坐标旋转推导

坐标旋转变换公式推导过程1. 旋转变换的基本概念在计算机图形学中，我们经常需要对图形对象进行旋转变换。

旋转变换是一种常见的线性变换，可以帮助我们调整图形的方向和角度。

旋转变换通常涉及到一个旋转角度和一个旋转中心。

2. 二维空间中的坐标旋转我们先来看二维空间中的坐标旋转。

假设有一个二维空间中的点P(x, y)，我们要将该点绕原点(0, 0)旋转一个角度θ，得到新的点P’(x’, y’)。

根据坐标旋转变换公式的推导过程，我们可以得到如下的数学表达式：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)3. 推导过程步骤一：旋转变换矩阵的推导我们知道，对于二维空间中的点P(x, y)，我们可以用齐次坐标来表示为P(x, y, 1)。

而旋转变换可以表示为一个2x2的矩阵R：R = | cos(θ) -sin(θ) | | sin(θ) cos(θ) |步骤二：推导旋转变换的推导根据矩阵乘法的定义，我们可以得到旋转后的点P’：P’ = R * P展开计算得到：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)因此，从矩阵和坐标的角度上，我们成功推导出了二维空间中的坐标旋转变换公式。

4. 结论通过上述推导过程，我们可以得到二维空间中坐标旋转变换的具体数学表达式。

这些公式在计算机图形学和计算机视觉中具有重要的应用价值，能够帮助我们实现各种旋转形变效果。

在实际的编程实现中，我们可以根据这些公式进行简单的计算，从而实现图形的旋转变换效果。

希望本文的推导过程对读者有所帮助，引发对坐标旋转变换公式的更深一步探索和研究。

参考资料•计算机图形学教程•计算机视觉基础理论以上就是坐标旋转变换公式推导过程的详细内容，希望对您有所帮助。

推导坐标旋转公式数学知识2010-09-12 21:03:53 阅读151 评论0 字号：大中小订阅在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式：x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;其中x，y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转angle 后相对于旋转点的坐标从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：1。

设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β2。

求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)3。

求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)4。

显然dist1=dist2，设dist1=r所以：r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)5。

由三角函数两角和差公式知：sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)所以得出：c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。

上面公式是相对于B点坐标来的，也就是假如B点位（0,0）可以这么做。

现在给出可以适合任意情况的公式：x0 = dx * cos(a) - dy * sin(a)y0 = dy * cos(a) + dx * sin(a)参数解释：x0,y0是旋转后相对于中心点的坐标，也就是原点的坐标，但不是之前点旋转后的实际坐标，还要计算一步，a旋转角度，可以是顺时针或者逆时针。

直线绕坐标轴旋转的曲面方程如果一条直线绕坐标轴旋转，可以生成一个曲面。

这个曲面的方程可以用常微分方程的解来表示，但是比较复杂。

下面我们介绍一个简单的解法。

假如一条直线在 x 轴上，它的方程可以写成 y = kx + b。

现在我们要求这条直线绕 x 轴旋转会生成什么样的曲面。

我们可以用以下步骤来推导它的方程：第一步，假设这个曲面是关于x轴旋转对称的，那么它可以用一个函数y=f(x)来表示。

考虑图中的一个点P，它的坐标为(x,y)。

如果P绕x轴旋转，它会生成一个新的点P'，它的坐标为(x',y')。

我们可以用勾股定理来计算P'的坐标：x' = sqrt(x^2 + y^2)。

y'=y。

第二步，根据关于x轴旋转对称的特点，我们可以得到：y' = f(x') = f(sqrt(x^2 + y^2))。

第三步，在直角坐标系中，对于某个点 P(x, y)，它到 x 轴的距离为 r = sqrt(x^2 + y^2)。

因此我们可以把第二步中的 f(x') 写成 f(r)。

这样我们就得到了曲面的方程：y = f(sqrt(x^2 + y^2))。

这个方程描述的是一个旋转体，它的截面是一个与 x 轴垂直的曲线y=f(r)。

而 y=f(r) 的形状由直线 y=kx+b 决定。

因此我们可以用 y=f(r) 来表示整个曲面的形状：y = k * sqrt(x^2 + y^2) + b。

这就是一条直线绕坐标轴旋转生成的曲面方程。

坐标旋转变换公式推导方法在计算机图形学和计算机视觉中，坐标旋转变换是一种常见的操作，用于在二维或三维空间中旋转对象或坐标。

本文将介绍坐标旋转变换的推导方法，以及如何推导出旋转矩阵。

坐标旋转的基本概念在二维空间中，我们可以通过旋转角度来描述坐标的旋转变换。

假设有一个点P(x, y)，要将该点绕原点逆时针旋转θ度，新的坐标为P’(x’, y’)。

我们可以表示如下：$x' = x \\cdot \\cos(\\theta) - y \\cdot \\sin(\\theta)$$y' = x \\cdot \\sin(\\theta) + y \\cdot \\cos(\\theta)$其中，(x, y)是原坐标，(x’, y’)是旋转后的坐标。

推导旋转矩阵为了推导旋转矩阵，我们可以引入齐次坐标的概念。

在二维空间中，我们可以将一个点表示为一个3维向量，如P(x, y, 1)。

通过引入齐次坐标，我们可以将旋转操作表示为一个矩阵乘法。

假设有一个2维点P(x, y)，我们可以表示为三维齐次坐标P(x, y, 1)。

旋转矩阵R如下：$R = \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) & -\\sin(\\theta) & 0 \\\\ \\sin(\\theta) & \\cos(\\theta) & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}$对点P进行旋转变换，则有：P′=RP矩阵相乘后展开可以得到旋转后的坐标。

推导方法总结通过以上推导，我们可以总结出坐标旋转变换的推导方法：1.将二维点引入三维齐次坐标表示。

2.构建旋转矩阵，根据旋转角度填充矩阵元素。

3.将旋转矩阵与齐次坐标点相乘，得到旋转后的坐标。

结论坐标旋转变换是计算机图形学和计算机视觉中常见的操作，通过推导旋转矩阵，我们可以实现对坐标的旋转变换。

坐标旋转变换公式的推导
翻译自: -
翻译：汤永康
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1 围绕原点的旋转
如下图，在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。

直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’(s,t)
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转theta度，变成座标系sot。

设有某点p，在原坐标系中的坐标为(x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。

oa = y sin(theta) (2.1)
as = x cos(theta) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t = ot = ay – by = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
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旋转坐标轴的坐标变换公式
在平面直角坐标系中，如果将坐标轴绕原点旋转一个角度θ,新的坐标轴(x',y')与原坐标轴(x,y)之间的关系可以用下面的公式表示:
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
反过来,如果已知点在新坐标系(x',y')下的坐标,想要求出它在原坐标系(x,y)下的坐标,可以使用以下公式:
x = x' * cos(θ) + y' * sin(θ)
y = -x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
其中,θ是坐标轴旋转的角度,方向按照从x轴到y轴的方向为正。

这些公式广泛应用于分析旋转问题、极坐标与直角坐标的相互转换等场合。

需要注意的是,这里假设旋转是围绕原点进行的,如果是围绕其他点旋转,则需要先将坐标系原点平移到该点,进行旋转,然后再平移回来。

平面直角坐标系旋转公式在平面直角坐标系里，旋转公式可是个相当有趣的概念哦！想象一下，我们有一张纸，上面画着一个坐标系，X轴和Y轴交叉的地方就像两个好朋友在拥抱。

突然，有一天，我们决定给这张纸来个大变身，转个身，让它看起来焕然一新。

嘿，旋转公式就是帮助我们搞定这个变身的秘密武器！咱们要知道，旋转公式其实是个简单的公式。

旋转角度一般用希腊字母θ（theta）表示，听起来就高大上对吧？假设你手里有一个点，坐标是 (x, y)。

如果你想把它围绕原点旋转θ角度，公式就来了，x' = x * cos(θ) y * sin(θ)，y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)。

哇，听起来复杂，但其实简单得很！说白了，就是把这个点的位置“换个姿势”，让它跟着我们转动。

我们来聊聊为什么这个公式这么重要。

想象一下，你在玩游戏，角色需要转身打怪。

如果没有这个旋转公式，那角色可真是麻烦了！它们转不过身，永远只能面对一个方向。

这样一来，怪物就可以趁机上前，没准就会被打得稀里哗啦。

所以，旋转公式让角色能够灵活应对，真是拯救世界的英雄。

旋转公式不仅仅在游戏中有用，在现实生活中也无处不在。

比如说，车子转弯时，轮胎的每一个位置都在不停地旋转，想想，没了旋转公式，司机肯定得迷了路。

或者你在玩飞盘，飞盘在空中划出的优美弧线，都是因为旋转的魔力。

简直就像魔法一样，让生活充满乐趣。

不过，讲真，这个公式不是随便玩玩的。

你得学会如何使用三角函数，比如sin和cos。

这些数学工具就像是你的好帮手，没它们，公式就失去了灵魂。

拿出计算器，输入角度，转眼间，新的坐标就出现在你眼前。

太神奇了吧？就像变魔术一样，数学也是充满了惊喜。

大家可能会问，这个旋转角度到底是什么？它可以是任意的。

你想转多大就转多大，360度一圈又回到原点，180度就变了个样，90度更是直接换了个脸！这就让我们在空间中自由翱翔，真是想想就让人激动。

就像一只翱翔在蓝天的鸟儿，心中无忧无虑。

图像旋转的点坐标映射公式汇总⼀、旋转点坐标映射公式逆时针旋转：x'=x*cos(a)-y*sin(a);y'=x*sin(a)+y*cos(a);-----------------------------正向映射公式，同时引⼊旋转中⼼平移：x'= (x - rx0)*cos(RotaryAngle) + (y - ry0)*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y'=-(x - rx0)*sin(RotaryAngle) + (y - ry0)*cos(RotaryAngle) + ry0 ;-------------------------------反向映射公式：x=(x'- rx0)*cos(RotaryAngle) - (y'- ry0)*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y=(x'- rx0)*sin(RotaryAngle) + (y'- ry0)*cos(RotaryAngle) + ry0 ;-----------------------------------加⼊考虑坐标平移和缩放：x=(x'- move_x-rx0)/ZoomX*cos(RotaryAngle) - (y'- move_y-ry0)/ZoomY*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y=(x'- move_x-rx0)/ZoomX*sin(RotaryAngle) + (y'- move_y-ry0)/ZoomY*cos(RotaryAngle) + ry0 ;⼆、公式推导假设对图⽚上任意点(x,y)，绕⼀个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a⾓度后的新的坐标设为(x0, y0)，有公式：x0= (x - rx0)*cos(a) - (y - ry0)*sin(a) + rx0 ;y0= (x - rx0)*sin(a) + (y - ry0)*cos(a) + ry0 ;在平⾯中，⼀个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标_百度经验【参考资料】任意⾓度的⾼质量的快速的图像旋转上篇纯软件的任意⾓度的快速旋转 - 裴银祥的博客园 - 博客园中篇⾼质量的旋转 - 裴银祥的博客园 - 博客园图像旋转的原理，实现与优化 - CSDN博客快速图像旋转算法的c++实现 - CSDN博客python 简单图像处理4旋转C++和matlab-图像旋转 - Qingsong_Zhao - 博客园图像处理学习笔记之图像的⼏何变换(3)旋转变换 - CSDN博客(实验⼆) --- 图像旋转变换---matlab实现 - CSDN博客【其他】matlab练习程序（图像旋转，双线性插值） - Dsp Tian - 博客园matlab练习程序（图像旋转，最邻近插值） - Dsp Tian - 博客园。

坐标旋转变换公式
坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中。

它的公式如下：
X' = Xcosθ- Ysinθ
Y' = Xsinθ+ Ycosθ
其中，X'和Y'是旋转后的新坐标，X和Y是旋转前的原坐标，θ是旋转角度。

坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中。

它的应用非常广泛，在计算机图形学、机器视觉、机器人控制、航空航天、地理信息系统等领域都有着重要的应用。

首先，坐标旋转变换公式可以用来实现坐标系的变换，例如，在计算机图形学中，可以使用坐标旋转变换公式将一个三维坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中，从而实现三维坐标系的变换。

其次，坐标旋转变换公式可以用来实现机器视觉中的图像旋转，例如，在机器视觉中，可以使用坐标旋转变换公式将一幅图像从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现图像旋转。

此外，坐标旋转变换公式还可以用来实现机器人控制中的机器人运动控制，例如，在机器人控制中，可以使用坐标旋转变换公式将机器人从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现机器人的运动控制。

最后，坐标旋转变换公式还可以用来实现航空航天中的航空器姿态控制，例如，在航空航天中，可以使用坐标旋转变换公式将航空器从一个坐标系中旋转到另一个坐标系中，从而实现航空器姿态控制。

总之，坐标旋转变换公式是一种常用的数学变换，它可以将一个坐标系中的点从一个坐标系中转换到另一个坐标系中，它的应用非常广泛，在计算机图形学、机器视觉、机器人控制、航空航天、地理信息系统等领域都有着重要的应用。

旋转坐标转换公式在数学和计算机图形学领域，旋转是一种常见的变换操作。

通过旋转，我们可以改变对象在平面或空间中的位置和方向。

在进行旋转操作时，需要使用旋转矩阵来进行坐标转换。

本文将介绍旋转坐标转换的公式及其应用。

二维空间的旋转坐标转换在二维空间中，我们通常使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。

假设一个点P在二维直角坐标系中的坐标为(x,y)，我们希望将这个点绕原点O逆时针旋转θ角度，得到新的坐标P’(x’,y’)。

点P经过旋转之后，新的坐标可以通过以下公式计算得出：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。

三维空间的旋转坐标转换在三维空间中，我们同样使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。

假设一个点P在三维直角坐标系中的坐标为(x,y,z)，我们希望将这个点绕坐标轴进行旋转，得到新的坐标P’(x’,y’,z’)。

点P经过旋转之后，新的坐标可以通过旋转矩阵的运算得到：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)z' = z其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。

旋转坐标转换的应用旋转坐标转换在计算机图形学、游戏开发等领域有着广泛的应用。

通过旋转坐标转换，我们可以实现物体的旋转、变换和动画效果。

在3D建模软件中，旋转坐标转换可以用来控制物体的姿态和方向，使得模型呈现出真实的效果。

此外，旋转坐标转换也可以用于机器人运动学中。

通过旋转坐标转换，我们可以计算机器人的末端执行器在运动时相对于基准坐标系的位置和姿态，从而实现精确的运动控制和轨迹规划。

总的来说，旋转坐标转换是一种重要的数学变换，它不仅可以帮助我们理解物体在空间中的位置和方向变化，还可以应用于各种领域，拓展了数学和计算机科学的应用范围。

①程序。

(此宏程序以FANUC为例。

版本OI-MD）(卧式加工中心，第四轴B轴为旋转中心)O888(主程序WPC SHIFT Main-Prog )G90G65P777X_Y_Z_ B_ A_ C_ (G54-->>G5x)G90M30解释：G65P777X_Y_Z_ B_ A_ C_1. X_Y_Z_ 为需要偏移的量，如果B轴旋转后程序原点相同，则X0.Y0.Z0.2. A 为原始坐标，此处固定为54(即G54)3. B为B轴旋转的角度。

4. C 为G54旋转后的坐标所在位置。

例如：G65P777X0.Y0.Z0.B90.A54.B55.,G54旋转90度后得到G55。

O777(子程序WPC SHIFT Sub-Prog )#11=(-654.321.) (Z CENTER OF B AXIS 旋转中心的Z坐标，从机床参数得到此坐标值)#12=(-123.456) (X CENTER OF B AXIS 旋转中心的X坐标，从机床参数得到此坐标值)#15=#5223 (Z:3rd axis of G54)#16=#5221 (X:1st axis of G54)#27=#5222 (Y:2nd axis of G54)#28=#5224 (B:4th axis of G54)#17=#15-#11+#26#18=#16-#12+#24#19=#11+#17*COS[-#2]-#18*SIN[-#2]#20=#12+#17*SIN[-#2]+#18*COS[-#2]G90G10L2P[#3-53]X#20Y#27Z#19B[#28+#2] M99②推导。

卧式加工中心B轴坐标旋转的宏程序推导。

数学推导。

此处采用ZX坐标，便于与机床坐标系一致，俯视卧加机床，得到的即是ZX平面坐标系第1步推导A点绕O点旋转α角得到B点，求B点的坐标。

A点：= LCosβ (1)=LSinβ (2)B点：=LCos(α+β) (3)=LSin(α+β) (4)由三角函数公式：Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ(5)Cos(α+β)=CosαCosβ-SinαSinβ(6)把(5),(6)代入（3）,（4），得到=LCos(α+β)=LCosαCosβ-LSinαSinβ(7)=LSin(α+β)=LCosαSinβ+LSinαCosβ(8)再把（1）,（2）代入(7), (8)得到：到此得到了旋转后点的坐标，但是此点坐标是相对于旋转中心O的坐标，机床中需要的是相对于机床原点的坐标，所以还需要第2步。

三维坐标系旋转变换公式绕定轴解释说明1. 引言1.1 概述在三维空间中，我们经常需要对物体进行旋转变换。

三维坐标系旋转变换公式是一种用于描述和计算物体在三维空间中绕定轴进行旋转的数学表达式。

通过通过旋转角度和确定的轴向，我们可以准确地描述物体在空间中的姿态变化。

1.2 文章结构本文将详细介绍三维坐标系旋转变换公式以及围绕定轴进行旋转的推导过程。

首先，我们将解释旋转变换的概念，并介绍表示三维坐标系旋转的方法。

接下来，我们将讨论如何确定旋转轴和角度。

然后，我们将详细推导围绕定轴进行旋转的公式，并讨论其他情况下的公式推导。

最后，我们将通过实例分析和解释说明不同情况下该公式的应用原理和效果差异，并讨论多次连续旋转对结果产生的影响以及计算方法。

最后，在结论与总结部分，我们将总结主要观点和发现，并对该方法在实际应用中的局限性和改进方向进行讨论，并展望未来相关研究方向。

1.3 目的本文的主要目的是提供一个清晰和详细的理论基础，以帮助读者理解三维坐标系旋转变换公式及其应用。

通过对公式推导和实例分析的介绍，我们希望读者能够掌握使用该公式进行旋转变换的方法，并理解不同情况下公式应用的原理和效果差异。

同时，我们也将指出该方法在实际应用中存在的局限性，并提出改进方向。

最后，我们将展望未来相关研究的方向，为读者进一步深入研究提供参考。

2. 三维坐标系旋转变换公式2.1 说明旋转变换概念在三维空间中，我们经常需要对物体进行旋转操作。

旋转变换是指通过某个轴和角度对对象进行旋转的数学操作。

它可以改变对象在三维空间中的位置和方向。

2.2 表示三维坐标系旋转的方法在三维坐标系中，常用的表示旋转的方法有欧拉角和四元数。

欧拉角使用三个角度来表示旋转，分别是绕x、y 和z 轴的角度。

而四元数则是一种复数形式的表示方法，由一个实部和三个虚部组成。

2.3 确定旋转轴和角度的方式确定旋转轴和角度的方式有多种，其中包括通过已知两个坐标点确定一个固定轴上的向量作为旋转轴，并计算出与该向量垂直且夹角为指定角度的平面上的所有点；利用两个不同坐标系之间已知方向矢量之间夹角关系确定旋转轴和角度等方法。

测量坐标转换公式推导过程一、二维坐标转换（平面坐标转换）（一）平移变换。

1. 原理。

- 设原坐标系O - XY中的一点P(x,y)，将坐标系O - XY平移到新坐标系O' - X'Y'，新坐标系原点O'在原坐标系中的坐标为(x_0,y_0)。

2. 公式推导。

- 对于点P在新坐标系中的坐标(x',y')，根据平移的几何关系，我们可以得到x = x'+x_0，y = y'+y_0，则x'=x - x_0，y'=y - y_0。

（二）旋转变换。

1. 原理。

- 设原坐标系O - XY绕原点O逆时针旋转θ角得到新坐标系O - X'Y'。

对于原坐标系中的点P(x,y)，我们要找到它在新坐标系中的坐标(x',y')。

- 根据三角函数的定义，设OP = r，α是OP与X轴正方向的夹角，则x = rcosα，y = rsinα。

- 在新坐标系中，x'=rcos(α-θ)，y'=rsin(α - θ)。

2. 公式推导。

- 根据两角差的三角函数公式cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B和sin(A -B)=sin Acos B-cos Asin B。

- 对于x'=rcos(α-θ)=r(cosαcosθ+sinαsinθ)，因为x = rcosα，y = rsinα，所以x'=xcosθ + ysinθ。

- 对于y'=rsin(α-θ)=r(sinαcosθ-cosαsinθ)，所以y'=-xsinθ + ycosθ。

（三）一般二维坐标转换（平移+旋转）1. 原理。

- 当既有平移又有旋转时，先进行旋转变换，再进行平移变换。

2. 公式推导。

- 设原坐标系O - XY中的点P(x,y)，先将坐标系绕原点O逆时针旋转θ角得到中间坐标系O - X_1Y_1，根据旋转变换公式，P在O - X_1Y_1中的坐标(x_1,y_1)为x_1=xcosθ + ysinθ，y_1=-xsinθ + ycosθ。

坐标旋转变换
1 围绕原点的旋转
如下图，在2维坐标上，有一点p(x, y) ,直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。

直线o p围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’ (s,t)
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中 x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表示如下
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转ɵ度，变成座标系 sot。

设有某点p，在原坐标系中的坐标为 (x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。

oa = y sin(ɵ) (2.1)
as = x cos(ɵ) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(ɵ) + y sin(ɵ)
t = ot = ay – ab = y cos(ɵ) – x sin(ɵ)
用行列式表达如下
所以在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转ɵ角度后的坐标关系为：
X' = x cos(ɵ) + y sin(ɵ)
Y' = y cos(ɵ) – x sin(ɵ)
绕原点沿逆时针方向旋转ɵ角度后的坐标关系的具体图示如下：。

球体旋转坐标推导球体旋转的坐标公式为：旋转X轴时，旋转⾓度为：αx'=xy'=ycosα-zsinαz'=zcosα+ysinα旋转Y轴时，旋转⾓度为：βy'=yx'=xcosβ+zsinβz'=zcosβ-xsinβ旋转Z轴时，旋转⾓度为：γz'=zx'=xcosγ-ysinγy'=ycosγ+xsinγ上⾯的公式是从⽹上查到的，想要了解那⼏条公式是怎样计算出来的，⾼中的数学⼏乎忘得差不多了，想想这样也不算难，要是⾼中那时⼀下⼦就推导出来了。

结果想了好久才推导出来，郁闷了⼀下下。

下⾯，以旋转Z轴为例来推导公式以Z轴为轴⼼旋转时，旋转点的坐标的z坐标是不变的，变化的只是x,y。

可以看作旋转球体的坐标在xy坐标的投影，这样就相当于点在直线xy坐标以原点为中⼼旋转，旋转的夹⾓投影也⾓度也不变，依然为γ设原点为O，旋转前的点为A（x,y)，旋转后的点为B(x',y')，OA距离为r，OA与x轴的夹⾓为θ所以OA=OB=rOA=x/cosγ=y/sinγOB=x'/cos(θ+γ)=y'/sin(θ+γ)还记得 cos(θ+γ)=cosθcosγ-sinθsinγ; sin(θ+γ)=sinθcosγ+sinγcossinθ么，没错，这是重要的⼀步，我也想了好久接下来的转换就简单啦x'=rcos(θ+γ)=r(cosθcosγ+sinθsinγ)=rcosθcosγ-rsinθsinγ=xcosγ-ysinγy'=rsin(θ+γ)=r(sinθcosγ+sinγcossinθ)=rsinθcosγ+rsinγcossinθ=ycosγ+xsinγ因为z坐标是不变的，z'=z其他的旋转坐标转换推导同上。

y轴旋转公式在三维空间中，物体绕y轴旋转是一种常见的运动方式。

这种旋转可以描述为物体绕y轴旋转一定的角度，并保持其他轴上的坐标不变。

这样的旋转可以通过一个数学公式来表示。

假设我们有一个点P(x, y, z)，它是三维空间中的一个点。

如果我们想要将这个点绕y轴旋转一个角度θ，那么旋转后的点P'的坐标可以通过以下公式计算得出：P'(x', y', z') = (x * cosθ + z * sinθ, y, -x * sinθ + z * cosθ)其中，cosθ和sinθ分别表示角度θ的余弦值和正弦值。

通过这个公式，我们可以计算出绕y轴旋转后的新坐标。

除了这个基本的旋转公式之外，还有一些相关的性质值得我们注意。

绕y轴旋转是以y轴为旋转轴进行的，因此旋转后的点仍然位于y 轴上。

也就是说，旋转后的点的y坐标保持不变。

绕y轴旋转是在平面上进行的，因此旋转后的点的x和z坐标会发生变化。

具体来说，x坐标将根据旋转角度而改变，而z坐标则会发生相应的变化。

绕y轴旋转还具有可叠加性。

也就是说，如果我们先将点P绕y轴旋转一个角度α得到点P1，然后再将点P1绕y轴旋转一个角度β，最终得到的点P2就相当于将点P绕y轴旋转一个角度α+β。

这个性质可以通过将两次旋转的公式进行合并推导得出。

绕y轴旋转还有一些应用。

例如，在计算机图形学中，绕y轴旋转可以用来实现物体的旋转动画效果。

通过改变旋转角度，我们可以实现物体在三维空间中的不同姿态。

y轴旋转公式是描述三维空间中物体绕y轴旋转的数学公式。

通过这个公式，我们可以计算旋转后的点的坐标。

绕y轴旋转还具有一些特殊的性质，如保持y坐标不变、改变x和z坐标等。

这个公式在计算机图形学等领域有着广泛的应用。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用y轴旋转公式。