辽宁省东北育才学校2016届高考数学五模试卷 文(含解析)

辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题理答题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C.D.3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=4.已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是下图中的（）A B C D5.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( )A．[0，1] B．[3，5] C．[2，3] D．[2，4]6.设若，则的值是( )A.-1B. 2C. 1D.-27.下面几个命题中，假命题是（）A.“若,则”的否命题；B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；D .“”是“”的必要条件.8.设均为正数，且，，，则( )A..B C. D.9.如图，目标函数仅在封闭区域内（包括边界）的点处取得最大值，则的取值范围是（）A B C D10.若定义在上的函数满足：对于任意有，且时，有，设在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（）A. B. C.D.11.函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数有3个零点；②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；③函数的极大值中一定存在最小值；④，，对于一切恒成立．A.B. C. D.12.已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.第II卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________；14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.15.关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是________16．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第3个数（从左往右数）为____.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．（本小题满分10分）记函数的定义域为A，的定义域为B．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）在数列中，已知，其前项和满足. (1)求的值；(2)求的表达式；(3)对于任意的正整数，求证：.19.（本小题满分12分）年世博会在上海召开，某商场预计年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量；（1）写出第个月的需求量的表达式；（2）若第个月的销售量（单位：件），每件利润，求该商场销售该商品，预计第几个月的月利润达到最大值？月利润的最大值是多少？20．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若在恒成立，求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试理科数学参考答案一.1-----12 CDCA C BDACD BA二. 13.1 14.()(]3,11,0⋃15. 51(,)42--16．3601三.17.解析：（1）()[),11,A =-∞-⋃+∞；（2）(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭18. [解析] 1.(1) 依次令可得，，；(2) 法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。

2016年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A.50B.45C.40D.20【答案】B【解析】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．利用分层抽样性质求解．本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．2.若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A.∃x0∈R，x02+1≤3x0B.∀x∈R，x2+1≤3xC.∀x∈R，x2+1＜3xD.∀x∈R，x2+1＞3x【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3.设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】解：z=1+i（是虚数单位），则+===1．故选：A．利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可．本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．4.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x=（-1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{0，1，2}C.{-2，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}【答案】B【解析】解：∵A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x=（-1）n+n，n∈N}={0，1，2，…}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．求出B中x的值确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A.3B.3.14C.3.2D.3.3【答案】A【解析】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×（202×4）=，∴∴π=3，R=，故选：A．由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．6.执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A.k≤6B.k≤7C.k≤8D.k≤9【答案】B【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log233第二次循环log23•log344第三次循环log23•log34•log455第四次循环log23•log34•log45•log566第五次循环log23•log34•log45•log56•log677第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=38故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．7.已知函数f（x）=，＞，，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[-1，+∞）【答案】D【解析】解：当x≤0时，f（x）=cos2x不是单调函数，此时-1≤cos2x≤1，当x＞0时，f（x）=x4+1＞1，综上f（x）≥-1，即函数的值域为[-1，+∞），故选：D根据函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数性质的判断，根据条件判断函数的单调性和值域的关系是解决本题的8.如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A.4πB.5πC.6πD.7π【答案】B【解析】解：设该多边形的面积为S，则，∴S=5π，故选B．由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．9.已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x-y取最大值时的最优解是（）A.（2，1）B.（2，2）C.3D.4【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x-y，则y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点C时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x-y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A. B. C.1 D.2【答案】D解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，∴设此等比数列的首项为a1，公比为q前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，若q=1，则，无解；若q≠1，则S=，M==，P=a14q6，∴（）4=（a12q3）4=a18q12，P2=a18q12，∴P2=（）4，∵，，∴前4项倒数的和M===2．故选：D．设此等比数列的首项为a1，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（）4，由此能求出前4项倒数的和．本题考查等比数列的前4项倒数的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11.tan20°+4sin20°的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：tan20°+4sin20°=°°°°=°°°=°°°°=°°°°=°°°=°°°=°°°=2sin60°=．故选B．首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．本题考查三角函数的化简求值，解决本题要注意两点，一是函数名的变化（切化弦），二是如何将已知角用特殊角表示．考查转化思想，计算能力．12.已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），=．A（-a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+-2lnt．f′（t）=+1+t-=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++-2ln=2+1-ln2．∴=．∴=．故选：D．设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），y02=．A（-a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，+ln|m|+ln|n|=++ln=，令=t＞1，则f （t）=+t+-2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为______ ．【答案】y=ex【解析】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y-e x0=e x0（x-x0）又切线过原点，∴-e x0=e x0（-x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，e x0），再求出在点切点（x0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为______ ．【答案】25π【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得cos B==．在△ABD中，BD==．由余弦定理得：AD2=BD2+AB2-2BD•AB•cos B=．∴AD=．故答案为：．利用余弦定理求出cos B，再利用余弦定理解出AD．本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．16.已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】∞，【解析】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴e x=g（x）+h（x），e-x=g（x）-h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，即-a•≥0恒成立，∴a≤==（e x-e-x）+，设t=e x-e-x，则函数t=e x-e-x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2-e-2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故答案为：∞，．根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法，本题使用了基本不等式进行求解最值，综合性较强，运算量较大，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=S1+2=a1+2，得a1=2．当n≥2时，由，以及a n=S n-S n-1，两式相减可得，则数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故其前n项和化简可得T n=-．【解析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；（Ⅱ）求得b n=-，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．本题考查数列的通项的求法，注意运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．18.在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：（Ⅲ）设上述样本中第位考生的语文、历史成绩分别为i，i（=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x i-）（y i-）=4698，（x i-）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==，=-．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；语文成绩的频率分布直方图：；（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，∴y=0.85x-9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．【解析】（Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．本题考查茎叶图、数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在R t△DAE中，AD=，∠ADE=，∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．又AB=CD=4，∴BE=3．在R t△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．在R t△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得AE=•，解得AE=2．∴S△APD=PD•AD=××=，S△ADE=AD•AE=××2=，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．在R t△PAE中，AE=2，PA===，∴S△APE=PA•AE=××2=．∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．…（12分）【解析】（Ⅰ）在R t△DAE中，求出BE=3．在R t△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2-1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．【答案】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2=a2-b2（c＞0），由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x-c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+2-1=0的距离①，∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴，a=2c，代入①式得，，，，故所求椭圆方程为；（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），于是=；（ii）由（i）知，，故．∴，即，∴．又=，故．∴OB2+OC2=．【解析】（1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F2到直线x+y+2-1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F2到直线x+y+2-1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）由题意设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），由两点求斜率公式可得是，把纵坐标用横坐标替换可得答案；（ii）由k1k2=k3k4．得到．两边平方后用x替换y可得．结合点B，C在椭圆上得到．则OB2+OC2的值可求．本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，考查化归与转化思想方法，是中档题．21.设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-=--（x＞0），令g（x）=0，得m=-x3+x（x＞0）；设φ（x）=-x3+x（x＞0），∴φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；设h（x）=f（x）-x=lnx+-x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=--1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥-x2+x=-+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）-，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．22.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【答案】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…（1分）又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…（2分）因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…（4分）所以△ABP的面积为BP•PA=…（5分）（2）在R t△APE中，由勾股定理得AE=3…（6分）又ED=EP-PD=2，EB=DB-DE=8-2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12…（9分）所以EC==2，故AC=5…（10分）【解析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．本题考查圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q，．联立，解得或．∴P，．∴|PQ|=．【解析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设＞若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【答案】＜解：（Ⅰ）函数可化为，＞∴f（x）∈[-3，3]（5分）（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3（8分）若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．（10分）【解析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．将含参不等式恒成立问题等价转化为函数最值问题运用参数分离法使原不等式化为一端只含参数的解析式，另一端化为与参数无关的主变元函数，这样函数的关系就由“隐”化为“显”．。

东北育才学校高中部2016届高三第三次模拟数学试题（理科）时间：120分钟 试卷满分：150分命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则A. B． C． D．2.命题“若，则且”的逆否命题A．若，则且 B．若，则或C．若且，则 D．若或，则3.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A． B． C． D．4.等于A．0 B． C． D．25.数列的前n项和为，若，则A．20 B．15 C．10 D.-56.函数的定义域和值域都是，则A． B． C． D．7．函数的部分图象如图所示，若，且，则A． B． C． D．8. 在平面直角坐标系中，过定点的直线与曲线交于点，则A.2B.4C.6D.89.设满足约束条件，向量，且，则的最小值为A．-2 B.2 C.6 D.-6 10.在中，内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于A.B.C.D.11.已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为A． B．2 C． D．412.已知，方程有四个实数根，则的取值范围为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为 ．14.定义在R上的奇函数满足则= ．15.设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是．16.已知函数,则函数的最大值与最小值的差是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求实数的值．18.（本小题满分12分）已知.函数的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期与单调递增区间．19． （本小题满分12分）已知数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值.20.（本小题满分12分）定长为3的线段AB的两个端点分别在轴，轴上滑动，动点满足.（Ⅰ）求点的轨迹曲线的方程；（Ⅱ）若过点的直线与曲线交于两点，求的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求证：图象关于点中心对称；（Ⅱ）定义，其中且，求；（III）对于(Ⅱ)中的，求证：对于任意都有．22. （本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数在内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求证：东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.B4.D5.A6.C7.D8.D9.D 10.C 11.D 12.B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 14.-2 15. 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（Ⅰ）由得的定义域为 ……………4分（Ⅱ）令当 …………7分当则又综上得 ………………10分18.解：（1）因为函数的图象经过点，所以．即．即．解得． ……………………………4分（2）由（1）得，． ………………………6分所以函数的最小正周期为． ……………………8分因为函数的单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增．所以函数的单调递增区间为． ………12分19.（Ⅰ）时，时，，是以为首项，为公比的等比数列，…………6分（Ⅱ）………8分…………10分…………12分20.解：（Ⅰ）设A（，0），B（0，），P（），由得，，即，————————————————————2分又因为，所以，化简得：，这就是点P的轨迹方程。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜ 1＜x ≤3}，B ＝{x ｜ x ＞2｝，则A ∩C U B 等于（ ）A 。

{x ｜ 1≤x ≤2}B 。

{ x ｜ 1≤x ＜2｝ C.{x ｜ 1＜x ≤2｝ D 。

｛x | 1≤x ≤3} 【答案】C考点:集合——交集、补集．（2）命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1B.若α=4π，则tan α≠1C 。

若tan α≠1，则α≠4π D.若tan α≠1，则α=4π【答案】C 【解析】试题分析：逆否命题是交换条件和结论,并且对条件和结论都否定，故选C ．考点:命题—-逆否命题．(3）已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如右图所示，则函数()x g x a b=+的图象是下图中的（ ）A B C D 【答案】A 【解析】试题分析：由()f x 图象可知1,01b a <-<<，所以xa 为减函数，再向下移动1b >个单位，故选A ．考点：1、二次函数图象与性质；2、指数函数图象平移．【易错点晴】对于()f x 来说,,a b 是其零点,结合图象可以得到它们的范围，阅读题意的时候要注意已知条件a b >-—小括号里面的数往往是很重要的条件；对于()g x 来说，我们把它分成两个部分，第一部分是x a 为指数函数，图象单调递减且经过()0,1，再向下移动超过1个单位即可得出结论。

（4)如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m AB =,AN n AC =,则=+n m ()A ．1B ．2C ．21 D ．3B ACOMN y=f (x )【答案】B考点：平面向量基本定理． （5）若函数()f x 的导函数2'()43fx x x，则使得函数()1f x - 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( ）A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4 【答案】C 【解析】 试题分析：2'()4313f x x x x x ，所以()f x 在区间[]1,3上单调递减，()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递减。

2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{5}B．{4}C．{1，2}D．{3，5}3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题4．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x5．（5分）定义两种运算：，则函数的解析式为（）A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]6．（5分）已知函数f（x）=若y=f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．（2，4） C．（2，+∞）D．[2，+∞）7．（5分）有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x ∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣9．（5分）设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）11．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象12．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，则实数b的最小值为（）A．4 B． C．3 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（2013）]=．14．（5分）若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是．15．（5分）f（x）=，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为．16．（5分）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．（15分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．19．（10分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．20．（10分）已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）．（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）若x∈[，），求f（x）的取值范围．21．（10分）已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．22．（15分）已知函数f n（x）=ax n+bx+c（a，b，c∈R），（Ⅰ）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（Ⅱ）若对任意实数x，不等式2x≤f2（x）≤恒成立，求f2（﹣1）的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求实数b 的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{5}B．{4}C．{1，2}D．{3，5}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={3，4，5}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={3，5，6}，∴（C U A）∩B={3，5}．故选D．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1＜0”D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题【解答】解：若xy=0，则x=0的否命题为：若xy≠0，则x≠0，故A错误若x+y=0，则x，y互为相反数的逆命题为真命题为若x，y互为相反数，则x+y=0，为真命题∃x∈R，使得2x2﹣1＜0的否定是：“∀x∈R，均有2x2﹣1≥0，故C错误若cosx=cosy，则x=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题，故D错误故选B4．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．5．（5分）定义两种运算：，则函数的解析式为（）A．f（x）=﹣，x∈[﹣2，0）∪（0，2]B．f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．f（x）=﹣，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．f（x）=，x∈[﹣2，0）∪（0，2]【解答】解：根据题意，可得∵，∴，=|x﹣2|，因此，函数=，∵，∴函数的定义域为{x|﹣2≤x≤2且x≠0}．由此可得函数的解析式为：f（x）===﹣，（x∈[﹣2，0）∪（0，2]）．故选：A6．（5分）已知函数f（x）=若y=f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．（2，4） C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；∴；解得2≤a≤4；∴实数a的取值范围为[2，4]．故选：A．7．（5分）有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1；⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，在函数=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x的图象中，其周期T=π，相邻两个对称中心的距离为=，故①错误；对于②，函数y==1+的图象关于点（1，1）对称，故②错误；对于③，因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件，所以，其逆否命题“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故③错误；对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则¬p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正确；对于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则（3sinA+4cosB）2+（4sinB+3cosA）2=62+12=37，整理可得sin（A+B）=，所以C=30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，3sinA+4cosB＜×3+4＜6，与已知矛盾，故C≠150°，故⑤错误．综上所述，正确命题为④．故选：A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x ∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C9．（5分）设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选C11．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象【解答】解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．12．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2，则实数b的最小值为（）A．4 B． C．3 D．2【解答】解：∵f（x）=（a+1）x3+bx2﹣x，∴f′（x）=3（a+1）x2+2bx﹣1，∴x1，x2是方程3（a+1）x2+2bx﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∵a≥0，b＞0，∴两根一正一负，∴|x1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，即（﹣）2+4=8，故b2=18（a+1）2﹣3（a+1）≥18﹣3=15；故b≥；故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（2013）]=1．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（2013）]=f（2013﹣100）=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．14．（5分）若f（x）=1+lgx，g（x）=x2，那么使2f[g（x）]=g[f（x）]的x的值是．【解答】解：∵2f[g（x）]=g[f（x）]，∴2（1+lg x2）=（1+lgx）2，∴（lg x）2﹣2lgx﹣1=0，∴lgx=1±，x=．故答案为：．15．（5分）f（x）=，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，∴f[f（x）]+1=x+1+1+1=0，∴x=﹣3；当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，∴f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，∴x=﹣；当0＜x≤1时，f（x）=log2x≤0，∴f[f（x）]+1=log2x+1+1=0，∴x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，∴x=所以函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{}故答案为：{}．16．（5分）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为．【解答】解：显然k＞0，故k2≥．令t=＞0，则k2≥令u=4t+1＞1，则t=．可转化为：s（u）=，于是，≤（1+2）=．∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等成立）．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：当命题p为真命题即f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，即ax2﹣x+a＞0对任意实数x均成立，∴解得a＞2，当命题q为真命题即﹣1＜ax对一切正实数均成立即a＞==对一切正实数x均成立，∵x＞0，∴＞1，∴+1＞2，∴＜1，∴命题q为真命题时a≥1．∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，∴p与q有且只有一个是真命题．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a∈[1，2]．综上知a∈[1，2]．18．（15分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．19．（10分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．20．（10分）已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）．（1）若tanα=2，求f（α）的值；（2）若x∈[，），求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）化简可得f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）•sin（x﹣）=（1+）sin2x﹣2sin[（x﹣）+]•sin（x﹣）=sin2x﹣2cos（x﹣）sin（x﹣）=sinx（sinx+cosx）﹣sin（2x﹣）=sin2x+sinxcosx+cos2x=+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，同理可得cos2α==﹣∴f（α）=sin2α+cos2α+=；（2）∵x∈[，），∴2x+∈[，），∴sin（2x+）∈[﹣，1），∴sin（2x+）∈[﹣，），∴sin（2x+）+∈[0，），∴f（x）的取值范围为[0，）．21．（10分）已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．【解答】解：（1）求导得到g′（x）=﹣+≥0 在x≥1时成立∴≥∴1≥∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0∴sinθx≥1∴sinθ=1 θ=（2）（f（x）﹣g（x））′=m+﹣+﹣=m+﹣使其为单调∴h（x）=m+﹣=，在x≥1时m=0时h（x）＜0恒成立．m≠0时对于h（x）=，令K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时对称轴x=所以使K（1）≥0则成立所以m﹣2+m≥0所以m≥1m＜0时使K（1）≤0 所以m≤1综上所述m≥1或m≤022．（15分）已知函数f n（x）=ax n+bx+c（a，b，c∈R），（Ⅰ）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（Ⅱ）若对任意实数x，不等式2x≤f2（x）≤恒成立，求f2（﹣1）的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数得∴a=3，b=0，c=1；（Ⅱ）由题意可知f2（1）≥2，f2（1）≤2，∴f2（1）=2，∴a+b+c=2，∵对任意实数x都有f2（x）≥2x，即ax2+（b﹣2）x+c≥0恒成立，∴，由a+b+c=2，∴（a+c）2﹣4ac≤0，可得a=c，b=2﹣2a，此时，∵对任意实数x都有成立，∴，∴f2（﹣1）=a﹣b+c=4a﹣2的取值范围是（﹣2，0]；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[﹣1，1]都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4等价于在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：（ⅰ）当，即b＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．（ⅱ）当，即0＜b≤2时，恒成立．（ⅲ）当，即﹣2≤b≤0时，恒成立．综上可知，﹣2≤b≤2．。

2016届高考数学模拟试卷（五） 文科数学试题友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限 3．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段PA 所成的比为 （ ）A ．3B ．12C ．12-D ．32-8．已知直线01)5()3(:1=+-+-y k x k l 与032)3(2:2=+--y x k l垂直，则K 的值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）1或4 （D ）1或25．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）(A)|1|23-=x y(0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)3．某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成2010年上海世博会的志愿团，若采用下面的方法选取；先用简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率 （ ） A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等且为502010D ．都相等且为1405．已知sin()sin 0,32ππααα++=-<<则2cos()3πα+等于（ ） A ．45- B ．35-C ．35 D ．453．已知a ，b 是非零向量，则a 与b 不共线．．．是||||||b a b a +<+的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 11．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．515arccos B ．4π C ．510arccosD ．2π5.若a b c 、、是实数，则“0ac <”是“不等式20ax bx c ++>有解”的 Ａ.充要条件 Ｂ.充分不必要条件Ｃ.必要而不充分条件 Ｄ.既不充分也不必要条件10．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111,||||2AF BF -=则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<<等于（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π11．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的取值范围是 ．13．设函数3()3f x x ax =-,若对任意实数m ，直线0x y m ++=都不是曲线()y f x =的切线，则a 的取值范围为 。

东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学答案（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分．1.C2.B3.C4.D5.C6.B7.A8.B9.D 10.C 11.B 12.D 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.160- 14.π5 15.1080 16.12-三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+ 即B A C C Asin 232cos 1sin 2cos 1sin =+++………2分 ∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ………4分 ∵B C A sin )sin(=+∴B C A sin 2sin sin =+即b c a 2=+∴c b a 、、成等差数列. ………6分（余弦定理也可解决） （2）∵3443sin 21===ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 2222222-+=-+=-+= ………10分由（1）得：b c a 2=+∴48422-=b b∴162=b 即4=b ………12分18.解: (I) 李师傅这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）. …………………………..4分（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C === 112312264(880),15C C C P X C +===1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：…………………………..12分19.（1）连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的交线，如图所示； ……………………2分 （2）由（1）因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点 所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ………………………………4分 又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1……………6分 （3）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ，)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=CE令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，………………………………………8分 令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x =,所以n BA ⊥，BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n BD ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ， 得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分 所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分 20.解：（1）因为2214a c =，所以2234b a =， 因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ= ，得12512(,)77a A -， 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==．所求方程为22143x y += …………………4分由AP PC λ= ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=11111313λλy y x x…………………6分从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值． …………………12分法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由A P P Cλ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩， …………………6分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得12121213()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 即12123()4()0AB x x y y k +++=， 同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=, …………………10分 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=， 即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值． …………………12分21.解：()2cos22f x x a x ππ'=++∵f (x )在定义域(0，1)内单调递增∴()0f x '≥在(0，1)内恒成立，即2cos22a x ππ--≥在(0，1)内恒成立令()2cos 22g x x x ππ=+，则2()2sin 42g x x ππ'=-∵()g x '在(0，1)内单调递减，且(0)0(1)0g g ''><，∴()g x '在(0，1)上存在唯一零点m∴g (x )在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减，∴(0)(1)2a g a a g π-⎧⇒-⎨-⎩≥≥≥…………5分证明：当2a =-时，()22cos22f x x x ππ'=-+令()22cos 22h x x x ππ=-+，则2()2sin 42h x x ππ'=-由(1)知，()h x '在(0，1)上存在唯一零点m∴()()f x h x '=在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减∵(0)20(1)02f f π''=-+<=，，∴()0f m '> ∵f (x )的极小值为f (x 0)，∴0()0f x '=，因此001x m <<< ∴f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增不妨设x 1<x 2，∵f (x 1) = f (x 2)，∴10201x x x <<<< 令00()()()F x f x x f x x =+--，则0000()()()44cos cos22x xF x f x x f x x x πππ'''=++-=-+∵()F x '在(0，1)递减，∴()(0)0F x F ''<= ∴F (x )在(0，1)递减，∴F (x ) <F (0) = 0，00()()f x x f x x +<-又1200200202()()(())(())(2)f x f x f x x x f x x x f x x ==--<+-=- ∵021x x <<，∴02002x x x <-<∵100x x <<，f (x )在(0，x 0)上单调递减，∴1022x x x >-，即1202x x x +> ……12分 22.解：（1）由PA 为圆O 的切线,得PAB ACP ∠=∠， 又P ∠为公共角，所以PAB PCA ∆∆ ，∴AB PAAC PC =……4分 （2）由PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，2PA PB PC ∴=⋅，40PC ∴=，30BC =，又90CAB ∠= ，222900AC AB BC ∴+==，又由（1）知12AB PA AC PC ==，AC ∴=AB = AE 是BAC ∠的角平分线，且AEC ABD ∠=∠， AEC ABD ∴∆∆ ， AB AD AE AC∴=，360AD AE AB AC ⋅=⋅== ……10分 23.（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =． ……4分（Ⅱ）将直线l 的方程化标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==． ……10分 24.解：(Ⅰ)当时，单调递增，所以；1x <-()4f x x =+()3f x <当时，单调递减，所以； 当时，单调递减，所以；所以的最大值-……4分(Ⅱ)假设存在正数，使得，则 所以；又由于，所以……10分112x -≤≤()52f x x =--()max ()13f x f =-=12x >()4f x x =--19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭()f x 3M =,ab 66a b +=66332a b a b +=≥=552212a b≤33113Mab ab a b +==≥552223a b ≥。

东北育才高中部高三年级第五次模拟考试数学（理科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，41z i=-，则复数z 的虚部为 A.2i - B.2i C.2 D.2- 2.已知全集2018={|0}2019x U R A x x -=≥-，，则U C A =A ．{|20182019}x x ≤≤B ．{|20182019}x x <<C ．{|20182019}x x <≤D ．{|20182019}x x ≤<3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量c =λ+a b ,则实数=λA.2-B.1-C.1D.24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足8584S a =-，则该数列的公差是 A ．1B ．2C ．3D.45.若双曲线222:14x y C m -=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为．6. 已知函数()2()ln xf x ef e x e'=-，则()f x 的极大值点为 A.1eB.1C. eD.2e 7. 已知函数()sin()=+f x A x ωϕ，（0,0>>A ω，||2<πϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕA ．6π B ．4π C ．3πD ． 23π 8.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 四棱锥的三视图，则该几何体的体积为A.2B.83C.6D.8 9.某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 A.8种 B.12种 C.16种 D ．20种 10．在右图算法框图中，若dx x a ⎰-=3)12(，程序运行的结果S 为二项式5)2(x +的展开式中3x 的系数 的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A.3k < B ．3>kC ．2<kD ．2>k11.将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为 A.πB.2πC.3πD.4π12.已知函数()()133()log 2log 4=--+f x x x ，如下命题：①函数()f x 的定义域是[]4,2-； ②函数(1)f x -是偶函数； ③函数()f x 在区间[)1,2-上是减函数；④函数()f x 的值域为(,2]-∞-. 其中正确命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数,x y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则yz x =的最小值是________.14.如图所示,半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内,用A 表示事件“豆子落在圆O 内”, B 表示事件“ 豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”,则(|)=P B A .15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010S S S +＝ .16.抛物线22y px =的焦点为F ，设1222(,),(,)A x y B x y是抛物线上的两个动点，若12||3x x p AB ++=，则AFB ∠的最大值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且03sin 2sin 322=-+A A. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆面积为3，且外接圆半径3=R ，求ABC ∆的周长.18. （本题满分12分）2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值 作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望．附：4.13180≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=19．(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，直线l ：2y x =与椭圆交于,M N ，四边形12MF NF的面积为3. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）作与l 平行的直线与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为P ，若12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，AB DP ==，E 是CD 中点，点F 在线段PB 上.（Ⅰ）证明：AD PC ⊥；（Ⅱ）若PF uu u r=,PB λuu r [0,1]λ∈，求实数λ使直线EF 与平面PDC 所成角和直线EF 与平面ABCD 所成角相等.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)若21()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin =+ρθθ，直线l的参数方程为12⎧=⎪⎨=⎪⎩x y (t 为参数)．(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于、A B 两点，求|QA |·|QB |的值．23.选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数()|1||2|f x x x =-++. (Ⅰ)求不等式()13f x <的解集；(Ⅱ)若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥.2018-2019学年东北育才高中部高三年级第五次模拟考试 数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.C3.D4.A5.B6.D7.C8.A9.C 10.A 11.B 12.D 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 13 14. 14 15. 11816. 2π3三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(Ⅰ)解：Q 03sin 2sin 322=-+A A∴03sin 2cos 132=-+-⨯A A，即0cos 3sin =-A A …………2分 3tan =∴A…………4分又π<<A 03π=∴A …………6分 (Ⅱ) Q 2sin a R A =…………7分33sin 32sin 2===∴πA R a…………8分 Q ABC ∆面积为33sin 21=∴A bc 得4=bc …………9分∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， ∴b 2+c 2﹣bc=9， …………10分 ∴（b+c ）2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=21 ………11分∴周长a+b+c=3+21． …………12分18.(Ⅰ)这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…2分222222(30)0.05(20)0.1(10)0.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯=…4分 (Ⅱ)（i ）由（1）知，)18060(~，N X ，从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； …7分（ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[4555]，内有3人，在[6575]，内有4人，故Y 可能的取值为0，1，2，3 354)0(373403===C C C Y P ，3518)1(372413===C C C Y P ，3512)2(371423===C C C Y P 351)3(370433===C C C Y P 所以Y 的分布列为…11分所以Y 的数学期望为4181219()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= …12分 19.(Ⅰ)解：由222221y x x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222244a b y a b =+ 2ce a ==，222212a b e a -==,a c b∴== ………2分 23c =33=1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y += ………5分 (Ⅱ)设直线AB 的方程为2(0)y x m m =+≠由22212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m ++-= 226436(22)0m m ∆=-->，得29m <，()()3,00,3m ∴∈- ………7分设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则21212822,99m x x m x x -+=-=0004,299mx m y x m =-=+=200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+---288116m=-（0m ≠） ………10分 ()128,0,7k k ⎛⎫∴+∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭………12分20. (Ⅰ)解：PAD △中222PA AD PD +=，∴90PAD ∠=︒∴AD PA ⊥； ………1分 连AC ，ABC △中2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ………2分 ∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥，∴AD AC ⊥ ………4分 又PAAC A =∴AD ⊥平面PAC ∴AD PC ⊥ ………5分(Ⅱ)由（1）：P A A D⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD 于AD ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系； ………6分∴(000)A ，，，(220)B ，，，(020)C ，，,(200)D -，，，(110)E -，，，(002)P ，， ∴(022)PC =-，，，(202)PD =--，，，(222)PB =-，，， ………7分 设PFPBλ=，（[01]λ∈，），则(222)PF λλλ=-，， (2222)F λλλ-+，，，(212122)，，=+--+EF λλλ ………8分设平面PCD 的一个法向量()m x y z =，，，则00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得(111)m =--，，又平面ABCD 的一个法向量(001)n =，， ………10分由题：cos cos EF m EF n =，，，即223EFEFλ-=解得：λ=………12分 21. (Ⅰ) 解：由已知()f x 的定乂域为(0,)+∞，又1'()=-f x a x， 当0≤a 时，'()0>f x 恒成立； 当0a >时，令'()0>f x 得10<<x a ；令'()0<f x 得1>x a. 综上所述，当0≤a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当0a >时，()f x 在1(0,)a 上为增函数，在1(,)+∞a上为减函数. ………4分 (Ⅱ)由题意21g()(1)ln ,(0)2=-+-+>x x x ax a x ，则1g'()1=+--x x a x， 当1a ≤时，∵g'()0≥x ，∴g()x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意. ………6分当1a >时，2(1)1g'()x a x x x-++=，令2()(1)1x x a x ϕ=-++，则2(1)4(3)(1)0a a a ∆=+-=+->. 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <， 则∵121x x =，∴1201<<<x x当1(0,)x x ∈时，()0x ϕ>，'()0g x ∴>，∴g()x 在1(0,)x 上为增函数， 当12()x x x ∈，时，()0x ϕ<，'()0g x ∴<，∴g()x 在12(,)x x 上为减函数， 当2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，'()0g x ∴>，∴ g()x 在2(,)x +∞上为增函数， ∵(1)0g =，∴g()x 在12(,)x x 上只有一个零点 1，且12g()0,g()0x x >< ………8分1111()()()()222221()(1)ln 2a a a a g ee e ae a -+-+-+-+∴=-+-+111()())22222111(11)ln (1)()222a a a e ea e a a -+-+-+<-++=--++（ 11()()221(2)02a a e e -+-+=-<， 1()201a e-+<<Q ，又当1[,1)x x ∈时，()0g x >，1()210a ex -+∴<<∴g()x 在1(0,)x 上必有一个零点. ………10分又21(22)(21)ln(22)(22)2g a a a a a a +=+++-++ 211(21)(22)022a a a >+-+=>221a +>Q ，又当2(1,)x x ∈时，()0g x <，222a x ∴+>∴g()x 在2(,)x +∞上必有一个零点.综上所述，故a 的取值范围为(1,)+∞ ………12分 23.(Ⅰ)由ρ＝6cos θ＋2sin θ，得ρ2＝6ρcos θ＋2ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝6x ＋2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.由⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋2t，消去参数t ， 得直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0. ………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ′y ＝2＋22t ′(t ′为参数)， ………7分代入曲线C 的直角坐标方程x 2＋y 2－6x －2y ＝0得t ′2＋32t ′－5＝0. ………9分由韦达定理，得t ′1t ′2＝－5，则|QA |·|QB |＝|t ′1t ′2|＝5. ………10分 23.(Ⅰ)由()13f x <，得|1||2|13x x -++<，则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-. ………5分 （2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =，因为21191(0)k mn m n m n +=+=>，所以0,0m n >>， 199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当当当当9n mm n=，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥. ………10分。