数量找出y 关于a 的函数关系式．23、()1为2y x 2x 1=+-；()2点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．【解题分析】()1依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点B 的坐标代入线22y x x c =-+可求得c 的值,即可求得抛物线的表达式；()2由平移后抛物线的顶点在x 轴上可求得平移的方向和距离，故此4QP =，然后由点QO PO =，//QP y 轴可得到点Q 和P 关于x 对称，可求得点Q 的纵坐标，将点Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q 的坐标．【题目详解】()1抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-， b x 12a ∴=-=-，即b 121-=-⨯，解得b 2=． 2y x 2x c ∴=++．将()B 0,1-代入得：c 1=-，∴抛物线的解析式为2y x 2x 1=+-．()2抛物线向下平移了4个单位．∴平移后抛物线的解析式为2y x 2x 5=+-，PQ 4=．OP OQ =，∴点O 在PQ 的垂直平分线上．又QP //y 轴，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的纵坐标为2-．将y 2=-代入2y x 2x 5=+-得：2x 2x 52+-=-，解得：x 3=-或x 1=． ∴点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q 与点P 关于x 轴对称，从而得到点Q 的纵坐标是解题的关键．24、（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析【解题分析】（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可；（2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可.【题目详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种； （1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，∴在规划1中，P （小黄赢）59=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=. ∵5499>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【题目点拨】考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.25、21x y =⎧⎨=-⎩【解题分析】解：由①得③ 把③代入②得把代人③得∴原方程组的解为26、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题分析】（1）根据平行线性质求出∠B =∠C ，等量相减求出BE =CF ，根据SAS 推出两三角形全等即可；（2）借助（1）中结论△ABE ≌△DCF ，可证出AE 平行且等于DF ，即可证出结论.证明：（1）如图，∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C ．∵BF =CE∴BE =CF∵在△ABE 与△DCF 中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．27、（1）y = x2-2x-3，（2）D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 )【解题分析】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入即可求出解析式; （2）根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标. 【题目详解】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入得-3=a×（-3）×1 解得a=1，∴解析式为y= x2-2x-3，（2）如图所示，对称轴为x=1，过D1作D1H⊥x轴，∵△CPD为等腰直角三角形，∴△OPC≌△HD1P，∴PH=OC=3，HD1=OP=1，∴D1（4，-1）过点D2F⊥y轴，同理△OPC≌△FCD2,∴FD2=3，CF=1，故D2（3，- 4）由图可知CD1与PD2交于D3,此时PD3⊥CD3，且PD3=CD3，PC=22，∴PD3=CD3=513=10故D3 ( 2，- 2 )∴D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 ) 使△CPD 为等腰直角三角形.【题目点拨】此题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.。

湖北省黄冈中学2020年高考适应性考试模拟卷（一）数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．B ． C ． D ．2．复数5iz i=+上的虚部为（ ） A ．526B ．526iC ．526-D ．526i -3．已知0a >且1a ≠，若log (1)log 0a a a +<<，则2log 9a ，log πa ，2a a 的大小关系为（ ） A ．22log πlog 9a a a a << B ．22log πlog 9a a a a << C ．22log log π9a aa a << D ．22log log π9a aa a << 4．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程A B =I {}12 x x -≤≤{}1,0,1,2-{}2,1,0,1,2--{}0,1,2x =确定x ）A ．3B C ．6D ．5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165B ．185C ．10D ．3256．函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A ．3-B ．13C ．12-D ．29．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是 A ．5 B ．7 C ．9D ．310．已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．－1,1)11．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．1012．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。