单摆在不同摆角下运动的数学模型
报告人：曾云霖
专业学号：微电子92 09053057
关键词：单摆、简谐运动、空气阻力，摆角大小
摘要：
单摆是生活中常见的模型，也是常用的简单模型。物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为M的小球(视为质点)而构成的振动系统。
对于理想单摆，我们总是尽可能的简化它的一般分析，认为它只受到重力和拉力的作用。因为拉力与小球的运动总是相互垂直的，对小球的运动没什么影响
但生活中的单摆往往是非理想的，非理想单摆还考虑到绳的重力、空气阻力等，且单摆的运动还与单摆的摆角有关，研究单摆在不同摆角下的运动是有现实和理论意义的
模型建立：
考虑在摆角很小的范围内（小于5度），sinθ≈θ
由牛顿第二定律可知
sin mg m θα=-
l αβ= l βω=
d dt θ
ω= 220mg ml t θθ∂+=∂
化简可得
220g t l θθ∂+=∂
这是一个二阶常系数的奇次线性微分方程,设定初值条件： ()00,(0)a θω==
利用高等数学知识可以解得：
()1sin 2cos t c t c t θ=+
代入初值条件：
()cos t a t θω= ω=结论：理想单摆在小摆角下（小于5度）的运动是简谐运动 周期
22T π
ω==问题扩展：
实际生活中的单摆是非理想的，总要收到其它力的作用，如绳的重力，空气阻力等
现在我们忽略绳的重力，考虑在空气阻力环境下单摆的运动。 查阅知识可知：空气粘滞阻力与小球速度成正比，即f kv =
所以单摆的受力方程变换为
sin mg kv m θα+=-
d v l l dt θ
ω==
化简可得：
220d k d g dt m dt l θθθ++=
可令
2,k g n m l ω==︒
222^20d d n dt dt θθωθ++=
当
220n ω<时 sin cos a t b t θωω=+ 当22
0n ω=时 ()t a bt e ωθ=+
当220n ω>时
12t t ae be ωωθ=+
深化扩展：
以上讨论都是在摆角较小的前提下讨论出来的，若是大摆角的摆动，则sin θθ=不再成立了，此时可以sin θ考虑泰勒式展开。
35
sin ........3!5!θθθθ=-+-
因为后面的级数对结果影响不大，所以近似可取
3
sin 3!θθθ=-代入理想方程中
3
22()03!d mg ml dt θθθ-+= 这个微分方程比较难解，可以考虑用Matlab 去求其解析解或数值解。
