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§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理• 1、矢量场的环量 概念：– 分析矢量场性质时，另一个重要的概念是矢量场沿闭合曲线的环量– 规定了正向的曲线称为有向曲线；在矢量场 A 中从一点开始沿着某一有向曲线C到另一点的路径上每一有向线元是一个矢量，称为线元矢量dl，∫ ∫ –将矢量A和dl的标量积累加，则A沿曲线C的线积分为：v A⋅v dl=A cosθdlCC–若C为闭合曲线时，则该表示矢量场A沿闭合曲线C的标性线积分称为矢量Av A沿闭合曲线C的 环量,v A⋅v dl=A cosθdlC∫ ∫ CCv dl v 物理意义：A 环量是一个标量，表示绕环线旋转趋势的大小； 若某一矢量场的环量不等于0，则认为场中存在漩 涡源，是一个有旋场。
§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理∫ ∫ 无旋场与有旋场： – 在矢量场A(r)中的任意两点P1和P2之间的线积分为P2v A⋅v dl=v A⋅v dlP1L– 任意选取两条路径，P1mP2和P1nP2∫ ∫ 若v A⋅v dl=v A⋅v dlP1mP2P1nP2P1vAn则v A⋅v dl=v A⋅dlv＋v A⋅v dl∫ ∫ ∫ P1mP2nP1vP1mP2 vv P2nP1 v= A ⋅ dl − A ⋅ dl = 0∫ ∫ P1mP2P1nP2mP2– 因此，若矢量场A的线积分值只与积分路径的起止点有关而与路径无关，– 即矢量场A沿任意闭合环路的环量都为0，具有这样特性的矢量场称为无旋场 或保守场 。
– 否则，则称为有旋场或非保守场–如何判断？如何知道每个点附近的环流状态？——需引入旋度的概念§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理• 2、矢量场的旋度1）环量面密度vv rot AdS• 作一条围绕P点的闭合曲线C，保持面元方向en不变，• 将闭合路径缩小， 使它所包围的面积元ΔS→0，• 若环量与面积之比的极限存在， 则称该极限式为• 矢量A在该点沿方向en的环量面密度• 环量面密度不仅与位置有关，还与面元法线∫v vvrotnA=limΔS →0A ⋅ dlCΔS方向有关，在某个方向上可能取得最大值。
2）旋度∫ •定义：矢量场A在某点的旋度为一个矢量， • 大小:矢量场在该点环量面密度的最大值 • 方向:在该点取得最大环量面密度的方向；⎡rotv A=evnlimΔS →0⎢⎣v AC⋅dlv⎥⎦⎤maxΔS• 物理意义：该点的漩涡源的强度和方向,• 若该点旋度不为0，则该点有漩涡源；旋度不为0的场称为有旋场；• 若矢量场旋度处处为0，则称为无旋场或保守场•方矢向量上场的在投某影点，处即沿某一ro方tn向Av 的= 环ro量tAv面⋅ ev密n 度 等于该点处的旋度在此§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理¾ 计算公式: 环量面密度 旋度：直角坐标系中:rotnv A=v rotA⋅evnrotv A=∇×v A( ) rotv A=∇×v A= ⎜⎜⎝⎛ evx∂ ∂x+ evy∂ ∂y+ evz∂ ∂z⎟⎟⎠⎞×evx Ax+ evy Ay+ evz Azevx evy evz=∂ ∂x∂ ∂y∂ ∂z=evx⎜⎜⎝⎛∂Az ∂y−∂Ay ∂z⎟⎟⎠⎞+evy⎜⎛ ⎝∂Ax ∂z−∂Az ∂x⎟⎞ ⎠+evz⎜⎜⎝⎛∂Ay ∂x−∂Ax ∂y⎟⎟⎠⎞Ax Ay Azv divA=∇⋅v A=∂Ax+∂Ay+∂Az∂x ∂y ∂z•矢量场在某点的旋度表征了该点场矢量在各个方向上的分量沿着 与其正交方向的变化率所决定的特性§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理圆柱坐标系:evρ ρevϕ evzv rotA=∇×v A=1∂∂∂ρ ∂ρ ∂ϕ ∂zAρ Aϕ Az球坐标系:v rotA=∇×v A=r21sinθevr ∂∂rrevθ ∂∂θr sinθevz∂∂ϕAr rAθ r sinθAϕ§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理• 3、斯托克斯定理¾ 定理：若矢量场A的各分量在给定空间区域内有一阶连C续偏导数，则矢量场A在闭合曲线C上的环量等于闭合∫ ∫ ( ) ¾曲线C所围曲面S上A的旋度的面积分，即： 证明：v A⋅v dl=CS∇×v A⋅v dS将闭合曲线C所围曲面S分成许多小面元ΔSi，对应周界为ΔCi，∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 绕行方即Q向：r与oΔtC面ni AvA元v=⋅矢drlvo量i＝tA方v Δ⋅l向Seviimn→en0i成∇右⋅ Av手⋅螺evn旋iΔΔ关lSSiimi→系＝0ΔlSΔiimC→Δi 0AvS∇i⋅ d⋅lvAiv= ⋅∇⋅ ΔSviv A⋅ evni∫ ( ) ∑( ) ∑∫ ∫ 又∇⋅v A⋅v dS=S ivv ∇ ⋅ A ⋅ dSi =ivv ΔCi A ⋅ dli=v A⋅v dlCy§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理•4、举例¾ 例1: 已知矢量场v A=evxx2+evyxy 2求A沿闭合P2曲线C的环量。
( 其中P1P2段为半径为a的四分之一圆)x¾ 解：1) 根据环量定义，分段求线积分OP1( ) ( ) OP1段： ∫∫ ∫∫ ( ) ( )∫ ∫ ( ) P2O段：vv l1 A ⋅ dll1vv l3 A ⋅ dll3= =evx x2 + evy xy2l1evx x2 + evy xy2l3⋅ evxdx = ⋅ − evydy1 x2dx = x3 1 = 1033x=0= 0 − xy2 dy = 01x=0∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) P1P2段：l2v A⋅v dll2=l2evx x2 + evy xy2⋅ evxdx + evydy=l2x2dx + xy2dy∫ ( ) 圆弧上x = a cosϕ, y = a sin=ϕπ /2 a3 cos2 ϕd cosϕ + a4 cosϕ sin 2 ϕd sin ϕϕ =0= πa4 − a316 3∫ ∑∫ ∴v A⋅v dl=v A⋅v dl=πa4Ci li16§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理y¾ 法2: 利用斯托克斯定理Qv A=evxx2+evyxy 2∫ ∫ ( ) v A⋅v dl=∇×v A⋅v dSCSP2x∴∇×v A=evx ∂evz ∂evzevx∂ =∂∂x ∂y ∂z ∂xevz ∂∂yevzO∂ ∂z= evz y 2= evz (ρ sinϕ )2P1Ax Ay Az x2 xy2 0又圆柱坐标系下v dS=dSvz＝evzρdρdϕ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∴v A⋅v dl=C∇×v A⋅v dS=SS evz ρ 2 sin 2 ϕ⋅ (evz ρdρdϕ )∫ ∫ ∫ = (ρ sinϕ )2 ρdρdϕ = a π /2(ρ sinϕ )2 ρdρdϕ = πa4Sρ=0 ϕ=016§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理¾ 例2: 处，沿求lv矢=量evx场2 −Avevy=3ev+xevxyy6z− evy 2 xy2 + evy 2 yz2在点M（1,1,－2） 方向的环量面密度¾ 利用环量面密度与旋度的关rotnv A=v rotA⋅evn系： ¾ 解：evn=v lv l=evx 2 − ev y 3 + ev y 6 4 + 9 + 36=ev x2 7−ev y3 7+ev y6 7rotv A=evx ∂evz ∂evzevx∂=∂evz ∂∂x ∂y ∂z ∂x ∂yevz( ) ∂∂z= evx 2z 2 + evy xy + evz − 2 y2 − xzAx Ay Az xyz − 2xy2 2 yz 2( ) v∴ rotn A Mv = rotAM⋅ evn =evx 8 + evy⋅⎜⎛ ⎝evx2 7−evy3 7+evy6 ⎟⎞ = 19 7⎠ 7§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理( ) ¾ 例3: 已知矢量场v A=evρ ρ ⋅ avv b其中a、b均为非零常矢量，问矢量场A是否为保守场？¾ 分析: 若矢量场旋度处处为0时，为保守场/无旋场，关键求旋度； 常矢量在直角坐标系中的分量为常量，宜采用直角坐标系evρ ρ = evx x + evy yav=evx a x+evyay;v b=evxbx+evyby( ) [( ) ( )]( ) ∴v A=evρ ρ⋅ avv b=evx x + evy y ⋅ evxax + evyayevxbx + evyby( )( ) = xax + yay evxax + evyay( ) ∇ ×v A=evxaybz− evy axbz+ evza xby a y bx可知∇×v A≠0Av 不是保守场§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理¾ 例4: 若矢量场v A=evxz+evyx+evzy，试在半球面S(x2+y2+z2=1, z≥0)上验证Stokes定理。
θ∫ ∫ ( ) ¾ 分析: 什么是Stokes定理？v A⋅v dl=∇×v A⋅v dSϕ¾解：先求等式右边，CS球坐标系e中vx ，rev＝y 1上ev半z 球面evx上的ev面y 元ev矢z 量为∇×v A=∂∂x∂ ∂y∂=∂ ∂z ∂x∂ ∂y∂ ∂z= evxv dS+ evy+==evevzevrrrs2isniθndθθddθϕdϕAx Ay Az z x y∫ ( ) ∫ ( ) ∴右边 =S∇×v A⋅ dSv＝Sevx+ evy+ evz⋅ evr sinθdθdϕ∫ ( ) ＝ Sevx ⋅ evr+ evy ⋅ evr+ evz ⋅ evrsinθdθdϕ∫＝ (sinθ cosϕ + sinθ sinϕ + cosθ )sinθdθdϕ = π S§1.5 矢量场的环量及旋度 斯托克斯定理∫ ∫ ( ) v vvv¾ 再求等式左边，A ⋅ dl =C∇ × A ⋅ dSS在xy平面内，取闭合路径为： x2+y2=1,（z＝0）v dl=evx dx+evydy+evz0∫ ∫ ( ) ( ) 左边＝v A⋅v dl=CCevx z + evy x + evz y ⋅ evxdx + evydy∫ ∫ = (zdx + xdy) = xdyCC∫ ∫ =1 −11 − y2 dy +−1 1⎜⎝⎛−1 − y2 ⎟⎠⎞dy∫1=21 − y2 dy = π−1∫ ∫ ( ) ∴满足v A⋅v dl=∇×v A⋅v dSCSy x。
