【省会检测】2018年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)

2018年山西省太原五中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，Q＝{y|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（0，1）B．C．D．（1，2）2．（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，）B．（）C．（﹣∞，﹣2）D．（）3．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形4．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若的展开式中的二项式系数和为32，则a1+a2+…+a n＝（）A．241B．242C．243D．2446．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0D．若a4＞0，则S2014＞08．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15B．9C．1D．﹣9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a≥1 10．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD 上，则•的最大值为（）A．2B．2﹣1C．5D．﹣1 11．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，，则＝（）A．1B．C．D．12．（5分）不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a有且只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣4﹣4ln2）∪[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（+sin2x）dx＝．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），当a＝0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，则b的取值范围是．15．（5分）如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n），其中a1＝1，a2＝2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，∠BAC＝，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且P A⊥AC，AP＝．（Ⅰ）若AB＝3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD＝PB＝AB＝2，P A＝．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）在棱CD上是否存在点M，使平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出M点的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？①若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.96②③20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B （2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（e x﹣ax）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的极值情况；（2）若（x﹣1）[f（x）﹣a+e]≥0．求a的值．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4--4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2018年山西省太原五中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，Q＝{y|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（0，1）B．C．D．（1，2）【解答】解：P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}＝{x|1﹣x2＞0}＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），Q＝{y|y＝2x，x∈P}＝{y|＜y＜2}＝（，2）；∴P∩Q＝（，1）．故选：B．2．（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，）B．（）C．（﹣∞，﹣2）D．（）【解答】解：∵z＝在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜﹣2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．3．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，∴，解得b cos B＝a cos A，∴利用余弦定理可得：b×＝a×，整理可得：c2（b2﹣a2）＝（b2+a2）（b2﹣a2），∴解得：c2＝a2+b2或b＝a，而当a＝b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选：C．4．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＜4，解得：﹣2＜m＜2，故满足条件的概率是p＝＝，故选：B．5．（5分）若的展开式中的二项式系数和为32，则a1+a2+…+a n＝（）A．241B．242C．243D．244【解答】解：若的展开式中的二项式系数和为2n＝32，则n＝5，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a n＝35．令x＝0，可得a0＝1，∴a1+a2+…+a n＝35﹣1＝242，故选：B．6．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得m＝2a﹣3，i＝1m＝2（2a﹣3）﹣3＝4a﹣9，满足条件i≤3，执行循环体，i＝2，m＝2（4a﹣9）﹣3＝8a﹣21满足条件i≤3，执行循环体，i＝3，m＝2（8a﹣21）﹣3＝16a﹣45满足条件i≤3，执行循环体，i＝4，m＝2（16a﹣45）﹣3＝32a﹣93此时，不满足条件i≤3，退出循环，输出m的值为0．可得：m＝32a﹣93＝0，解得：a＝．故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q＝1，则S2015＝2015a1＞0；若q≠1，则S2015＝，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014＝a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选：C．8．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15B．9C．1D．﹣【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d＝≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝3k2+2k﹣3＝3（k+）2﹣，∴k＝﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a≥1【解答】解：作出不等式，可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，∴直线x+ay+2＝0与可行域有交点，解方程组得B（0，2）．∴点B在直线x+ay+2＝0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．故选：A．10．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD 上，则•的最大值为（）A．2B．2﹣1C．5D．﹣1【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD上，∴||•||•cos∠A＝﹣1，∴cos A＝﹣，∴A＝120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴＝（﹣x，﹣），＝（2﹣x，﹣），∴•＝x（x﹣2）+＝x2﹣2x+＝（x﹣1）2﹣，设f（x）＝（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣，f（x）max＝f（﹣）＝2，则•的最大值是2，故选：A．11．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，，则＝（）A．1B．C．D．【解答】解：如图，根据双曲线的定义，可得AF2﹣AF1＝2a，BF1﹣BF2＝2a，∵|AF1|＝2a，，则AF2＝4a，AB＝BF2＝4a，则＝，故选：B．12．（5分）不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a有且只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣4﹣4ln2）∪[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）【解答】解：不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a，即为xlnx≤﹣x2+（2﹣a）x+2a，x＞0，由题意可得函数y＝xlnx的图象在y＝﹣x2+（2﹣a）x+2a的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数y＝﹣x2+（2﹣a）x+2a的图象恒过点（2，0），又过（﹣a，0），当a＜2时，横坐标为1的点满足题意，可得ln1≤﹣1+（2﹣a）+2a，解得a≥﹣1；当a＝2，两图象无交点；当a＞2时，横坐标为3的点满足题意，可得：4ln4＞﹣42+4（2﹣a）+2a，且3ln3＜﹣32+3（2﹣a）+2a，解得﹣4﹣4ln2＜a＜﹣3﹣3ln3，则a的范围是（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（+sin2x）dx＝．【解答】解：（+sin2x）dx＝dx+sin2xdx．由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的上半圆的面积，等于；sin2xdx＝＝．∴（+sin2x）dx＝．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），当a＝0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，则b的取值范围是{1}．【解答】解：由a＝0，则φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣bx﹣1，所以φ'（x）＝e x﹣b，（i）当b≤0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）在R上单调递增，又φ（0）＝0，所以当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，（ii）当b＞0时，由φ'（x）＞0，得x＞lnb；由φ'（x）＜0，得x＜lnb，所以函数φ（x）在（﹣∞，lnb）上单调递减，在（lnb，+∞）上单调递增，①当0＜b＜1时，lnb＜0，又φ（0）＝0，φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；②当b＞1时，同理φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；③当b＝1时，lnb＝0，所以函数φ（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，φ（x）≥φ（0）＝0，故b＝1满足题意．综上所述，b的取值的范围为{1}．故答案为：{1}．15．（5分）如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为．【解答】解：几何体的直观图如图，是三棱锥，正方体的一部分，正方体的棱长为2．该四面体的体积为：＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n），其中a1＝1，a2＝2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：由na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n）＝λn（n+2），得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1＝1，a2＝2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．当n为奇数时，由a n＜a n+1，得＜，即λ（n﹣1）＞﹣2．若n＝1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n+1，得＜，即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，∠BAC＝，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC 的两边交于点B，C，且P A⊥AC，AP＝．（Ⅰ）若AB＝3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△P AB中，由余弦定理知PB2＝AP2+AB2﹣2AP•AB cos＝3，得PB＝＝AP，则∠BP A＝，∠APC＝，在Rt△APC中，PC＝＝2，（Ⅱ）因为∠APC＝θ，则∠ABP＝θ﹣，在Rt△APC中，PC＝，在△P AB中，由正弦定理知＝，得PB＝，于是+＝+＝＝sinθ，由题意知＜θ＜，故＜sinθ＜1，即+的取值范围为（，1）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD＝PB＝AB＝2，P A＝．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）在棱CD上是否存在点M，使平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出M点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵PD＝PB，且O为BD中点，∴PO⊥BD．在菱形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2，∴OA＝，OB＝1．又PB＝2，∴PO＝．∵P A＝，∴P A2＝PO2+OA2，PO⊥OA．∵BD∩AO＝O，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，）．∴＝（﹣，1，0），＝（0，﹣1，），＝（﹣，﹣1，0），＝（，﹣1，0），设平面ABP的一个法向量为，由，取x＝1，得＝（1，，1），设，则＝＝（（λ﹣1），﹣（λ+1），0）．设平面BPM的一个法向量为，由，取x＝λ+1，得＝（λ+1，（λ﹣1），λ﹣1）由|cos＜＞|＝＝＝，得5λ2﹣6λ+1＝0，解λ＝1或λ＝．故当点M与点D重合或||＝||时，平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为．19．（12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？①若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.96②③【解答】解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（95，17.52），∴语文成绩特别优秀的概率为，数学成绩特别优秀的概率为p2＝0.0012×20＝0.024，∴语文特别优秀的同学有500×0.02＝10人，数学特别优秀的同学有500×0.024＝12人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝；∴X的分布列为：数学期望为；（3）填写2×2列联表如下：计算，∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B （2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意可知，即，由右顶点为B （2，0），得a＝2，解得b2＝3，所以C1的标准方程为．（2）依题意可知C2的方程为y2＝﹣4x，假设存在符合题意的直线，设直线方程为x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9＝0，由韦达定理得，，则，联立方程组，得y2+4ky﹣4＝0，由韦达定理得y3+y4＝﹣4k，y3y4＝﹣4，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（e x﹣ax）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的极值情况；（2）若（x﹣1）[f（x）﹣a+e]≥0．求a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a），因为a＞0，由f′（x）＝0得，x＝1或x＝ln2a，①当a ＝时，f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣e）≥0，f（x）单调递增，故f（x）无极值．②当0＜a ＜时，ln2a＜1，x，f′（x），f（x）的关系如下表：故f（x）有极大值f（ln2a）＝﹣a（ln2a﹣2）2，极小值f（1）＝a﹣e，③当a＞时，ln2a＞1，x，f′（x），f（x）的关系如下表：故f（x）有极大值f（1）＝a﹣e，极小值f（ln2a）＝﹣a（ln2a﹣2）2，综上：当0＜a＜时，f（x）有极大值﹣a（ln2a﹣2）2，极小值a﹣e；当a＝时，f（x）无极值；当a＞时，f（x）有极大值a﹣e，极小值﹣a（ln2a﹣2）2；（2）令g（x）＝f（x）﹣a+e，则（x﹣1）g（x）≥0，（i）当a≤0时，e x﹣2a＞0，所以当x＜1时，g′（x）＝f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）＞g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．（ii）由于g（x）与f（x）有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：①当a＝时，g（x）在R上单调递增，又g（1）＝0，所以当x≥1时，g（x）≥0；当x＜1时，g（x）＜0，故当a＝时，恒有（x﹣1）g（x）≥0，满足题意．②当0＜a＜时，g（x）在（ln2a，1）单调递减，所以当x∈（ln2a，1）时，g（x）＞g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．③当a＞时，g（x）在（1，ln2a）单调递减，所以当x∈（1，ln2a）时，g（x）＜g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．综上所述：a＝．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4--4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），所以曲线C1的普通方程：（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0．所以C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．因为曲线C3的极坐标方程为．所以曲线C3的直角坐标方程：．…（5分）（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为．将代入ρ＝4cosθ，得，将代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，所以，依题意得，点C1到曲线的距离为．所以．…（10分）[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，则f（x）＝，由f（x）≥3解得x≤﹣1或x≥1，即原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；…（5分）（2）由，即，又x∈[m，2m]且，所以，且x＞0所以，即m≤x+2﹣|2x﹣1|；令t（x）＝x+2﹣|2x﹣1|，则t（x）＝，所以x∈[m，2m]时，t（x）min＝t（m）＝3m+1，所以m≤3m+1，解得，所以实数m的取值范围是．…（10分）。

2018年山西省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p35．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：37．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．410．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．211．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．14．空间四边形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且MN=7，则异面直线AC 与BD 所成的角为 ．15．设函数y=f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，满足x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点Q 为函数y （x ）=f （x ）图象的对称中心，研究并利用函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣sin （πx ）的对称中心，可得f （）+f （）+…+f （）= ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B +sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n }前三项的和为﹣3，前三项的积为8． （Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x ，y ，p ，q 的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2018年山西省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解x2﹣x≤0可得集合M，解＜0可得集合N，分析可得N⊆M，由子集的性质可得有M∩N=N、M∪N=M成立，分析选项可得答案．【解答】解：x2﹣x≤0⇔0≤x≤1，则M={x|0≤x≤1}，＜0⇔0＜x＜1，则N={x|0＜x＜1}，有N⊆M，则有M∩N=N，M∪N=M，分析选项可得A符合；故选A．2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．3．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，则cos（α﹣）=cos[（α﹣）﹣]=cos（α﹣）cos+sin （α﹣）sin =+=，故选：C．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p3【考点】2E：复合命题的真假；2K：命题的真假判断与应用．【分析】p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判断出真假；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），即可判断出真假．【解答】解：p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，是假命题；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，是假命题；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命题．因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3是假命题；￢p2∧p3是真命题．故选：D．5．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，⇔圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r．解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：A．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．7．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|•|﹣|；由于|+|•|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得•=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2= 2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为10，由此易给出判断框内m的取值范围．【解答】解：由于程序的运行结果是10，所以可得解得72＜m≤90．故选：B．9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体形状，根据图中数据计算体积．【解答】解：该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥，如图所示，所以V=2×2×2﹣2××2×1=．故选：B．10．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．2【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意B（2，0），A（x，y）不等式组所表示的平面区域的面积为：=∴y=，x=代入直线方程x+ay=2，∴a=故选A．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】解不等式，求出x的范围，根据区间的长度的比值求出满足条件的概率即可．【解答】解：解不等式2＜2x﹣1＜4，得：2＜x＜3，所以，故答案为：．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得： |=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）=﹣8066．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得x+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，由此1计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，=；故答案为：﹣8066．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】推导出sin（2B+）+=1，从而，由，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出的最小值．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+ sin2B=1，∴+=sin（2B+）+=1，∵0＜B＜π，∴，∵，∴两边平方得a2+c2﹣2accosB=9=b2，∴b=3，∵，∴ac≤，∴≥．∴的最小值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【考点】8F：等差数列的性质；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）和a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，知|a n|=|3n﹣7|=，由此能求出数列{|a n|}的前n项和为S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d，∵等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，∴，解得，或，所以由等差数列通项公式，得a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5，或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7．故a n=﹣3n+5，或a n=3n﹣7．（Ⅱ）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2，不成等比数列；当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，满足条件．故|a n|=|3n﹣7|=，记数列{|a n|}的前n项和为S n．当n=1时S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=．当n=2时，满足此式．综上所述，．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意，有，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQ∥AE，由此能证明BQ∥平面PAD．（Ⅱ）法一：设平面PAD∩平面PBC=l，则BQ∥l，推导出l⊥PD，l⊥PC，则∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（I）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQ．∵Q为PC中点，则EQ为△OCD的中位线，∴EQ∥CD，且EQ=CD．∵AB∥CD，且AB=CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．…∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD．…（Ⅱ）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．…∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．设PA=AB=AD=，则PD==，PC==，故cos．∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），则=（0，1，﹣1），=（﹣1，1，0）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1）．…由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为．…设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，则cosθ===．…∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点M（x，y），利用条件可得等式=|x﹣4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；（2）通过设存在点P（x0，0）满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．【解答】解：（1）设点M（x，y），则据题意有=|x﹣4|则4[（x﹣1）2+y2]=（x﹣4）2，即3x2+4y2=12，∴曲线C的方程：．（2）假设存在点P（x0，0）满足题设条件，①当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x﹣1）．当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若∠APF=∠BPF，则k AP+k BP=0，则k AP+k BP==∵（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=0∴整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；②当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠APF=∠BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P（4，0），使得∠APF=∠BPF．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+2t﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．。

8．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上
的两个动点，且满足∠AFB＝60°．设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，
则（ ）
A．|AB|≥2|MN| B．2|AB|≥3|MN| C．|AB|≥3|MN| D．|AB|≥|MN|
9．（5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2018 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合
，则 A∩B＝
（）
A．（1，+∞） B．
C．
D．
2．（5 分）若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范
售出水量 x
7
6
6
5
6
（单位：
箱）
收入 y（单 165
142
148
125
150
位：元）
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考 核前 20 名，获一等奖学金 500 元；综合考核 21﹣50 名，获二等奖学金 300 元；综合考核 50 名以后的不获得奖学金．
（1）若 x 与 y 成线性相关，则某天售出 9 箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，
其他任何人的概率是
．
16．（5 分）数列{an}中，
，若数列{bn}
满足
，则数列{bn}的最大项为第
项．
三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 ．（ 12 分 ） △ ABC 的 内 角 为 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知

山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R ，集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|x ＜1}，则集合（∁U A ）∩B=（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞）2．已知复数Z 的共轭复数=，则复数Z 的虚部是（ ）A ．B ． iC ．﹣D ．﹣ i3．命题“∃x 0≤0，使得x 02≥0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，x 2＜0B ．∀x ≤0，x 2≥0C ．∃x 0＞0，x 02＞0D ．∃x 0＜0，x 02≤04．已知直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为（ ） A ．x+2y+5=0B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．77．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．98．已知，则y=f （x ）的对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（ ）A ．2B ．3C ．7D ．1110．设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的x ≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．411．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为f'（x ），若f'（x ）﹣f （x ）＜﹣2，f （0）=3，则不等式f （x ）＞e x +2的解集是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为 ．14．已知的展开式中，x 3项的系数是a，则= ．15．函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．16．已知等边三角形ABC的边长为，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△ABC 折成直二面角，则四棱锥A ﹣MNCB 的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC 的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD ⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁UA=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁UA）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x2＞0 D．∃x＜0，x2≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边， 将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A 22=2种情况， 将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A 33=6种情况， 则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种； 故选C ．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图， 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=．故选：A ．7．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n ，S n ，利用基本不等式能求出取最小值时n 的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，∴a 3=a 1+2d=5，且（a 1+d ）2=a 1（a 1+4d ）， 由d ≠0，解得a 1=1，d=2，∴a n =2n ﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号， 故选：B ．8．已知，则y=f （x ）的对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象． 【分析】化简函数f （x ）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（ ）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，max再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D （4，6），目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12， 则Z max 在点D 处取得最大值； 即4a+6b=12， 所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”． 故选：A ．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，结合等腰直角三角形可得|AF 1|=4a ，设|BF 1|=x ，运用勾股定理，可得a ，c 的关系，由离心率公式即可得到所求． 【解答】解：由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ， 相加可得|AF 1|+|BF 1|﹣|AB|=4a ，|AB|=|BF 1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k ．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x 3项的系数是a ，则=．【考点】67：定积分；DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数a 的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C 5r （）r x 5﹣2r ，令5﹣2r=3则r=1∴x 3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故kBC=，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC=；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d ．【考点】BO ：独立性检验的应用；CH ：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由题意填写列联表即可； （2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X ～B （3，），计算对应的概率，写出X 的分布列，求出数学期望值． 【解答】解：（1）由题意得列联表：… （2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”； …（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，… 则X ～B （3，），；…X 的分布列为…数学期望为．…19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE ﹣BCF 和一个正四棱锥P ﹣ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（2）求正四棱锥P ﹣ABCD 的高h ，使得二面角C ﹣AF ﹣P 的余弦值是．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD 的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l 的斜率存在时，t ≠0，设直线l 方程为y=kx+2，设P （x 0，y 0）， 将直线方程代入椭圆方程得：（k 2+2）x 2+4kx+2=0，… ∴△=16k 2﹣8（k 2+2）=8k 2﹣16＞0，∴k 2＞2．设S （x 1，y 1），T （x 2，y 2），则，…由，当t ≠0，得…整理得：，由k 2＞2知，0＜t 2＜4，…所以t ∈（﹣2，0）∪（0，2），… 综上可得t ∈（﹣2，2）．…21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax （a ≠0），g （x ）=lnx ，f （x ）的图象在它与x 轴异于原点的交点M 处的切线为l 1，g （x ﹣1）的图象在它与x 轴的交点N 处的切线为l 2，且l 1与l 2平行． （1）求a 的值；（2）已知t ∈R ，求函数y=f （xg （x ）+t ）在x ∈[1，e]上的最小值h （t ）；（3）令F （x ）=g （x ）+g′（x ），给定x 1，x 2∈（1，+∞），x 1＜x 2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m 满足：α=mx 1+（1﹣m ）x 2，β=（1﹣m ）x 1+mx 2，并且使得不等式|F （α）﹣F （β）|＜|F （x 1）﹣F （x 2）|恒成立，求实数m 的取值范围．．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a 值；（2）令u=xlnx ，再研究二次函数u 2+（2t ﹣1）u+t 2﹣t 图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F （x ）=g （x ）+g′（x ）=lnx+，再利用导数工具研究所以F （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x ≥1时，F （x ）≥F （1）＞0，下面对m 进行分类讨论：①当m ∈（0，1）时，②当m ≤0时，③当m ≥1时，结合不等式的性质即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）y=f （x ）图象与x 轴异于原点的交点M （a ，0），f′（x ）=2x ﹣a ，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符， ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为．（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求|PA|+|PB|的值． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I ）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P 的直角坐标； （II ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得出A ，B 对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P 的直角坐标为；由得cos φ=，sin φ=．∴曲线C 的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t 2+2t ﹣8=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=﹣2，t 1t 2=﹣8， ∵P 点在直线l 上，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==6．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f （x ）=|x ﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。

太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =I （ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C. 29- D ．19- 6. 函数2ln x y x x=+的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ）A ． 4B ． 2 C. -4 D ．-28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥ C. 3AB MN ≥ D ．AB MN ≥ 9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C. 2 D ．4 10.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ ）A ． 6个B ． 7个 C. 8个 D ．9个11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ） A 163 B 323 C. 203π D 23 12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ）A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 的系数为___________．14.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u r u u u r，则双曲线的离心率e =___________．15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．16.数列{}n a 中，()()*110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b满足811n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第__________项．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值； （2）若b =，当ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金． （1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望；附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为()21,0F ，点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21. ()()()()1,1,xf x a xg x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为212x a ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题 23 15. 2516. 6三、解答题 17.解：（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()()()sin sin cos cos 2sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++， 令sin cos t A A =+，原式211222t t =+-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52． （2）22212sin ,b 2cos 2S ac B ac a c ac B ===+-，即()222222,22a c ac ac ac =+-≥-≤+，当且仅当22a c ==+等号成立；212MAX S +=， 周长2222L a b c =++=++．18.解：（1）6,146x y ==，经计算ˆ20,26ba ==，所以线性回归方程为ˆ2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=； ()111600339P X ==⨯=；()21480025315P X ==⨯⨯=；()22410005525P X ==⨯=；X0 300 500 600 800 1000P16225 845 1675 19 415 425所以X 的数学期望()600E X =． 19．解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴,AC BD OB OD ⊥=， 又,PA BD PA ⊥⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC PA AC A =I ，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥， 又OB OD =，∴PB PD =； （2）设PD 的中点为Q ，连接,AQ EQ ，则1//,2EQ CD EQ CD =， 又11//,22AF CD AF AB CD ==，∴//,EQ AF EQ AF =， ∴四边形AQEF 为平行四边形，∴//EF AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ， ∴AQ PD ⊥，∵Q 是PD 的中点，∴2AP AD ==∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ CD ⊥，又,AD CD AQ AD A ⊥=I ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又,BD PA BD CD D ⊥=I ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则)(()222,0,0,2,0,0,0,0,,22BP A Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴220,,2,0,222AQ PB ⎛==- ⎝⎭u u u r u u ur ，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ uuu r 为平面PCD 的一个法向量． ∴1cos ,2AQ PB AQ PB AQ PB==-u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AQ PB θ==u u u r u u u r ，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π．20.解：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b ==，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴8,455k N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，))12:2,:222A M A N l y x l y x =+=--，∴1,2G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不在椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k x k x k +-+-=，所以22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++g ，()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=， 所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 21.解：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1x x x y a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00000001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，所以00000011xxxx e x x e e -+=+-，即0020xe x +-=．令()()2,10x xh x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-<=->，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切． （2）令()()f x g x >，即()()11xa x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e-=-，则()2x x e x m x e +-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=，当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去；当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a >==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭， 当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a -+-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤； 综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

2018太原高三一模理数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上。

1.若_____，则_______________.2.函数_____的定义域是_______________.3.已知幂函数_____的题像过点_____，则_______________.4.设函数_____满足_____，则_____的表达式是_______________.5.函数_____的值域是_______________.6.若_____，_____，则用将_____按从大到小可排列为_______________.7.已知函数_____，则_______________.8.若函数_____在区间_____上的最大值与最小值之和为_____，则a的值为_______________.9.给定函数：①_____，②_____，③_____，④_____，其中在区间_____上是单调递减函数的序号是_______________.（填上所有你认为正确的结论的序号）10.已知方程_____的解所在区间为_____，则_____=_______________.11.已知函数_____在区间_____上是减函数，则_____的取值范围是_______________.12.定义在实数集R上的奇函数_____满足：①_____在_____内单调递增，②_____，则不等式_____的解集为_______________.13.已知函数_____，当_____时，_____恒成立，则实数_____的取值范围是_______________.14.已知函数_____，现给出下列命题：①_____当其题像是一条连续不断的曲线时，则_____=_____;②_____当其题像是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数_____使_____在_____上是增函数；③_____当_____时，不等式_____恒成立；④_____函数_____是偶函数.其中正确命题的序号是_______________.（填上所有你认为正确的命题的序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15.（本小题满分14分）设全集_____R，集合_____，_____.（1）求（2）若集合_____，满足_____，求实数_____的取值范围16.（本小题满分14分）（1）计算_____的值；（2）已知_____，求_____和_____的值.17.（本小题满分15分）已知_____为定义在R上的奇函数，当_____时，_____为二次函数，且满足_____，_____在_____上的两个零点为_____和_____.（1）求函数_____在R上的解析式；（2）做出_____的题像，并根据题像讨论关于_____的方程_____根的个数.18.（本小题满分15分）已知函数_____，其中_____，记函数_____的定义域为D.（1）求函数_____的定义域D;（2）若函数_____的最小值为_____，求_____的值；（3）若对于D内的任意实数_____，不等式_____恒成立，求实数_____的取值范围.19.（本小题满分16分）已知函数_____（_____R）.（1）试判断_____的'单调性，并证明你的结论；（2）若_____为定义域上的奇函数，①_____求函数_____的值域；②_____求满足_____的_____的取值范围.20.（本小题满分16分）若函数_____满足下列条件：在定义域内存在_____使得_____成立，则称函数_____具有性质_____；反之，若_____不存在，则称函数_____不具有性质_____.（1）证明：函数_____具有性质_____，并求出对应的_____的值；（2）_____已知函数_____具有性质_____，求_____的取值范围；（3）试探究形如：①_____，②_____，③_____，④⑤_____的函数，指出哪些函数一定具有性质_____？并说明理由.。

太原市2018年高三模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,所以，选
A.
2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以，选A.
3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选 B.
4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】，所以，选 D.
5. 已知等比数列中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以因为，所以
因此选B.
6. 函数的图像大致为（）
A. B.。

山西省太原市2018—2018学年度高三年级调研考试数 学 试 题（理）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分答题时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将姓名、考试证号填在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考试证号和考试科目。

2．每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案。

答案写在试题卷上无效。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知集合{2,1,0,1,2},{1,0,1},{0,1,2},U U A B C A B =--=-= 则= （ ）A ．{-2}B ．{0，1}C ．{2}D ．{0，1，2}2．已知复数21iz i=+，则z 2等于 （ ）A ．-2+2iB ．2iC ．-2-2iD ．-2i 3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若ln lg ,a b a b >>则”的逆命题是真命题B ．命题",20"xx R ∀∈>的否定是0",200"x x R ∃∈≤C ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题D ．2"1"x =是“1x =”的充分不必要条件4．已知向量(,3),(2,1),(1,),()a x b c y a b c =-=-=⊥-若，则x y -= （ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 5．函数22sin ()14y x π=--是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数6．在等差数列{}n a 中，若2712315496,2a a a a a ++=+则= （ ）A ．12B ．48C ．24D ．96 7．已知平面α和不重合的两条直线m 、n ，下列选项正确的是（ ）A ．如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n 、、αB ．如果,m α⊂n 与α相交，那么m 、n 是异面直线C ．如果,//m n αα⊂，m 、n 共面，那么m//nD ．如果,m n m α⊥⊥，那么n 、、α8．抛物线28y x =的焦点到双曲线221124x y -=的渐近线的距离为 （ ）A ．1B C ．3D ．69．若曲线32143x bx x c =+++上任意一点处的切线斜率恒为非负数，则b 的取值范围是 （ ） A ．22b -≤≤ B ．22b -<≤ C ．22b -≤< D ．22b -<<10．执行右图所示的程序框图，则能输出数对（x ，y ）的概率为 （ ） A ．14B ．2π C ．4πD ．8π11．若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为,()log 4a m g x x x =+-的零点为，则11m n+的取值范 围是 （ ）A ．7(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞12．当01x <<时，下列不等式正确的是 （ ）A ．222sin sin sin ()x x xx x x << B ．222sin sin sin ()x x xx x x << C ．222sin sin sin ()x x x x x x<< D ．222sin sin sin ()x x x x x x<<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题都必须做答。

太原市2018年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试题上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。

5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1ii+的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞内单调递减的函数是（ ）A ．2y x =B ．||1y x =+C ．lg ||y x =-D ．||2x y =3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。

2018年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,则A∩B=(）A．(1，+∞）B． C．D．2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．(﹣1，1) B．（﹣1,0）C．（1,+∞）D．（﹣∞,﹣1）3．已知命题；命题q:若a＜b，则,则下列为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．log23 C．3 D．25．已知等比数列｛a n｝中，a2a5a8=﹣8，S3=a2+3a1，则a1=（) A．B．C．D．6．函数的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知不等式ax﹣2by≤2在平面区域｛（x，y）|｜x｜≤1且｜y|≤1｝上恒成立,若a+b的最大值和最小值分别为M和m，则Mm的值为(）A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣28．已知抛物线y2=2px(p＞0）的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．设线段AB的中点M在l上的投影为N,则（) A．|AB｜≥2|MN｜B．2|AB｜≥3｜MN｜C．|AB|≥3｜MN|D．|AB｜≥|MN|9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A．B．C．2 D．410．已知函数f（x)=2sin(ωx+φ）（ω＞0）,若，在上具有单调性，那么ω的取值共有()A．6个 B．7个 C．8个 D．9个11．三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=x2﹣xlnx+2，若存在区间，使f（x）在［a，b]上的值域为［k(a+2），k(b+2）］,则k的取值范围是(）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4道,每小题5分，共20分．13．在多项式（1+2x)6（1+y)5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知双曲线C：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率．15．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元,且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是．16．数列｛a n}中,,若数列{b n｝满足，则数列｛b n｝的最大项为第项．三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12。

山西省太原市2018届高三数学3月模拟考试试题（一） 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C. 29- D ．19- 6. 函数2ln xy x x=+的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ） A ． 4 B ． 2 C. -4 D ．-28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥ C. 3AB MN ≥ D ．AB MN ≥9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C. 2 D ．4 10.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ ）A ． 6个B ． 7个 C. 8个 D ．9个11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ） ABC. 203π D12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 的系数为___________．14.已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率e =___________．15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．16.数列{}n a 中，()()*110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b 满足18111n n n b n a -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第__________项．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求()()sin sin coscos A B A A A B +++-的最大值； （2）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望；附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niiinii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为()21,0F ，点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21. ()()()()1,1,x f x a x g x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题13. 120 14. 315. 25 16. 6三、解答题 17.解：（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=，cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，令sin cos t A A =+，原式21122t =+-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,b 2cos 24S ac B a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤+a c ==12MAX S =，周长L a b c =++=18.解：（1）6,146x y ==，经计算ˆ20,26ba ==，所以线性回归方程为ˆ2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=；()111600P X ==⨯=；()2148002P X ==⨯⨯=；()2241000P X ==⨯=；所以X 的数学期望()600E X =． 19．解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴,AC BD OB OD ⊥=， 又,PA BD PA ⊥⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥， 又OB OD =，∴PB PD =； （2）设PD 的中点为Q ，连接,AQ EQ ，则1//,2EQ CD EQ CD =， 又11//,22AF CD AF AB CD ==，∴//,EQ AF EQ AF =， ∴四边形AQEF 为平行四边形，∴//EF AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，∵Q 是PD 的中点，∴AP AD ==∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ CD ⊥，又,AD CD AQ AD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥， 又,BD PA BDCD D ⊥=，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)((),,0,0,0,0,22BP A Q ⎛ ⎝⎭，∴(220,,,2,0,22AQ PB ⎛⎫==⎪ ⎝⎭，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ 为平面PCD 的一个法向量．∴1cos ,2AQ PBAQ PB AQ PB==-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AQ PB θ==， ∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π． 20.解：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141ab a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b ==，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴85k N ⎛=⎝⎭，))12:2,:2A MA N l y x l y x =+=-，∴G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不在椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k xk x k +-+-=，所以22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=，所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 21.解：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1xxxy a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，所以00000011x x xx e x x e e -+=+-，即0020xe x +-=．令()()2,10x x h x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-<=->，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切．（2）令()()f x g x >，即()()11x a x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e -=-，则()2x xe x m x e+-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=， 当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去； 当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a>==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩， 所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭．22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为21x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。