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三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；（2）观察y=sin x，x∈［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函π数以及复合函数的图象的画法【教学重点难点】【教学重点】：五点法【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法【学前准备】：多媒体，预习例题电脑2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：（1）sin x ≥；（2）cos x ≤．解：（1）作出正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ （2）作出余弦函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ21211.4.2正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.2.体会数形结合思想及整体换元思想【教学重难点】通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法【学前准备】：多媒体，预习例题1、师生共同研究得出正弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[- ③单调性：递增区间为Z k k k ∈++-],22,22[ππππ，函数值从-1增至1；递减区间为Z k k k ∈++],223,22[ππππ，函数值从1减至-1. ④最值：当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y .⑤奇偶性：奇函数，x x sin )sin(-=- ⑥对称性：对称轴为Z k k x ∈+=,2ππ；对称中心为Z k k ∈),0,(π.2、小组合作探究得出余弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[-③单调性：递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ，函数值从-1增至1；正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。
教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法，能通过观察正切函数图象，利用类比思想归纳正切函数的性质;2．提升学生作图能力,分析能力和解决问题的能力，进行数形结合思想和类比思想的渗透．教学重点：利用正切线画正切函数的图象，正切函数的性质及其应用．教学难点:应用正切函数的性质解决有关三角函数问题．教学过程备课札记一、问题情境问题1 如何由用正弦线和余弦线得到正弦、余弦函数图象？利用正余弦函数图象得到它们有哪些性质？问题2 如何在单位圆中画出正切线?如何利用正切线研究正切函数的图象？二、学生活动学生分组讨论研究，总结交流成果．一方面分组合作探究，展示动手结果,上黑板板演,同时回答同学们提出的问题．问题3 正切函数是周期函数吗?问题4 正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？问题5 当角无限接近2π时,正切值如何变化？当角无限接近2π-时，正切值又如何变化？直线的作用是什么?问题6 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？三、建构数学1．课件演示:正切函数的图象在区间（－错误!,错误!）的图象．问题7 根据图象的特征得到正切函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称性)，注意平行直线2ππx k =+（k Z )与图象的关系．四、数学运用1．例题.例1 求函数tan(2)4πy x =-的定义域。
例2 求函数x y 2tan =的周期、单调区间。
O2．练习：（1）第33页练习1，观察图象，写出满足条件的x 的集合；0tan =x 0tan <x ．（2）第33页练习2，求函数的定义域；（3)第33页练习3,判断各式的符号．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．利用正切线画出正切函数图象；2．能通过观察正切函数图象，利用类比思想归纳正切函数的性质；3．会求正切函数的定义域、值域、周期性、单调性．教学反思：课题。
高一数学必修四导学案课题：1．3.2 第二课时 三角函数的诱导公式五、六班级：_______姓名：_____________小组：_______教师评价：__________【教学目标】1．理解诱导公式五、六的推导过程．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用【重点难点】公式五、六记准并能灵活运用公式【导学过程】问题一：给定一个角α，角π2－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？问题二：怎样求π2＋α的正弦、余弦值呢？【课前自主梳理】1．诱导公式(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ (2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝. 2．公式五和公式六的文字概括π2±α的-----------函数值，分别等于α的---------函数值，前面加上一个把α看成--------时原函数值的符号．【互动探究】1.给值求值例 1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan(π－α)＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34【合作探究】(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α 的值．（3）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223 C ．－13D ．－223【互动探究】2.利用诱导公式化简、求值例 2 化简下列各式．(1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π·sin 3π＋α．【合作探究】(2018高考改编)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π.【重点附加】【合作探究】已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值． 【互动探究】3、三角函数的证明例 3 求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.【重点附加】已知f (cos x )＝cos17x ，证明：f (sin x )＝sin17x .。
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
三角函数的图像与性质一、教学目标:【知识与技能】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【过程与方法】：通过观察正弦、余弦、正切函数的图像复习与三角函数的性质，并运用于解决对应问题的过程中；【情感态度与价值观】：体会数形结合与整体代换等数学思想；通过对图像的观察理解，体会从图形的直观到概括函数的抽象的过程、理解动与静的辩证关系，获得从感性认识到理性认识的进步.二、教学重点与难点：【重点】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【难点】：体会数形结合与整体代换等数学思想，并运用于相应的解题过程中.三、课型：复习课.四、课时安排：1课时.五、教学方法：讲练结合.六、教学过程:1、结合正弦曲线的特点复习回顾正弦函数的性质；（逐步完成下表）三角函数的图像和性质（1）2、根据上面复习的正弦函数的相关性质初步展开练习； 【练习1】：函数y ＝2cos x －1的定义域： ； 【练习2】：函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]【练习3】（回归课本）求函数 的单调增区间；3、对比正弦函数的性质回顾余弦函数的性质；4、继续展开练习：【练习4】：函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2【练习5】：下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)【练习6】：（08广东文数第5题）已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x ∈R,则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数1sin(),[2,2]23y x x πππ=+∈-5、对比正弦、余弦函数的图像观察正切函数的图像，并回顾正切函数的性质；6、再次展开练习：【练习7】：是）的定义域（函数.4tan π+=x y ；【练习8】：（2006广东）已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最大值和最小值； （3）若43)(=αf ，求α2sin 的值. 7、小结；师生共同回顾本节课所复习的内容及其应用. 8、作业：【2010广东】已知函数 在时取得最大值4.（1）求的最小正周期； （2）求的解析式；（3）若，求.【2010湖南高考】已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<12x π=()f x ()f x 212()3125f πα+=sin α。
1．3．2三角函数的图象与性质(1)【学习目标】1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此根基上由引诱公式画出余弦函数的图象．2．借助图象理解正弦函数，余弦函数的性质．【要点与难点】借助正弦线画出正弦函数的图象．【预学单】主题一:几何法作图1.复习回想随意角的三角函数线，并借助正弦线研究跟着角的增大，它的正弦值的变化状况.【研学单】主题二:“五点法〞作图1．正弦函数的图象2．正弦函数的性质函数的y sinx的定义域，值域；当x=_，函数最大值为性间；当x=，对称轴_______ _____;，递减区间，函数最小值为；周期，奇偶对称中心______________；单一递加区；3．余弦函数的图像．4．余弦函数的性质．函数的y cosx的定义域最大值为；当x= _性，对称轴_________；对称中心递减区间；，值域；当x=，函数最小值为；周期____________；单一递加区间__，函数，奇偶，主题3 数学应用例1．用“五点法〞作出以下函数的简图．〔1〕y 2cosx,x R (2)y sin2x,x R例2．画出以下函数的图象，并说出函数的对称性、周期(1)y 1 cosx；(2)y sinx；(3)y sinx例3．求以下函数的定义域：(1)y2sinx1；(2)y16x2cosx；(3)ysinxcosx【续学单】画出以下函数的简图:〔1〕y sinx1〔2〕y2sinx〔3〕y1cosx〔4〕ycosx.3.函数f(x)cosx1的图象的对称中心的坐标是..假定会合Ax0x2，Bxsinx1，那么A?B=.2.定义在0,上的函数y2cosx的图象与ysinx的图象的交点为P，那么P到x轴的2距离为.。
1．3.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质[对应学生用书P19]预习课本P37～43，思考并完成以下问题(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？(2)正弦函数图象五个关键点是什么？(3)周期函数的定义是什么？(4)正弦函数的性质是什么？[新知初探]1．正弦函数的图象及作法(1)“正弦线”作图．①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”.[点睛]“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．2．正弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．[点睛]对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．(2)正弦函数的性质[点睛]正弦函数不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π解析：选C ∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π，故选C. 3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.①________；②________；③________. 答案：π 0 1用“五点法”作简图[典例] 作函数y ＝3tan x cos x 的图象．[解] 由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，于是函数y ＝3tan x cos x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .又y ＝3tan x cos x ＝3sin x ，即y ＝3sin x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .按五个关键点列表：描点并将它们用平滑曲线连起来(如下图)：先作出y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 的点，得到y ＝3tan x cos x 的图象．用五点法画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下 (1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y )，⎝⎛⎭⎫π2，y ，(π，y )，⎝⎛⎭⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．[活学活用]用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图象． 解：(1)列表：(2)描点，连线，如图所示．正弦函数的周期性、奇偶性[典例] A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)函数f (x )＝|sin x |的最小正周期为________．(3)定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解析] (1)∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)法一：∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π.法二：∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π. [答案] (1)A (2)π(3)解：∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数，∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例(3)条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6的值． 解：ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例(3)条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1.求三角函数周期和判断奇偶性的方法(1)求三角函数周期的方法①定义法：即利用周期函数的定义求解． ②图象法：即通过观察函数图象求其周期．(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．正弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．[解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调区间． 解：由－π2＋2k π≤2x ＋3π4≤π2＋2k π，k ∈Z得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z)． 由π2＋2k π≤2x ＋3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 3．函数y ＝2－3sin x 的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－3 B ．0,2 C ．5,2D ．5，－1解析：选D ∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤－3sin x ≤3， ∴－1≤2－3sin x ≤5.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．(0，π)解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确．6．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：37．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个． 答案：28．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．利用“五点法”作出函数y ＝sin x －π2x ∈π2，5π2的图象．解：列表如下：描点连线，如图所示．10．求函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间． 解：函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间， 即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间． 令π2＋2k π≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．同理，令－π2＋2k π≤12x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ， 即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)． 层级二 应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32， sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C.5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：227．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数ƒ(x)对于任意实数x满足条件ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)预习课本P44～49，思考并完成以下问题(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y＝A sin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．左移π3个单位长度B ．右移π3个单位长度C ．左移π6个单位长度D ．右移π6个单位长度解析：选D 因为y ＝sin(2x －π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6.所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，就得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2，故y ＝3sin(2x ＋φ)， 又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.正弦型函数图象的对称性[典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V . (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1π B ．2，1πC.12，π D ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．(1)求出f (x )的解析式；(2)若g (x )与f (x )的图象关于x ＝2对称，求g (x )的解析式． 解：(1)由题图知A ＝2，∵周期T ＝8， ∴2πω＝8，∴ω＝π4.∵点(－1,0)在图象上，∴0＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4×(－1)＋φ， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝0，∴φ＝π4. ∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x ＝2的对称点P ′为(4－x ，y )．又∵点P ′在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4·(4－x )＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.第一课时 余弦函数的图象与性质预习课本P51～53，思考并完成以下问题 (1)余弦曲线五个关键点是什么？(2)余弦函数的性质是什么？[新知初探]1．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (2)用“五点法”：画余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 3．余弦函数的性质[点睛] 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R)(A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的最小正周期为T ＝2πω.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(4)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点和x 轴对称 D ．关于y 轴对称答案：A3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象[典例] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图象沿x 轴( )A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图象上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故选C. 答案：C (2)列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121描点并用光滑的曲线连接起来，如图．“五点法”画函数图象的三个步骤作形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b ，x ∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[活学活用]1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23， 则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23. 2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图． 解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3－2cos x13531余弦函数的性质[典例] (1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13(2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． [解析] (1)∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. (2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z)，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z)．所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)．[答案] (1)D (2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z)1．求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0.对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． [活学活用]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．比较大小：cos 158π________cos 149π.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞1．若y ＝a cos x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫25x －π6的最小正周期为( )A.25π B.52πC ．2πD ．5π解析：选D T ＝2π25＝5π，因此选D.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位长度得y ＝cos(2x ＋1)的图象．4．函数＝1＋cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：选B y ＝1＋cos x ＝1＋cos(－x )，∴y ＝1＋cos x 是偶函数，即该函数的图象关于y 轴对称．5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选C 由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，为 得到该函数的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度．6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－328．函数y ＝2cos x － 2 的定义域是______________________________________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 9．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3. 由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎦⎤2π3，π.10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间． (1)y ＝3cos 2x ；(2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋32π. 解：(1)3cos 2(－x )＝3cos(－2x )＝cos 2x ， ∴函数y ＝3cos 2x 是偶函数．最小正周期T ＝π，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z)， 递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)． (2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的周期为T ＝2π34＝8π3， ∵f (x )＝y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝sin 34x ， ∴f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－sin 34x ＝－f (x )． ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫34x ＋32π为奇函数．递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋8k π3，2π3＋8k π3(k ∈Z)， 递减区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋8k π3，2π＋8k π3(k ∈Z)．层级二 应试能力达标1．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象． 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9解析：选C 将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，得函数y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3的图象． ∵所得图象与原图象重合， ∴－ωπ3＝2k π，k ∈Z.∴ω＝－6k .当k ＝－1时，ωmin ＝6.3．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝( )A ．－1B ．1 C.12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 5解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]6．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，则该函数的值域为________． 解析：∵0≤x ≤π4，∴－π3≤2x －π3≤π6，∴12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，∴1≤2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2，故该函数的值域为[1,2]．答案：[1,2]7．求下列函数式的最值： (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3. 解：(1)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.8．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z)． 又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．因为当θ＝2k π(k ∈Z)时，y ＝3－2cos θ取得最小值， 所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z)，即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z)时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.第二课时 正切函数的图象与性质预习课本P54～56，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的图象与性质[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋5π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1]正切函数的定义域[典例] 求下列函数的定义域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得， tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知， 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[活学活用] 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．。
福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：1.4.3 三角函数的图象与性质疑点：正弦函数、余弦函数义域上的单调性．[教学过程]（一）引入： 因为正弦函数、余弦函数为周期性函数，所以只要把握了一个周期内的图象，整个定义域内的函数图象也就很清楚了，因此下面研究x ∈[0,2π]的性质．(二)新课：1、正余弦函数的奇偶性4π它们的图象有何特征？生：正弦曲线y=sinx ，x ∈R 的图象关于原点对称，余弦曲线y=cosx ，x ∈R 的图象关于y 轴对称．师：根据它们的图象特征，你能否确定它们的奇偶性？并证明你的结论．生：y=sinx ，x ∈R 是奇函数，证明如下f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，∴f(x)=sinx ，x ∈R 为奇函数．y=sinx ，x ∈R 是偶函数，证明如下：f(x)=cos(-x)=cosx=f(x)，∴f(x )=cosx ，x ∈R 为偶函数．2、正弦函数、余弦函数的单调性观察正弦曲线可以看出：当x 由-2π增大到2π时，曲线逐渐上升，sinx 的值由-1增大到1，当x 由2π增大到23π时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知．正弦函数在每一个闭区间[2π+2k π,23π+2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[-2π+2k π,2π+2k π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1． 类似地，我们可得到余弦函数的单调性：余弦在每一个闭区间[(2k-1),2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2k π, (2k+1)](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1．3、正弦函数、余弦函数的最大值、最小值．例题：课本例3，例4，例5[课堂练习]P 45 1，2，3，4，6[小结]本节课学习了正弦函数、余弦函数的值域、奇偶性、单调性，并会利用它们来确定一些函数的值域、比较函数值大小，求函数的单调区间．[课后作业]P 52 2，4，5 B ：1同步练习：1 。
1．3.2 三角函数的图象与性质情景：前面我们学习了三角函数的诱导公式，我们是借助于单位圆推导出来的． 思考：我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢？1．“五点法”作正弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________． 答案: (0，0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0)2．“五点法”作余弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________． 答案: (0，1) ⎝⎛⎭⎫π2，0 (π，－1) ⎝⎛⎭⎫32π，0 (2π，1)3．作正、余弦函数图象的方法有二：一是________；二是利用________来画的几何法． 答案: 描点法 三角函数线4．作正弦函数的图象可分两步：一是画出_________________________________________________________的图象，二是把这一图象向________连续平行移动(每次平移2π个单位长度)． 答案: y ＝sin x ，x ∈ 左右5．正弦曲线关于________对称；正弦函数是________；余弦曲线关于________对称，余弦函数是________．答案: 原点 奇函数 y 轴 偶函数6．正弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: ⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z) ⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k ∈Z)7．余弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: (k ∈Z) (k ∈Z)8．正弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2kπ＋π2(k ∈Z) 2kπ－π2(k ∈Z)9．余弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2kπ(k ∈Z) 2kπ＋π(k ∈Z)10．正切函数y ＝tan x 的定义域是______________，值域为________；正、余弦函数的定义域是________，值域是________．答案: ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π2，k ∈Z R R11．正切函数为________函数(填“奇”或“偶”)． 答案: 奇12．正切函数y ＝tan x 在每一个区间________内均为________． 答案: ⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k ∈Z) 增函数13．利用正切线可以得到y ＝tan x 在________内的图象，把所得图象左右连续平移________个单位，可得y ＝tan x 在整个定义域内的图象．答案: ⎝⎛⎭⎫－π2，π2 π14．正切曲线的简图可以用“三点两线法”，这里的三个点为__________、________、________；两直线为________、________．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ－π4，－1 (kπ，0) ⎝⎛⎭⎫kπ＋π4，1(k ∈Z) x ＝kπ＋π2 x ＝kπ－π2(k ∈Z)15．正切函数y ＝tan x 的对称中心为________．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k ∈Z)16．正、余弦函数的图象是连续的，而正切函数的图象不连续，它被无数条垂直于x 轴的直线________________分隔开来．答案: x ＝kπ＋π2(k ∈Z)17．正、余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间，而正切函数在每一个_______________________________________________上都是增函数．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2(k ∈Z)五点法画图函数y ＝sin x 在x ∈的图象上，起着关键作用的点只有以下五个： (0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 事实上，描出这五个点后，函数y ＝sin x 在x ∈的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到正弦函数的简图．今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”．同样，在函数y ＝cos x ，x ∈的图象上，起着关键作用的点是以下五个： (0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 与画函数y ＝sin x ，x ∈的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y ＝cos x 在x ∈的简图． 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的性质： (1)定义域．正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R. (2)值域．正弦函数、余弦函数的值域都是．正弦函数当且仅当x ＝π2＋2kπ(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π2＋2kπ(k ∈Z)时取得最小值－1；而余弦函数当且仅当 x ＝2kπ(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π＋2kπ(k ∈Z)时取得最小值－1.(3)周期性．正弦函数、余弦函数都是周期函数，并且周期都是2π. (4)奇偶性．正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于y 轴对称． (5)单调性．正弦函数在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1. 类似地，余弦函数在每一个闭区间(k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.正切函数的图象与性质正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，x≠π2＋kπ，k ∈Z 的图象，叫做正切曲线．如下图所示．正切函数的性质：(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋kπ，k ∈Z . (2)值域为实数集R.(3)周期性．正切函数是周期函数，周期是π. (4)奇偶性．奇函数，图象关于原点对称．(5)单调性．每个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k ∈Z)都是函数y ＝tan x 的单调增区间． 难点释疑：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的，直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 是图象的渐近线． 由于正切函数的定义域必须去掉x ＝π2＋kπ，k ∈Z 各点，故正切函数图象与直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z无交点；又由于正切函数的值域为R ，无最大值、最小值，故其图象向上、下无限延伸；由于周期是π，所以图象每隔π长度重复出现；因为正切函数的单调性表现为在每一个单调区间内只增不减，故图象是由一系列重复出现的上升曲线构成，而在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当x 向右无限接近于x ＝π2时，函数值不断增大，趋于正无穷大，图象无限接近于x ＝π2，但永不相交；当x 向左无限接近于x ＝－π2时，函数值不断变小，趋于负无穷大，图象无限接近于x ＝－π2，但永不相交，故x ＝±π2为正切函数图象的渐近线，由周期性知，直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 是图象的渐近线．基础巩固1．下列函数的图象相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(π＋x) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x) D ．y ＝sin(2π＋x)与y ＝sin x 答案：D2．函数y ＝1－sin x ，x ∈上的大致图象是( ) 答案：B3．把函数y ＝sin x 的图象向________平移________个单位长度可得y ＝cos x 的图象． 答案：左 π24．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2的奇偶性为________． 答案：偶函数5．已知a ∈R ，函数f(x)＝sin x －|a|，x ∈R 为奇函数，则a 等于________． 答案：06．使函数y ＝sin(2x ＋φ)为奇函数的φ值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2答案：C7．y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．(0，0) 答案：C8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案：A9．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.π4B ．0C ．1D ．2解析：∵y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，∴y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象的交点中相邻两点间的距离为πω，故πω＝π4，ω＝4，∴f(x)＝tan 4x.∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎫4×π4＝tan π＝0，故选B. 答案：B10．函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2kπ≤x ＜2kπ＋π2，k ∈Z ∪{}x|x ＝2kπ＋π，k ∈Z11．函数y ＝lg tan x ＋16－x 2的定义域为________． 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，4]能力升级12．已知f(x)＝x·sin x ，x ∈R.则f ⎝⎛⎭⎫－π4，f(1)及f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系为______________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝π4sin π4<sin π4，sin π4<sin 1<sin π3， f ⎝⎛⎭⎫π3＝π3sin π3>sin π3.∴f ⎝⎛⎭⎫－π4<f(1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 答案：f ⎝⎛⎭⎫π3>f(1)>f ⎝⎛⎭⎫－π413．已知f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集是________________．解析：∵f(x)是(－3，3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x 是(－3，3)上的偶函数，从而观察图象可知解集为：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 答案：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝⎛⎭⎫π2，314．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3，x ∈的单调递增区间． 解析：令z ＝12x －π3.函数y ＝cos z 的单调递增区间是，k ∈Z.由2kπ－π≤12x －π3≤2kπ得4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k ∈Z)．取k ＝0，得－4π3≤x≤2π3，而⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3，因此，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3，x ∈的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3.15．求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的单调区间． 解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x 3－π4. 故由2kπ－π2≤2x 3－π4≤2kπ＋π2(k ∈Z)⇒3kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k ∈Z)，由2kπ＋π2≤2x 3－π4≤2kπ＋3π2(k ∈Z)⇒3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k ∈Z)．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3kπ－3π8，3kπ＋9π8(k ∈Z)， 单调递增区间为(k ∈Z)．16．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由题意知，ω＝2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.由三角函数图象知： f(x)的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，∴f(x)的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，317．使sin x≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ． 解析：作出它们的图象，在四个选项中，只有A 选项才能满足正弦图象在余弦图象下方． 答案：A18．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3的值域是________． 解析：y ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2x －43cos x ＋49＋1－43＝ 3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 当cos x ＝23时，y min ＝－13；当cos x ＝－12时，y max ＝154，∴函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤－13，154. 答案：⎣⎡⎦⎤－13，15419．若函数y ＝sin x ＋2|sin x|，x ∈的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________．解析：y ＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，sin x≥0，－sin x ，sin x<0，图象如下：显然，当k ∈(1，3)时，两曲线有且仅有两个不同的交点． 答案：(1，3)20．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1解析：ω只是变换函数的周期并将函数图象进行伸缩，若ω使函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上递减，则ω必小于0，而当|ω|＞1时，图象将缩小周期，故－1≤ω＜0.答案：B21．已知函数f(x)＝log 12(sin x －cos x)．(1)求它的定义域； (2)判定它的奇偶性；(3)判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解析：(1)sin x －cos x ＞0，由三角函数线可知，f(x)定义域为⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k ∈Z)． (2)由f(x)的定义域不关于原点对称，可得f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(2π＋x)＝log 12＝log 12(sin x －cos x)，∴f(x)最小正周期为2π.22．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos(2π－x)－x 3·sin x ； (2)f(x)＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x≤π3； (3)f(x)＝lgtan x ＋1tan x －1.解析：利用函数奇偶性定义判断．(1)函数f(x)的定义域为R 且关于原点对称． 又∵f(x)＝cos x －x 3·sin x ，∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cos x －x 3·sin x ＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．(2)∵函数定义域⎣⎡⎦⎤－π4，π3不关于原点对称， ∴它是非奇非偶函数． (3)由tan x ＋1tan x －1＞0，所以tan x ＞1或tan x ＜－1.故函数的定义域为⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ－π4∪⎝⎛⎭⎫kπ＋π4，kπ＋π2，k ∈Z ，关于原点对称．又f(－x)＋f(x)＝lg tan （－x ）＋1tan （－x ）－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg（tan x －1）（tan x ＋1）（tan x ＋1）（tan x －1）＝0.∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．23．求函数y ＝sin 2x ＋acos x －12a －32的最大值为1时a 的值．解析：y ＝1－cos 2x ＋acos x －12a －32＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12. 因为cos x ∈，要使y 最大，则必须满足⎝⎛⎭⎫cos x －a22最小． ①当a2＜－1，即a ＜－2时，若cos x ＝－1，则y max ＝－32a －32.由题设，令－32a －32＝1得a ＝－53＞－2(舍去)；②当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，若cos x ＝a 2，则y max ＝a 24－a 2－12.由题设，令a 24－a 2－12＝1得a ＝1－7(舍去正值)；③当a 2＞1即a ＞2时， 若cos x ＝1，则y max ＝a 2－32. 由题设，令a 2－32＝1得a ＝5. 综上所述a ＝5或a ＝1－7.24．求函数y ＝tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋tan x ＋1的最大值与最小值． 解析：令t ＝tan x ∈R ，则原函数化为：y ＝t 2－t ＋1t 2＋t ＋1(t ∈R)． 即(1－y)t 2－(1＋y)t ＋(1－y)＝0.∵y ＝1时，适合题意．∴y≠1时，有Δ＝2－4(1－y)(1－y)≥0(判别式法求最值)．∴3y 2－10y ＋3≤0.解得13≤y≤3且y≠1. 综上，函数的最大值为3，最小值为13.25．已知函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3，g(x)＝btan ⎝⎛⎭⎫kx －π3 (k>0)的周期之和为3π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1，求这两个函数，并求g(x)的单调增区间．解析：由条件得2πk ＋πk ＝32π，∴k ＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，得a ＝2b.①由f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1，得a ＝2－2b.② 由①②解得a ＝1，b ＝12. ∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， g(x)＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∴当－π2＋kπ<2x －π3<π2＋kπ，k ∈Z 时，g(x)单调递增．∴g(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫kπ2－π12，kπ2＋512π(k ∈Z)．26．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，∵－1≤sin θ≤1，∴－2≤sin θ－1≤0.∴0≤(sin θ－1)2≤4.∴1≤(sin θ－1)2＋1≤5.∴m 2<1.∴－1<m<1.∴m 的取值范围是(－1，1)．。
《三角函数的图象和性质》教案【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的对称性，【学习目标】1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数3. 在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．4. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数教学难点：在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．【学情分析】（1）知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象并通过观察图象总结性质的能力。
本节课是在学习了三角函数性质的基础上学习三角函数的对称性，以及对三角函数求值域进行一定的补充。
（2）心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入1.定义域、值域（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).（2）值域：因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.2.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.3.奇偶性由可知:()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称4.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到; 在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.二、探索研究，导入新课给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考它们的图象有何对称性？ 正弦函数图象R ),(+∞-∞1|cos |,1|sin |≤≤x x 1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x ]1,1[-)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ)≠∈(0,2k Z k k ππ2x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-x y sin =R x ∈O x y cos =R x ∈y )](22,22[Z k k k ∈++-ππππ1-1)](22,22[Z k k k ∈+3+ππππ11-)](2,2[Z k k k ∈-πππ1-1)](2,2[Z k k k ∈+πππ11-对称轴：对称中心：余弦函数图象对称轴：对称中心：三、典例分析 例1 求函数的对称轴和对称中心例2 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．四、当堂检测 练习 1 求函数的对称轴和对称中心练习2 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 53113,,,,22222x πππππ=---,2x k k Z ππ=+∈(,0),(0,0),(,0),(2,0)πππ-(,0)k k Zπ∈,0,,2x πππ=-,x k k Z π=∈35(,0),(,0),(,0),(,0)2222ππππ-(,0)2k k Zππ+∈sin(2)sin 3y x z π=+=1cos()24y x π=+五、课堂总结（1）正弦函数的对称轴：对称中心：（2）余弦函数的对称轴：对称中心：（3）求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围。
