单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

1、指导思想与理论依据本节课是一节探究课，通过教师组织全体学生参与实验，探究得出结论，使学生认识到任何一个结论的得出都要经过大量的实验，多次推导得出，甚至要经过几代科学家不断努力才能得到，认识到实践是检验真理的唯一标准。

从而培养学生科学的态度，以及研究问题的方法，使学生认识到科学道路不是一帆风顺的，学习知识的道路上要肯于钻研，肯于吃苦，但又充满乐趣。

理论依据：采用控制变量法探究单摆的周期与哪些因素有关。

初中学生多次使用的控制变量法，要求学生不仅要学会知识本身，更要学会学习知识的方法。

物理是一门实验科学，应该通过实验得出结论，而不能凭主观臆断。

单摆在摆角很小时，其振动可近似认为是简谐振动。

实验中的单摆摆长远大于球半径，摆角不要过大。

2、教学背景分析学生初中多次参与探究课的学习，对各个环节比较熟悉。

对控制变量法，学生也很熟悉。

采用在教师统一组织下，学生参与探究、总结结论的教学方式。

学生一起测量，其目的是调动全体学生参与课题探究活动。

考虑到课题上时间有限，没有分成小组各自分散测量，同时在教师同一组织下测量，也是想让学生熟悉一下周期的测量方法和测量中需要注意的事项，为后面的单摆测重力加速度做铺垫。

由于摆球较小，为了增大实验的可视性，将摆球及振动过程全部通过摄像头呈现在大屏幕上。

课前上的重点是探究得出周期公式，并通过练习巩固强化。

为节约时间，将单摆的回复力分析和摆角小于5°时，可以认为是简谐运动的学习，放在课前预习中完成。

3、本课教学目标设计（1）知识与技能①理解单摆振动的特点及做简谐振动的条件；②掌握单摆周期公式，并正确应用解决问题。

（2）过程与方法通过实验探究，控制变量法的应用，使学生总结概括出单摆的振动周期与与哪些因素有关，与哪些因素无关。

从而：①培养学生的抽象归纳总结和数据分析的能力；②学习研究问题的方法。

（3）情感、态度和价值观①通过实验观察，使学生认识到物理学科中实验的重要地位，认识到实践是检验真理的唯一标准，不能主观臆断；②科学的研究要经过不懈努力，才能有所收获。

影响单摆周期的因素
跟单摆的摆线长度和当地的重力加速度有关。

根据单摆的周期公式：T=2π√(L/g)。

其中，L为摆长，g为当地的重力加速度。

在摆角小于5°的条件下，单摆的摆长越大，当地的重力加速度越小，单摆的周期越大。

单摆周期公式
单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成。

摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆。

在满足偏角小于10°的条件下，单摆的周期为T=2π√(L/g)。

从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

什么是单摆的周期
单摆从某一状态开始运动,第一次回到原状态的时间,一般是从平衡位置开始计时,这里所说的状态是指速度,加速度,恢复力都相同的状态.周期公式为T=2π*√L/g.。

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究首先，可以通过力的分析来推导单摆周期公式。

考虑一个质量为m、长度为L的单摆，以及摆角θ。

当单摆摆动到最大摆角θ时，向心力的大小可以由重力分解为两个分力：mg*sinθ和mg*cosθ。

其中，mg*sinθ是提供摆回复力的分力，mg*cosθ是垂直于摆梁的分力，对摆动没有贡献。

根据牛顿第二定律，有mg*L*sinθ = -m*L*θ''，其中θ''是摆角的二阶导数。

化简可得θ'' + (g/L)*sinθ = 0。

而对于小角度的摆动，可以使用sinθ≈θ进行近似。

这样，单摆的振动方程就近似成为θ''+ (g/L)*θ = 0。

振动方程的解是θ = A*sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

将该解代入振动方程可以得到ω^2 = g/L，从而得到单摆的周期T = 2π/ω = 2π*sqrt(L/g)。

其次，也可以通过能量的分析来推导单摆周期公式。

在单摆摆动过程中，重力势能和动能不断变换。

当摆动到最大振幅时，动能为最大值，重力势能为最小值。

根据能量守恒定律，动能和重力势能的变化必须相互抵消。

考虑一个质量为m、长度为L的单摆，以及摆角θ。

在摆动过程中，动能可以表示为K = (1/2)*m*L^2*(θ')^2，其中θ'是摆角的一阶导数。

重力势能可以表示为U = m*g*L*(1-cosθ)。

根据能量守恒定律，K + U = E，其中E为系统的总能量。

当摆动到最大振幅时，E应该是恒定的。

将动能和重力势能的表达式代入能量守恒方程，可以得到(1/2)*m*L^2*(θ')^2 + m*g*L*(1-cosθ) = E。

由于摆动是周期性的，θ在一个周期内的变化是一个完整的正弦函数。

因此，θ的变化可以表示为θ = φ + A*sin(ωt)，其中A为振幅，φ为初相位，ω为角频率。

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。

对单摆运动进行分析。

其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。

从而验证单摆周期公式。

并对影响单摆周期的因素展开研究。

最后总结出影响单摆周期的因素。

关键词：数学模型 ； 单摆运动 ； 周期公式单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。

作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。

单摆问题是物理学中经典问题。

从阅读物理学史并可知道，早在 1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。

但现在这个故事的真实性受到怀疑 ,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。

专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。

”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。

伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。

他还指出周期与摆球质量无关。

他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重 100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。

”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens ）。

由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。

事实上，反过来重力加速度是 1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。

实验名称：探究影响单摆摆动频率因素日期:2022.12.12一、实验目的（1）能够通过“控制变量”的方法进行实验设计，并用实验进行验证。

（2）探究摆摆动的频率与摆角的大小、摆球的轻重和摆线长短之间的关系。

二、实验器材铁架台、线绳、钩码、量角器、卷尺、秒表二、实验过程（1）探究单摆频率与摆角的关系a)用摆线钩住1个钩码，使钩码成为摆锤。

使摆线长50厘米，摆线的另一端缠绕在铁架台上。

b)向一边拉开摆锤，使摆角为30度，松手。

数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。

c)使用同一个摆，将摆角设置为45度，像刚才那样记录10秒钟摆锤摆动的次数。

d)将摆角设置为60度，像刚才那样记录10秒钟摆锤摆动的次数。

（2）探究单摆周期与摆球质量的关系a)用摆线钩住2个钩码，使钩码成为摆锤。

使摆线长50厘米，摆角为30度，松手。

数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。

b)用摆线钩住3个钩码，使钩码成为摆锤。

使摆线长50厘米，摆角为30度，松手。

数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。

（3）探究单摆周期与摆长的关系a)用摆线钩住1个钩码，使钩码成为摆锤。

使摆线长30厘米，摆角为30度，松手。

数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。

b)使用同一个摆，使摆线长10厘米，摆角为30度，松手。

数出并记录10秒钟摆锤摆动的次数，前后3次，计算平均值。

注意：实验中摆来回一次算作摆动1次，对于不足1次或是超过1次的可以视摆动过程采用四舍五入的方法T=t/x t；所用时间 x:摆动次数三、实验现象（1）探究单摆频率与摆角的关系（2）探究单摆周期与摆球质量的关系（3）探究单摆周期与摆长的关系四、实验结论（1）摆的摆动频率与摆角的大小没有关系（2）摆的摆动频率与摆锤轻重没有关系（3）摆的摆动频率与摆线的长度有关：摆线越长，摆动频率越慢；摆线越短，摆动频率越快。

毕业设计（论文）2012 届题目影响单摆周期因素的研究专业物理学生姓名学号指导教师论文字数11000字完成日期湖州师范学院教务处印制影响单摆周期因数的研究摘要：本文研究了单摆的周期受摆角、摆球的线度、介质黏度和介质密度参数的影响；作出了周期比随参数变化的曲线。

经计算表明：这些因数对周期的影响很小。

我们导出了一个简单、实用、精度高的理想单摆运动周期近似公式。

近似公式中的K=0.06224，与文献[1]提及的K值相近。

通过不断改变K值找到接近于实验数据的值为0.057。

并用这个近似公式求得的重力加速度g与标准值比较，结果表明：计算得到的重力加速度接近于标准值。

关键词：单摆，周期，参数，近似公式Impact factor of the pendulum periodAbstract: This paper studies the pendulum's period by the swing angle, swing the ball line degrees, medium viscosity and density parameters of the medium; to the cycle than the curve with parameter changes. The calculations show that: these factors have little effect on the cycle. We derive a simple, practical, ideal for high precision pendulum movement cycle approximate formula. Approximate formula K = 0.06224, with the literature [1] mentioned that the K values are similar. By changing the value of K is found close to the experimental data of 0.057. And use the approximate formula obtained with the standard value of acceleration due to gravity g, the results show that: the acceleration of gravity close to the calculated standard value.Keywords:pendulum, period, parameters, approximate formula目录前言 (1)第一章简谐振动-----单摆 (3)1.1 小角度下理想单摆公式的推导 (3)1.2 大角度下理想单摆公式的推导 (3)第二章影响单摆周期的因素 (5)2.1 摆角对单摆周期的影响 (5)2.2 摆球线度对单摆周期的影响 (6)2.3 空气黏度对单摆周期的影响 (7)2.4 介质密度对单摆周期的影响 (9)第三章单摆周期的测量 (11)3.1 实验仪器介绍 (11)3.2 装置与用法 (11)3.3 实验数据记录 (12)3.3.1 部分数据 (12)3.3.2 实验测得周期与理论值 (13)3.4 实验数据的近似公式 (15)3.5 结论 (18)总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)前言单摆：质点振动系统的一种，是最简单的摆。

单摆周期公式的数学推导
一、单摆周期公式：
单摆周期仅摆长L相关，与L的平方根成正比。

公式如下： g是重力加速度，一般取9.8m/ss
二、采用牛顿第二定律推导：
如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。

取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。

L与垂线的夹角为θ。

根据牛顿第二运动定律，F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：
这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进
行处理，
解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。

三、采用机械能守恒定律推导：
重物的机械能，可以分为动能和势能：ME=KE+u（ME为总机械能，KE为动能，u为势能）。

在重物摆动过程中，其机械能保持不变，为一恒定常数。

而动能KE=1/2 mvv（m为重物质量，v为速度，这里用二个v表示平方）；势能u=mgy（设下图中x坐标线为0势能，则任意点P处重物高度为y）。

推导过程和解微分方程是微积分学的知识，高中知识是无法推导的。

从上述二个推导过程看，均采用了小角度近似方法，似乎对结论有一定影响。

但最终的结果中，周期与角度θ是无关的，因而该公式即为理论推导结果。

解析单摆的周期与频率问题单摆是一个简单而又重要的物理实验装置，它由一个质点和一根不可伸长且无质量的细线组成。

当质点偏离平衡位置时，由于重力作用，它将受到一个恢复力，使得质点以逆向的方向作振动。

单摆的周期和频率是研究单摆运动规律的两个重要参数，下面将深入解析这两个问题。

一、周期的定义与公式周期是指单摆从一个极限位置（如最高点、最低点）出发，经过一系列往复运动后重新回到同一极限位置所花费的时间。

通常用符号T表示周期，其单位为秒(s)。

周期的大小与单摆的长度、重力加速度和初始振幅有关。

根据力学原理，单摆的周期可以通过下面的周期公式来计算：T = 2π√(L/g)其中，T 表示周期，L 表示单摆的长度，g 表示重力加速度。

从公式可以看出，周期与单摆的长度成正比，与重力加速度的平方根成反比。

这是因为单摆的运动是由重力作用引起的，质点的振动周期与重力加速度和长度有关。

二、频率的定义与计算频率是指单位时间内振动次数的多少，通常用符号f表示，单位为赫兹(Hz)，也可以用周期的倒数来表示。

频率与周期的关系为：f = 1/T 或 T = 1/f频率是周期的倒数，表示每秒钟的振动次数。

当周期较长，则频率较低；当周期较短，则频率较高。

三、影响单摆周期和频率的因素1. 单摆的长度：由于单摆的周期与长度成正比，因此长度越长，周期越长。

当单摆长度增加一倍时，周期也会增加一倍。

2. 重力加速度：周期与重力加速度的平方根成反比，因此重力加速度越大，周期越短。

在地球上，重力加速度约为9.8m/s²，所以单摆的周期往往与地球的重力加速度相关。

3. 初始振幅：初始振幅影响单摆振动的幅度和速度，但不影响周期和频率。

无论初始振幅多大，单摆的周期和频率都是不变的。

四、应用与实验单摆的周期和频率在生活中和科学实验中有着广泛的应用。

在天文学中，单摆可以用来测量地球的重力加速度。

通过测量单摆的长度和周期，可以计算出重力加速度的大小，从而了解地球的物理特性。

探究单摆振动周期的影响因素教学任务：通过实验，运用控制变量法探究得出单摆振动周期和哪些物理量有关，提出单摆周期公式。

教学目标：1、通过实验得出单摆振动周期和振幅无关，和摆球质量无关，和摆长有关，且摆长越长周期越大，和重力加速度有关，且重力加速度越大周期越小，提出单摆周期公式。

2、培养学生观察现象、分析处理问题的能力，会运用等效的思想处理问题。

教学设计思想：1、采用控制变量法探究单摆振动周期的影响因素。

2、用超失重和电场等效增大或减小重力加速度。

3、用效果积累的思想处理实验结果。

教学流程图：实验仪器：三个摆球：两个摆长相同，质量不同；两个摆长不同。

一个特制单摆，铁架台，绝缘夹子数个，金属铝板两块（其中一块有细缝），学生电源组，静电起电机，红外线探灯，电键开关一个，导线若个。

教学过程：前面我们已经学习了单摆的回复力，知道单摆在摆角很小时作简谐振动。

今天我们来研究单摆的振动周期。

教师：请大家思考一下，单摆的振动周期T 应该和哪些因素有关呢？引导学生得出可得相关的因素：振幅A ，摆球质量m ，摆长l ，重力加速度g 。

（若有学生提出体积、球半径等因素可通过分析归纳到m 和l 。

）教师：在物理里面，要研究一个物理量和几个物理量间的关系，是怎样一种关系，通常采用什么方法？学生：控制变量法。

（1）研究T 和A 的关系，可先令m 、l 、g 保持不变，改变振幅A 值。

【演示1】：取两摆长摆球质量均相同的两单摆（展示单摆，摆已固定在铁架台上），装置如图1。

将两摆拉到不同高度同时释放（摆角不能太大）。

现象：两摆球同步振动。

教师：请问同学们看到了什么现象，说明了什么问题？ 图1学生：两摆摆角不同即振幅不同，两摆球振动同步，说明单摆的周期和振幅A 无关。

结论1：单摆的振动周期T 和振幅A 无关。

教师：刚才我们用控制变量法研究了周期和振幅的关系，那么要研究周期和摆球质量的关系，应怎么做？学生：可用两摆长相同，质量不同的两单摆。

第3节单__摆1．单摆是一个理想化模型，在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。

单摆的回复力由重力沿圆弧切向的分力提供。

2．单摆的周期公式为：T＝2πlg，此式仅在摆角小于5°时成立，单摆的周期由摆长l和重力加速度g共同决定，与摆球质量无关。

3．由T＝2πlg得g＝4π2lT2，根据此式可求出某地的重力加速度。

对应学生用书P81．定义把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆。

2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。

3．运动规律单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。

[跟随名师·解疑难]1．单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的要求是什么？(1)细线形变要求：细线的伸缩可以忽略。

(2)细线与小球质量要求：细线质量与小球质量相比可以忽略。

(3)小球密度要求：小球的密度较大。

(4)线长度要求：球的直径与线的长度相比可以忽略。

(5)受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以忽略。

(6)摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角小于5°。

2．单摆做简谐运动的条件判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F＝－kx的特点，如图1­3­1所示。

图1­3­1(1)在任意位置P ，有向线段OP 为此时的位移x ，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝G sin θ提供摆球以O 点为中心做往复运动的回复力。

(2)在摆角很小时，sin θ≈θ＝x l ，G 1＝G sin θ＝mglx ，G 1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F 回＝G 1＝－mgx l 。

令k ＝mgl，则F 回＝－kx 。

因此，在摆角θ不超过5°时，单摆做简谐运动。

用等效法研究单摆的周期问题单摆的周期公式为学生所熟知，若将单摆置于不同的环境中再来研究其周期问题，往往令学生感到茫然，若用等效方法研究单摆，可使学生对其认识深刻，化难为易。

一、求等效摆长所谓摆长意味着悬点到球心间的距离，同学们对下图中各摆等效摆长一看便知，迅速可得周期公式，分别为（注：摆球可看作质点）：，若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算。

图1 图2 图3例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。

图4简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如图5所示，L”，故周期：图5二、求等效重力加速度原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问题，必须从研究回复力着手，求出其等效重力，再求等效重力加速度g”，则。

例2. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。

简析：单摆在摆动过程中，受重力和绳的张力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。

根据力的作用效果，将F分为三个力，如图6所示，在竖直方向上，F3与G的合力产生向上的加速度a，切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。

图6因为。

又因为F⊥F1，所以：当很小时，。

故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比，且方向相反，得。

单摆在升降机中摆动周期为：显然，我们称之为等效重力加速度，同理，若升降机以加速度a 匀加速下降，则：。

可见在升降机中加速上升（或加速下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度，则单摆的周期问题迎刃而解，现列举另外几种常见情形：（1）在水平加速运动的车厢内如图7所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由O 变到了O”，等效重力加速度为，则振动周期为。

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究θ''(t) + (g/L)sin(θ(t)) = 0其中，θ(t)是摆角，g是重力加速度，L是单摆的长度。

这是一个非线性微分方程，通常很难直接求解。

但是，对于小摆角情况下，可以采用线性近似，使得方程可以简化求解。

在小角度近似下，sin(θ(t)) ≈ θ(t)，将此近似代入运动方程中可以得到简化方程：θ''(t)+(g/L)θ(t)=0这是一个简化后的线性谐振子方程，可以通过数学方法求解。

解的通解形式为：θ(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位角。

周期T可以通过角频率求得：T=2π/ω从上述公式可以看出，单摆周期与单摆长度L和重力加速度g有直接关系。

根据周期公式，可以得出以下结论：1.单摆周期与单摆的长度成正比。

单摆越长，周期越大；单摆越短，周期越小。

2.单摆周期与重力加速度成反比。

重力加速度越大，周期越小；重力加速度越小，周期越大。

这是因为重力加速度的增大会加快单摆系统的运动速度，使摆动时间减小。

此外，单摆的摆动平面、起始摆动角度、摆动阻尼等因素也会对单摆周期产生影响：1.摆动平面：如果单摆在摆动过程中发生平面转动，即不再保持一个平面内摆动，将会导致周期的变化。

这是因为在平面外的摆动会增加形成圆弧的时间。

2.起始摆动角度：起始摆动角度的大小也会影响单摆的周期。

在小角度近似下，起始摆动角度越小，周期越接近理论值；起始摆动角度越大，周期越偏离理论值。

3.摆动阻尼：如果单摆受到空气阻力等外部因素的影响，会导致振动能量的损失，从而影响单摆的周期。

阻尼越大，振动衰减越快，周期越短。

总的来说，单摆周期公式可以用来计算单摆的周期，而单摆长度和重力加速度是直接影响周期的因素。

其他因素如摆动平面、起始摆动角度和摆动阻尼也会对周期产生影响。

通过对这些因素的研究，我们可以更好地理解和控制单摆的运动特性。

实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。