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高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲 二维形式的柯西不等式

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高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件

高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件

≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()

A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。

高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件

高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件

【答案】 B
[小组合作型]
二维柯西不等式的向量形式及应用
已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
【自主解答】 p ＋q
2 2
设
1 1 3 3 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
3 1 3 1 ＝p2p2＋q2q2＝|m· n|≤|m||n|
＝ p3＋q3· p＋q＝ 2 p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， p＋q2 ∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q， p＋q2 ∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又 p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向 量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否 仍然成立？
【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则 p＋q＝p· 1＋q· 1＝|m· n|≤|m|· |n|＝ p2＋q2· 12＋12. 又 p2＋q2＝2. ∴p＋q≤ 2· 2＝2. 故仍有结论 p＋q≤2 成立.
一
二维形式的柯西不等式
1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材 P31～P36，完成下列问题． 内容 代数形式 等号成立的条件 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 ＋b2)· (c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立

人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx

人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？ 证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位， 简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5

高中人教数学选修4-5课件：第三讲 二维形式的柯西不等式

高中人教数学选修4-5课件：第三讲 二维形式的柯西不等式

作业：
P36 1 、5 P37 6 、 9
二维形式的柯西不等式
新田一中高二备课组
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
你能证明吗？
当且仅当ad=bc时,等号成立. 推论 a2 b2 c2 d 2 ac bd
a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例题分析例：1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,1a求证
1 b
4
练习：
1.已知a2 b2 1,
求证|a cos bsin |1
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2y 11
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）
设x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
， 那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
ur r
| m n || m | | n | | cos || m | | n |
ur r ur r
| m n || m | | n |
ac bd a2 b2 c2 d 2
定理2: （柯西不等式的向 | || || |

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)


证 | | | || |co s | | | || co s | | | | | | |, 即 | | | | | |
2
2

(x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
作业 补充:
1.求 函 数 y 2 1 x 2 x 1的 最 大 值 .
2.已 知 x , y , z R , 且 x y z 8, x y z
2 2 2
24, 求 证 : 4 3 y 4,
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为 平 面 上 的 两 个 向 量 ,则 | | | || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2

小结:
(1 ) 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ( a b )( c d ) ( a c b d )
2 2 2 2 2
(a , b, c , d R )
当 且 仅 当 a d b c时 , 等 号 成 立 .
(2) a
2
b
2

c
2
d
2
ac bd
(3) a b
2
2
(4 ) 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .
c d
2
2
ac bd

3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)


柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
ห้องสมุดไป่ตู้ [考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的 变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d

高中数学人教A版选修4-5课件：3-1二维形式的柯西不等式


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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
解: ∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,
1 2 2 ∴4x +9y ≥ , 2
当且仅当 2× 2x=3y× 2,即 2x=3y 时,等号成立. 又 2x+3y=1,得 x= , ������ = . 故当 x= , ������ = 时,4x2+9y2 的最小值为 .
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1
2
2.柯西不等式取等号的条件 剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系 来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点 像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中 |α· β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从 向量的数量积的角度来理解和记忆.
,此
∴|a· b|≤ (-2)2 + 12 + 22 × 6 = 18,
当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立. ∴-18≤a· b≤18. ∴a· b的最小值为-18, 此时b=-2a=(4,-2,-4). 答案：-18 (4,-2,-4)
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1
2
3Байду номын сангаас
3.二维形式的三角不等式
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题型一

人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)

力。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
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2 1 )＋ ( 2y) ]2 3 2 2 2 2 1 ［ 3x ＋ 2y ］[( ) 2＋ ( )2 ] 3 2 4 1 11 2 2 ＝ (3x ＋2y )( ＋ ) 6 ＝ 11. 3 2 6 所以 2x＋y 11，
【解析】1. 2x＋y ＝ [ 3x (
2


1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.
2.已知 a 1－b 2 b 1－a 2 1,求证：a2+b2=1.
【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使 用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变 换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待 求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以 考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯 西不等式等号成立的条件即可.
所以kmax=4. 答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量 n (cos x, 1 sin 2 x )， 形式可得： f x 3cos x 4 1 sin 2 x
32 42 cos2 x 1 sin 2 x 5 2.
当且仅当m∥n时上式取等号，此时，
b d b d
立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时

所以2x＋y的最大值为 11. 答案： 11
2.由柯西不等式，得
(a 1 －b 2 b 1 －a 2 ) 2
[a 2 (1－a 2 )][b2 (1－b2 )] 1,
2 1 － b 当且仅当 时，上式取等号， 2 a 1－a 所以 ab 1－a 2 1－b 2 ,
b
a 2 b2 (1－a 2 )(1－b2 ),
于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技
巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R, 或 a b c d

ac bd ,其中a,b,c,d∈R+.
第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
(ac+bd)2

(x1 -x 2 )2 (y1 y2 ) 2
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以 写成 a c 吗? 提示：不可以.当b·d=0时，柯西不等式成立，但 a c 不成
2.二维形式的柯西不等式的变式
1 2 3
a 2 b2 c2 d 2 ac bd . a 2 b2 c2 d 2 ac bd . a 2 b2 c2 d 2 ac bd.
类型 一 二维形式柯西不等式代数形式的应用
【典型例题】

a b，b c .

2.f(x)可看作是m=(3,4)与 n (cos x, 1 sin 2 x ) 的数量积.
【解析】1.设 a (
b

a b, b c ,源自1 1 , ), a b bc
由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：
1 1 a b b c, a b bc 1 1 4 即 , a b bc a c 2
2
说明等号成立的条件.
【解题探究】
1.解决题1时怎样构造向量,用向量形式的柯西不等式求解？
2.题2中 f x 3cos x 4 1 sin 2 x 对利用柯西不等式有什么暗
示？
探究提示： 1.结合柯西不等式的向量形式可构造如下向量
a( 1 1 ， )，b a b bc
b=______.
【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜,
2 所以 ｜a b｜ 2 22 6 12 2,
当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立，
所以 12 2 a b 12 2,
所以a·b的最小值为 12 2， 此时 b 3 2a 3 2, 3 2 .

2
然后进行整体换元、应用. (2)证题时往往需要将数学表达式适当变形，这种变形要求具 有很高的技巧，必须善于分析题目的特征.
【变式训练】已知a,b∈R+,求证：1 1 4 .
a b ab
【证明】因为a,b∈R+,所以a+b＞0,
2 1 1 所以 a b ( ) [ a a b 1 1 ( a b )2 22 4. a b 当且仅当 a 1 b 1 , b a
2


答案：12 2
(3 2, 3 2)
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中，| || | 取等号的条件是 是零向量或者 , 共线，我们可以从向量的数量积角度来理 解记忆.
(2)“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两
个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可 以认为是四个数组合成的一种不等关系. (3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的，只是表 现形式不同.

b ][(
2
1 2 1 ) ( )2 ] a b
即a=b时，等号成立. 即 11 4 .
a b ab
类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用
【典型例题】
1.已知a＞b＞c,若 1 1 k
ab bc
a c
恒成立，则k的最大值
是______. 2.已知 x (0, )， 求函数 f x 3cos x 4 1 sin 2 x 的最大值，并