电磁场课件第一章_矢量分析

( A + B) C = A C + B C —— 分配律
A (B C) = B (C A) = C ( A B) A (B C) = ( AC)B − ( A B)C
—— 标量三重积 —— 矢量三重积
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系
= 0（圆锥面）
坐标变量
r,,
坐标单位矢量 er , e , e
r = r0
（球面）
位置矢量 线元矢量
r = err
dl = erdr + e rd + e rsind
= 0（半平面）
球坐标系
面元矢量
dSr
=
erdl dl
=
er
r
写成行列式形式为
ex ey ez A B = Ax Ay Az
Bx By Bz
A B = −B A
若
A
⊥
B
，则
A B
=
AB
若 A // B ，则 A B = 0
A B
B
AB sin
A
矢量A与B 的叉积
7
（5）矢量的混合运算
( A + B) C = AC + B C —— 分配律
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0 1
ez 0 0 1
ez
cos − sin
0
直角坐标与 球坐标系
ex
er sin cos
e − cos sin
e − sin
ey
sin sin cos sin
cos
ez
cos − sin
0
y
e
ey
e
ex
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y = y0（平面）
x x = x0 （平面）
直角坐标系
z dSz = ezdxdy
dz
dS y = eydxdz
o
dy
dx
dSx = exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
2. 圆柱坐标系
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 位置矢量
e ,e , ez
r = e + ez z
线元矢量
dl = ed + e d + ezdz
面元矢量
dS
= e dldlz
= e ddz
dS
=
e dl dlz
=
e ddz
dSz = ezdldl = ez dd
体积元
dV = dddz
z = z0（平面）
P(0,0, z0 )
= 0
（圆柱面）
= 0（半平面）
矢量的减法
5
（2）标量乘矢量
kA = exkAx + eykAy + ezkAz
（3）矢量的标积（点积）
A B = AB cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A B = B A ——矢量的标积符合交换律
B
A
矢量A与 B 的夹角
A⊥B
A B = 0 A // B
Ax = A cos
z
Az
A
Ay
Ax O
y
Ay = A cos
Az = A cos
x
A = A(ex cos + ey cos + ez cos )
eA = ex cos + ey cos + ez cos
2. 矢量的代矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
2020.02.18
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
2
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
=
eA A
=
eA
A
A
矢量的大小或模：A = A
矢量的单位矢量：
eA
=
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
矢量用坐标分量表示
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
2020.02.2014
r = ex x + ey y + ez z dl = exdx + eydy + ezdz
面元矢量
dSx = exdlydlz = exdydz
dS y
=
e
y
dl
x
dlz
=
eydxdz
dSz = ezdlxdly = ezdxdy
体积元
dV = dxdydz
z
z
=
z0
（ 平面） ez
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量 线元矢量
A+ B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B = ex ( Ax Bx ) + ey ( Ay By ) + ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A + B = B + A
B
A
A−B
−B
结合律 A + (B + C) = ( A + B) + C
ex ey = ey ez =ez ex = 0
ex ex = ey ey = ez ez = 1
A B = AB
（4）矢量的矢积（叉积）
A B = en AB sin
用坐标分量表示为
A B = ex ( Ay Bz − Az By ) + ey ( Az Bx − Ax Bz ) + ez ( Ax By − Ay Bx )
2sindd
dS
=
e dlrdl
= ezrsindrd
dS = edlrdl = erdrd
P(r0,0,0 )
体积元
dV = r 2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积1元2
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与
e
ex
cos
圆柱坐标系 e − sin
ez
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理