选修1-1第二章复习课件

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注圆锥曲线“定义”的三点应用(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线定义，写出所求的轨迹方程．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．2．研究圆锥曲线几何性质的两个注意点(1)应把不是标准方程的化为标准方程形式；(2)有字母的注意分类讨论．3.直线与圆锥曲线的位置关系易错点(1)直线与圆锥曲线交点问题(或弦长问题)，易忽视直线的斜率是否存在，以及Δ是否大于0.(2)中点弦问题使用“点差法”，易忽视直线存在的条件．专题1圆锥曲线定义的应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．在高考试题中，有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的定义求解．在选择题、填空题中应用得更多一些．[例❶] 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化解析：设P 为双曲线右支上的一点． 对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n －y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，所以|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2＝(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2＝|F 1F 2|2， 所以△F 1PF 2是直角三角形，故选B. 答案：B 归纳升华当题设出现两定点，设为A 、B ，要通过平面几何知识，找出动点P 与它们的关系，即|PA |＋|PB |为定值，还是||PA |＋|PB ||为定值，再根据圆锥曲线定义解决问题．[变式训练] 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左，右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A ．2 2B. 2C ．1D.12解析：由椭圆C 1与双曲线C 2的标准方程可知， 两曲线的焦点相同．不妨设P 点在双曲线C 2的右支上． 由椭圆和双曲线的定义，可得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23， 解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝26－2＝4， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝（6＋3）2＋（6－3）2－162（6＋3）（6－3）＝13>0，所以sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝232， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝ 2.答案：B专题2 求圆锥曲线方程圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点，解决此类问题，一要准确理解圆锥曲线的定义，熟练掌握标准方程的特征；二要熟练掌握求曲线方程的常用方法——定义法与待定系数法．求曲线方程的一般步骤是“先定位，后定量”，“定位”是指确定焦点的位置及对称轴，“定量”是指确定参数的大小．[例2] 已知中点在原点，一焦点为F (0，52)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的标准方程．解：由题意可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，该椭圆与直线l 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由y 2a 2＋x 2b 2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0.① 则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2.由已知得x 1＋x 22＝12，即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2.又因为a 2－b 2＝c 2＝50， 则a 2＝75，b 2＝25.此时，方程①根的判别式Δ＞0， 方程①有两实根x 1，x 2，符合要求．故所求椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.归纳升华1．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可以设为一般形式：椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )；双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)；抛物线方程可设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．2．与已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．[变式训练] 已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程x －3y ＝0，求双曲线的方程．解：法一：椭圆x 2＋4y 2＝64，即x 264＋y 216＝1，其焦点是(±43，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其渐近线方程是y ＝±ba x .又因为双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，所以 ab ＝ 3.又由a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12. 所以 所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为x 264－λ－y 2λ－16＝1(16＜λ＜64)．因为双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0， 即y ＝13 x ，所以 λ－1664－λ＝13，所以 λ＝28. 故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.专题3 直线与圆锥曲线的关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择题、填空题也有涉及．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往利用数形结合的思想、设而不求的方法、对称的方法以及根与系数的关系等．[例❸] 已知椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，点C 是弦AB的中点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：方法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题意得C ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.又ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1.两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两个根， 所以x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b.由已知条件，得|AB |＝1＋k 2AB |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4， 所以⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入上式，得a ＝13，所以b ＝23，故椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 所以|AB |＝（k 2AB ＋1）（x 1－x 2）2＝2·4b 2－4（a ＋b ）（b －1）（a ＋b ）2＝2·4a ＋4b －4ab（a ＋b ）2.因为|AB |＝22，所以 a ＋b －ab（a ＋b ）2＝1.①设点C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b . 因为直线OC 的斜率为22，所以a b ＝22，即b ＝2a .代入①，得a ＝13，b ＝23.故椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.归纳升华(1)方法一是设点代入、作差，借助斜率解题的方法，即“点差法”或“平方差法”，它是解析几何中解决直线与圆锥曲线相交问题的常用方法．(2)方法二是求圆锥曲线弦长问题的基本方法，利用弦长公式及根与系数的关系进行综合解题比较简单．[变式训练] 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：因为a 2＝4，b 2＝1，所以c ＝a 2－b 2＝3，所以右焦点的坐标为(3，0)，所以直线l 的方程为y ＝x － 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0.设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，所以|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2× ⎝⎛⎭⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.专题4 分类讨论思想分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想，解析几何中许多问题都涉及分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形，因此要对变量分类讨论，才能确定．在圆锥曲线的问题中，有很多由公式、运算等引起的分类讨论．分类的原则是标准一致、不重不漏．[例4] 当m ≤1时，讨论方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示的曲线形状．解：(1)当m ＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线y212－m－x2－1m＝1；(2)当m＝0时，方程表示两条平行于x轴的直线y＝±22；(3)当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆x2 1 m ＋y212－m＝1；(4)当m＝1时，方程表示圆x2＋y2＝1.归纳升华在解决圆锥曲线问题时，常将某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的．分类讨论思想的应用主要表现在：(1)直线斜率存在或不存在引起的分类讨论．(2)曲线类型不确定引起的分类讨论．(3)已知条件不确定引起的分类讨论．(4)字母参数的不确定性引起的分类讨论等．解决此类问题的关键是“化整为零，各个击破”，即将“整体问题”化为“部分问题”．[变式训练]设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．解：由已知得|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：(1)若P是直角顶点，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，化简得|PF1|2－6|PF1|＋8＝0，解得|PF1|＝4或|PF1|＝2(舍)．所以|PF2|＝6－4＝2，得|PF1||PF2|＝2.(2)若F2是直角顶点，则|PF1|2－|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2－(6－|PF1|)2＝20，解得|PF1|＝143.所以|PF2|＝6－143＝43，得|PF1||PF2|＝72.。

选修1-1复习 讲义2 圆锥曲线一、 知识结构二、 典练提升（圆锥曲线的三种曲线的定义及性质）知识点一：有关曲线的方程1.（天津卷7）设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ） A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 2.（重庆卷8)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为C (A)2 (B)3 (C)4 23.（海南卷2）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ） 2 2 3 34.（山东卷13）已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．221412x y -= 知识点二：曲线的性质5.（上海卷12）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ）A ．4B ．5C ．8D ．106.（辽宁卷11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．47.（浙江卷13）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = 。

88.（湖北卷10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a <其中正确式子的序号是B A.①③ B.②③ C.①④ D.②④知识点三：曲线的离心率9.（安徽卷14）已知双曲线22112x y n n-=-n ＝ 4 10.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 CA ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 11.（陕西卷9）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）A ．BC ．D 12.（全国二11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ）A ．221+B ． 231+C ． 21+D ．31+知识点四：曲线的有关面积13.（四川卷11）已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）9614.（全国一14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2115.（全国二15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．216.（海南卷15）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________53知识点五:圆锥曲线的方程及性质的综合17.（全国一22）．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =则离心率e =． （2）过F 直线方程为()a y x c b =-- 与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b=最后求得双曲线方程为：221 369x y-=．。