(第3课时)弧度制(1)

题：4.2弧度制（一）
教学目的：
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.
3.熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的. 通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.
教学过程：
一、复习引入：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
定义的？
规定周角的360
1
作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角
度制，有了它，可以计算弧长，公式为180
r
n l π=
3．探究
30°、60°的圆心角，半径r 为1，2
，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——
弧度制
二、讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad
读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r
l
=
α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度
一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad
∴ 1︒=
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
三、讲解范例：
例1 把'3067
化成弧度
解：
⎪⎭
⎫
⎝⎛=2167'3067
∴ rad rad ππ
8
3
2167
180
'3067=⨯=
例2 把rad π5
3化成度 解： 1081805
3
53=⨯=
rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：
3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦；
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制
都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
任意角的集合 实数集R
例3用弧度制表示：
1 终边在x 轴上的角的集合
2 终边在
y 轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
解：1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
==Z k k S ,2|2π
πββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习：
1.下列各对角中终边相同的角是( )
A.
ππ
π
k 222+-
和（ｋ∈Ｚ） B.－
3
π和322
π
C.－9
7π和911π
D. 9122320ππ和
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
7.求值：2
cos
4
tan
6
cos
6
tan
3
tan
3
sin
π
π
π
π
π
π
-+.
8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .
9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
参考答案： 1.C 2.C 3.C
4.｛α｜2k π＜α＜2
π
＋2k π，k ∈Z } ｛α｜k π＜α＜
2
π
＋k π，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.2
8.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.
24
11π
五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数 六、课后作业：
已知α是第二象限角，试求：
(1)
2
α
角所在的象限；(2)
3
α
角所在的象限；(3)2α角所在范围.
解：(1)∵α是第二象限角,∴2
π
+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即
4
π
+k π
<
2
α<
2
π
+k π,k ∈Z .
故当k =2m (m ∈Z )时，
4
π
+2m π<
2α<
2π
+2m π,因此，
2
α
角是第一象限角；
当k =2m +1(m ∈Z )时，45π+2m π<2α<23π+2m π,因此，2
α
角是第三象限角.
综上可知，
2
α
角是第一或第三象限角.
(2)同理可求得：
6
π
+
32k π<3α<3π
+3
2
k π,k ∈Z .当k =3m (m ∈Z )时，ππ
α
ππ
m m 23
3
26
+<
<
+,此时，
3
α
是第一象限角；
当k =3m +1(m ∈Z )时，
πππαπππ
3
2
2333226++<<++m m ，即3265αππ<+m <π+2m π,此时，3
α
角是第二象限角； 当k =3m +2(m ∈Z )时，ππαππm m 2353223+<<+,此时，3
α
角是第四象
限角.
综上可知，
3
α
角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为：π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z .
评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.
(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+
3
2
k π(k ∈Z )所表示的角所在象限. (3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角2
3
π+4k π(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略）
八、课后记：
一般情况下，我们在研究圆中的角的弧度一般都是正数！除非题目有特别的要求！有两种方法可以解释，一是正的弧对的弧度为正，负的弧对的是负的弧度（解释稍显牵强！），二是无论是顺时针方向还是逆时针旋转的角度数值始终是正数，所以研究时弧度取正数！扇形的圆心角始终是正数！。