华南理工大学概率论2014春A卷试题及答案

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。

考试时间120分钟。

5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。

标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。

求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。

三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。

五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。

试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。

八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。

2014年历年概率汇编 答案20．湖北卷解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4200×0.2＋10 000×③安装3台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y所以，E (Y )＝3400×0.2＋9200综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．四川卷17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．福建卷解：(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.16天津卷．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)， 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.18．重庆卷解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.17．湖南卷解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.17．安徽卷解： 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．北京卷解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.21．江西卷解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种． 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4Cm －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边， 即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．18．辽宁卷解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.X 的分布列为因为X ～B (3，0.6)(1－0.6)＝0.72. 20．全国卷解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.18．山东卷解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ所以数学期望E ξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.19．陕西卷解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(i ＝1，2，3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.20．全国卷解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。

假设过关人中有96%是非危险人物。

问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。

（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。

九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期中考试《 微积分（上） 》试卷A（试卷号：2014期中 时间100分钟，总分100）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内. 草稿纸上答题均无效)； ．考试形式：闭卷；．函数()f x 的定义域是[],a b ，则函数()2b a f x f x -⎛⎫-+⎪⎝⎭的定义域为________. ．当0x →时，2cos x xx ee -与n x 是同阶无穷小，则n = . ．设()00002lim x x x x f f x a x x →+⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，则()0f x '=______. 设()arctan f x x =，则该函数在[]0,1上满足拉格朗日微分中值定理的ξ=______. 5分，共25分）求极限22(1)212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 求极限202lim sin x x x e e x -→+-.7. 设cos sin ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩确定函数()y y x =，求22,dy d y dx dx .8.设y f =，求dy .9. 设xy xe -=，求()n y .三、解答下列各题（每小题6分，共24分） 10. 求心形线1cos r θ=+在2πθ=点处的切线和法线方程.11. 设()21,00,0x xe x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，求导函数()f x '，并讨论()f x '在0x =处的连续性.12. 设()y y x =是方程()23ln 1sin x y x y x ++=+确定的隐函数，求3lim n n y n →∞⎛⎫⋅⎪⎝⎭.13. 用泰勒公式求极限()()20sin 1lim ln 1x x e x x x x x →-++ .四. 证明题（每小题6分，共12分）14. 证明不等式：当0x >时，()1ln 1ln 2x x x x +≥+ .15. 设()f x '在[],a b 上连续，开区间(),a b 内()f x ''存在，且()()0f a f b ==，并存在一点(),c a b ∈使()0f c >。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。

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10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。

两件都是正品的概率错误!未找到引用源。

5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。

10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。

现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。

概率论与数理统计试卷 (A)姓名： 班级： 学号： 得分：一. 是非题（共7分，每题1分）1．设A 、B 是随机事件，0)(=A P ，则A 与B 相互独立. （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ） 3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 4. X 与Y 相互独立且都服从指数分布)(λE ，则)2(~λE Y X +. （ ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （ ） 6. 样本均值的平方2X 是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ） 7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）二. 选择题（15分，每题3分）1. 设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足αα=>)(z X P . 若α=<)(c X P ，则=c .)(A 2αz ； )(B 21α-z ； )(C 21α-z； )(D α-1z .2. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 .)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .3. 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且方差为02>σ.令∑==ni iX nY 11，则 .)(A n Y X Cov /),(21σ=； )(B 21),(σ=Y X Cov ；)(C n n Y X D /)2()(21σ+=+； )(D n n Y X D /)1()(21σ+=-.4. 设12,,,n X X X 是来自正态总体(,1)N μ的一个简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，则 .)(A )1,0(~N X ； )(B )1(~)(221--∑=n X Xini χ；)(C )1(~)(221--∑=n X i ni χμ； )(D )1(~1/--n t n S X .5. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则 .00111001()(|);()(|);()(|);()(|).A P H HB P H HC P H HD P H H αααα====接受成立接受成立接受成立接受成立三. 填空题（18分，每题3分）1. 设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=⋃+==B A P B P A P ，则 (|)P A A B =.2. 设随机变量)1.0,3(~B X ，则12-=X Y 的数学期望为 .3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.5. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体(0,9)N 的一个简单随机样本，223421()3X X X X ξ++=服从分布（须写出自由度）.四. 计算题 （54分，每题9分）1. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5，（1）求恰有两位同学不及格的概率； （2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.2. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨⎧<<<=他其,010,6),(y x x y x f ， 求（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）当3/1=X 时，Y 的条件密度函数)3/1(=x y f XY ；（3）(1)P X Y +≤.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他,求 max{,}Z X Y =的密度函数.4 某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为 120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e）5. 已知随机变量X的密度函数为(1)(5)56()(0) 0x xf xθθθ⎧+-<<=>⎨⎩其他，其中θ均为未知参数，求θ的矩估计量与极大似然估计量.6. 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得22499,16.03X S ==. 问这天自动包装机工作是否正常（0.05α=）？ 即检验（1） 01:500,:500H H μμ=≠； （2）222201:10,:10H H σσ≤>.220.0250.0250.0250.025220.050.050.050.05(8) 2.306,(9) 2.262(8)17.535,(9)19.023(8) 1.8595,(9) 1.8331(8)15.507,(9)16.919t t t t χχχχ⎧⎫====⎪⎪⎨⎬====⎪⎪⎩⎭五. 证明题 （6分）设事件C B A 、、同时发生必导致事件D 发生，证明：)(2)()()(D P C P B P A P +≤++.。

12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准 一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。

（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===， （2分）所以，由贝叶斯公式可得 （1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3， （1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =； （2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以 当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分） 由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。

件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。

解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。