大连工业大学概率习题

2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.）1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{ } .2. 设随机变量X 的密度函数为f(x)2(1)2()x x ---∞<<+∞，则P {–1< X <1}= .（Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.）3. 设D (X )≠0,D (Y )≠0，那么由D (X + Y ) = D (X – Y )一定有X , Y ．（独立、不独立、相关、不相关）4. 若随机变量X 1,X 2,X 3相互独立，且X 1～P (2), X 2～E (1), X 3～B (4,0.25)，则E (X 1 – 4X 2X 3)= ， D (2X 1 – 3X 2 + X 3)= .5. 已知E (X )=12, D (X )=1，那么利用切比雪夫不等式估计P {9 < X < 15} .6. 设X 1,X 2,…, X n 相互独立，均服从χ2(8)，则算术平均11ni i X n =∑依概率收敛于 . 7. 当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第 类错误的概率就越 ，而犯第 类错误的概率就越 .8. 设X 1,X 2,…, X n 是来自均匀总体U (1,7)的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则E (X )= ，E (2S ) = .9. 设X 1,X 2,…, X 10是来自正态总体N (0, 0.5)的一个样本，则(X 1 – X 2)2 + (X 3 – X 4)2 + … + (X 9 – X 10)2 ～分布，2221392222410X X X X X X ++++++～ 分布. 10. 已知来自总体N (μ, 0.92)，容量为9的样本的样本均值x =5，则μ的置信度为0.95的置信区间为 . (z 0.05=1.645, z 0.025=1.96, t 0.05(8)=1.8595, t 0.025(8)=2.306.) 二、（共10 分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X 取四个值–1,0,2,3，相应的概率分别为1357,,,24816c c c c ，（1）求常数c ；（2）计算P { X < 3 | X > –1}.三、（12分）已知随机变量(X , Y )的分布律为\10110.30.20100.40.1X Y--，（1）求D (2X – Y )；（2）判断X , Y 的独立性与相关性；（3）求Z = max{ X,Y }的分布律. 四、（共22 分）1.（6分）设随机变量X 的密度函数为22,0,()0,0,x xe x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩ 求Y =X 2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X , Y ) 的密度函数为,0,(,)0, ,x e y x f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）求P { X <1}；（2）求()X f x 和()Y f y ，并判断X , Y 的独立性；（3）求()Y X f y x ；（4）求Z = X + Y 的分布.五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg 和0.1kg ，求2500只零件的总重量超过1240kg 的概率.（(1)0.8413,Φ=(2)0.9772Φ=.） 六、（8分）设X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，X 的密度函数为),,()0,,x a e x a f x x a --⎧≥=⎨<⎩（ 其中a (a > 0)未知，求a 的矩估计和最大似然估计.七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L .今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L ，样本均方差为0.003mg/L .假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05. t 0.10(9)=1.3830, t 0.10(8)=1.3968, t 0.05(9)=1.8331, t 0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A 班和B 班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A 班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7B 班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6平均成绩分别为A x =7,B x =7.5，成绩均方差分别为A s ≈1.83,B s ≈1.65.又定义极差=11max{}min{}i i i ni nx x ≤≤≤≤-(其中12,,,n x x x 为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.一、1. {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}; 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. –2, 3174; 5. ≥8/9; 6. 8; 7. 一，小，二，大; 8. 4, 3; 9. χ2(5), F (5,5); 10. (4.412, 5.588).二、1. 解 1919191392383371010104040400.30.20.1=⨯+⨯+⨯C C C C C C p C C C 2. 解 (1) 由1357124816+++=c c c c ， 得c =16/37 .(2) P { X < 3 | X > –1} =35{13}22480.75862357{1}294816+-<<==≈>-++P X P X三、 解 (1) D (2X – Y )=4 D (X )+D(Y ) –4cov(X ,Y )= 4D (X )+D(Y ) –4(E (X ,Y ) –E (X )E (Y )) E (X )=0, E (X 2)=1,D (X )=1; E (Y )=–0.2, E (Y 2)=0.4, D (Y )=0.36; E (X ,Y )=0.4 D (2X – Y )=4×1 + 0.36 – 4×0.4 = 2.76 (2) ∵ cov(X ,Y )=0.4∴ X ,Y 相关 ∵ P {X =1,Y =–1}=0≠P {X =1} P { Y =–1}=0.5×0.3=0.15 ∴ X ,Y 不独立(3) Z-1 0 1p 0.3 0.2 0.5五、解设X i表示第i个零件的重量，则E(X i)=0.5, D(X i)=0.12，i=1,2,..,2500. 根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X = X1+X2+…+ X2500近似地服从N(2500×0.5, 2500×0.01)= N(1250, 25)，于是所求事件的概率{}1240125012401(2)0.97725P X-⎛⎫>≈-Φ=Φ=⎪⎝⎭.四、1. 解方法一∵2()20(0)''==>>y x x x∴,0,()0,0'⎧⎛⎫⎪>⎪=⎨⎝⎪⎪≤⎩XYf yf yy,0,0, 0.-⎧>=⎨≤⎩ye yy方法二2(){}{}=≤=≤YF y P Y y P X y当0,()0,()0;≤==Y Yy F y f y{(0,()>=≤=-YX Xy F y P XF F()()--=-=-=Y X Xy yf y f fe因此,0,()0, 0.-⎧>=⎨≤⎩yYe yf yy2. 解(1) P{ X <1}11100012---===-⎰⎰⎰x x xdx e dy xe dx e(2) 0,0,,0,()(,)0, 0.0,0--+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰x xxXe dy x xe xf x f x y dyxx,0,,0,()(,)0, 0.0,0+∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰x yyYe dx y e yf y f x y dxyy(,)()()≠X Yf x y f x f y，故X,Y 不独立.(3) 当x > 0时，()0-=>xXf x xe，这时有1,0,(,)()()0,⎧<<⎪==⎨⎪⎩Y XXy xf x yf y x xf x其他.(4) ⎰+∞∞--=dxxzxfzfZ),()(，其中, 2,(,)0, .-⎧<<-=⎨⎩其他x e x z x f x z x当z ≤0时，(,)0-=f x z x ，此时0)(=z f Z ； 当z > 0时，(,)--=xf x z x e ，此时22()---==-⎰zzxz z Z f z e dx ee ，所以Z 的概率密度为 2, 0,()0, 0.--⎧⎪->=⎨⎪≤⎩z z Z e e z f z z六、 解 E (X )=()()()=-+∞+∞+∞----∞==+⎰⎰⎰t x ax a t axf x dx xedx t a e dt1+∞+∞--=+=+⎰⎰t t te dt a e dt a令1+a =X ，得a 的矩估计ˆ1=-aX . 当x 1,x 2,…, x n ≥a 时，似然函数为1212()()()()()---++++----==n n x a x x x nax a x a L a e e e e ， x 1,x 2,…, x n ≥0，取对数并求导数，有12(ln ())(())0''=-++++=>n L a x x x na n ，故L (a )是a 的增函数，即a 越大，L (a )的值就越大. 但由x 1,x 2,…, x n ≥a 可知，a ≤min{x 1,x 2,…, x n }. 因此a 的最大似然估计量为a =min{X 1,X 2,…, X n }.七、解 提出假设 H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05， 检验统计量(8)=X T t ，拒绝域为 0.1(8) 1.3968≥=T t0.0011 1.39680.001===<x ，故接受假设H 0，即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标. 八、解 (1) A 班众数6,7,8 B 班众数8 A 班中位数7 B 班中位数7.5 A 班极差6 B 班极差5(2) B 班学生的成绩好于A 班的.一、因为B 班学生的平均成绩B x =7.5高于A 班的平均成绩A x =7，说明B 班学生的成绩整体上好于A 班学生的成绩；二、B 班的成绩均方差B s ≈1.65小于A 班的成绩均方差A s ≈1.83，以及B 班的极差小于A 班的极差，都说明A 班学生的成绩分布相对比较分散；三、A 班的众数多小于B 班的众数，又说明A 班学生的成绩在低分段的相对比较多.2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、 选择题（每小题3分，共15分） 1. 随机事件ABAB AB 发生，意味着[ ].(A),A B 都发生； (B),A B 至多有一个发生； (C),A B 恰好有一个发生； (D),A B 至少有一个发生.2. 设随机变量230.40.6X-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的分布函数为[ ]. (A)0,2,()0.4,23,0.6, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ (B)0.4,2,()0.6,23,1, 3.x F x x x ≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩(C)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩ (D)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩3. 已知221122(,),(,)XN Y N μσμσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<≥-<，正确的是[ ].(A)12σσ≤； (B)12σσ<； (C)12σσ≥； (D)12σσ>. 4. 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，不正确的是[ ].(0,1)X N ; (B)222(1)(1)n S n χσ--;()X t n ; (D)X 与2S 相互独立.5. 对原假设H 0和备择假设H 1，[ ]为犯第一类错误.(A) H 1真，拒绝H 1； (B) H 1不真，拒绝H 1； (C) H 1真，接受H 1； (D) H 1不真，接受H 1. 二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设事件A 1, A 2, A 3相互独立，且P (A i )=1/3( i =1,2,3)，则A 1, A 2, A 3至少发生一个的概率为 .2. 设随机变量X ,Y ,Z 相互独立，概率密度函数分别为21(1)2211,13,,0,()()(),220,,0,0,y z X Y Z x e y f x f y f z z y ---⎧⎧<<≥⎪⎪===-∞<<+∞⎨⎨⎪⎪<⎩⎩其他，则E (3X – YZ 2)= . 3. 二维正态变量(,)(2,1,8,15,0)X Y N -，则Y ，X 与Y （独立，不独立，相关）.4. 设X ,2S 是二项总体B (10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E (X –2S )= .5. 设某次考试的成绩服从正态分布2(,)N μσ，其中2,μσ均未知. 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .三、（12分）设随机变量(X ,Y )的分布律为\1020.20.30100.40.1X Y，（1）求Z = 2X – Y 的分布律；（2）求Cov (X , Y )；（3）判断X , Y 的独立性与相关性. 四、（共11分） 1.（6分）设随机变量,02,()0,ax x Xf x <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数a ；（2）求分布函数F (x ). 2.（5分）设随机变量22,0,(1)()0, 0,x x Xf x x π⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩求ln Y X =的概率密度函数.五、（12分）设二维随机变量(X ,Y )在由直线x =2, y = x /2及x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）(),()X Y X f x f y x ；（2）Z =X +Y 的概率分布. 六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间T i (i =1,2,3)均服从参数为(0)λλ>的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T ）.（1）求参数为λ的指数分布的分布函数；（2）给出T 与T 1、T 2、T 3的函数关系；（3）求T 的概率密度函数. 七、（共12分） 1.（6分）设随机变量1,01,()0,,a ax x X f x -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中(0)a a >未知，X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，求a 的矩估计.2.（6分）已知总体X 的分布律为20231(1)X P θθθθ--，其中(01)θθ<<未知；总体X 的一组样本值中有3个为0、4个为2、2个为3，求θ的最大似然估计.八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n 人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单．．谈谈你对保险及保险公司的看法.（本．题约定．．．：0()1,4;()1,4x x x x ≤Φ<<Φ=≥）一、B D A C D二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或2(1)30y --；独立； 4. 1.6； 5. H 0 :μ=70，H 0: μ≠70；X T =.三、（1）2101200.20.400.4Z P --（2）Cov (X , Y )= E (XY ) – E (X )E (Y )=1*2*0.1–0.5*0.4=0（3）P {X =1, Y =1}=0≠0.1=P {X =1}·P {Y =1}，所以X , Y 不独立.因为Cov (X ,Y )=00≠≠，所以ρ(X ,Y )=0，故X , Y 不相关. 四、1.（1）∵()1f x dx +∞-∞=⎰∴211,2axdx a ==⎰（2）20,0,1()(),02,41, 2.xx F x f x dx x x x -∞≤⎧⎪⎪==<<⎨⎪≥⎪⎩⎰2. ∵ 1(ln )0(0)y x x x''==>> ∴ 22()()()(1)yyyY X y e f y f e e e π'==+六、（1）,0,1,0()(){}0,0.0,0.x x e x e x f x F x P X x x x λλλ--⎧⎧>->==≤=⎨⎨≤≤⎩⎩ （2）T =max{T 1,T 2,T 3}（3）123123(){}{max{,,}}{,,}T F t P T t P T T T t P T t T t T t =≤=≤=≤≤≤33(1),0,()0,0.t Te t F t t λ-⎧->==⎨≤⎩23(1),0,()0,0.t t T e e t f t t λλ--⎧->=⎨≤⎩五、1,02,0/2,(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他（1）2()(,)1(02)2x X xf x f x y dy dy x +∞-∞===<<⎰⎰，当02x <<时，2,0,(,)()2()0,.Y X x y f x y f y x x f x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他 （2）232231,02,,02,32()(,),23,2,23,30,0,.z z Z z z z dz z f z f x z x dx dz z z z +∞-∞⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-=<<=-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰其他其他七、1. 1()1a aE X ax dx a ==+⎰， 令 111ni i a X a n ==+∑，得a 的矩估计ˆ1X a X =-. 2. 似然函数为L (θ)=( θ2)3(1-θ)4θ2 (1-θ)2=θ8 (1-θ)6令 d L (θ) /d θ=2θ7 (1-θ)5(4(1-θ) - 3θ)=0，0得θ的最大似然估计4ˆ7θ=.八、设有n 人参加保险，其中有X 人在一年内死亡，则(,0.001)X B n . 根据中心极限定理可知，(0.001,0.0010.999)X N n n ⨯.（1）不亏本：10n >= 2000X ，不亏本的概率为0，即P{10n >= 2000X }= P{X <= n /200}≈1Φ=，4,999n ≥≥.所以至少得有999人参加该保险. （2）利润：10n –2000X平均利润：10n –2000E (X )= 10n –2n =8n（3）。

2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题[含答案]一、选择题1．设随机变量X 的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ）1717A. () B. ()55551717C. () D. ()5555y y f f y y f f -----++---2．某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布2(,0.9)N μ，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。

问在显著水平0.1α=下，该批产品的标准差是否有显著差异？22220.050.950.050.95((19)30.14, (19)10.12(20)31.41, (20)10.85)χχχχ====已知：；解：待检验的假设是0:0.9H σ= 选择统计量22(1)n S W σ-=在H 成立时2~(19)W χ220.050.95{(19)(19)}0.90P W χχ>>=取拒绝域w ={30.114,10.117W W ><}由样本数据知 2222(1)19 1.233.7780.9n S W σ-⨯=== 33.77830.114>拒绝0H ，即认为这批产品的标准差有显著差异。

3．随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；因为炮口速度服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=-220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭2σ的置信度0.95的置信区间为 8989,17.535 2.180⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 即()4.106,33.0284．若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。

2020-2021《概率统与数理统计》课程考试试卷B2适用专业 ,考试日期. 答题时间2小时,闭卷,总分100分附表：0.025 1.96z = 0.975 1.96z =- 0.05 1.65z = 0.95 1.65z =-一、 填空题（每空2分，共28分）1、设C B A ,,是三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件. （1）C B A ,,至少有两个发生 （2）A 发生且B 与C 至少有一个发生 （3）C B A ,,只有一个发生2、若()()41,31==B P A P .则（1）若B A ,相互独立，则()=⋃B A P （2）若B A ,互斥，则()=⋃B A P3、设X 在（0，6）服从均匀分布，则方程22540x Xx X ++-=有实根的概 率为4、将n 只球（n ~1号）随机地放进n 个盒子（n ~1号）中去，一个盒子装一 只球，若一只球放入与球同号的盒子中，称为一个配对.设为总的配对数为X ， 则()=X E5、设总体()p B X ,1~，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.则),,,(21n X X X 的 分布为 ，()=X E ，()=X D ，()=2S E 6、设n X X X ,,,21 是来自分布()2,σμN 的样本，μ已知，2σ未知.则()~122∑=-ni i X σμ7、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（mm ）为：19.7 20.1 19.8 19.9 20.2 20.0 19.9 20.2 20.3，设零件的直径服从正态分布()2,σμN ，且21.0=σ（mm ）.则这批零件的均值μ的置信水平为0.95的置信区间为8、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，且()()2,σμ==X D X E ，若()22cSX -是2μ的无偏估计，则=c二、选择题(共4题，每题3分，共12分)9.设B A ,是任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论肯定正确的是（ ） A ）B A 与互斥 B ）B A 与相容 C ）()()()B P A P AB P = D ）()()A P B A P =-10.设()2,1,412141101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=i X i 且()1021==X X P ，则()==21X X P （ ）A ）0B ）1C ）21D ）4111.设随机变量Y X 与的联合概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤+=,01,1,22其他y x y x f π，则（ ）A ）Y X 与相关，但不独立B ）Y X 与不相关，但不独立C ）Y X 与不相关，但独立D ）Y X 与既相关，又独立12.设()12,1,0~+=X Y U X ，则 （ ） A ）()1,0~U Y B ）()110=≤≤Y P C ）()3,1~U Y D ）()010=≤≤Y P 三、解答题（共5题，每题12分，共60分）13、试卷中有一道题，共有四个答案，其中只有一个答案正确.任一考生如果会解这道题，则一定能选出答案.如果他不会这道题，则不妨任选一答案.设考生会解这道题的概率为0.8，试求考生选出正确答案的概率.14.设随机变量ξ的概率密度函数为()()()0 ,010,>⎩⎨⎧<<=k x kx x f ，，其他αα且95.0=ξE ，试求α,k .15.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为212, 01(,)0, y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他试求边际密度函数()X f x 和()E XY .16.设总体X 具有分布律其中()10<<θθ为未知参数.已知取得了样本值1,2,1321===x x x ，试求θ的 矩估计值和最大似然估计值.17.假定考生成绩服从正态分布()2,σμN ，1.5分，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，问在显著性水平0.05下，是否可以人为这次考试全体考生的平均成绩为70分.2020-2021《概率统与数理统计》课程考试试卷B2答案一、填空题（每空2分，共28分）1、BC AC AB ⋃⋃，()C B A ⋃，C B A C B A C B A ⋃⋃；2、127,125；3、21；4、1；5、())1(,)1(,,1)(11p p np p p p pni i ni ix n x --∑-∑==-； 6、2)(n χ； 7、20.111； 8、n1. 二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）.12 11 10 9C B A D 、，、，、，、三、解答题13、0.8⨯1+0.25⨯0.2=0.80514、解 由110160.95f x dx xf x dx分；得191218k分；15、解 ()()230124,015分xX f x y dy x x ==≤≤⎰；()130011(,)1212.2分xy x E XY xyf x y dxdy dx xy dy ≤≤≤===⎰⎰⎰⎰16、解 22122131322E X 分；所以()332分，E X θ-=又()^453分；E X X ==所以的矩估计为566＝分θ.由521L，则ln 5ln ln 2ln 18L分；令ln 0d L d，得5106分θ=，所以的最大似然估计为5126＝分θ17、解 本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为：01:70 vs :70H H μμ=≠拒绝域{}1/2z z α->，当显著性水平为0.05时，0.975 1.96z =-.由已知条件，66.5, 1.5,x σ==故检验统计量的值为()666.570141.5z ⨯-==-因为14 1.96z =>，故拒绝原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩不为70分.。

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答一、概率论部分1. 概率的基本概念（1）概率的定义：在随机试验中，某个事件发生的可能性大小，用0到1之间的实数表示。

（2）概率的加法原理：若A和B是两个互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)。

（3）概率的乘法原理：若A和B是两个独立事件，则P(A且B) = P(A) P(B)。

2. 概率分布（1）离散型随机变量：取值为有限个或可数无限个的随机变量。

（2）连续型随机变量：取值范围为实数集的随机变量。

3. 常见概率分布（1）二项分布：描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。

（2）泊松分布：描述在固定时间内，发生k次事件的概率分布。

（3）正态分布：描述随机变量在某一均值附近呈钟形分布的概率分布。

二、数理统计部分1. 统计量（1）样本均值：样本数据的平均值。

（2）样本方差：描述样本数据离散程度的度量。

（3）样本标准差：样本方差的平方根。

2. 参数估计（1）点估计：用样本统计量来估计总体参数的值。

（2）区间估计：用样本统计量来估计总体参数的取值范围。

3. 假设检验（1）原假设：关于总体参数的某种假设。

（2）备择假设：与原假设相对立的假设。

（3）显著性水平：用于判断假设检验结果是否显著的阈值。

（4）P值：在原假设成立的情况下，观察到样本统计量等于或大于实际观察值的概率。

（5）拒绝域：在假设检验中，当样本统计量落入该区域时，拒绝原假设。

大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答三、概率论部分4. 条件概率与独立性（1）条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

（2）独立性：若两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，则称A和B相互独立。

5. 随机变量的数字特征（1）期望值：随机变量的平均值，表示随机变量的中心位置。

（2）方差：描述随机变量取值波动程度的度量。

（3）标准差：方差的平方根。

四、数理统计部分4. 抽样方法（1）简单随机抽样：从总体中随机抽取样本，每个个体被抽中的概率相等。

试卷编号： 班级 学号 姓名 考核对象： 注意：1．重修必须注明（重修）2．试卷背面为草算区装 订 线大连工业大学201 ～201 学年 第 学期 《 》试卷（ ） 共 页第 页说明：“阅卷总分”由阅卷人填写；“复核总分”由复核人填写，复核总分不得有改动。

一、填空题（每空3分，共15分）1． 设()4.0=A P ， ()3.0=B P 且A ，B 互不相容，求，()=B A P .2． 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，3)(=Y E ，1)()(==Y D X D ，则=-])[(2Y X E 。

3． 设n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量∑=-ni iX122)(1μσ服从 分布。

4． 设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P 。

5． 设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == 。

二、单选题（每小题3分，共15分）1．设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是（ ）(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =2．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，03x 121)(x f ，则方差()X D = （ ）(A) 2； (B)12； (C) 3； (D) 133．设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是（ ）()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； ()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ 4．设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y （ ）()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ； ()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -5．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则非统计量是（ ）. （A ）1231()3X X X ++ （B ）122X X μ++ （C ）123max(,,)X X X （D ）12321()X X X σ++三、计算题（10分）袋中有15个球，其中有9个新球，6个旧球，第一次比赛时从中任意取一个，比赛完后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任意取一个，试求： (1) 第一次恰好抽到新球的概率；(2) 第二次恰好抽到新球的概率；(3) 已知第二次恰好抽到新球，求第一次也抽到新球的概率．试卷编号：班级学号姓名考核对象：注意：1．重修必须注明（重修）2．试卷背面为草算区装订线大连工业大学201 ～201 学年第学期《》试卷（）共页第页四、计算题（12分）设随机变量X的分布律为X -1 0 3p 0.2 0.3 0.5（1）求X的分布函数；（2）求13122+=+=XZXY及的分布律；（3）13122+=+=XZXY及期望五、计算题（12分）设二维随机变量()YX,的联合密度函数为()221,cx y x yf x y⎧<<=⎨⎩其它，⑴试求常数c；⑵求边缘密度函数．（3）判断X与Y是否相互独立。

概率大题专题及答案引言本文档旨在提供有关概率大题的专题知识和详细答案，帮助读者更好地理解和应对这类问题。

概率是数学中一个重要的分支，研究随机事件发生的可能性和规律。

掌握概率的基本理论和解题方法对于解决概率相关问题至关重要。

专题一：概率基础知识概率的基础知识是理解和应用概率的前提。

以下是相关概念的简要解释：1. 样本空间（S）：指一个随机试验中所有可能结果的集合。

样本空间（S）：指一个随机试验中所有可能结果的集合。

2. 随机事件（A）：是指样本空间中的一个子集，表示试验结果的某种属性。

随机事件（A）：是指样本空间中的一个子集，表示试验结果的某种属性。

3. 概率（P）：是对随机事件发生的可能性进行度量的数值，范围在0到1之间。

其中，P(A)表示事件A发生的概率。

概率（P）：是对随机事件发生的可能性进行度量的数值，范围在0到1之间。

其中，P(A)表示事件A发生的概率。

4. 互斥事件：两个事件A和B不可能同时发生，即A和B的交集为空集。

互斥事件：两个事件A和B不可能同时发生，即A 和B的交集为空集。

5. 独立事件：事件A的发生与事件B的发生无关，事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

独立事件：事件A 的发生与事件B的发生无关，事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

专题二：概率计算方法正确计算概率是解决概率问题的关键。

以下是常见的概率计算方法：1. 等可能概率计算：当样本空间中的所有结果是等可能发生的时候，计算概率是简单直接的。

对于事件A的概率，可以用事件A 中有利结果的个数除以样本空间中所有结果的个数来计算。

等可能概率计算：当样本空间中的所有结果是等可能发生的时候，计算概率是简单直接的。

对于事件A的概率，可以用事件A中有利结果的个数除以样本空间中所有结果的个数来计算。

2. 互斥事件的概率计算：对于互斥事件A和B，它们的概率可以通过各自概率之和来计算。

互斥事件的概率计算：对于互斥事件A和B，它们的概率可以通过各自概率之和来计算。

第一章 随机事件及其概率第三节 事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示 （ C ）（A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生（C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对 2.事件B A ,，有B A ⊂，则=B A （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为C B A第四节 概率的古典定义一、选择1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）（A ）21 （B ）53 （C ）103 （D ）101 二、填空 1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概率为11322535C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为!10!8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队被分在不同组内的概率为1910102091812=C C C 。

三、简答题1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率（1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球；（3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。

解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(314==C B P （3）1694)(3132314==C C C C P 第五节 概率加法定理一、选择1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ）(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P2.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。