平面向量复习课(送教下乡武岭中学高三复习课)

高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。

a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

第九教时教材：向量平行的坐标表示目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。

过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)2．平面向量的坐标运算法则练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MP MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC =(-3,-3)3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。

解：∵AB =(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴AB =2DC ∴AB ∥DC 且 |AB |≠|DC | ∴四边形ABCD 是梯形二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b ρ=λa ρ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a ρ=(x 1, y 1) b ρ=(x 2, y 2) 其中b ρ≠a ρ由a ρ=λb ρ (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0结论：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ρ≠0∴x 2, y 2中至少有一个不为02︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为03︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、应用举例例一（P111例四） 例二（P111例五）例三 若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x 解：∵a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a ρ与b ρ方向相同 ∴x=2例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD又：AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4) 2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD2．证明下列各组点共线：1︒ A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2︒ P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)3．已知向量a ρ=(-1,3) b ρ=(x,-1)且a ρ∥b ρ 求x五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题。

平面向量第一课时平面向量的概念[重要知识]知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，则这两个向量就是一样的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向一样或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向一样的向量叫相等向量. （2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.[典型例题]1．下列命题正确的是 （ ） A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点一样2．若都是单位向量，则||-的取值X 围是 （ ） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ） A ．FE B.AC C DC D FC4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心， 求：向量．5．已知△ABC 与一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的 充要条件是.=++DABCa bG·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。

第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立a a a a O A B C a-a- a- a- NMQP如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）OAB B 1A 1A1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。

第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、 提出课题：平面向量1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）2︒字母表示法：AB 可表示为a P95 例 用1cm 表示5n mail 3． 模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。

0的方向是任意的。

注意0与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：AB 与BA 是否同一向量？A BA(起点)B（终点）a答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、 向量间的关系：1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a ∥b ∥c规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a =b规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。

第十八教时教材：余弦定理目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。

过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。

提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？2．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b a c += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、提出课题：余弦定理1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, cAC =AB +BC AC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=| AB |2+2|AB |•|BC |cos(180︒- B)+|BC |2=22cos 2a B ac c +-即：B ac c a b cos 2222-+=同理可得：A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1︒熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2︒知三求一3︒当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4︒变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= acc b a C 2cos 222-+= 三、余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角2．已知三边和它们的夹角求第三边例一、(P130例4) 在△ABC 中，已知a =7, b =10, c =6 求A,B,C （精确到期1︒） 解略A B Cc a b例二、(P131例5) 在△ABC 中，已知a =2.730, b =3.696, C=82︒28’解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）解略例三、设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) a 与b 的夹角为θ （0≤θ≤π），求证：x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ证：如图：设a , b 起点在原点，终点为A ，B则A=(x 1, y 1) B=(x 2, y 2) AB =b -a在△ABC 中，由余弦定理|b -a |2=|a |2+|b |2-2|a ||b | cos θ ∵|b -a |2=|AB |2=|(x 2-x 1, y 2-y 1)|2=(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2|a |2=x 12+y 12 |b |2= x 22+y 22∴(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2= x 12+y 12+ x 22+y 22-2|a ||b | cos θ ∴x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ 即有a •b = x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ四、小结：余弦定理及其应用五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分O B A a b。

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习第五章平面向量教案理新人教A版第一节平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )( )(4)向量a －b 与b －a 是相反向量．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (6)向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )(7)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√ 2.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与相等的向量有________．3．化简：4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－13[典题1] (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④ (2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[听前试做] (1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C. 答案：(1)A (2)C(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案：(1)A (2)12答案：23向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[典题3] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线． [探究1] 若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A 、B 、D 三点共线？即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A 、B 、D 三点共线．[探究2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．1．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．答案：12答案：3—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．[易错防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．[全盘巩固]一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等；④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．则所有正确命题的序号是( )A．① B．③ C．①③ D．①④解析：选A 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．2．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足则下列结论正确的是( )3．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b4．(2015·天水模拟)A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且点P关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则＝( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a5．(2016·日照模拟)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形二、填空题6．(2016·包头模拟)如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于H ，M 为AH 的中点，若则λ＋μ＝________.答案：127．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．答案：23答案：2 三、解答题[冲击名校]A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝mAB ―→＋nAD ―→ (m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.123.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且则xyx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝23，则xyx ＋y ＝13. 4.如图，在平行四边形ABCD 中，设S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：65第二节平面向量基本定理及坐标表示考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(5)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(6)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(7)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)×答案：43．已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________，3a －4b ＝________. 答案：(－6,19) (18，－13) 4．O 是坐标原点，当k ＝________时，A ，B ，C 三点共线．答案：－2或11[典题1] 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43.答案：43⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d.即＝23(2d －c )＝43d －23c ， ＝23(2c －d )＝43c －23d .(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[典题2] (1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)(2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)则c ＝( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b(3)(2016·海淀模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A (3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若∥a ，则点B 的坐标为________．[听前试做] (1)法一：设C (x ，y )，则＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．(2)设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .(3)设B (x,2x )，＝(x －3,2x )．∵∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．答案：(1)A (2)B (3)(－3，－6)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用向量共线求参数或点的坐标[典题3] (1)(2015·四川高考)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．[听前试做] (1)∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. (2)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴＝2.设点D 的坐标为(x ，y )，则＝(4－x ，2－y )，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(1)B (2)(2,4)(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．角度二：利用向量共线解决三点共线问题(2)由题设，知＝d －c ＝2b －3a ，＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得＝k ，即(t －3)a ＋t b＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.答案：(1)1A 、B 、C 三点共线⇔AB ―→与AC ―→共线．[典题5](1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)给定两个长度为1的平面向量它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[听前试做] (1)设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.(2)以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π3，则C (cos α，sin α)，由得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.答案：(1)4本题(2)的难点是选择合适的变量表示x ＋y ，然后转化为函数的最值求解，而破解这一难点的关键是建立平面直角坐标系，设出C 点的坐标为C (cos α，sin α)，然后借助求出x ，y ，从而利用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值． —————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．两向量平行的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．2．三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 3．若a 与b 不共线且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.[易错防范]1．若a ，b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[全盘巩固]一、选择题A ．(－4,10)B ．(－2,5)C ．(4,5)D ．(8,10)2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③解析：选B ②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 4．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2. 二、填空题6．(2016·雅安模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1. 答案：1解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.答案：－38．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－3 三、解答题(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．[冲击名校]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，＝2，若则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2 解析：选A 因为＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，03．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点．若则λ＋μ＝________.法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：454.如图，在等腰直角三角形ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若 (m >0，n >0)，求mn 的最大值．解：以A 为原点，线段AC 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC 的腰长为2，则B (0,2)，C (2，0)，O (1,1)．∵∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为nx 2＋my 2＝1， ∵直线MN 过点O (1,1)，∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2，∴mn ≤m ＋n24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.第三节 平面向量的数量积考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. ②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( )(4)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )(5)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (6)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (7)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝________. 答案：－103．已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，则|a －b |＝________. 答案：14．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于________． 答案：95．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角为________．答案：120°[典题1] (1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且则的最小值为________．[听前试做] (1)法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.(2)在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1.建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918. 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，符合题意．∴的最小值为2918.答案：(1)C (2)2918求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．1．(2016·成都模拟)△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足AM MC ＝MPPB＝2，若＝2，＝3，∠BAC ＝90°，则的值为( )A ．1B ．－23C.143 D ．－132．(2016·合肥联考)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 上的投影为________．解析：∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2×12＝7，∴|a ＋b |＝7，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b |·|a |＝1＋17＝277.∴a ＋b 在a 上的投影为|a ＋b |·cos 〈a ＋b ，a 〉＝7×277＝2.答案：2[典题2] (1)(2015·重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152[听前试做] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)因为2a －3b ＝(2k,6)－(3,12)＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.答案：(1)A (2)C[探究1] 在本例(2)的条件下，若a 与c 的夹角的余弦值为55，求k 的值． 解：∵cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a |·|c |＝2k ＋3k 2＋9·5＝55，∴2k ＋3＝k 2＋9，即4k 2＋9＋12k ＝k 2＋9， ∴k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－4， 又2k ＋3>0，∴k ＝0.[探究2] 在本例(2)的条件下，若2a －3b 与c 的夹角为钝角，求k 的取值范围． 解：∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2,1)<0， ∴4k －6－6<0，即k <3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．[典题3] (1)(2016·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足的取值范围是________．[听前试做] (1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a－b|＝2 3.(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即3－12＋0＋32＋1＝7＋1，最小值为3－12＋0＋32－1＝7－1，故取值范围为[7－1，7＋1]．答案：(1)C (2)[7－1，7＋1]求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝x2＋y2.(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，D为BC中点，则等于( )A．2 B．4 C．6 D．8—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义．要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[易错防范]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．[全盘巩固]一、选择题1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8 D ．2解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝3×4＝12.2．已知p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A. 5 B.13 C ．5 D ．13解析：选 B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.A ．－2B ．2C ．±4D ．±2 解析：选D S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin∠BAC ＝12×4×1×sin∠BAC ＝ 3.∴sin ∠BAC ＝32，cos ∠BAC ＝±12，4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选D 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0，② 联立①②，解得x ＝－79，y ＝－73.5.如图，已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则( )A ．最大值为8B ．为定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关二、填空题6．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则等于________．答案：－927．(2015·浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.答案：2338．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a ＋c )·(b ＋c )的最大值为________．解析：法一：设向量c 与a ＋b 的夹角为θ，则有|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝2，(a ＋c )·(b ＋c )＝(a ＋b )·c ＋c 2＝1＋2cos θ，故最大值是1＋ 2.法二：∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0， 故可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．又c 是单位向量，故可设c ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)． ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝(1＋cos θ，sin θ)·(cos θ，1＋sin θ) ＝(1＋cos θ)cos θ＋sin θ(1＋sin θ) ＝cos θ＋cos 2θ＋sin θ＋sin 2θ ＝1＋cos θ＋sin θ ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∴(a ＋c )·(b ＋c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2 三、解答题10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16 3.(2)∵(a＋2b)⊥(k a－b)，∴(a＋2b)·(k a－b)＝0，∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与k a－b垂直．[冲击名校]A．6 B．5 C．4 D．33．在△ABC中，P0是AB的中点，且对于边AB上任一点P，恒有则有( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠ABC＝90° D．∠BAC＝90°4．单位圆上三点A，B，C满足则向量的夹角为________．答案：120°第四节 平面向量应用举例考纲要求：1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量在几何中的应用(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0(b ≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算： ①cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22 b 21＋b 22， ②|AB |＝＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．向量在解析几何中的应用(1)向量a ＝(a 1，a 2)平行于直线l ，则直线l 的斜率k ＝a 2a 1(a 1≠0)．(2)若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．3．平面向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝F·s.[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)答案：(1)√(2)×(3)√(4)×A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足＝4，则点P的轨迹方程是______________________________．解析：由＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.答案：x＋2y－4＝04．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：如图所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速度，v表示小船的实际速度，则|v2|＝|v1|2＋|v|2＝226(m/s)．答案：226 m/s( )A．内心B．外心C．重心D．垂心[听前试做] 由原等式，得即根据平行四边形法则，知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．答案：C向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则的最小值为________．解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝b ，则D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，b )，＝(2，－b )，＝(1，a －b )，则＝25＋(3a －4b )2.由点P 是腰DC 上的动点，知0≤b ≤a ，因此当b ＝34a 时，的最小值为25.∴的最小值为5.答案：5[典题2] 已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y3.把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记＝e 1，＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12 D.18解析：选A 由题意易知E 1(2,1)，E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴2a ＋2b 24－(a －b )2＝1，整理可得4ab＝1，∴ab ＝14.向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，以选择题、填空题或解答题的形式出现，且主要有以下几个命题角度：角度一：向量与三角恒等变换的结合[典题3] 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a ＋b ＝(0,1)，则α＝________，β＝________.[听前试做] 因为a ＋b ＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)．由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12.又α>β，所以α＝5π6，β＝π6.答案：5π6 π6解决此类问题的关键是根据向量间的关系把问题转化为三角函数的条件求值，然后利用三角函数的相关公式求解．角度二：向量与三角函数的结合[典题4] 设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种运算：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0.点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足(其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3(x 0，y 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，4y 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0＝12x 0＋π6，4y 0，即x ＝12x 0＋π6，y ＝4y 0，即x 0＝2x －π3，y 0＝14y ，所以14y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，即y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，所以f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π6≤x ≤π3时，0≤2x －π3≤π3，所以当2x －π3＝0时，f (x )取得最大值4.答案：A解决此类问题的关键是利用向量的坐标运算，把问题转化为三角函数，化简三角函数关系式，然后研究三角函数的性质．角度三：向量与解三角形的结合[典题5] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[听前试做] (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.解决此类问题的关键是利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题．————————————[课堂归纳——感悟提升]———————————————[方法技巧]1．用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．2．牢记以下4个结论。

高三数学（第13讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组一、本讲进度《平面向量》复习二、本讲主要内容1、向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形结合的典范。

向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。

在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA+→--OB=→--OC→--OB-→--OA=→--AB记→--OA=(x1,y1)，→--OB=(x1,y2)则→--OA+→--OB=(x1+x2,y1+y2)→--OB-→--OA=（x2-x1,y2-y1）→--OA+→--AB=→--OB实数与向量的乘积→--AB=λ→aλ∈R记→a=(x,y)则λ→a=(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 23、运算律加法：→a +→b =→b +→a ，(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )实数与向量的乘积：λ(→a +→b )=λ→a +λ→b ；(λ+μ)→a =λ→a +μ→a ，λ(μ→a )= (λμ) →a两个向量的数量积：→a ·→b =→b ·→a ；(λ→a )·→b =→a ·(λ→b )=λ(→a ·→b )，(→a +→b )·→c =→a ·→c +→b ·→c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(→a ±→b )2=22b b a 2a →→→→+⋅±4、重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果1e →+2e →是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量→a ，有且只有一对数数λ1，λ2，满足→a =λ11e →+λ22e →，称λ11e →λ+λ22e →为1e →，2e →的线性组合。