江苏省如东高级中学2017-2018学年高三暑期作业检测数学试题 Word版含答案

2018届高三年级第二次学情检测数学试卷第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．）1. 已知全集为，且集合，，则__________．【答案】【解析】，点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知向量，，且，则实数__________．【答案】8【解析】，，解得 .3. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由解得，因为是的必要不充分条件，所以.4. 函数的单调递减区间是__________．【答案】【解析】由，解得又所以减区间是.5. 已知函数的图象向右平移个单位后与原图象关于轴对称，则的最小值是__________．【答案】【解析】函数的图象向右平移个单位后, 所得图象对应的函数解析式为,再根据所得图象与原图象关于轴对称,可得,即,则的最小值为.6. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是__________．【答案】【解析】函数为偶函数，且在上单调递增，不等式等价于不等式，可得，解得点晴：本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为偶函数，所以图像关于轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左减右增，距离对称轴越远，函数值就越大，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离轴远，函数值就大.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.7. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为__________．【答案】3【解析】圆关于直线对称,圆心在直线上,,即,点向圆所作的切线长为: ,当a=2时,点向圆所作的切线长取得最小值.8. 如图，在三角形中，点是边上一点，且，点是边的中点，过作的垂线，垂足为，若，则__________．【答案】32【解析】由题，点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9. 已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】连接OA,OB,OP,根据题意,O、P、A、B四点共圆,。

学年高一下学期阶段测试（二）
间：】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学必修二、四、五等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点为正值，且，若直线与线段平行，则________________ ：，上两点，点，且A(1,1)上的截距比在，求使不等式，两条道路造价为值时，
20．已知圆()2
2:44M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．
（1）当切线PA 的长度为P 的坐标；
（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB 长度的最小值．。

数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}{}1,0,1,|02A B x x =-=<<，则AB =__________．2.若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为------． 3.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 4.函数()()21log 3f x x =-的定义域为____________．5.若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________．6.设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，()()22log 12f f -+=_____________． 7.如图所示函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，现将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的解析式为____________．8.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．9.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，其渐近线与圆2260x y y m +-+=相切，则m _____________．10.已知椭圆22:1259x y C +=的左焦点为F ，点M 是椭圆C 上一点，点N 是MF 的中点，O 是椭圆的中点，4ON =，则点M 到椭圆C 的左准线的距离为___________．11.已知α为锐角，若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．12.已知函数()212,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则实数m 的取值范围是____________．13．在平行四边形ABCD 中，1AD =，060BAD ∠=，E 为CD 的中点，若3332AC BE =，则AB 的长为___________．14．设函数()f x =（,a R e ∈为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在一点()00,x y 使得()()0ff y y =，则a 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，32,cos ADB 23AE B π==∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求AD 及DC 的长． 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为3,,,cos 10a b c C =， （1）若92CA CB =，求ABC ∆的面积；（2）设向量(22sin ,,cos 2,12sin 2B x B y B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且//x y ，求角B 的值． 17.（本小题满分14分）如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上．（1）设BOC θ∠=，征地面积记为()f θ，求()f θ的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？ 18.（本小题满分16分）如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当MN =时，求直线l 的方程；（3）()BM BN BP +是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为左准线l 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ，当TF PQ最小时，求点T 的坐标．20．（本小题满分16分）已知函数()()24ln 1f x x ax x a a R =-+--+∈．（1）若()1202f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求a 的值； （2）若存在0x ⎛∈ ⎝，使函数()f x 的图像在点()()00,x f x 和点0011,,f x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间()1,+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．2017届高三年级第二次学情检测 数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1．已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2,M Q -，是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．2．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 与,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．3．已知函数()()[)()ln 1,0,,f x x x f x '=+∈+∞是()f x 的导函数．设()()()g x f x axf x '=-（a 为常数），求函数()g x 在[)0,+∞上的最小值．4．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()1,1,A P -是动点，POA ∆且的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交与点M ，请问，是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1. {}1；2. []13-，；3. 5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；4. ()(),22,3-∞；5.440x y -+=；6. 9；7. sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；8. 112m ≤<；9. 8；10. 52；11. 2425；12. []2,8-；13. 14；14. []1,e 二、解答题15.解：（1）在ABD ∆中，因为()cos 0,B B π=∈，所以sin B =（2）由正弦定理sin sin AD BDB BAD=∠，得2sin BD AD BAD ===∠．．．．．．．．．．． 9分依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠，即29422cos 3DC CD π=+-⨯⨯，所以2250DC DC --=，解得1DC =+（负值舍去）．．．．14分 16.解：（1）∵92CB CA =，∴9cos 2ab C =，∴15ab =．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵()3cos ,0,,sin 10C C C π=∈=．．．．．．．．．．．．．．．5分所以ABC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）因为//xy ，所以22sin 12sin 202B B B ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦， 2sin cos 20B B B=，即sin 220B B =，显然cos 20B ≠，所以tan 2B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分所以25233B ππ=或， 即3B π=或56π．．．．．．．．．．．．．．．11分因为3cos 10C =<，∴6C π>．．．．．．．．．．．．．．．．13分 所以56B π=（舍去），即3B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分17.解：（1）连接OE ，可得OE R =，cos ,sin ,0,2OB R BC R πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以()()22sin cos cos 0,2OBCE f S R πθθθθθ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭梯形．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()()()22sin 1sin 1f Rθθθ'=--+，令()0f θ'=，∴sin 10θ+=（舍）或者1sin 2θ=．．．．9分 因为()()0,,0,,0,,,02662f f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''∈∈>∈< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当6πθ=时，()fθ取得最大．．．．．．．．．．．．．．13分 故6πθ=时，征地面积最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18.解：（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上，由210y xx y =-⎧⎨+-=⎩得()1,2A -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:270l x y ++=相切，所以R ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()2y k x =+， 即20kx y k -+=连接AQ ，则AQ MN ⊥，∵MN =1=，1，得34k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线l 的方程为3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BP =，∴()()()2222BM BN BP BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP +==+=+=， 当直线l 与x 轴垂直时，得52,2P ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则50,2BP ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，又()1,2BA =，∴()2210BM BN BP BQ BP BA BP +===-．．．．．．．．．．．13分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，由2270y kx x y =+⎧⎨++=⎩，解得475,1212k k P k k ---⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，∴55,1212k BP k k --⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦， ∴()510222101212k BM BN BP BQ BP BA BP k k -⎛⎫+===-=-⎪++⎝⎭综上所述，()BM BNBP +是定值，且为-10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分19.解：（1）依条件222222624c a a b a b c =⎧⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪-==⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()()223,,,,,T m P x y Q x y -，因为()2,0F -，故直线PQ 的方程为：2x my =-，()222223420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，所以()()222122122168324104323m m mmy ymy ym⎧∆=++=+>⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，=，所以TFPQ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()1x x=≥，则2TFxPQ x⎫==+⎪⎭，可以证明当(x∈时2xx+为减函数，当x⎤∈+∞⎦时2xx+为增函数，所以当x=时TFPQ最小，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分所以当TFPQ最小时，22x=即1m=或-1，此时点T的坐标为()3,1-或者()3,1--．．．．．．．．．．．．．16分20.解：（1）由()1202f f⎛⎫+=⎪⎝⎭得，()1114ln1424ln210422a a a a⎛⎫-+--++-+--+=⎪⎝⎭，解得92a=．．．．．．．．．．3分（2）函数()f x的定义域为()0,+∞，()0042f x a xx'=--，00124f a xx x⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由题意得()011f x fx⎛⎫''=-⎪⎝⎭，即000042241a x a xx x⎛⎫⎛⎫----=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．5分整理得220000116850a x a xx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设001t x x =+，由0x ⎛∈ ⎝，得()2,3t ∈， 则有228650t at a -++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()22865f t t at a =-++，则()f t 在()2,3t ∈上有零点，考虑到()()22232125610f a a a =-++=-+>，所以3238308a a f ⎧<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或()33830a f ⎧≥⎪⎨⎪<⎩，解得8a ≤<或811a ≤<，所以a的取值范围是)⎡⎣．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3）()24242x ax f x x a x x-+-'=-+-=，令()224g x x ax =-+-，由题意，()g x 在区间()1,+∞上有两个不同零点，则有()232014160a a g a ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪=-+<⎪⎩，解得6a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设函数()f x 的两个极值点为1x 和2x ，则1x 和2x 是()g x 在区间()1,+∞上的两个不同零点，不妨设12x x <，则222240x ax -+-=①，得2x =且关于a在()上递增，因此)22x ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又由①可得2242a x x =+②， 当()11,x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减；()12,x x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增；当()2,x x ∈+∞时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减，结合②可得()()22222222222244ln 1244ln 21f x f x x ax x a x x x x x ==-+--+=-++---+⎡⎤⎣⎦极大值)222222424ln 5,2x x x x x =---+∈．．．．．．．．．．．．．14分 设())2424ln 5,2h x x x x x x =---+∈， 则()()()22221244220x x h x x x x x --'=-+-=>， 所以()h x在)2上递增，所以()()22h f x h <<，从而()72ln 2,234ln 20h h =-=->，所以()()272ln 2,34ln 2f x ∈---， 又()10f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，综上，存在满足条件的m ，m 的取值范围为[)34ln 2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分数学（加试）参考答案1.解：由题意知，M 为PQ 中点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分设(),Q x y ，则P 为()2,4x y ---，代入230x y -+=，得250x y -+=．．．．．．．．．10分2.解：因为,EB//AC AD AC =，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=．．．．．．．．．．．．5分由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()221043x y y +=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3.解：由题意()()ln 11ax g x x x=+-+， ()()()()22111111a x ax x a g x x x x +-+-'=-=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 令()0g x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤，即1a ≤时，()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()()min 0ln 1000g x g ==+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当10a ->即1a >时，()g x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()min 1ln 1g x h a a a =-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分综上：()min 0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3.变题：设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的 导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．解：在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立，令()()()()ln 11ax h x f x ag x x x=-=+-+，即()0h x ≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．1分 ()()()()22111111a x ax x a h x x x x +-+-'=-=+++， 令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()()0ln 1000h x h ≥=+-=，所以当1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上()0h x ≥恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当10a ->即1a >时，()h x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()1ln 1h x h a a a ≥-=-+，设()()ln 11a a a a ϕ=-+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()11a a ϕ'=-，因为1a >，所以110a-<，即()0a ϕ'<，所以函数()a ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()10a ϕϕ<=，即()10h a -<，所以()0h x ≥不恒成立， 综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．10分4.解：（1）设点(),P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=，得1111y y x x -+=-+，．．．．2分 整理得轨迹C 的方程为()201y x x x =≠≠-且．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()221122,,,P x x Q x x ，由PQ OA λ=，可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =， 故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， 直线OP 方程为：1y x x =．①直线QA 的斜率为：211111211x x x ---=----+， 所以直线QA 的方程为：()()1121y x x -=--+，即()1121y x x x =-+--，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 联立①②，得12x =-，∴ 点M 的横坐标为定值12-．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由2PQA PAM S S ∆∆=得2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =， 由2PO OM =，得11x =，所以P 的坐标为()1,1．所以，存在点P 满足2PQM PAM S S ∆∆=，点P 的坐标为()1,1．．．．．．．．．．．．．．10分。

2018届高三年级第二次学情检测数学试卷 第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．） 1．已知全集为R ，且集合{}22A x x =-<<，(){}2log 12B x x =+<，则A B =I ．2．已知向量()1,a m =r ，()3,2b =-r ，且()a b b +⊥r r r，则实数m = ．3．已知:p x a ≤，:11q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．4．函数()()2lg 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．5．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位后与原图象关于x 轴对称，则ω的最小值是 ．6．已知函数()()2ln 1f x x =+，则满足不等式()()213f x f -<的x 的取值范围是 ．7．若圆22:2270C x y x y +++-=关于直线40ax by ++=对称，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则线段PA 的最小值为 ．8．如图，在三角形ABC 中，点D 是边AB 上一点，且2DB AD =uu u r uuu r，点F 是边BC 的中点，过A 作CD 的垂线，垂足为E ，若4AE =，则AE AF ⋅=uu u r uu u r．9．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，过点P 作圆的切线,PA PB ，切点为,A B 使得3BPA π∠=，则椭圆1C 的离心率的取值范围是 ．10．函数2log y x =图象上存在点(),x y ，满足约束条件30,220,,x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 ．11．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则22a b+的取值范围为 ．12．已知函数()()11f x f x +=+当[]0,1x ∈时，()311f x x =--，若对任意实数x ，都有()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围 ． 13．函数()212f x x =，()ln g x a x =，对区间()1,2上任意不等的实数12,x x ，都有2f x f x ->恒成立，则正数a 的取值范围为 ．14．已知函数()()322112,32f x x ax a x b a b R =-+++∈，当102a <≤时，对任意[]12,1,2x x ∈-，使()()128f x f xb M a '+-≥+恒成立，则实数M 的最大值为 ．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知,αβ都是锐角，且3sin 5α=，()1tan 3αβ-=-. （1）求()sin αβ-的值； （2）求cos β的值.16．已知函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在区间[]2,3上有最大值5，最小值2.（1）求,a b 的值；（2）若1b <，()()2mg x f x x =-在[]2,4上是单调函数，求实数m 的取值范围.17．已知圆22:4O x y +=.（1）直线10l y +-=与圆O 相交于A B 、两点，求弦AB 的长度；（2）如图，设()11,M x y ，()22,P x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12PM PM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.18．某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点O 处的某种设备产生水波圈，水波圈生产t 秒时的半径r （单位：m ）满足2343r t =；AB 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端,A B 固定在水岸边.游戏规定：当点O 处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的A 端跑向B 端；若该参与者通过浮桥AB 的过程中，从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知tan 2AOB ∠=-，6OA m =，浮桥AB 的某个桥墩处点M 到直线,OA OB 的距离分别为2m ，且4AM m </s 的速度从浮桥A 端匀速跑到B 端.（1）求该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间？ （2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为12F F 、，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且5OP =，1216PF PF ⋅=uuu r uuu r（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 20．已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <. （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.2018届高三年级第二次学情检测 数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分，共40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．已知向量()21,1m x =-u r ，()1,n x =r夹角为锐角，求实数的x 范围.2．定义域为R 的函数()1221x x f x -=+.若对于任意t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<--恒成立，求k 的取值范围.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos 3c B b C ==. （1）求边长b ； （2）若ABC ∆的面积为212，求边长c . 4．已知()()2ln xf x ex a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.2018届高三年级第二次学情检测数学参考答案一、填空题1．()1,2- 2．8 3．2a ≥ 4．()1,3 5．326．()1,2-7．3 8．2 9．⎫⎪⎪⎣⎭10．1 11．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．244,,333⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 13．(]0,1 14．223- 二、解答题15．解：（1）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22ππαβ-<-<， 又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<. 利用同角三角函数的基本关系可得()()22sin cos 1αβαβ-+-=，且()()sin 1cos 3αβαβ-=--，解得()sin αβ-=.（2）由（1）可得，()cos 10αβ-===.因为α为锐角，3sin 5α=，所以4cos 5α===. 所以()cos cos cosβααβ=--=⎡⎤⎣⎦()()cos sin sin ααβααβ-+-4355⎛=+⨯= ⎝⎭. 16．解：（1）()()212f x a x b a =-++-.①当0a >时，()f x 在[]2,3[]2,3上为增函数，故()()35,22f f =⎧⎪⎨=⎪⎩所以9625,4422a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩解得1,0.a b =⎧⎨=⎩②当0a <时，()f x 在[]2,3上为减函数， 故()()32,25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩所以9622,4425a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩故1,0.a b =⎧⎨=⎩或1,3.a b =-⎧⎨=⎩（2）因为1b <，所以1,0a b ==，即()222f x x x =-+，()()22222222m m g x x x x x x =-+-=-++.若()g x 在[]2,4单调，则2222m +≤或2242m+≥ 所以22m≤或26m≥，即1m ≤或2log 6m ≥.故实数m 的取值范围是(][)2,1log 6,-∞+∞U .17．解：（1）由于圆心()0,0到直线10l y +-=的距离d ==.圆的半径2r =，所以2AB ==.（2）由于()11,M x y ，()22,P x y 是圆()f x 上的两个动点，则可得()111,M x y --，()211,M x y -，且22114x y +=，22224x y +=.直线1PM 的方程为112121y y x x y y x x ++=++，令0x =求得122121x y x y y m x x -==+.直线2PM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-，令0x =求得122121x y x y y m x x --==-.222221122221x y x y m n x x -⋅==-()()222221122221444x x x x x x ---=-. 显然mn 为定值.18．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则()6,0A ， 直线OB 的方程为20x y +=. 设()0,2M x=，解得03x =或05x =-. 当03x =时，4AM =，符合； 当05x =-时，4AM =>，不符合. 所以03x =，直线AM 的方程为23120x y +-=. 由20,23120x y x y +=⎧⎨+-=⎩解得3,6x y =-⎧⎨=⎩即()3,6B -.所以AB ==所以，该游戏参与者从浮桥A 端跑到B3s =.（2）在OAB∆中，sin OAB ∠=，cos OAB ∠=设ts 时，该参与者位于点P，则663P x t ==-，2P y t ==.则ts 时，点P 坐标为()63,2t t -，其中03t ≤≤.()()2222632133636OP t t t t =-+=-+，2243r t =. 令()22324133f t r OP t t =-=-()363603t t +-≤≤， 则()242636f t t t '=-+=()()2429t t --()0,2t ∈时()0f t '>，()f t 在()0,2上为增函数， ()2,3t ∈时()0f t '<，()f t 在()2,3上为减函数，故当2t s =时，()f t 取得最大值()2f . 由于()16203f =-<，所以[]0,3t ∈时，r OP <恒成立. 即该游戏参与者通过浮桥AB 的过程中，从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，所以该参与者在这个游戏中过关.19．解：（1）设()00,P x y ，()1,0F c -，()2,0F c ，则由5OP =，得220025x y +=；由1216PF PF ⋅=uuu r uuu r得()()0000,,16c x y c x y ---⋅--=，即2220016x y c +-=.所以29,3c c ==.又因为c a =，所以2218,9a b ==. 因此所求椭圆的方程为：221189x y +=. （2）设动直线l 的方程为：1y kx =-，由2211189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22214160k x kx +--=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421k x x k +=+，1221621x x k ⋅=-+. 假设在y 轴上是否存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =-uuu r ，()22,MB x y m =-uuu r.()()1212MA MB x x y m y m ⋅=+--=uuu r uuu r()2121212x x y y m y y m +-++()()()21212121111x x kx kx m kx kx m =+----+-+()()()221212121k x x mk k x x m m =+++++++()()22221614212121k k mk k m m k k -++=-+++++ ()222221821521m k m m k -++-=+由假设得对于任意的k R ∈，0MA MB ⋅=uuu r uuu r恒成立，即2221802150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得3m =. 因此，在y 轴上存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点， 点M 的坐标为()0,3.20．解：（1）因为()ln 2f x a x x '=-，依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根，∴0a ≠，2ln xa x =， 令()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=，当()0,x e ∈时，()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()10g =， 当x e >时，()0g x >，所以()20g e a << ∴()210g e a e<<=解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得，11ln 2a x x =，22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-， 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-，所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-， 因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+- 即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-， 则()0h t <在()0,1上恒成立，()ln h t t tλλ'=+-，令()ln I t t t λλ=+-，()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈ ①当1λ≥时，()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时，()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意；③当01λ<<时，()01I t t λ'>⇔<<所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减，故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.数学（加试）参考答案1．解：0m n ⋅>u r r 且,m n u r r 不平行，所以210x x -+>且()()()2112110x x x x --=+-≠ 解得：13x >且1x ≠， 所以，求实数x 的取值范围为()1,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U2．解：任取12,x x R ∈，不妨设12x x <则()()()()()21211222202121x x x x f x f x --=>++，则函数()f x 为实数R 上的减函数易知()f x 又为R 上的奇函数故不等式()()2222f t t f t k -<--可化为：2222t t t k ->-+ 即232k t t <-恒成立，而232t t -的最小值为13-所以13k <- 3．解：（1）由正弦定理得：sin sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠， 所以sin cos C C =，所以45C =︒又cos 3b C =，所以b =（2）因为121sin 22ABC S ac B ∆==，sin 3c B =，所以7a =.由余弦定理可得2222cos 25c a b ab C =+==，所以5c =.4．解：（1）1a =时，()()2ln 1x f x e x =++，()2121x f x e x '=++ ()01f =，()10231f '=+=， 所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x =+（2）存在[)00,x ∈+∞，()()20002ln f x x a x <++，即：()02200ln 0x e x a x -+-<在[)00,x ∈+∞时有解；设()()22ln x u x e x a x =-+-，()2122x u x ex x a '=--+ 令()2122x m x e x x a =--+，()()21420x m x e x a '=+->+ 所以()u x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()102u x u a ''≥=-1°当12a ≥时，()1020u a'=-≥，∴()u x 在[)0,+∞单调增， 所以()()max 01ln 0u x u a ==-<，所以a e >2°当12a <时，()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 设()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()11211122x h x x x -'=-=++ 令()102h x x '>⇒>，()1002h x x '<⇒<< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，所以11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭所以()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()22102x g x e x x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭，()2221x g x e x '=--， 令()2221x x e x ϕ=--，()242420x x e ϕ'=-≥-> 所以()2221x x e x ϕ=--在[)0,+∞上单调递增，所以()()010g x g ''≥=>所以()g x 在()0,+∞单调递增，∴()()00g x g >>， 所以()()00g x g >>，所以()()()22ln 0x u x ex a x g x =-+->> 所以，当12a <时，()()22ln f x x a x >++恒成立，不合题意 综上，实数a 的取值范围为12a ≥.。

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二） 数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．命题R x ∈∃，使得012≤+x 的否定为 . 2．抛物线y x 82=的准线方程为 .3．在等差数列}{n a 中，已知1182=+a a ，则1133a a +的值为 .4．下列命题：①45>或54>；②命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 5．能够使“设x 是实数，若1>x ，则311>-+x x ”是假命题的一个实数x 的值为 . 6．“3≥+y x ”是“1≥x 或2≥y ”的 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线1922=-ay x 的右焦点为)0,13(，则该双曲线的渐近线方程为 . 8．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是)1,(-∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是 .9．设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤>1||||0y x x y y ，则y x 3+的最大值为 .10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若02160=∠PF F ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 .11．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-++-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 .12．已知实数y x ,满足322=+y x ，||||y x ≠，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为 .13．各项均为正数的等比数列}{n a 中，),2(881211+∈>=⋅⋅⋅=N m m a a a a m m ，若从中抽掉一项后，余下的1-m 项之积为1)24(-m ，则被抽掉的是第 项．14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x （其中0>a ），命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x .（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，且经过点)1,3(P . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点M 在椭圆上，且2121PF PF OM λ+=，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：),0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若321,,a a a 成等比数列，求实数λ的值； （2）若21=λ，求证：数列}1{n n a S +为等差数列； （3）在（2）的条件下，求n S .18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和C 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN与AB之间的距离为25 0(<≤xx且)1≠x米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数)(xSy=；（2）当MN与AB之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S取得最大值？19．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左焦点为)0,1(-F，左准线方程为2-=x. （1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于BA,两点.①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足AFPAλ=，BFPBμ=.求证：μλ+为定值；②若OBOA⊥（O为原点），求AOB∆面积的取值范围.20.若存在常数)2,(*≥∈kNkk、q、d，使得无穷数列}{na满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+=+**1,,NknqaNkndaannn，则称数列}{na为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列}{nb为“段比差数列”.（1）若}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设}{n b 的前n 3项和为n S ，若不等式133-⋅≤n n S λ对*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设}{n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的}{n b 并说明理由.试卷答案一、填空题1．R x ∈∀，使得012>+x 2．2-=y 3．22 4．1 5．2 6．充分不必要 7．x y 32±= 8．)2,1(- 9．2 10．3311．7≤n 12．5313．13 14．212-二、解答题15．（1）解：由03422<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x ， 又0>a ，所以a x a 3<<，当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ，由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x 得⎩⎨⎧>-≤≤≤-2331x x x 或，解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，若q p ∧为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是)3,2(.（2）由（1）知p ：a x a 3<<，则p ⌝：a x ≤或a x 3≥，q ：32≤<x ，则q ⌝：2≤x 或3>x因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q p ⌝⇒⌝，所以⎩⎨⎧>≤<3320a a 解得21≤<a ，故实数a 的取值范围是]2,1(.16.（1）依题意，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x261)43(1)43(||||2222221=+-+++=+=PF PF a ，∴23=a椭圆C 的标准方程为121822=+y x （2）)212,272()1,0()1,7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF 点M 的坐标为)212,272(+--λλM∵点M 在椭圆上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ即074202=-+λλ，解得21=λ或107-=λ.17.（1）令1=n ，得λ+=122a令2=n ，得32322332a a a a S a S a λ=-+-，所以)12)(1(423+++=λλλa由3122a a a =，得)12)(1(42)12(2+++=+λλλλ，因为0≠λ，所以1=λ.（2）当21=λ时，1111++++=-+-n n n n n n n n a a a a S a S a λ， 所以21111111=-+-++++n n n n n n a a a S a S ，即211111=+-+++n n n n a S a S 所以数列}1{n n a S +是以2为首项，公差为21的等差数列， 所以21)1(21⋅-+=+n a S n n ，即2321+=+n a S n n .（3）n n a nS )232(1+=+，①当2≥n 时，11)2321(1--+-=+n n a n S ，② ①-②得，12223-+-+=n n n a n a n a 即1)2()1(-+=+n n a n a n ，所以)2(121≥+=+-n n an a n n ，所以}2{+n a n 是首项为31的常数列，所以)2(31+=n a n ， 代入①得651)232(2n n a n S n n +=-+=.18.解：（1）当10<≤x 时，过A 作CD AK ⊥于K （如图）则x HM ABCD DK AK -==-==1,212,1，由2==DHMH DK AK ，得212xHM DH -==， ∴x DH HG +=-=223，∴2)2)(1()(2+--=+-=⋅=x x x x HG HM x S ；当251<<x 时，过E 作MN ET ⊥于T ，连结EN （如图），则1-=x ET ，222)1(49)1()23(2--=--==x x MNTN ，∴2)1(492--=x MN ， ∴)1()1(492)(2-⋅--=⋅=x x ET MN x S ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋅--<≤+--=251),1()1(49210,2)(22x x x x x x x S ； （2）当10<≤x 时，49)21(2)(22++-=+--=x x x x S 在)1,0[上递减， ∴2)0()(max ==S x S ；当251<<x 时，492)1(49)1(2)1()1(492)(222=--+-⋅≤-⋅--=x x x x x S ，当且仅当2)1(491--=-x x ，即)25,1(1423∈+=x 时取“=”， ∴49)(max =x S ，此时249)(max >=x S ，∴)(x S 的最大值为49.答：当MN 与AB 之间的距离为1423+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值. 19.(1)由题设知c a ca c 2,2,122===， ∴1,22222=-==c a b a ，∴C ：1222=+y x （2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则),0(k P 设),(),,(2211y x B y x A ，直线l 代入椭圆得2)1(2222=++x k x ，整理得，0224)21(2222=-+++k x k x k ，∴222122212122,214k k x x k k x x +-=+-=+由λ=，μ=知22111,1x x x x +-=+-=μλ， ∴4142122214121442142122222222*********-=---=+-++-++-++--=+++++-=+k k k k k k k k x x x x x x x x μλ（定值）②当直线OB OA ,分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积22=S ， 当直线OB OA ,的斜率均存在且不为零时，设OA ：kx y =，OB ：x ky 1-=， 设),(),,(2211y x B y x A ，将kx y =代入椭圆C 得到22222=+x k x ，∴2221221212,212k k y k x +=+=，同理222222222,22k y k k x +=+=， AOB ∆的面积)2)(12()1(22222+++=⋅=k k k OB OA S ， 令),1[12+∞∈+=k t ，221121)1)(12(tt t t t S -+=+-=， 令)1,0(1∈=tμ，则)22,32[49)211(12122∈+--=++-=μμμS 综上所述，)22,32[∈S . 20.(1)∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴0020132014=⨯=b b ，3320142015=+=b b ，∴6320152016=+=b b ∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴n n b b 313=+，∴621333333==-=-+++d b b b b n n n n ， ∴}{3n b 是首项为73=b ，公差为6的等差数列， ∴n n n n n b b b n 4362)1(72363+=⨯-+=+++ ， 易知}{n b 中删除}{3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴n n n n n b b b b b b n n -=-+⨯=+++++++-21323542162)12(212 ， ∴n n n n n n S n 39)6()43(2223+=-++=， ∵133-⋅≤n n S λ，∴λ≤-133n n S ，设133-=n nn S c ，则max )(n c ≥λ，又1212213)223(23393)1(3)1(9--+---=+-+++=-n n n n n n n n n n n c c当1=n 时，02232<--n n ，21c c <，当2≥n 时，02232>--n n ，n n c c <+1∴ >><321c c c ，∴14)(2max ==c c n ， ∴14≥λ，得),4[+∞∈λ.（2）设}{n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2=k ，则d q d b b q d b b d b b b b ++=+=+==)(,)(,,4321，由2231b b b =，得bq d b =+，由2342b b b =，得d q d b q d b ++=+)()(2，联立两式，得⎩⎨⎧==10q d 或⎩⎨⎧-=-=12q b d ，则b b n =或b b n n 1)1(--=，经检验均合题意②若3≥k ，则b b =1，d b b +=2，d b b 23+=，由2231b b b =，得)2()(2d b b d b +=+，得0=d ，则b b n =，经检验均合题意 综上①②，满足条件的}{n b 的通项公式为b b n =或b b n n 1)1(--=.。

2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．3．函数的单调增区间为．4．函数的定义域为．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=．8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f （x ）的图象在点（x 0，f （x 0））和点处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数f （x ）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m ，使f （x ）＜m 对任意的x ∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P 是直线2x ﹣y +3=0上的一个动点，定点M （﹣1，2），Q ，是线段PM 延长线上的一点，且PM=MQ ，求点Q 的轨迹方程．22．设圆x 2+y 2+2x ﹣15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．23．已知函数f （x ）=ln （1+x ），x ∈[0，+∞），f'（x ）是f （x ）的导函数．设g （x ）=f （x ）﹣axf'（x ）（a 为常数），求函数g （x ）在[0，+∞）上的最小值． 24．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （﹣1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA （1）求点P 的轨迹C 的方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且=λ，直线OP 与QA 交于点M ．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．3．函数的单调增区间为．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．4．函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x ﹣4y+4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=06．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=9．【考点】函数的值．【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．【解答】解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x﹣）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论．【解答】解：由图象知A=1，，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故答案为：sin（2x﹣）8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：=1，知a2=25，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16，∴c=4．则e=，∵点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，∴|MF′|=8，则|MF|=2a﹣|MF′|=10﹣8=2，设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则，得d=．故答案为：．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin（α+）=∵sin（α+）=故，∴．∴cos（α+）=；又∵，sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（α）=，∴sin（α）=﹣．cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α）﹣sin（α+）sin（α）=×+=．故答案为：0．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8] ．【考点】分段函数的应用．【分析】x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，可得当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，又当x=8时，y=﹣2x=﹣16，结合条件，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：x≤0时，f（x=12x﹣x3，∴f′（x）=﹣3（x+2）（x﹣2），∴x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，∴当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，∵当x=8时，y=﹣2x=﹣16，∴当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8]．故答案为：[﹣2，8]．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件并结合图形可得到，，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长．【解答】解：根据条件：====；∴；解得．故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理即可解得DC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABD中，因为，所以，即sinB=，…3分所以sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB），因为：∠ADB=，所以：sin∠BAD=×=…7分（2）由正弦定理，得…依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos ∠ADC，即，所以DC2﹣2DC﹣5=0，解得：（负值舍去）．…16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的计算公式，变形化简可得ab=15，借助三角函数基本关系计算可得sinC的值，由三角形面积公式计算可得答案；（2）由向量平行的坐标计算公式可得2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，化简可得，进而可得，即可得B的值，分析B、C 的大小关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，∵，∴，∴ab=15，又∵，C∈（0，π），．所以．（2）根据题意，∵，∴2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，即，，即，显然cos2B≠0，所以，所以或，即或，因为，所以，所以（舍去），即．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．，可求f（θ）的表达式；【分析】（1）利用f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．【解答】解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，）=R2（sinθcosθ+cosθ）；∴f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数可得f′（θ）=﹣R2（2sinθ﹣1）（sinθ+1）令f′（θ）=0，则sinθ=∵θ∈（0，）∴θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，θ∈（，）时，f′（θ）＜0，∴θ=时，f（θ）取得最大，即θ=时，征地面积最大．18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【考点】向量在几何中的应用．（1）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0【分析】相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（3）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（+）•是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（1）由圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称知圆心A在直线x+y﹣1=0上，由得A（﹣1，2），设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20，（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0连接AQ，则AQ⊥MN，∵，∴，由，得，∴直线l的方程为3x﹣4y+6=0，∴所求直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0，（3）∵AQ⊥BP，∴•=0，∴（+）•=2•=2（）•=2（+•）=2•，当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），∴（+）•=2•=2•=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由，解得，∴=（，），∴（+）•=2•=2•=2（+）=﹣10综上所述，（ +）•是定值，且为﹣1019．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P是直线2x﹣y+3=0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程．【解答】解：由题意知，M为PQ中点，…设Q（x，y），则P为（﹣2﹣x，4﹣y），代入2x﹣y+3=0，得2x﹣y+5=0…22．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4…由题设得A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：…23．已知函数f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数．设g （x）=f（x）﹣axf'（x）（a为常数），求函数g（x）在[0，+∞）上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：由题意，…令g'（x）＞0，即x+1﹣a＞0，得x＞a﹣1，当a﹣1≤0，即a≤1时，g（x）在[0，+∞）上单调递增，g min（x）=g（0）=ln（1+0）﹣0=0…当a﹣1＞0即a＞1时，g（x）在[a﹣1，+∞）上单调递增，在[0，a﹣1]上单调递减，所以g（x）min=h（a﹣1）=lna﹣a+1…综上：…24．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；平行向量与共线向量．【分析】（1）设点P （x ，y ）．由于k OP +k OA =k PA ，利用斜率计算公式可得，化简即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P ，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ，分两种情况讨论：一种是点M 为线段AQ 的中点，另一种是点A 是QM 的一个三等分点．利用=λ，可得PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1．再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P 存在．【解答】解：（1）设点P （x ，y ）．∵k OP +k OA =k PA ，∴，化为y=x 2（x ≠0，﹣1）．即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S △PQA =2S △PAM ，①如图所示，点M 为线段AQ 的中点．∵=λ，∴PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1． ∴，解得．此时P （﹣1，1），Q （0，0）分别与A ，O 重合，因此不符合题意．故假设不成立，此时不存在满足条件的点P ．②如图所示，当点M 在QA 的延长线时，由S △PQA =2S △PAM ，可得，∵=λ，∴，PQ∥OA．由PQ∥OA，可得k PQ=k AO=﹣1．设M（m，n）．由，，可得：﹣1﹣x2=2（m+1），﹣x1=2m，化为x1﹣x2=3．联立，解得，此时，P（1，1）满足条件．综上可知：P（1，1）满足条件．。

2017-2018学年高三“四校联考”试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题卡的相应位置上.. 1.全集{}1,2,3,4,5，集合{}1,3,4A =，则U C A = .2.设复数z a bi =+（,,a b R i ∈为虚数单位），若()2z i i -=，则a b +的值为 .3.函数y =的定义域为 .4.棱长均为1的正四棱锥的体积为 .5.已知实数,x y 满足不等式组0,,40,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 .6.若“2,20x R x x a ∃∈++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 .7.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰好关于坐标原点对称.8.已知等差数列{}n c 的首项为11c =，若{}23n c +为等比数列，则2017c = .9.在平面直角坐标系xoy 中，设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为()20c c >，当,a b任意变化时，a bc+的最大值是 . 10.已知()()tan 2,tan 3αβαβ+=-=，则sin 2cos 2αβ=的值为 .11已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件(),a b 的数组为 .12.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:2C x y +=，直线20x by +-=与圆C 交于A,B 两点，且3OA OB OA OB +≥-，则b 的取值范围为 . 13.已知函数()31log 1x f x x +=-，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数()f x 的图象上，且()52,1,,24A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则平行四边形ABCD 的面积为 .14.已知数列{}n x 各项为正整数，满足1,21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，，若343x x +=，则1x 所有可能的取值集合为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（本题满分14分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知3, 2.b c == （1）若2cos 3a C =，求a 的值； （2）若cos 1cos c C b B=+，求cos C 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD=BD,90ABC ∠=,点E,F 分别为棱AB,AC 上的点，若点G 为棱AD 的中点，且平面EFG//平面BCD ，求证： （1）BC=2EF;（2）平面EFD ⊥平面ABC.17.（本题满分16分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4，若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设2,.AB x BC y ==（1）写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； （2）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A,B 分别为椭圆C 的上顶点，右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C 于D,E 两点，交AB 于M点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为.k （1）当12k =时，证明直线DE 平分线段AB; （2）已知点()0,1A ，则①若6A D M A E M S S ∆∆=，求k ；②求四边形ADBE 的最大值.19.（本题满分16分） 已知数列{}n a 满足1210,8a a ==，且对任意,m n N *∈都有()221211324n n m n a a a m n -++-+=+-（1）求35,a a ；（2）设2121n n n b a a -+=+，①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,p q ，且1p q <<，使得1,,p q S S S 成等比数列？若存在求出,p q 的值，若不存在，说明理由.20.（本题满分16分）已知()()l n .f x a x x a R =-∈（1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x < ①求a 的取值范围；②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值.2017届高三“四校联考”试卷数学Ⅱ（附加题）21【选做题】本题包括A,B,C,D 四个小题，请选定其中两题，并在相应答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解题时，应写出文字说明，证明过程和演算步骤. A[选修4—1：几何证明选讲]（本题满分10分）如图已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且四边形ABCD 的其余三边相切，点E 在边AB 上，且AE=AD. 求证：O,E,C,D 四点共圆.B[选修4—2：矩阵与变换]（本题满分10分） 在直角坐标xoy 中，设点(),5P x 在矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()2,Q y y -，求1x M y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A,B 两点， 求AB 线段的长.D.[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分）已知0,0x y >>，求证：22x y x y+=+【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，请在答题卡的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、在直角坐标xoy 中，已知定点()8,0A -，M,N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN 上满足0,0.NM NP AM MN +=⋅=（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设F 是P 点的轨迹的一个焦点，C,D 为轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为12,k k ，且满足120k k +=，求证：直线CD 过定点.23.（本小题10分）已知函数()()0sin axf x e bx c =+，设()n f x 为()1n f x -的导数.n N *∈（1）求()()()123,,f x f x f x ；（2）求()n f x 的表达式，并证明你的结论.。

江苏省如东高级中学2017-2018学年高一上学期阶段测试（二）数学试题第Ⅰ卷一、填空题1．设}10|{},2|{<≤=-≥=x x A x x U ，则=A C U .2．函数02)4(321-+--=x x x y 的定义域为 .3．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f -=22)(，则=-)2(f .4．已知向量)1,0(),1,2(-==，若//)(λ-，则实数=λ .5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线02=-y x ，则3πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2θθθθ++-=--- . 6．已知函数x a a a x f )1)(1()(2+-+=为指数函数，则=a .7．函数πsin(2)(0)2y x φφ=+<<图象的一条对称轴是π12x =，则ϕ的值是 . 8．设集合}21|{},10|{≤≤=<≤=x x B x x A ，函数⎩⎨⎧∈-∈=B x x A x x f x ,24,2)(，若A x ∈0，且A x f f ∈)]([0，则0x 的取值范围是 .9．已知)2,3(),2,(λλλ==b a ，如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .10．已知函数)2,2(),(-∈=x x f y ，满足)()(x f x f =-且在区间)2,0[上单调递增，若)2()2(a f a f ->，则实数a 的取值范围是 .11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：①图象关于点)0,1(对称；②)1()1(x f x f --=+-；③当]1,1[-∈x 时，21,[1,0]()πcos ,(0,1]2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩，则函数||)21()(x x f y -=在区间]3,3[-上的零点的个数为 .12．设函数3)(2++-=a ax x x f ，函数a ax x g 2)(-=，若存在R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-=2,43)21(20,41)(2x x x x f x ，若关于x 的方程0167)()]([2=++a x af x f ，a ∈R 有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．14．已知ABC ∆中，4=AB ，2=AC ，|)22(|λλ-+（λ∈R ）的最小值为32，若P 为边AB 上任意一点，则⋅的最小值是 ．二、解答题15．已知集合}1log |{},2733|{2>=≤≤=x x B x A x .（1）求()C B A R ；（2）已知集合}1|{a x x C <<=，若A C ⊆，求实数a 的取值范围.16．已知角θ的终边经过点)4,3(a a P -.（0≠a ）.（1）当1=a 时，求θθcos 2sin -的值；（2）若0sin <θ，求θθcos 5tan 3+的值.17．已知向量c b a ,,满足x x )1(,5,5||,10||-+=-=⋅==.（1）若c b ⊥，求实数x 的值；（2）当||取最小值时，求向量与c 的夹角的余弦值.18．某港口水的深度(m)y 是时间240(≤≤t t ，单位：h)的函数，记作)(t f y =.下面是某日水深的数据：经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数)0,0(sin >>+=A b t A y ωω的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.（1）求y 与t 满足的函数关系式；（2）某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它同一天内最多能在港内停留多少小时？（忽略进出港所需的时间）.19．已知函数x x x f -++=11)(.（1）求函数)(x f 的定义域和值域；（2）设)(]2)([2)(2x f x f a x F +-=（a 为实数），求)(x F 在0<a 时的最大值)(a g ； （3）对于（2）中)(a g ，若)(222a g m m ≤++-对所有的实数0<a 及]1,1[-∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.20.已知函数724)(,54)(12+-⋅=-++=-m m x g a x x x f x .（1）若函数)(x f 在区间]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当0=a 时，若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立，求实数m 的取值范围；（3）若]2,[),(t x x f y ∈=的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为t 46-？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.（注：区间],[q p 的长度为p q -）【参考答案】一、填空题1．),1[)0,2[+∞- 2．),4()4,3()1,(+∞--∞ 3．6- 4．05．2 6．1 7．π38．)1,23(log 2 9．34-<λ或0>λ且31≠λ 10．)1,32( 11．5 12．7>a 13．)916,47( 14．49- 二、解答题15．（1）解：（1）}31|{}2733|{≤≤=≤≤=x x x A x ，2{|log 1}{|2},B x x x x =>=>(){|2}{|13}{|3},C B A x x x x x x =≤≤≤=≤R（2）当1≤a 时，∅=C ，此时A C ⊆；当1>a 时，A C ⊆，则13,a <≤综上所述，a 的取值范围是]3,(-∞.16.解：（1）当1=a 时，角θ的终边经过点)4,3(a a P -，即)4,3(-P ，5||,4,3===-=OP r y x ，54sin ==r yθ，53cos ==r xθ， 所以2)53(254cos 2sin =--=-θθ.（2）若0sin <θ，则54sin -=θ，所以0<a ，a r 5-=，3434tan -=-==a a x y θ，5353cos =--==a a r x θ， 所以13)54(3cos 5tan 3-=+-⋅=+θθ.17. 解：（1）因为x x )1(,5,5||,10||-+=-=⋅== 当⊥时，0=⋅，解得21=x .（2）52025)()1()1(2)()(222222+-=-+⋅-+=x x x x x x ， 当52=x 时，||取最小值，此时，1=⋅，且1||=，夹角的余弦值为1010.18.解：（1）由已知数据，易知)(t f y =的周期12=T ，则π6ω=.再由⎩⎨⎧=+-=+713b A b A ，得振幅10,3==b A ， 所以π3sin 10(024)6y t t =+≤≤.（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5.115.65=+（米），所以π3sin 1011.56t +≥，解得π5π2π2π()66k t k k +≤≤+∈Z ，所以512112+≤≤+t k （k ∈Z ），在同一天内，取0=k 或1，所以51≤≤t 或1713≤≤t .所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时.19.解：（1）由01≥+x 且01≥-x ，得11≤≤-x ，所以函数的定义域为]1,1[-， 又]4,2[122)]([22∈-+=x x f ，由0)(≥x f ，得]2,2[)(∈x f ，所以函数)(x f 值域为]2,2[.（2）因为x x x a x f x f ax F -+++-=+-=111)(]2)([2)(22，令=t x x x f -++=11)(，则121122-=-t x ， ∴]2,2[,21)121()()(22∈-+=+-==t a t at t t a t m x F ，由题意知)(a g 即为函数a t at t m -+=221)(，]2,2[∈t 的最大值. 注意到直线a t 1-=是抛物线a t at t m -+=221)(的对称轴.因为0<a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若]2,0(1∈-=a t ，即22-≤a ，则2)2()(==m a g ； ②若]2,2(1∈-=a t ，即2122-≤<-a ，则a a a m a g 21)1()(-=-=； ③若),2(1+∞∈-=a t ，即021<<-a ，则2)2()(+==a m a g ； 综上有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-+-≤<----≤=021,22122,2122,2)(aa a a a a a g .（3）易得min ()g a由)(222a g m m ≤++-对0<a 恒成立，即要使2)(22min 2=≤++-a g tm m 恒成立，022≥-⇒tm m ，令tm m t h 2)(2-=，对所有的]1,1[-∈t ，0)(≥t h 成立. 只需⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(h h ，解得m 的取值范围是2-≤m 或0=m 或2≥m.20.解：（1）根据题意得：)(x f 的对称轴是2-=x ，故)(x f 在区间]1,1[-递增， 因为函数在区间]1,1[-上存在零点，故有⎩⎨⎧≥≤-0)1(0)1(ff ，即80≤≤a ，故所求实数a 的范围是]8,0[；（2）若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立， 只需函数)(x f y =的值域是函数)(x g y =的值域的子集，0=a 时，]2,1[,54)(2∈-++=x a x x x f 的值域是]7,0[，下面求)(x g ，]2,1[∈x 的值域，令14-=x t ，则]4,1[∈t ，72+-=m mt y ，①0=m 时，7)(=x g 是常数，不合题意，舍去；②0>m 时，)(x g 的值域是]72,7[+-m m ，要使⊆]7,0[]72,7[+-m m ，只需⎩⎨⎧≥+≤-77207m m ，计算得出7≥m ；③0<m 时，)(x g 的值域是]7,72[m m -+，要使⊆]7,0[]7,72[m m -+，只需⎩⎨⎧≤+≥-07277m m ，计算得出27≤m ；综上，m 的范围是),7[]27,(+∞--∞ .（3）根据题意得⎩⎨⎧>-<0462t t ，计算得出23<t ，①6-≤t 时，在区间]2,[t 上，)(t f 最大，)2(-f 最小，t t t f t f 4644)2()(2-=++=--，计算得出：234--=t 或234+-=t （舍去）；②26-≤<-t 时，在区间]2,[t 上，)2(f 最大，)2(-f 最小， t f f 4616)2()2(-==--，计算得出：25-=t ； ③232<<-t 时，在区间]2,[t 上，)2(f 最大，)(t f 最小，t t t t f f 46124)()2(2-=+--=-， 计算得出：6=t 或6-=t ，故此时不存在常数t 满足题意， 综上，存在常数t 满足题意，234--=t 或25-=t .。

（第5题）2017-2018学年高考热身训练测试卷数学I一、填空题：本题共14小题,每小题5分,计70分．不需写解答,请把答案填写在答题纸指定位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合A ={2，5}，B ={|13x x ≤≤}，则A B = ▲ ． 2． 设a ∈R ，复数2i12i a ++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3． 已知幂函数()f x 的图象经过点()12，，则()f x = ▲ ． 4． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生 得分的平均分为 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 6． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．7．给出下列：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真．的序号是 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲5 80 1 2 2 4 689（第4题）AB PNCM（第16题）线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积为 ▲ ．9．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(1]-∞，，则A = ▲ ．10．数列{}n a 中，1407a a ==-，，*n ∀∈N ，当n ≥2时，2(1)n a -=11(1)(1)n n a a +---，则数列{}n a 的前n 项和为 ▲ ．11．设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件．(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空) 12．在△ABC 中，B =45︒，M ，N 分别为边AC ，AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅ ，则B A B C B C B A+的值为 ▲ ．13．已知实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则z 的最大值是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本小题满分14分）已知函数()()ππ()sin cos f x x x =+-+，2()2sin 2x g x =，x ∈R ．（1）求函数()()y f x g x =+的最小正周期和值域；（2）在△ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6a =，()f A =求△ABC 面积的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，4BC =，2AC =．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且MN ∥平面PAB ，MN =求证：（1）直线AB ∥平面PMN ；（第17题）（2）平面ABC ⊥平面PMN ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a ba b+=>>的右顶点与上顶点分别为A，B ，且过点(1．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，直线BQ AP ，的斜率互为相反数．求证：直线l 的斜率为定值；18. （本小题满分16分）在一个边长为1000 m 的正方形野生麋鹿保护区的正中央，有一个半径为30 m 的圆形水塘，里面饲养着鳄鱼，以提高麋鹿的抗天敌能力．（1）刚投放进去的麋鹿都是在水塘以外的任意区域自由活动．若岸上距离水塘边1 m 以内的范围都是鳄鱼的攻击区域，请判断麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性是否会超过1‰ ，并说明理由；（2）现有甲、乙两种类型的麋鹿，按野生麋鹿活动的规律，它们活动的适宜范围平均每只分别不小于8000 m 2和4500 m 2 （水塘的面积忽略不计．．．．．．．．．）．它们每只每年对食物的需求量分别是4个单位和5个单位，岸上植物每年提供的食物总量是720个单位．若甲、乙两种麋鹿每只的科研价值比为3:2，要使得两种麋鹿的科研总价值最大，保护区应投放两种麋鹿各多少只？19．（本小题满分16分）设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n为数列{a n }的前n 项和．（1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有既在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．20．（本小题满分16分）对于函数)(x f y =，若存在开区间D ，同时满足：①存在D a ∈，当a x <时，函数)(x f 单调递减，当a x >时，函数)(x f 单调递增； ②对任意0>x ，只要D x a x a ∈+-,，都有)()(x a f x a f +>-． 则称)(x f y =为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”． （2）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数122131)(3223+--=x x x x h λλλ在),(+∞m 内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．绝密★启用前2015年高考热身训练数学Ⅱ（附加题） 2015-6-221．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．B ．（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.(第21A 题图)（第22题）C ．（本小题满分10分）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线21:)4C ρπθ=+上． (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的准线l 与x 轴交于点M ， 过点M 的直线与抛物线交于A B ，两点．设11A x y （，）到准线l 的距离d p λ=（0λ>）．（1）若11y d ==，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+=0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）设()()n f n a b =+（*n ∈N ，2n ≥），若()f n 的展开式中，存在某连续三项，其二项式 系数依次成等差数列，则称()f n 具有性质P ． （1）求证：(7)f 具有性质P ；（2）若存在2015n ≤，使()f n 具有性质P ，求n 的最大值．数学I 参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1． {2}2． 4- 3． 2x - 4． 91 5．0.5 6．36 7． 8． 9．3(1]2，10．21n n -+ 11．充要 12． 13．14． (4)1)-∞-+∞ ，， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）ππππ()sin cos +cos sin cos cos +sin sin 6633f x x x x x x =-， (2)分()1cos g x x =-，所以π()()cos 12sin()16y f x g x x x x =+=-+=-+， (4)分所以所求的最小正周期为2π，值域为[]13-，．··············································6分（2）因为()f A A ==，所以3sin 5A =．所以4co 5A =±． ························································································8分当4cos 5A =时，因为6a =，由余弦定理得，22823655b c bc bc =+-≥，所以90bc ≤．当且仅当b c ==时，bc 取得最大值， 所以△ABC面积S的最大值为1sin 272bc A =．················································10分当4cos 5A =-，同理可得，max 327S =<． ················································12分综上所述，△ABC 面积的最大值为27． ·······················································14分 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． ··························3分 因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ， 所以AB ∥平面PMN ． ···············································································6分（2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N为AC 的中点． ···············································································8分因为4BC =，2AC =，所以2MC =，1NC =，由于MN =222MN NC MC +=， 所以M⊥． ·······················································································10分因为PA PC =，AN CN =，所以PN AC ⊥， 又MN PN ⊂，平面PMN ，MN PN N = ， 所以AC⊥平面P ． ···············································································12分因为AC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面P ．·······································································14分17．（本小题满分14分）解：（1）总的活动面积S =2610001000π3010900π⨯-⨯=-（2m ），····························2分受到攻击的范围s =22π(3130)61π-=（2m ）． ···············································4分设事件A =“麋鹿受到鳄鱼攻击”， 所以麋鹿受到攻击的概率为（第18题）661π()0.00019210900πs P A S ===<-1‰. ···············6分 （2）设两种麋鹿分别投放x y ，只，科研总价值为z 约束条件为*80004500100000045720x y x y x y ⎧+⎪+⎨⎪∈⎩N ≤≤，，，，·························9 目标函数为32z kx ky =+，其中k 为正常数.作出可行域（如图）， ·····························11将目标函数32z kx ky =+变形为322z y x k=-+，这是斜率为32-，随z 变化的一族直线，z 是直线在y 轴上的截距，当2z k最大时，z 最大，但直线要与可行域相交.由图知，使32z kx ky =+取得最大值的()x y ，是两直线45720x y +=与1692000x y +=的交点(8080)，，即当80x =，80y =时，z 取到最大值. ····························13分答：（1）麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过1‰； （2）保护区应投放两种麋鹿各80只. ··································································14分 18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b ab+=>>的右顶点与上顶点分别为A ，B，，且过点(1．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，直线BQ AP ，的斜率互为相反数．① 求证：直线l 的斜率为定值；② 若点P 在第一象限，设△ABP 与△ABQ 的面积分别为S 1，S 2，求1S 的最大值.解：（1）由题意，离心率c e a ==，所以2c ，所以224a b =，故椭圆的方程为：22244x y b +=，将点(1代入，求得 21b =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=. ………………………………………4分 （2）① 设直线BQ 的方程为：1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为：(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为()2228141414k k k k --++，， …………………………………6分 同理可求得点P 的坐标为()2228241414k kk k -++，. ……………………………8分 所以直线l 的斜率为：222222221441441141428828821414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++. …………10分 ② 设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12d d ，， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以12k >，且点P ，Q 分别在直线AB ：220x y +-=的上，下两侧， 所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而22218282k k d -+-==，2222828222k k x y d --++-==， ………………………………12分所以222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k kS d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++,…14分令21(0)k t t -=>，则122222142(1)132S k t t S k k t t t t -===++++++1323t t==-++ 当且仅当2t t =，即t =，即k 时，12SS有最大值为3- (16)分19．（本小题满分16分）解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0．又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解；n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1 知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。

2017-2018学年江苏省如东高级中学 高二上学期阶段测试（二）数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为___________. 2．抛物线28x y =的准线方程是______．3．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.4．下列命题：①54>或45>；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______.5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．6．“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线2219x y a-=的右焦点为)，则该双曲线的渐近线方程为_______.8．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是________.9．设,x y 满足0{ 1y y x x y >≤+≤，则3x y +的最大值为______.10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是____．11．在等比数列{}n a 中， 1401a a <<=，则能使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是______.12．已知实数满足，，则的最小值为______．13．各项均为正数的等比数列{}n a 中， 11218(2,)8m m a a a a m m N +=⋅⋅⋅=>∈，，若从中抽掉一项后，余下的1m -项之积为(1m -，则被抽掉的是第________项．14．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≥，则b c c a b++的最小值为________．二、解答题15．命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题q ：实数x 满足12{ 302x x x -≤+≥-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为()14,0F -， ()24,0F ，且经过点()3,1P . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点M 在椭圆上，且1212OM PF PF λ=+，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =， n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*11110,n n n n n n n n a S a S a a a a n N λλ++++-+-=≠∈.（1）若123,,a a a 成等比数列，求实数λ的值； （2）若12λ=，求证：数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等差数列； （3）在（2）的条件下，求n S .此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米， CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN 与AB 之间的距离为x （502x ≤<且1x ≠）米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线交椭圆C 于A ， B 两点.（i ）若直线经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=， PB BF μ=.求证：λμ+为定值；（ii ）若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆面积的取值范围.20．若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N ka n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩ 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.2017-2018学年江苏省如东高级中学 高二上学期阶段测试（二）数学试题数学 答 案参考答案1．x R ∀∈，使得210x +>【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为x R ∀∈，使得210x +>. 2．2y =-【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =- 3．22 【解析】 试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质 4．1【解析】①真，因为p 或q 命题是，p,q 中，只要一个为真即为真。