一元二次方程的根的分布PPT课件

f(1)=2m-2 <0
mm1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
0
3
m
2
2
f (0) m 0
m
2 3
m
1
f (2) 3m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
f (m ) 0
f(k1 )f(k2 )<0
f f
(n ) (p)
0 0
f ( q ) 0
• 例：若抛物线y=x2+ax+2与连接 两点M(0,1),N(2,3)的线段 (包括M,N两点)有两个相异的交点, 求a的取值范围
f
(0)
m
0
f (4) 5m4 0
m
4 5
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
一个根小于K，一个 根大于K
k
kx
k
小
结
0
b 2a
k
0
b 2a
k
f ( k ) 0 f ( k ) 0
一个根正，一个根负
f(k)<0 , f(0)<0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布

求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为0，一个根为正根
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根
（2）有一个根为0，一个根为正根
（3）有两个根，且都大于
1
5 4
（7）一个根在（0,1）内，一个根在（1，4）内
7 , 5 5 4
1.若方程x2 （k 2）x k 0的两根均在（-1,1）内， 求k的取值范围.
2.若一元二次方程mx2 （2m-1）x-m 2 0 的两个实根都小于1，求m的取值范围.
一元二次方程根的分布
根的正负 考虑
判别式 韦达定理
考虑
根的大小
开口方向 判别式 对称轴 特殊点的函数值
1.已知方程 x2-11x m-2 0的两实根都大于 1， 求m的取值范围. 2.已知函数f（x） ex ，关于x的方程
x
f（2 x）-2af（x） a-1 0有四个相异的实根， 则a的取值范围为
3.已知函数 f（x） x2 （1-k）x-k 恰有一个零点 在区间（2,3）内，则实数k的取值范围为
,1
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为0，一个根为正根 （3）有两个根，且都大于 1
（4）一个根大于2，一个根小于2 ,1
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0
（1）有两个正根
（5）一个根小于2，一个根大于4
（6）有两个根，且都在（ m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为 0，一个根为正根

充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：

b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.

b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m


b 2a

n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或

b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或

f
(k1
)
0 b
k1 2a

2
3 m 1 时，根 x 2 3,0 ，即 m 1 满足题意；当 m 时， 得出 m 1或 m 3 ，当 2 2
15 3 m 或 m 1 根 x 33,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 14 2
3.一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
2.两根有且仅有一根在(m,n)内
f m f n 0
综合结论 (不讨论 a)
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的 根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比 零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布 在零的两侧。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个 实根为x1，x2，且x1<x2。
f m 0 f n 0
已知关于 x 的方程 x2 (2m 1) x 4 2m 0 ，求满足下列条件的 m 的取值范围. （1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于 1 （4） 两个根都大于 1 2 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6） 两个根都在 (0, 2) 内 （7） 两个根有且仅有一个在 (0, 2) 内 （8）一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内 （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于 2，一个根大于 4
一元二次方程根的分布
知识要点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根从几 何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与 轴交点的横坐标,所以研究方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根的情况,可借助二次函数图象来研 究求解．(几何法) 若在 (- ∞ ,+ ∞)内研究方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根情况,只需考察函数 y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴交点个数及交点横坐标的符号,利 用韦达定理和判别式来解,由 y=ax2+bx+c (a≠0) 的系数可判断出 △,x1+x2,x1x2的符号,从而判断 出实根的情况．（代数法）

y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
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2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
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根都小于1，求m的取值范围；
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4
1. 抛物线开口方向

人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
0
4.方程两根都大于m (x1 m) • (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
y
一个根小于K，一个 根大于K
y
kx
k
x
k
x
0
方程两根都大于m
0
f (m) 0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
（5） 一个根大于1，一个根小于1
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
f(1)=2m-2 <0
代数方法
b2 4ac 0
2 方程有两个负根 x1 x2 0
x1 • x2 0
几何方法 方程两根都小于m
（m=0)
0
f
(m)
0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.

1
(- ,1)
值范围是 2
.
−1
−1
x+
,则f(0)<0,即
<0,所以
2+1
2+1
2+1
2
2
【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x 1
(2m+1)(m-1)<0,解得- <m<1.
2
−1
2
方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x -2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=
<0,
2+1
1
解得- <m<1.
2
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,
可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先
判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
为
若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围
实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.
谢谢观赏！！
1
2
解得 <m< ;
2
3
②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,
1
2
把点(0,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,
2
3
3
2
此时方程为x - x=0,两根为0, ,
2
2
3
而 ∉(0,1),不合题意,舍去;
2
2
2
把点(1,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,

一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La

的图象
x
0
x
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [解]：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得：
x x 3 2 2 5m x1 x 2
1 2
9 40 m 0

1
m
9 40
2
x [错因分析]： 1 1 , x 2 1 x1 x 2 1 请同学们思考一下：这种解法错在哪里？
解该不等式组。
小结：
1、适用范围：含有参数的一元二次方程。 2、考虑要素：△、对称轴、a f ( k i ) 3、解题步骤： ①构造相应的二次函数。 ②分析题意，列出等价的不等式组。
③解此不等式组。
作业：
⒈关于x的方程x +ax+a-1=0有异号的两个实根，求a的
2
取值范围。
⒉已知方程 3 x 2 ( k 5 ) x k 0 的两根 x1 , x 2 满足
9 40 m 1

9 m 40 3 2 2 5m 3 1 0 2 2
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [另解]:用图象法,令 f ( x ) 2 x 对称轴为
x 3 4
0 b k1 k2 2a a f ( k1 ) 0 a f (k ) 0 2
y
0
x1
k1

k2


x2
x

y
x1
0

k1
k2

x2
x
⒌ 两个实根有且仅有一根在区间 ( k 1 , k 2 ) 内