高中数学必修四《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。

向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。

向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。

向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。

在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。

本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。

通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。

二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。

4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。

平面向量的实际背景及基本概念教材分析本节课的内容是选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修4）第二章第一节”平面向量的实际背景及基本概念”．向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用.平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的力，位移，速度，加速度等矢量概念的基础上，进一步对向量的深入学习. 为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。

二、课标的分析《课程标准》的表述与《教学大纲》的要求对比《课程标准》的表述——通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.《教学大纲》的要求——理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量.可以看出，《课程标准》注重了概念的产生及发展形成的过程，更关注相等向量，对向量的几何表示在要求上有所降低.所以我将本节课的教学目标确定为：1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性.2 . .理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量.4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点三、学情分析1、学生的知识、技能的基础。

学生通过本节的学习，让学生感受向量的概念，方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。

2、学生认知心理特点及认知发展水平。

高一学生对于物理向量有一定的了解，因此创设教学情境，激发学习兴趣显得尤为重要，但学生的动机水平往往较低，意志力不强，学习主动性还有待于调动。

3、学生的社会背景。

我们的学生数学的学习基础较差，没有形成好的学习习惯，还有的初中没有培养成良好的数学思维，给教学上带来一定困难。

在教学中要多注重培养学生良好的数学思维。

四、教学目标的设计知识与技能：了解向量的物理背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

平面向量的实际背景及基本概念教学设计一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4（必修）》（人教A版）第二章第一节的第一课时《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有及其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题因此，它在整个高中数学的地位是非常重要的本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量的两个属性：大小和方向，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．二．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1 通过位移的实例分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念及向量相等的含义，理解向量的几何表示2 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．三．教学重难点1 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示2难点：向量的概念和共线向量的概念四．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】同学们被外国人誉为中国的“新四大发明”是什么？设计意图：教师提出一个生活中的热点问题，激发学生学习兴趣，为下一步引出物理现象作铺垫【问题2】运用物理学的哪个量，可以解释路径不同，但是最终都能从南宁到达福州这一现象？追问1：这个物理量有什么特点？师生活动：教师通过图片演示两条不同从南宁到福州的路径，学生认真观察现象并进行思考，教师组织学生交流设计意图：进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知，为向量概念的引出作准备；（二）概念形成【问题3】大家能否举出一些既有大小，又有方向的量请举例说明。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。

2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。

3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。

2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。

3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。

4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。

5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。

6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。

7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。

2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。

3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。

四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。

2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。

3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。

五、教学资源：1. 教案、PPT课件。

2. 几何图形和物理情境的图片或视频。

3. 练习题和案例分析题。

4. 小组讨论和报告的评价标准。

六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。

2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。

七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。

2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。

3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。

4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。

高中数学必修4《平面向量的实际背景及基本概念》教案
教学目标
o 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
o 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
o 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学过程
(一)向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

(二)(教材P74面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答：(7个问题一次出现)
1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
课后小结
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示;
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

平面向量的实际背景及基本概念北京市第二中学范方兵一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时（2.1）《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁．在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的.本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用.另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．因此，我认为本节课的教学重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量的概念.二. 学生学情分析学生在物理中已经学习了力、位移、速度等矢量的概念，认识到一些既有大小，又有方向的量，也能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础.学生在之前也学习了实数的概念及实数的运算，也学习了直线平行等知识，这都为本节课的学习作了一定的准备．北京二中是北京市示范高中，我所任教的班级学生基础比较扎实，思维有一定的灵活性.但对于向量的学习，其研究内容和研究方法都是陌生的，学生的严谨性和深刻性仍需培养．本节课的教学难点是：研究向量的基本方法.三．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1. 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3. 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．四．教学策略分析为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我采用引导启发的教学方式，通过“创设情境，引入课题——问题引领，逐步探究——阅读课本，巩固练习——归纳小结，延伸课堂”这些环节循序渐进地将问题逐步引向深入，从而完成本节课的目标．为了让学生体会引入向量的必要性，我提出一个生活中有关物理的问题，让学生直观感知，引导学生思考，并和学生一起完成一个试验，进行操作确认，最后利用TI图形计算器来进行理论分析，在这个过程中让学生体会到，我们不仅要关心力的大小，还要关心力的方向，从而为引入向量的概念作准备．在向量的表示、零向量和单位向量、相等向量、共线向量等概念的形成过程中，不急于得到结论，而是让学生充分利用向量的物理背景和几何背景，通过作出力的图示，在正六边形中画出一些具体的向量，在丰富的实例中进行概括.并且教师利用投影，图形计算器，自制教具等进行教学，让演示更直观，让探究更便捷，从而帮助学生进行理解.五．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】晾衣服的绳可不可以拉成一条直线？如果可以，那我们就可以晾更多的衣服了.师生活动：教师提出问题，并引导学生思考.设计意图：教师提出一个生活中的实际问题，学生进行直观感知、猜想、思考，激发学生学习兴趣，为下一步引出试验作铺垫.【课堂活动】师生分别握住一根绳子的一端，中间系一个重物.开始的时候，将绳的两端接近，将重物抬起，慢慢将绳的两端离远一点，将重物抬起，感受一下绳作用在手上的力的变化.师生活动：教师和学生一同演示试验，学生认真观察试验现象并进行思考，教师组织学生交流.设计意图：1.通过试验操作，进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知到操作确认的过程；2.让学生初步体会到在这个试验过程当中，起决定作用的不仅只有力的大小，还有力的方向，为向量概念的引出作准备；3.通过试验，让学生对现象背后的原理产生浓厚的兴趣，为进一步利用图形计算器进行探究作铺垫.【课堂活动】学生利用图形计算器对试验中涉及到的力的分析进行探究.师生活动：教师将课件发到学生的图形计算器上，学生利用课件进行探究，教师演示同学们的操作过程，并组织学生交流.设计意图：1.利用图形计算器进行探究，让学生完整经历由生活经验到试验操作确认，再到严谨的理论分析，提高学生分析问题解决问题的能力；2.利用动态演示，让学生能直观观察到力的合成情况，从而提高课堂效率，并进一步从理论上认识到在对实际问题的分析中，不仅要关注力的大小，还要关注力的方向.【问题2】大家能否再举出一些既有大小，又有方向的量?生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．师生活动：教师提出问题，学生回答老师提出的问题，由其他同学补充.设计意图：通过设问激活学生已有的相关经验、知识，从丰富的实例中让学生感知概念的本质特征，发现并意识到概念的非本质特征，引导学生提炼、概括向量的本质属性，形成对向量的初步认识，为进一步抽象概括做准备．1.向量的概念回顾学习数的概念，我们从一枝笔，一棵树，一本书中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以从力、位移、速度等这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的研究对象——向量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量叫做数量．（二）问题引领，逐步探究2.向量的表示【问题3】你认为怎样表示一个向量比较合理?【课堂活动】如图是一个放置在水平桌面上的物体，其受到的重力是10N，请作出物体受力的图示.师生活动：教师提出问题，并设计一个课堂活动，学生进行作图练习，教师组织大家讨论，并进行交流，学生之间进行相互补充，在此基础上得出向量的几何表示和字母表示.设计意图：1.让学生通过作图，回顾物理中是如何表示力的，进而让学生进一步体会到向量的实际背景，自觉接受向量的几何表示；2.字母表示是比较抽象的，通过回忆初中平面几何的学习中是如何表示一条线段、一条直线的，实数的学习中是如何表示一个实数的，让学生在已有的基础之上受到启发，得到向量的字母表示，并理解字母表示的抽象性；3.通过对向量的几何表示和字母表示的探讨，让学生体会从大小和方向两个角度来思考向量的问题，体会到几何表示突出向量“形”的特征，而字母表示有利于我们进行表达，为后续学习作准备.3. 特殊向量【问题4】现在我们建立起了一个向量的集合，这个集合中有没有特殊元素？师生活动：教师组织学生进行思考，并进行讨论、交流，学生思维受阻时引导学生从大小的角度类比实数进行思考，从而得到：长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单位向量．设计意图：根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴，从学生所熟知的实数的知识出发，得出零向量和单位向量的概念.在后续学习中，也可以类比实数的运算和运算律，来学习向量的运算和运算律，这样更能吸引学生不断求知的欲望，提高学生学习的兴趣．OFEDC B A4.向量的特殊关系【问题5】向量和向量之间有没有一些特殊关系呢? 【课堂活动】请同学们在图中画出一些向量（也可以自选图形），并通过你画出的向量来探索它们之间的关系．师生活动：教师提出问题，引发学生思考，让学生进行作图练习，画出一些向量，并通过画出的向量来进行探讨.组织学生进行交流、讨论，学生代表发言后由其他同学补充，逐步完善，在此过程中得出向量之间的特殊关系.学情预设：学习障碍1：学生画出了一些向量，但是不知道如何去考察它们之间的特殊关系.引导方案：引导学生认识到向量是具有大小和方向的研究对象，我们可以从大小和方向这两个角度入手，最后请学生对研究方法加以总结.学习障碍2：学生提出向量加法、减法等运算，认为这就是向量的关系.引导方案：类比实数的学习，向量加法、减法等属于运算的范畴，而不是两个向量的关系，我们可以类比实数之间的关系来探讨向量的关系.学习障碍3：学生提出两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等. 引导方案：两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等，由于涉及到向量的夹角的定义，我们放到后续去研究，可以预见，对于向量，还有很多内容等着我们去探讨，引导学生关注本节课的教学内容.学习障碍4：难以接受共线向量的概念.引导方案：在得出相等向量的概念后，教师指出“值得注意的是，由相等向量我们可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动”，从而为理解共线向量的概念奠定基础.在学生得出平行向量的概念后，教师利用自制教具来展示我们可以将一组平行向量通过平移（不改变大小和方向）到一条直线上，来让学生直观感知平行向量其实就是共线向量.最后，教师指出，共线向量和平行向量是研究向量的基础， 由此可以将一组平行向量平移（不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便.设计意图：1.通过设置开放性的问题，让学生通过作图、交流、讨论，让学生参与概念的定义过程，让概念成为学生观察、交流、概括之后的自然产物；2.在画出有关向量并且用字母去进行表示的过程中，体会数形结合的数学思想，进一步巩固向量的几何表示和字母表示，自觉应用这两种方法来对向量进行表示；3.在知识的形成过程中进一步体会从大小和方向两个角度去研究向量，形成研究向量的基本方法，培养理性思维.【问题6】向量与物理中的矢量有什么区别和联系？向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系?设计意图：和本节课开始的内容首尾呼应，让学生明确向量概念与其物理背景、几何背景的区别和联系，进一步体会向量是从实际背景中抽象出来的一个新的研究对象，抓住向量的本质特征.（三）阅读课本，巩固练习【课堂活动】阅读教材73页到76页，看看我们的讨论有没有遗漏的地方，并思考下面的例题.例如图，在方格纸上的平行四边形ABCD和折线MPQRST中，点O 是平行四边形ABCD对角线的交点，,,OA a OB b AB c，分别写出图中与===a b c相等的向量.（图附后）,,师生活动：教师指导学生阅读教材，在阅读的基础上让学生提出疑问，教师组织学生思考例题，在此过程中关注学生能否在方格纸中正确识别出向量的大小与方向, 引导学生从大小和方向两个角度去思考.设计意图：通过指导学生阅读教材，让学生重视教材，培养学生的阅读能力和自学能力，通过对例题的讨论，巩固向量的概念、向量的表示以及相等向量等概念.进一步体会从大小和方向两个角度去思考向量问题.（四）归纳小结，延伸课堂【归纳小结】教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答以下问题：（1）这节课你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，对于研究数学新对象，你有什么体会？（3）你觉得后续我们还将学习什么内容？设计意图：通过设置三个问题，回顾本节课所学知识，并且用结构图来进行展示，使得知识间的逻辑关系更清晰.通过本节课的学习，学生体会研究数学新对象的基本思路.并且作为章起始课，向学生交代本章大致学习内容和学习方法，构建研究蓝图.【布置作业】1.（必做作业）教材P77A组习题2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身.我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究.设计意图：布置课后作业，必做作业旨在落实本节课教学内容，教师鼓励学生课后根据自己的兴趣拓展相关知识，继续对问题进行研究. （五）目标检测设计判断下列结论是否正确.(1) 若,a b都是单位向量，则=a b；(2) 若=a b，则,a b是共线向量；(3) 平行向量方向一定相同.设计意图：检测学生对向量的概念、相等向量的概念、共线向量的概念的理解.。

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念第三课时 2.1.3相等向量与共线向量1 教学目标[1]掌握相等向量,共线向量的概念。

[2]会区分相等向量，共线向量，平行向量。

[3]理解零向量与任何向量平行。

[4]通过学习对相等向量与平行向量的区别的学习，更加深刻的理解好向量与数量的关系，提高数学思维能力和认识新事物的能力。

2教学重点/难点教学重点：相等向量，共线向量的概念。

教学难点：区分相等向量与共线向量。

3专家建议通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想4 教学方法类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。

5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答，我们上节课学了什么内容？【板书】向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中常称为矢量）数量：只有大小，没有方向有向线段：带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素：起点、方向、长度模：向量的长度零向量：长度为0的向量叫做零向量单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量5.2 新知介绍[1]相等向量【师】我们知道，速度是矢量，有大小和方向，那么怎样的两个速度才是相等的呢？【生】讨论回答【师】总结“大小相等，方向相同”才能说速度相等【板书】速度相等：大小相等，方向相同【师】那么相等向量要具备什么条件呢？【生】讨论回答【师】总结“长度相等，方向相同”的向量叫做相等向量【板演/PPT】相等向量：长度相等，方向相同如图，在平行四边形ABCD中，能找出相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与CB是相等向量吗？【师】同学们拿出三角板，在练习本上画出长度分别为3cm和4cm的两组相等向量【生】动手画图【师】请大家注意，一定要满足两个条件哦，长度相等，方向相同。

（然后，检查讲解）[2]共线向量【师】两个向量除了长度相等，方向相同，还有没有其它情况？【生】讨论回答【师】总结【板书】长度相等，方向相反长度不等，方向相同长度不等，方向相反【板书/PPT】长度相等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相同的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上【师】让我们来总结一下【板书/PPT】方向相同或相反的非零向量ba,叫做平行向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量。

人教版高中必修4-2.1 平面向量的实际背景及基本概念课程设计引言平面向量是高中数学中的重要知识点。

学习平面向量，可以帮助学生深入了解向量的概念、性质及其应用；同时，平面向量也是很多高等数学和物理学领域的基础。

本文旨在分析平面向量在现实世界中的实际背景，同时设计一堂高中必修4-2.1平面向量课程。

一、平面向量的实际背景1. 科技领域平面向量在科技领域有着广泛的应用，尤其是在计算机图形学、游戏开发和机器学习等领域。

例如，在计算机游戏中，平面向量可以用来表示角色的位置、速度和方向等信息；在图像处理中，平面向量可以用来表示图像的亮度和颜色。

2. 工程领域在工程领域，平面向量通常用于描述力的大小和方向，例如，机械工程中的受力分析、土木工程中的结构设计、电气工程中的电流、电压描述等等。

3. 数学和物理学对于学习数学和物理学的学生来说，平面向量也是很重要的基础知识。

在数学中，平面向量可以用于求解代数方程组、行列式的计算和向量空间的理解等等。

在物理学中，平面向量可以用于描述物理运动，例如力的合成、速度和位移的计算等。

二、课程设计1. 教学目标本节课通过对平面向量的介绍，旨在帮助学生：1.了解平面向量的基本概念和性质。

2.能够进行向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.了解平面向量在科技和工程领域的应用。

4.能够解决平面向量的简单应用问题。

2. 教学内容本节课的教学内容包括：1.平面向量的基本概念和性质。

2.向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.平面向量的应用。

4.平面向量的简单应用问题。

3. 教学方法本节课主要采用讲授和练习相结合的方法。

具体来说，可以采用以下教学方法：1.讲解：通过PPT等资料，讲解平面向量的基本概念和性质。

2.示范：通过简单的例题演示平面向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.练习：让学生进行相关练习，加深对平面向量的理解和应用能力。

4.展示：让学生展示自己对平面向量的理解和应用能力。

4. 教学过程本节课的教学过程可以分为以下几个步骤：1.介绍向量的基本概念和性质。

Word 文档仅限参照第二章平面向量本章教材剖析1.丰富多彩的背景 , 令人着迷的内容 . 教材第一从力、位移等量讲清向量的实质背景以及研究向量的必需性 , 接着介绍了平面向量的有关知识 . 学生将认识向量丰富的实质背景 , 理解平面向量及其运算的意义 , 能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题 , 发展运算能力和解决实质问题的能力. 平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础, 从学生熟知的功的看法出发, 引出了平面向量数目积的看法及其几何意义, 接着介绍了向量数目积的性质、运算律及坐标表示. 向量数目积把向量的长度和三角函数联系了起来, 这样为解决有关的几何问题供给了方便, 特别能有效地解决线段的垂直问题. 最后介绍了平面向量的应用.2.教课的最正确契机 , 崭新的思想视角 .向量拥有几何形式和代数形式的“两重身份”, 这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来 , 向量的理论和方法 , 又成为解决物理学和工程技术的重要工具, 向量之所以实用 ,关键是它拥有一套优秀的运算性质, 经过向量可把空间图形的性质转变为向量的运算, 这样通过向量就能较简单地研究空间的直线和平面的各样有关问题. 这一章的内容固然看法多,但多数有其物理上的根源 , 固然抽象 , 却与图形有着亲密的联系, 向量应用的优胜性也是特别明显的 . 崭新的思想视角 , 适合的教与学 , 使得向量不单生动风趣, 并且是培育学生创新精神与能力的极佳契机 .3. 本章充足表现出新教材特色 .以学生已有的物理知识和几何内容为背景, 直观介绍向量的内容 , 着重向量运算与数的运算的对照 , 特别注意知识的发生过程. 对看法、法例、公式、定理等的办理主要经过察看、比较、剖析、综合、抽象、归纳得出结论. 这一章中的一些例题 , 教科书不是先给出解法, 而是先进行剖析 , 研究出解题思路 , 再给出解法 . 解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法 , 有的还让学生进一步考虑有关的问题. 对知识的办理 , 都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、剖析、归纳、类比、想象、抽象、归纳的形式, 从而培育学生的思想能力 .向量的坐标其实是把点与数联系起来,从而可把曲线与方程联系起来, 这样便可用代数方程研究几何问题 , 同时也能够用几何的看法办理某些代数问题.4.本章教课约需 12 课时 , 详细分派以下 , 仅供参照 .标题课时2.1平面向量的实质背景及基本看法 1 课时2.2向量的线性运算 3 课时2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时2.4平面向量的数目积 2 课时2.5平面向量的应用举例 2 课时本章复习 2 课时2.1平面向量的实质背景及基本看法整体设计教课剖析本节是本章的入门课, 看法许多 , 但难度不大 . 学生可依据原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法, 联合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等看法. 因为向量根源于物理 , 并且兼具“数”和“形”的特色, 所以它在物理和几何中拥有宽泛的应用, 可经过几个详细的例子说明它的应用. 位移是物理中的基本量之一, 也是几何研究的重要对象. 几何中常用点表示地点, 研究如何由一点的地点确立此外一点的地点. 位移简洁地表示了点的地点之间的相对关系 , 它是向量的重要的物理模型. 力是常有的物理量. 重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量 . 物理中还有其余力, 让学生举出物理学中力的其余一些实例, 目的是要成立物理课中学过的位移、力及矢量等看法与向量之间的联系, 以此更为自然地引入向量概念, 并成立学习向量的认知基础 .三维目标1. 经过实例 , 利用平面向量的实质背景以及研究平面向量的必需性, 理解平面向量的看法以及确立平面向量的两个因素, 搞清数目与向量的差别 .2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等看法 , 并能判断向量之间的关系 , 并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3. 在教课过程中, 应充足依据平面向量的两个因素加以研究向量的关系, 揭露向量能够平移这一特征 .要点难点教课要点 : 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法, 会表示向量 .教课难点 : 平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. ( 情境导入 ) 如图 1, 在同一时辰 , 老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃跑 , 猫在 B 处向正东方向的 D 处追去 , 猫可否追到老鼠呢？学生立刻得出结论: 追不上 , 猫的速度再快也没用,因为方向错了 . 教师合时设问 : 如何从数学的角度来揭露这个问题的实质？由此睁开新课.图 1思路 2. 两列火车先后从同一站台沿相反方向开出, 各走了相同的行程, 如何用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日, 象走“田” , 让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.推动新课新知研究提出问题①在物理课中 , 我们学过力的看法 . 请回首一下力的三因素是什么？还有哪些量和力拥有相同特色呢 ?这些量的共同特色是什么？如何利用你所学的数学中的知识抽象这些拥有共同特色的量呢？②新的看法是对这些拥有共同特色的量的描绘, 应如何定义这样的量呢？③数目与向量的差别在哪里？活动 : 教师指导学生阅读教材, 思虑议论并解决上述问题, 学生议论列举与位移相同的一些量 . 物体遇到的重力是竖直向下的, 物体的质量越大, 它遇到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的, 物体浸在液体中的体积越大它遇到的浮力就越大；速度与加快度都是既有大小 , 又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向, 且有大小；物理学中存在着很多既有大小 , 又有方向的量.教师指引学生察看思虑这些量的共同特色, 我们可否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量 . 至此机遇成熟 , 引入向量 , 并把那些只有大小, 没有方向的量, 如年纪、身高、度、面、体、量等称数目, 物理学上称量 . 然数目和向量的区就在于方向 .果 :①略 .②我把既有大小 , 又有方向的量叫做向量. 物理中称矢量 .③略 .提出①如何表示向量 ?②有向段和段有何区和系？分能够表示向量的什么?③ 度零的向量叫什么向量？度 1 的向量叫什么向量 ?④ 足什么条件的两个向量是相等向量？位向量是相等向量?⑤有一向量 , 它的方向相同或相反, 向量有什么关系？怎定平行向量?⑥假如把一平行向量的起点所有移到一点O,它能否是平行向量？各向量的点之有什么关系 ?⑦数目与向量有什么区 ?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区?活 : 教指学生教材, 通教材思虑以上. 特是有向段, 是学向量的关 . 但不可以“向量就是有向段, 有向段就是向量” , 有向段不过向量的一种几何表示 , 两者有本的区. 向量只由方向和大小决定, 而与向量的起点的地点没关, 但有向段不与方向、度有关, 也与起点的地点有关. 如 2, 在段 AB 的两个端点中 ,定一个序 , 假 A 起点、 B 点 , 我就段AB 拥有方向 , 拥有方向的段叫做有向段 , 往常在有向段的点画上箭表示它的方向. 以 A 起点、 B 点的有向段作 AB .起点要写在点的前面.已知 AB ,段AB的度也叫做有向段AB 的度,作| AB |.有向段包括三个因素 : 起点、方向、度.2知道了有向段的起点、方向和度, 它的点就独一确立.用有向段表示向量的方法是:1°起点是A, 点是 B 的有向段 , 的向量作: AB .里要提示学生注意AB 的方向是由点 A 指向点 B, 点 A 是向量的起点.2°用字母a, b, c, ⋯表示 .( 必定要学生范写: 印刷用黑体a, 写用a )3°向量AB ( 或 a) 的大小 , 就是向量AB (或a)的度(或称模),作| AB |(或| a|).教要注意引学生将数目与向量的模行比, 数目有大小而没有方向, 其大小有正、和0 之分 , 可行运算 , 并可比大小 ; 向量的模是正数或0, 也能够比大小. 因为方向不可以比大小 , 像 a＞ b 就没存心 , 而 | a|>| b| 存心 .果 : ①向量也可用字母a, b, c, ⋯表示 ( 印刷用粗黑体表示), 手写用 a →来表示 , 或用表示向量的有向段的起点和点字母表示,如AB、CD.注意 : 手写体上边的箭必定不可以漏写.②有向段 : 拥有方向的段就叫做有向段, 其有三个因素 : 起点、方向、度.向量与有向段的区: 向量只有大小和方向两个因素, 与起点没关 , 只需大小和方向相同,两个向量就是相同的向量；有向段有起点、大小和方向三个因素, 起点不一样 , 只管大小和方向相同 , 也是不一样的有向段.3③ 度 0 的向量叫零向量 , 度 1 个位度的向量 , 叫位向量 . 但要注意 , 零向量、位向量的定都不过限制了大小 . 度 0 的向量叫做零向量 , 作 0, 定零向量的方向是随意的 . 度等于 1 个位的向量 , 叫做位向量 .④ 度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量 . 平行向量定的理解: 第一 , 方向相同或相反的非零向量叫平行向量; 第二 , 我定 0 与任一直量平行即 0∥a. 合第一、第二才是平行向量的完好定；向量 a, b, c 平行, 作 a∥b∥c. 如 3.4又如 4, a, b, c 是一平行向量, 任作一条与 a 所在直 0 平行的直l, 在 l 上任取一点 O,可在 l 上分作出OA ＝a, OB =b, OC =c.就是,任一平行向量都能够移到同向来上 , 所以 , 平行向量也叫做共向量.明 : 平行向量能够在同向来上, 要区于两平行的地点关系.⑥是共向量, 也就是平行向量. 但要注意 , 平行向量就是共向量, 是因任一平行向量都可移到同向来上( 与有向段的起点没关). 平行向量能够在同向来上, 要区于两平行的地点关系；共向量能够相互平行, 要区于在同向来上的段的地点关系.⑦数目只有大小 , 是一个代数目 , 能够行代数运算、比大小；向量有方向、大小两重性 , 不可以比大小 .⑧力有大小、方向、作用点三个因素, 而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的, 只有大小与方向两个因素, 与起点的地点没关.用示例例 1 如 5, 依据中的比率尺以及三地的地点, 在中分用有向段表示 A 地至 B、 C 两地的位移 .( 精准到 1 km)Word 文档仅限参照图 5剖析 : 本例是一个简单的实质问题 , 要求画出有向线段表示位移 , 目的在于稳固向量看法及其几何表示 .解: AB表示 A 地至 B 地的位移 , 且| AB | ≈232 km;(AB长度× 8 000 000÷100 000)AC 表示A地至C地的位移,且| AC |≈296 km.(AC长度×8 000 000÷ 100 000)评论 : 地点是几何学研究的重要内容之一 , 几何中常用点表示地点 , 研究如何由一点的地点确立此外一点的地点 . 如图 5, 由 A 点确立 B 点、 C 点的地点 .变式训练一个人从 A 点出发沿东北方向走了 100 m 抵达 B 点 , 而后改变方向 , 沿南偏东 15°方向又走了100 m 抵达 C 点, 求这人从 C 点走回 A 点的位移 .图 6解: 依据题意画出表示图, 如图 6 所示 .| AB |=100 m,|BC |=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ ABC为正三角形 .∴|CA |=100 m,即这人从C点返回A点所走的行程为100 m.∵∠ BAC=60°,∴∠ CAD=∠BAC- ∠BAD=15°, 即这人行走的方向为西偏北15°.故这人从C点走回 A 点的位移为沿西偏北15°方向 100 m.图 7例 2 判断以下命题能否正确 , 若不正确 , 请简述原因 .(1)ABCD中 , AB与CD是共线向量 ;(2)单位向量都相等 .活动 : 教师指引学生画出平行四边形, 如图 7.因为 AB//CD, 所以AB∥CD . 因为上边已经明确, 单位向量只限制了大小, 方向不确立 ,所以单位向量不必定相等, 即单位向量模均相等且为1, 但方向不确立 .解: (1) 正确 ;(2) 不正确 .评论 : 此题考察基本看法, 关于单位向量、平行向量的看法特色及相互关系一定掌握好.图 8例 3 如图 8, 设 O是正六边形ABCDEF的中心 , 分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量.活动 : 本例是联合正六边形的一些几何性质, 让学生稳固相等向量和平行向量的看法, 正六边形是边长等于半径并且对边相互平行的正多边形, 它既是轴对称图形, 又是中心对称图形 , 拥有丰富的几何性质. 教科书中要求判断OA 与 EF , OB 与 AF 能否相等,是要经过长度相等方向相反的两个向量的不等, 让学生从反面认识向量相等的看法.解: OA =CB=DO; OB=DC=EO; OC =AB =ED =FO.评论 : 向量相等是一个重要的看法, 此后常常用到. 让学生在训练中明确, 向量相等不单大小相等 , 还要方向相同.变式训练本例变式一 : 与向量OA长度相等的向量有多少个？(11 个 )本例变式二 : 能否存在与向量OA 长度相等、方向相反的向量？( 存在 )例 4 以下命题正确的选项是( )A. a 与 b 共线 , b 与 c 共线 , 则 a 与 c 也共线B.随意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量 a 与 b 不共线 , 则 a 与 b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动 : 因为零向量与任一直量都共线, 所以 A 不正确 . 因为数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量能够在同向来线上, 而此时就构不行四边形, 根本不行能是一个平行四边形的四个极点, 所以 B 不正确 . 向量的平行只需方向相同或相反即可, 与起点能否相同没关 , 所以 D不正确 . 关于 C,其条件以否认形式给出, 所以可从其逆否命题来下手考虑, 倘若 a 与 b 不都是非零向量, 即 a 与 b 起码有一个是零向量, 而由零向量与任一直量都共线, 可有 a 与 b 共线 , 不切合已知条件, 所以有 a 与 b 都是非零向量, 即只有 C 正确 .答案:C评论 : 关于有关向量基本看法的考察, 能够从看法特色下手, 也能够从反面进行考虑. 即要判断一个结论不正确, 只需举一个反例即可. 要启迪学生注意这双方面的联合.变式训练1.判断 :(1) 平行向量能否必定方向相同？( 不必定 )(2)不相等的向量能否必定不平行？( 不必定 )(3)与零向量相等的向量必然是什么向量？( 零向量 )(4)与随意愿量都平行的向量是什么向量？( 零向量 )(5)若两个向量在同向来线上 , 则这两个向量必定是什么向量？( 平行向量 )(6)两个非零向量相等当且仅当什么？( 长度相等且方向相同 )(7)共线向量必定在同向来线上吗？( 不必定 )2. 把全部单位平面向量归纳到共同的始点, 那么这些向量的终点所构成的图形是( )A. 一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3. 将平行于向来线的所有单位向量的起点平移到同一始点, 则这些向量的终点所构成的图形是( )A. 一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B知能训练课本本节练习 .解答 :1.经过详细的例子 , 让学生着手画两个方向不一样、大小不等的力( 向量 ), 图略 .2.|AB |,|BA |,这两个向量的长度相等, 但它们不等 .评论 : 向量是既有大小, 又有方向的量. 长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.| AB |=2,| CD |=2.5,|EF |=3,| GH |=2 2 .评论 : 方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具. 在方格纸中 , 长度和角度特别简单表现 .建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.4.(1) 它们的终点相同 ;(2)它们的终点不一样 .评论 : 方向相同的两个向量, 假如它们的起点相同,它们的终点只与长度有关 .讲堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景下手, 利用类比的方法, 介绍了向量的两种表示方法 : 几何表示和字母表示, 几何表示为用向量办理几何问题打下了基础, 字母表示则利于向量的运算；而后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要看法, 这些概念是进一步学习后续课程的基础, 一定要在理解的基础上掌握好.作业课本习题 2.1 1、2.设计感想本节是平面向量的第一节, 明显属于“看法课” , 看法的理解无疑是要点, 但也是难点 .本教课设计设计的指导思想是: 把学生区分小组合作议论学习, 经过小构成员们的合作研究, 对平面向量的基本看法和基本解题方法都了然了许多, 应当有好多的成功之处或收获. 对失败或教训之处可能是因为一些看法性问题没有深入研究, 致使解题存在困难, 可是这些会经过学习的深入填补过来的.作为现代数学重要标记之一的向量引入中学数学此后, 给中学数学带来了无穷活力. 通过本节详细问题的解决, 让学生领会到数学在生活中的重要作用, 并在实质讲堂教课中规范学生的习惯 , 培育谨慎的思虑习惯和代数与几何相联合的习惯, 为后边学习打下基础.。

课题：2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量教学目的：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量的概念.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；注意：起点一定写在终点的前面④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.探究：1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为AB，需要学生注意的是：AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、讲解范例：例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例2下列命题正确的是（）A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.例3下列命题正确的是（ ）如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA OB OC 、、相等的向量.解：OA CB DO ==OB DC EOOC AB FO ====四、课堂练习： D E O AB C五、小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量。