高三数学平面向量复习课件

变式探究
2．(2012·佛山一中期中)在平行四边形 ABCD 中，A→E＝13A→B，
A→F＝14A→D，CE 与 BF 相交于点 G.若A→B＝a，A→D＝b，则A→G
＝
()
A.27a＋17b
B.27a＋37b
C.37a＋17b
D.47a＋27b
解析：如图，作向量E→H∥A→D交线段 BF 于点 H，
(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重 合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况.
感悟高考
品味高考
1．(2013·广东卷)设 a 是已知的平面向量且 a≠0，关于 向量 a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c； ②给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ，使 a＝λb＋μc； ③给定单位向量 b 和正数 μ，总存在单位向量 c 和实数 λ， 使 a＝λb＋μc； ④给定正数 λ 和 μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝λb＋μc； 上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是(B) A．1 B．2 C．3 D．4
使得A→B＝mA→C，即 λa＋b＝m(a＋μb)，∴λ1＝＝mm，μ， ∴λμ＝1，
反之也成立．故选 D.
答案：D
课时升华
1．向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时， 与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表 示同一向量．
2．用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和 向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是 另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．
4．平行向量(共线向量)．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a∥b.由于 向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到 同一直线上，故平行向量也称为共线向量．
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素， 起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线” 与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行” 与几何中的“平行”是不一样的．
所以G→A＋G→B＋G→C＝－2G→D＋2G→D＝0.
点评：向量的加法可以用几何法进行．正确理解向量的各种 运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用 向量处理问题的优越性．
变式探究
3．(2012·邯郸市一模)在△ABC 所在平面内有一点 P，如果 2P→A
＋P→C＝A→B－P→B，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比
解得 m＝2，t＝－13.故选 C.
答案：C
变式探究
4．(2011·佛山市模拟)已知 a，b 是不共线的向量，A→B＝λa＋b，A→C
＝a＋μb，λ，μ∈R，那么 A，B，C 三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
解析：若 A，B，C 三点共线，则A→B∥A→C，∴存在唯一实数 m
基础自测
1．(2012·惠州市调研)已知向量a，b，则“a∥b”是“a＋b＝0”
的________条件
()
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
解析： “a∥b”只要求两向量共线，而“a＋b＝0”要求反
向共线且模相等．故选B.
答案：B
2．(2012·广东英德一中模拟)已知 O 是△ABC 所在平面内一点，
是
()
3
1
1
2
A.4
B.2
C.3
D.3
解析：∵2P→A＋P→C＝A→B－P→B＝A→P，
∴P→C＝3A→P，∴A，P，C 三点共线，即点 P 在边 AC 上，且|P→C|
＝34|A→C|，∴两个三角形面积之比为||AP→→CC||＝34.故选 A.
答案：A
考点四 共线向量定理的应用
【例 4】 (2012·重庆问题
【例 3】 如图所示，点 G 是△ABC 的重心(三角形的三条中线的交点)，求 证：G→A＋G→B＋G→C＝0.
思路点拨：要证G→A＋G→B＋G→C＝0， 只需证G→B＋G→C＝－G→A，即只需证G→B＋ G→C与G→A互为相反向量．
证明：以向量G→B，G→C为邻边作平行四边形 GBEC， 则G→B＋G→C＝G→E＝2G→D，又由点 G 为△ABC 的重心知A→G ＝2G→D，从而G→A＝－2G→D，
课前自修
知识梳理
一、平面向量的概念 1．平面向量． 平面内既有大小又有方向的量叫做向量． 向量一般用 a，b，c，……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如A→B.向量A→B的大小即向量的模(长度)，记作 |A→B|.即向量 a 的大小，记作|a|. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
3．三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起 点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和， 差向量是两个向量始点重合时，从减向量的终点指向被减向量 的终点．
4．对于两个向量平行的充要条件： a∥b⇔a＝λb，只有b≠0时才是正确的．而当b＝0时，a∥b 是a＝λb的必要不充分条件． 5．特别注意： (1)向量的加法与减法是互逆运算． (2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必 要条件．
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同． 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同． ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能 得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必 要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③
定在同一直线上．其中真命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由向量、向量的模、共线向量的含义知①中时间不
是向量；②中模可为零；③中单位向量方向不同则不等；
④中共线向量可以平行，不一定在同一直线上．故①②③
④均不对．故选A.
答案：A
考点二 平面向量的线性运算
【例 2】 如图所示，平行四边形 OADB 的对角线 OD，AB 相交于点 C，线段 BC 上有一点 M 满足 BC＝3BM，线段 CD 上有 一点 N 满足 CD＝3CN，设O→A＝a，O→B＝b，试用 a，b 表示O→M， O→N，M→N.
5．相等向量．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量经过 平移后总可以重合，记为a＝b.
二、向量的运算 1．向量的加法． 求两个向量和的运算叫做向量的加法． 设A→B＝a，B→C＝b，则 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C. 规定：(1)0＋a＝a＋0＝a； (2)向量加法满足交换律与结合律． 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：A→B＋B→C＋ C→D＋…＋P→Q＋Q→R＝A→R，但这时必须“首尾相连”．
考点探究
考点一 向量有关概念、结论的正误判断
【例1】 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点， 则 A→B＝D→C 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b， b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b， b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量 是首尾连接时，用三角形法则．
4．实数与向量的积． (1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方 向规定如下： ①|λa|=|λ| |a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向 与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向是任意的． (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律． 三、两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b＝ λ a.
D 为 BC 边中点，且 2O→A＋O→B＋O→C＝0，那么 ( )
A.A→O＝O→D
B.A→O＝2O→D
C.A→O＝3O→D
D．2A→O＝O→D
解析：由向量加法运算的平行四边形法则知，O→B＋O→C＝
2O→D，∴2O→A＋2O→D＝0，即A→O＝O→D.故选 A.
答案：A
3．(2011·上海市黄浦区二模)已知e1，e2是平面上两个不共线的 向量，向量a＝2e1－e2，b＝me1＋3e2，若a∥b，则实数 m＝ ____－__6____.
3O→M＋O→B＝0，若A→M＝tB→A，则实数 t 的值为
()
1
1
A.3
B.2
C．－13
D．－12
解析：∵A→M＝A→O＋O→M＝A→O＋13mO→A＋O→B＝13m－1 O→A－13B→O，B→A＝B→O＋O→A，
依题意有13m－1O→A－13B→O＝tB→O＋tO→A，
∴tt＝＝13－m13－，1，
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念 较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知 识结构，正确理解向量的有关概念．另一方面要善于与物理 中、生活中的模型进行类比和联想．
变式探究
1．给出下列命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的
模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一
解析：∵BM＝13BC＝16BA， ∴B→M＝16B→A＝16O→A－O→B ＝16a－b， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b. ∵CN＝13CD， ∴ON＝43CD＝23OD. ∴O→N＝23O→D＝23O→A＋O→B＝23a＋b.
∴M→N＝O→N－O→M＝12a－16b.
点评：在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形 或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三 角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化 为与已知向量有直接关系的向量来求解．